学校编码：10384 分类号 密级 学号：27720111152688 UDC
硕 士 学 位 论 文
基于特征函数与数值计算的
亚式期权定价
Pricing Asian Option Based on Characteristic
Function and Numerical Calculation
谭志学
指导教师姓名：
蔡立耑
专 业 名 称：
金融学
论文提交日期：
2013 年 3 月
论文答辩时间：
2013 年 5 月
学位授予日期：
答辩委员会主席：
评
阅
人：
2014
年
月
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声明人（签名）：
年 月 日
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I
摘要
亚式期权非常流行，它是最受欢迎的新型期权之一。虽然亚式期权经过了众 多的学者与研究者反复的研究，但是至今也没有形成一个统一的定价表达式。在 研究的过程中，研究者们也提出了许多的定价方法，现在为大家所接受的定价方 法有几何平均近似算术平均法、蒙特卡洛模拟法、偏微分方程数值解法、特征函 数法。作为学术界研究的重要课题的亚式期权是路径依赖的期权，因此其定价问 题变得异常的复杂，这也使得它成为了研究中的难题。本文在特征函数法和数值 计算的基础上，推导了亚式期权价格的表达式，得到了数值结果，为亚式期权的 定价提供了新的思路。 本文的创新之处在于在标的资产价格变化中引入了跳跃与波动率的变化，并 且在用特征函数进行定价的基础上，利用数值计算的方法讨论了期权价与跳跃、 波动率的关系。跳跃是无处不在的，然而跳跃又具有随机性与偶然性，这使得它 成为生活中极其重要的现象，也使得它成为了学术研究中极为重要的研究课题。 波动率随着时间的变化而变化的观点得到了学术界的认可，同时也为实际生活中 的数据所证实。本文采用等鞅变换得到等价的随机过程，然后利用特征函数法得 到两组常微分方程组和亚式期权价格的形式上的表达式，最后通过利用数值计算 的方法得到了期权价格。 在特征函数法与等鞅变换的基础上，我们得到了亚式期权价格的表达式。我 们也通过数值计算的方法来研究了期权价格与各种变量的变化关系，在设定一系 列的初值后，本文通过微分方程的数值解法得到了常微分方程组的数值解，同时 通过数值积分得到了亚式期权的价格。在数值计算的基础上，我们得到以下结论： 第一，跳跃的存在会影响亚式期权的价格；第二，跳跃强度的大小会影响亚式期 权的价格；第三，波动率的变化会影响期权价格。 关键词：特征函数；等鞅变换；数值计算厦门大学博硕士论文摘要库
II
Abstract
Asian options, which have been introduced to the financial market for a long time, are among the most popular path-dependent options traded in both exchanges and over-the-counter markets. Although the Asian options have been discussed for a long time, there is not a unified pricing expression. Researchers have proposed some pricing methods which are accepted. The methods are geometric mean approximating arithmetic mean, Monte Carlo simulation, numerical solution of partial differential equations, and the characteristic function. Asian option is an important subject of the academic research, but also a difficult problem for researchers. We get the expression of the Asian option’s price based on the characteristic function method. We also get the Asian option’s price based on the numerical calculation. A new way is provided to get the price of the Asian option in this paper.
In this paper, we introduce jumps and volatility changes in the price change. We also discuss the relationships of the price and jumps, the price and volatility changes. Jumps, which are stochastic, are popular in the real life. Jumps have become an important subject of the academic research. The volatility changes over time have been recognized by the academic community, and also have been confirmed by the real- life data. First, the paper introduces the jumps and volatility changes into the stochastic processes of the price change and volatility change. Then, this paper gets the formal expression of the Asian option’s price based on the characteristic function method and equivalent martingale transform. After this, this paper gets the numerical solutions of the ordinary differential equations, and finally we get the price of the Asian option. We also make some discussion about the price. In order to make conclusion obvious, we get some pictures by using MATLAB.
