The end-graph approach to solving problems of the dynamics of beam structures

УДК 624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

КОНЕЧНО

-

ГРАФОВЫЙ

ПОДХОД

К

РЕШЕНИЮ

ЗАДАЧ

ДИНАМИКИ

СТЕРЖНЕВЫХ

КОНСТРУКЦИЙ

Наосновілінійноїтеоріїграфів, методапочатковихпараметрівтаасоційованихматрицьзапропонований універсальнийаналітичнийпідхіддорозрахункувільнихтавимушенихколиваньстрижневихконструкцій.

Показана формальна однозначна відповідність між структурою конструкції та структурою рівнянь, що отримані. Досліджені особливості представлення графу для моделювання сумісних коливань стрижневих систем.

На основе линейной теории графов, метода начальных параметров и ассоциированных матриц предложен универсальный аналитический подход к расчету свободных и вынужденных колебаний стержневыхконструкций. Показаноформальноеоднозначноесоответствие междуструктуройконструкции и структуройполучаемых уравнений. Исследованы особенности представления графа для моделирования совместныхколебанийстержневыхсистем.

On the basis of a linear graph theory, a method of initial parameters and associated matrices the universal ana-lytical approach to calculation of free and forced vibrations of rod constructions is offered. A formal one-to-one cor-respondence between the structure of a construction and the structure of obtained equations is shown. Features of representation of the graph for modeling of joint vibrations of rod systems are researched.

Методы, используемыевтеорииграфов, яв

-ляются эффективнымсредством формализации современныхинженерных задач, возникающих при изучении сложных механических систем.

Так, бинарные отношения между различными подсистемами удобно выражать графами, а их описаниепроводитьспомощьютеорииматриц.

В этой связи представляет интерес исследова

-ние колебаний стержневых конструкций с по

-мощью математических моделей, основанных натеорииграфов.

К настоящему времени имеется множество публикаций, посвященных приложениям ли

-нейной теории графов к различным техниче

-ским областям, например [1–5]. Применение топологических методов, элементов булевой алгебры, электромеханических аналогий при

-веденывработах [6–9]. Взадачах статики гра

-фыиспользовалиавторы [4, 10, 11], динамики – [3, 12, 13]. Наиболееполныйобзорприменения связныхграфовможнонайтив [14].

Целью данной статьи является построение конечно-графовых моделей для расчета сво

-бодныхивынужденныхколебанийстержневых системсраспределеннымипараметрами.

Рассмотрим вначале свободные колебания одиночногопризматического стержня постоян

-ного сечения с одним заделанным и другим свободным концами (рис. 1). В последующем такой стержень будем называть оригиналь-

ным [10].

Рис. 1. Оригинальныйконсольныйстержень

Представим каждый из видов колебаний стержня связным графом G=

(

V, E

)

, который

состоит из множества вершин, включающих подмножества v_i, v_j (i, 1j= , 2 , …, n), обо

-значающих начальные (НП) и концевые (КП)

граничные параметры стержня, и ориентиро

-ванных дуг e_s, направленных от однойверши

-ныкдругой.

Рис. 2. Связныеграфы G_x (G_ϕ) и G_y (G_z)

Нарис. 2 представленыграфыввидеобрат

(рис. 2,а), атакже изгибные (поперечные) коле

-бания (рис. 2,б). Следуя [15], каждая вершина

i

v , v_j может принимать либо фиксированное

значение (0 ), либо произвольное (1). Таким образом, совокупностьсостояний n граничных

параметров одного конца стержня выражается булевой функцией двух переменных для G_x,

G_ϕ и четырех переменных для G_y, G_z. Соот

-ветственно, входные последовательности для

НП

v , v_КП могутбыть реализованына множест

-вах

{ }

0,1 – для G_x, G_ϕ и

{

0,0,1,1 –

}

для G_y,

z

G . Вершины v_x (v_ϕ) и v_y (v_z) образуют то

-пологический код графа G [16] и состоят из

наборакодовНПиКПстержня.

Задаваясьграничными условиямидля одно

-родныхстержней [15, 17], можно составитьто

-пологическийкодграфа G из одинаковогоко

-личества произвольных и фиксированных параметров. К примеру, для консольного стержня (рис. 1) графы G_x (G_ϕ) и G_y (G_z) бу

-дутиметьвид (рис. 3).