On the basis of the characteristic function method and equivalent martingale transform, we get the expression of the Asian option’s price. We also study the relationships between the option’s price and the variety of variables. We obtain some conclusions by using the numerical solutions of ordinary differential equations, the numerical integral. The conclusions are as following. First, jumps will affect the Asian option’s price. Second, the greater the intensity of the jumps, the greater the jumps impact the Asian option’s price. Third, the volatility change will affect the Asian option’s price.
Keywords: Characteristic Function; Equivalent Martingale; Numerical Calculation
III
目
录
第一章
引言
... 1
1.1 研究背景... 1 1.2 文献综述... 3 1.2.1 定价方法 ... 3 1.2.2 国外研究成果 ... 4 1.2.3 国内研究成果 ... 5 1.3 本文创新... 6 1.3.1 波动率变化的时变性 ... 7 1.3.2 跳跃的引入 ... 8 1.3.3 基于特征函数法下的数值计算 ... 8 1.4 本文结构安排... 8第二章
背景知识
... 10
2.1 金融衍生产品市场及期权 ... 10 2.2 亚式期权... 10 2.3 均值... 11 2.4 亚式期权价... 11 2.5 波动率... 12 2.6 跳跃... 13第三章
特征函数法
... 14
3.1 模型参数设定... 14 3.2 傅里叶变换与逆变换 ... 14 3.3 扩展变换与逆变换 ... 16 3.4 其他定价方法介绍 ... 17第四章
亚式期权定价模型
... 19
4.1 模型设定... 19厦门大学博硕士论文摘要库
IV 4.2 随机过程设定... 19 4.3 鞅定价方法... 20 4.4 亚式看涨期权定价 ... 21
第五章
数值计算
... 25
5.1 数值计算介绍... 25 5.2 微分方程组... 25 5.2.1 微分方程数值解 ... 25 5.2.2 微分方程的软件解法 ... 26 5.3 黎曼积分... 27 5.3.1 黎曼积分定义 ... 28 5.3.2 无穷区间上的定积分 ... 28 5.4 积分数值计算... 28 5.4.1 函数 f(v)的积分 ... 29 5.4.2 函数 g(v)的积分 ... 31第六章
数值模拟及结果分析
... 33
6.1 方法比较... 33 6.2 结果比较... 34 6.3 参数值设定... 36 6.4 价格跳跃对期权价的影响 ... 36 6.5 跳跃强弱对期权价的影响 ... 38 6.6 波动率变化对期权价格的影响 ... 39第七章
结论
... 42
附件
... 44
参考文献
... 46
致谢
... 49
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V
TABLE OF CONTENT
CHAPTER 1 INTRODUCTION
... 1
1.1 Research Background ... 1 1.2 Literature Review ... 3 1.2.1 Pricing Method ... 3 1.2.2 Research Abroad ... 4 1.2.3 Domestic Research ... 5 1.3 Contribution ... 6 1.3.1 Volatility Changes ... 7 1.3.2 Jumps ... 8 1.3.3 Numerical Calculation ... 8 1.4 Structure ... 8CHAPTER 2 BACKGROUND KNOWLEDGE
... 10
2.1 Financial Derivatives and Options ... 10
2.2 Asian Option ... 10
2.3 Mean ... 11
2.4 Asian Option’s Price ... 11
2.5 Volatility ... 12
2.6 Jumps ... 13
CHAPTER 3 CHARACTERISTIC FUNCTION METHOD
... 14
3.1 Parameter Settings ... 14
3.2 Fourier Transform and Inverse Transform ... 14
3.3 Extended Transform and Inverse Transform ... 16
3.4 Other Pricing Methods ... 17
CHAPTER 4 ASIAN OPTION PRICING MODEL
... 19
4.1 Model Settings ... 19
4.2 Stochastic Process Settings ... 19
VI
4.3 Equivalent Martingale ... 20
4.4 Pricing Asian call Option ... 21
CHAPTER 5 NUMERICAL CALCULATION
... 25
5.1 Introduction of Numerical Calculation ... 25
5.2 Differential Equations ... 25
5.2.1 Numerical Solution of Differential Equations ... 25
5.2.2 Software Solution ... 26
5.3 Riemann Integral ... 27
5.3.1 Definition of Riemann Integral ... 28
5.3.2 Integral on Infinite Interval ... 28
5.4 Numerical Integration ... 28
5.4.1 Integration of f(v) ... 29
5.4.2 Integration of g(v) ... 31
CHAPTER 6 NUMERICAL SIMULATION AND ANALYSIS
... 33
6.1 Method Comparison ... 33
6.2 Comparison of Results ... 34
6.3 Parameter Settings ... 36
6.4 Effect of Jumps ... 36
6.5 Effect of Jumps’ Intensity ... 38
6.6 Effect of Volatility Changes ... 39
CHAPTER 7 CONCLUSION
... 42
ATTACHMENT
... 44
REFERENCES
... 46
ACKNOWLEDGEMENTS
... 49
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基于特征函数与数值计算的亚式期权定价 1
第一章
引言
亚式期权定价问题是学术界研究讨论的重大问题之一，亚式期权从提出到现 在还没有确定的定价表达式。对此，众多的学者、研究者都提出了自己的见解， 并也就定价问题提出了许多的定价方法。由于标的资产价格的计算是按照约定时 间内的价格算术均值计算，因此我们可以知道亚式期权价格是路径依赖型的，这 使得均值的计算变得更加的复杂困难。针对均值计算的问题，几何均值代替算术 均值的方法和数值计算的方法被许多的学者提出了。该方法在实际的科研中得到 了应用，而且随着计算机的发展，另外的一种计算方法——蒙特卡洛模拟的方法 也逐步为学术界所认可。本章将介绍本文研究的背景，本章中也给出了关于亚式 期权定价的许多研究成果。在此之后简单地介绍了本文的创新以及本文的结构安 排。1.1
研究背景
对金融市场影响深远的资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，简
称CAPM）和套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory，简称APT）的提出，为
金融领域的定价问题的深远发展增添了诸多的辉煌。无论是这些模型的应用，还 是针对这些模型的改进，都促进了金融领域的繁荣发展。随着互联网技术的发展， 信息的传递速度加快，同时，计算机技术的快速进步，使得大量数据的储存成为 可能。大量而准确的实时交易数据提供了市场分析的基础，同时也为复杂数学工 具的使用提供了条件，在这些经典模型的基础之上，金融领域中也逐渐开始应用 复杂的数学工具。数学工具的快速开发与应用使得金融领域得到了更好的与深入 的发展。在计算机飞速发展的同时，许多的计算与论证都可以使用计算机解决， 这使得复杂数学工具的潜力得到了更好的应用。1997 年诺贝尔经济学奖的得主 Black和Scholes于1973年发表的关于亚式期权定价的文章，这使得亚式期权定 价问题进入了人们的视野中，并且这也为亚式期权出现在金融市场提供了理论上 的基础。随后而来的是期权在芝加哥证券交易所中开始交易，这标志着期权开始 进入到了金融市场，为广大的投资者提供了新的金融工具和金融产品。Black和 Scholes 的文章引发了金融研究领域最根本性的创新，同时在资本市场的中心华 尔街引发了资产定价的新一轮的革命，而期权定价和利率模型就身处在革命的中 心，这为金融市场的发展迎来了新的契机。
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基于特征函数与数值计算的亚式期权定价 2 亚式期权是一种重要的期权，也是一种复杂的期权，更是一种在场外市场很 受欢迎的期权。首先在日本东京引进的该种奇异期权，被称为亚式期权。由于亚 式期权的标的资产的价格是一段时间的均值，故而亚式期权又称为平均价格期权。 期权的持有者只能在到期当天执行期权合同是亚式期权与欧式期权的为数不多 的相同点，而且这两种期权有着明显的不同点，不同点在于两种期权到期时所依 据的标的资产的价格不同，一个是当天的价格，另外一个是约定时期内的均价。 这也成为了亚式期权与其他各种金融产品的最大的不同，也是亚式期权定价问题 变得复杂的开始。与路径无关的欧式期权的价值仅仅依赖于到期日的股价，在某 种程度上，这为某些不遵守市场规则的投资者或者投资机构操纵执行时间里的执 行价格提供了可能性。而亚式期权的到期价值却是与路径相关的，使用股价操纵 者要想获利，就得操纵一段时间的股价，这在时间上和资金占有上减少了股价被 操纵的可能性降低。亚式期权路径依赖的特性可以缓解投机行为，使得股价被操 纵的可能性，甚至是杜绝了操纵股价的可能，因此这也使得亚式期权成为许多投 资者所热衷的产品。除此之外，亚式期权也是投资者进行未来风险规避的重要工 具。通过与标准期权相比，亚式期权还有诸多的独到的优点，例如价格便宜、可 以用来对冲风险等实际应用中的优势。复杂的亚式期权具有价值稳定的特性，这 使得许多的投资者信服，加之该期权的价值依赖于约定时期内标的资产价格的平 均值，使得期权的价值比较的稳定，变动性小。复杂的路径依赖性，以及均值的 小波动性，使得亚式期权更加符合追求保值增值的投资者的要求。复杂的社会生 活问题最终都会被拿入到学术界的讨论中，更何况是这种充满挑战的定价问题， 它更是众多研究者想要攀登的高峰，学术上第一次讨论亚式期权的是Boyle and Emanuel(1980)，从此以后，亚式期权走入了学术研究中，亚式期权的定价问题 也逐渐成为众多学者与研究者讨论的重点。
亚式期权在场外交易市场（Over The Counter，简称OTC）上非常流行，它
是场外交易中最受欢迎的新型期权之一，但是在亚式期权的定价理论上却存在着 巨大的困难，为了寻求一个明确的解析表达式，许多的研究者付出了诸多的努力。
Mlivesky and Posner(1998)在他们的研究中提到亚式期权的交易总额达 50 亿到
100亿美金之间，这从数据上肯定了投资者对它的热衷，也对研究者们形成了巨
大的压力。随着经济的全球化，交易市场的完备化，信息传播的完善化，亚式期 权的交易总额将会越来越大。亚式期权如此流行有着许多的原因：第一，亚式期
基于特征函数与数值计算的亚式期权定价 3 权的价值是由约定时间内的标的资产的平均价格所决定，能很好的规避未来可能 的风险，这个特性使得它成为许多投资者所青睐的风险管理工具；其次，约定时 间内的标的资产的平均价格的波动率小于价格的波动率的特性使得亚式期权的 价格基本上低于标准期权的价格，这无疑减低了期权持有者的成本，以及减少的 投资者可能损失的最高额度；第三，任何个人或机构操纵一段时间内的平均价格 的资金成本很大，这使得亚式期权更能够准确的反应市场信息，同时也能维护小 投资者的利益。 亚式期权的研究与应用中的一个为人所关心的并且很是具有价值的问题是 它的准确定价，然而，它的路径依赖的特性使得定价问题变得十分的复杂。众多 的学者与研究者提出了许多的方法，有的研究者用几何分布来近似，有的研究者 用蒙特卡洛（Monte Carlo）模拟，有的研究者用偏微分方程数值解，也有研究者 用特征函数求期权的价格，因此亚式期权的定价依旧是一个重要的研究课题，也 是一个很难的研究课题。
1.2
文献综述
本文的文献综述主要分为三部分。第一部分是介绍针对亚式期权定价的四种 常用的方法，这些方法有几何平均近似算术平均法、蒙特卡洛（Monte Carlo）模 拟法、偏微分方程数值解法、特征函数法，同时在这部分中，我们也介绍了亚式 期权定价发展的趋势。第二部分是国外的研究者针对亚式期权定价的研究成果， 包含了许多的研究方法的创新，许多新的研究成果的推出。第三部分是国内研究 者对亚式期权定价的研究成果，主要包括对模型设定的改进，对标的资产价格变 化的分析。 1.2.1 定价方法 亚式期权的价值主要是由标的资产在一定时期内的价格的算术平均值决定 的，而这个均值的计算却是相当的复杂与困难。在研究亚式期权的定价的历史中， 先后有几种不同的定价方法被提出。第一种是利用几何平均的分布来近似算术平 均：Jarrow and Rudd(1982)，Turnbull and Wakeman(1991)，Levy(1992)，Zhang(1996)。第二种是利用蒙特卡洛（Monte Carlo）模拟：Kemna and Vorst(1990)，Boyle，
Broadie and Glasserman(1997)，Fu，Madan and Wang(1998)。第三种是利用偏微
分方程数值解：Rogers and Shi(1995)。第四种是利用特征函数求期权的价格：
Duffie, Pan and Singleton(2000)，Duffie, Filipovic and Schachermayer(2003)。最近，
基于特征函数与数值计算的亚式期权定价 4 分数布朗运动成为了金融研究领域的热点。分数布朗运动模型能够解决实际市场 所表现出来的长记忆性和自相似性，分数布朗运动模型在许多的实证文中也得到 了支持，有的研究者们利用该模型研究了许多实际问题。作为市场中的宠儿的亚 式期权，分数布朗运动也自然而然的呗引入到了亚式期权的定价过程中。 1.2.2 国外研究成果
在国外的研究中，Kemna and Vorst (1990)改变了波动率和敲定价格，在他们
的文章中，假定价格是一个对数正态分布的随机变量，通过推理与计算，作者提 出了一个几何平均期权的解析解。因为对数正态分布的假设使得在计算标的资产 价格的几何平均值时显得容易的多，几何平均亚式期权的买入和卖出期权的价值 也就能够计算出，从而可以得到一个明确的解析解的计算式。基于近似对数正态
分布的算术平均，Turnbull and Wakeman(1991)提出了平均值的二阶矩阵逼近。
亚式期权的标的资产价格的概率分布是未知的，其在随后的时间的变化也是未知 的，标的资产价格在后面的走势是未知的。然而，算术平均价格的概率分布的一 阶矩、二阶矩在一定的条件下都是可以求出来的。基于一阶矩、二阶矩，该文通 过合理的假设，求得亚式期权的资产价格的概率分布的近似分布，在此基础之上， 作者得到一种近似计算方法。Edmond Levy(1992)在已知一阶矩和二阶矩的基础 上，经过不懈地努力找到了更适合一阶矩和二阶矩的对数正态分布，由几何布朗 运动的算术平均值代替均值对期权的定价作出了自己的贡献。Curran(1992)在几 何调节方法的基础上，提出了一种关于亚式期权标的资产价格的近似算术均值的 定价的方法。通过对每个时间点上的数取自然对数，由自然对数就得到了在几何
分布下的标的资产价格，最后求积分计算。Hull and White (1993) 在二叉树的模
型的每个节点出增加了一条路径，通过运用线性内插法获得了每个结点上的近似
平均值，在此之后作者利用后向折现计算出了期权价格。Rogers and Shi (1995)
将用有限差分法应用在了解亚式期权定价问题上。在他们的文章中，他们通过求 解一个二元抛物线偏微分方程来求亚式期权的价格。在他们的文中，他们利用了 比例缩放的性质，但是这种求偏微分方程的方法只能适用于较低的波动率和较短 的到期时间。如果波动率较大或者到期时间较长，此种求解二元抛物线偏微分方
程的方法将会失效。Chalasani , Jha and Varikooty (1998)针对离散的亚式期权，他
们在二叉树的基础上增加了一个节点，即三叉树，使得资产价格的变化变得更加 的复杂。Tavella 和 Randall(2000)通过用有限差分法在亚式期权的定价问题上做
基于特征函数与数值计算的亚式期权定价
5
出了自己的研究贡献。Thompson(2000)通过改进 Chalasani , Jha and Varikooty
(1998)的三叉树的方法，获得了比先前的结果更加精确的定价解。Zhang(2001) 在
研究中给出了半显示解，但是这是在假定敲定价格式固定价格的时候，在作者的
研究论文中得到了较好的数值结果。但是该文章的美中不足之处在于解表达式的
特征没有被充分利用，没有就特定的区域做出深刻的研究与讨论。Dassios and
Nagaradjasarma (2003)将CIR模型引用到了亚式期权的定价中。Min Dai and Yue Kuen Kwok(2006)研究 了美 式亚 式期 权的 执行 时间 。Caio Almeida and Jose Vicente(2009)将利率期限结构的矢量引用到了亚式期权定价中，作者们通过自己
的推导得出了短期利率期限结构的变化将对亚式期权的价格产生重大的影响。
Tomas Bokes and Daniel Sevcovic(2009)针对边界值进行 Taylor展开，在偏微分方
程的基础上构造有效的数值多项式，对有红利支付的亚式期权进行了讨论。Ning
Cai and S. G. Kou(2010)通过拉普拉斯变化得到了亚式期权的一个封闭形式解，并
证明了在一定条件下，解是唯一的，作者还通过数值计算证实了定价方法是快速
的、稳定的、精确的。Bin Peng and Fei Peng(2012)假定标的资产的价格变化中有
跳跃的存在，通过伊藤过程和动态策略，在已知边界条件的基础上给出了亚式期
权在几何型均值下的表达式，并对算术均值下的期权价进行了模拟。Sudip Ratan
Chandra and Diganta Mukherjee (2013)在假设标的资产价格服从Levy过程下，通
过等鞅变换得到了关于亚式期权的偏微分方程以及形式上的表达式。 1.2.3 国内研究成果 国内对亚式期权做出了许多的研究，党开宇和吴冲锋（2000）经过分析比较 了五种亚式期权的定价方法后得到了一些有用的结论。相比其他四种方法，用蒙 特卡洛（Monte Carlo）模拟所得出的结论十分精确，然而此种方法也有它致命的 弱点，且无法做灵敏度分析，这使得该方法在实际应用中难以推广，同时也无法 进行高效的运算。邵斌和丁娟（2004）运用最近提出的蒙特卡洛（Monte Carlo） 模拟计算美式期权的方法在GARCH模型中求美式亚式期权的价格，将求得的结 果与其他方法相比后，发现该方法有着诸多的优势，该方法提高了精度，同时也 具有使用简便与实用的特点。姚落根，王雄，杨向群（2004）将Vasicek利率模 型引入到了几何亚式期权的定价，在该文中，作者采作者将连续时间的情形作为 参考，得到一个重要的平价关系。马俊海和张维（2005）利用各种统计的手段与 方法研究了亚式期权的定价，在文章中，他们提出了一种有效的蒙特卡洛(Monte
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基于特征函数与数值计算的亚式期权定价 6 Carlo)模拟的方差减少技术，而且作者也进行了实证模拟分析。孙彦和王子亭 （2008）研究了亚式期权与其他期权之间的相互关系。他们的文章中，一维偏微 分方程被应用到了亚式期权的价格求解中，通过数值计算的技术，他们得到了微 分方程的数值解，进而通过计算得到了期权的定价解。罗付岩和贾贞（2008）在 利用NIG-Levy过程后，通过对标的资产价格的对数收益做出了一些必要的假设 获得了一些有用的结论，在他们的研究过程中，作者创新性地构建和计算等价鞅 测度，然后作者通过计算机技术来寻求定价解。刘国祥，陈波，翁琴（2011）针 对B-S的推广给出了亚式期权的定价。刘兆鹏，张增林（2011）讨论了遵循O-U 过程的几何型亚式期权的定价。王红娜（2012）在跳跃强度λ充分大的前提下， 研究了几何平均亚式期权的平价关系。任芳玲，乔克林（2012）针对幂型几何亚 式期权研究了微分方程的定价过程，文中假定允许卖空、无套利、无税收、交易 连续，在存在连续红利的情况下，利用求解偏微分方程的过程间接的展示了幂型 几何亚式期权的定价过程。赵攀（2013）在支付红利的 O-U 过程下研究了亚式 期权的定价。沈明轩，何朝林（2013）研究了分数布朗运动环境中几何平均亚式 期权的定价，在文中，作者假设股票价格受分数布朗运动驱动下，利用拟条件期 望的方法，得到了浮动执行价格的几何平均亚式期权，推广了传统的期权定价。 分数布朗运动模型在金融数学中的应用，解决了传统布朗运动模型无法解释实际 市场所表现出来的长记忆性和自相似性，使得分数布朗运动模型得到了实证的支 持。
1.3
本文创新
本文创新共有三点，第一点，在对亚式期权定价的过程中，假定波动率的变 化具有时变性。在众多的亚式期权的定价研究的文献研究中，大多都只是针对标 的资产的价格本身变化做出了研究，并没有考虑波动率的变化。资产的定价问题 带动了对金融市场波动性的大量研究，在过去的研究中，无论是资产收益率的预 测、事件分析，还是资产定价理论，基本上都是建立在线性模型基础上的。然而 实际中线性模型的假设都太过单调，而且都是与实际生活中的结论背道而驰的， 此时我们的研究就更不应该采用缺乏准确性和科学性的线性假设了，而是要寻求 更加复杂与更能反映实际生活的模型假设。大量的市场风险研究表明资产价格波 动呈现集聚性，而方差具有时变性。本文基于这些研究的结果与实际生活中的数 据分析，我们假定波动率是时变的。第二点，在标的资产价格变化的假设中，为厦门大学博硕士论文摘要库
基于特征函数与数值计算的亚式期权定价 7 了更好的反映价格的变化，我们将跳跃项加入了模型的设定中，这使得模型的设 定更能符合实际生活的状况。由于实际生活中存在许多的随机因素，在模型定价 等研究中，将这些不确定的因素统称为跳跃，研究跳跃的文献有很多，但是在亚 式期权的定价中却是很少见，因此，本文在亚式期权的定价中引入了跳跃，最终 基于特征函数法给出了一个定价表达式。第三点，本文通过数值计算的方法讨论 了期权价格与多种因素的变化关系。文中通过数值计算的方法，运用 Matlab 软
件给出了亚式期权的价格，比较了文中方法所得到的结果与Roger and Shi(1995)，
Thompson(2000), Jin E.Zhang(2001)给出的结果，并且本文还讨论了价格随跳跃水
平的变化趋势，价格随波动率收敛速度的变化趋势。 1.3.1 波动率变化的时变性 Mandelbrot(1963)研究发现股票收益率的改变具有时间上并不是相互独立的， 而且股票价格的改变与收益率的改变有着相关性，如果当期股票价格有着很大的 变化，那么股票价格在后面的变化也很大。Fama(1965)研究指出资产性价格的改 变与收益率的改变具有稳定与易变两个阶段，即资产价格变化在时间上有着集中 的现象，而方差也是随着时间的改变而改变的，并不是恒定不变的。研究中发现
股价呈尖峰(leptokurtic)及厚尾(fatter tails)分布，而且股价变动亦不具有独立性，
也就是股票报酬率的波动率会随时间而变化，经常出现大波动伴随着大波动，而 小波动伴随着小波动的波动率聚类(Volatility Clustering)现象。我国股市经过了许 多年的健康发展，成长速度相当的快，但是，我国的股票市场仍是处于不成熟的 阶段，市场上表现出了信息的传播速度慢，各种不确定的因素影响着投资者的决 策，市场上的风险比较多。许多的研究中对股市波动性做了经验分析。随着计量 经济学的发展，许多的计量模型被提出，原有的计量模型也得到的改进，大量的 非线性模型在经济分析中找到了应用的机会。在这计算机技术的快速发展的时代， 大数据的处理，大型的运算都成为了可能，甚至是已经得到了实际的应用。计量 模型的改进，计算机技术的高速发展，使得非线性模型在金融研究中成为了可能， 而且非线性模型的优点也逐渐的显现出来，并且在理论界和金融界得到高度的认 可。由此可以看出，传统的计量经济学模型中经典的独立同方差的假定已不能够 满足科研的需要，它也不能更好的反应出市场的运行规则，如今，许多的科研者 都转向了异方差假设的计量模型，并在此基础上开始不断的提出了新的模型，新
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