Рис. 3. Графыдляконсольногостержня

При изгибно-продольных колебаниях стержня (изгиб в плоскости xy) количество

начальных и концевых граничных параметров будетравно шести: перемещения u_x, u_y вдоль

осей x, y соответственно, уголповоротасече

-ния ϕ_z, изгибающиймомент M_z, поперечнаяи

продольная силы N_y, N_x. Следовательно,

вершины v_i, v_j будут соответствовать пара

-метрам

{

u u_x, ,_y ϕ_z,M_z,N_y,N_x

}

. Аналогично,

при изгибно-крутильных колебаниях стержня

(изгиб в плоскости xz) параметры будут сле

-дующими –

{

ϕ_x, ,u_z ϕ_y,M_y,N M_z, _x

}

. Графы G_x,

G_ϕ и G_y, G_z можно рассматривать как связ

-ные подграфы графов GL и GT, характери

-зующих продольные (крутильные) и изгибные

(поперечные) колебания. Графы GL (GT) для

совместных изгибно-продольных (изгибно

-крутильных) колебанийпредставленынарис. 4.

Рис. 4. Графы GL, GT длясовместных

колебанийстержня

Для рассмотренного выше примера (рис. 1)

кодНПбудетсостоятьиз набора 000111 , КП – 111000 . Топологический код графа GL (GT ),

соответствующий вершине v_xy (v_ϕz), равен 000111 –111000 .

В случае пространственных колебаний входные параметрыстержня будутпредставле

-ны n переменными для НП и n – для КП (n=12): перемещениями в направлении осей x, y, z – u_x, u_y, u_z, угламиповоротасечения

x

ϕ , ϕ_y, ϕ_z, внутреннимимоментами M_x, M_y,

z

M и силами N_x, N_y, N_z. Общее число вер

-шин v_i, v_j и, следовательно, входных пере

-менных, будет равно 24 . Соответствующий граф GR изображеннарис. 5.

Рис. 5. ГрафGR дляпространственных

колебанийстержня

Графы GR, GL и GT можнопредставитьв

более простойформе путемудаления смежных ребер, входящихввершины v_НП, v_КП, ивклю

-чением в них вершин ( _Нx

v , v_Нy, v_Нz, v_Нϕ) и (v_Кx,

К

y

v , v_Кz, v_Кϕ). Такаямодельстержняболееблиз

-ко подходит его физическому изображению

Рис. 6. Ориентированныйграф GR

Полустепени исхода d+

( )

v_i , d+

( )

v_j вер

-шин v_i, v_j, а также d+

( )

v_НП , d+

( )

v_КП полу

-ченныхориентированныхграфов (рис. 6) равны единице, а полустепени захода d−

( )

v_НП ,

( )

КП

d− v вершин v_НП, v_КП – равны n. Верши

-ны v_x (v_ϕ), v_y (v_z), v_xy (v_ϕz), v_xyz имеют ну

-левуюполустепеньисхода иявляютсяточками сочлененияграфа G.

Набор входных переменных для НП (КП)

графа GR можно представитьследующей схе

-мой (рис. 7). Верхняя часть схемы содержит кинематические (К), а нижняя – силовые (С)

входныепараметры.

Рис. 7. Входныепараметрыграфа GR

Последующее преобразование графа G по

-лучается в результате снятия ориентации с дуг ориентированных графов (рис. 2, 6). При этом несложно заметить (рис. 2,а), что последова

-тельные ребра e=

(

v_НП,v_x

)

и e=

(

v v_x, _КП

)

, ин

-цидентные вершине v_x (v_ϕ), можно заменить

однимребром e_x (e_ϕ)=(v_НП,v_КП), удалив вер

-шину v_x (v_ϕ). Врезультате такогослиянияпо

-следовательности [2] ребро e_x (e_ϕ) будетнести

полную информацию о топологическом коде графа G_x (G_ϕ). Аналогичным образом посту

-паем и для графов G_y (G_z), GL (GT) и GR,

которые также будут простыми связными гра

-фами (рис. 8), топологически эквивалентными графам (рис. 2, 6).

Полученные для отдельных видов колеба

-ний графы отличаются только количеством вершин v_i, v_j исмежныхребер e_i, e_j, чтодает

возможность использовать их в различных со

-четанияхпримоделированиисовместныхколе

-баний стержня. Степени вершин v_i, v_j, обо

-значаемые как d v

( )

_i , d v

( )

_j , равны единице, а

вершин v_НП, v_КП –

(

n+1

)

. Соответственно

порядок графов, представленных на рис. 8, ра

-вен 2

(

n+1

)

. В общем случае граф G на

(

)

2 n+1 вершинах и 2n+1 ребрах имеет одну

компоненту k=1. Поэтому ранг ρ

( )

G графа G будет равен числу ребер 2n+1, а циклома

-тическое число µ

( )

G =0. Все графы являются

связными ациклическими графами и имеют формудерева [2].

Рис. 8. Неориентированныйграф GR

Для каждого из графов G=

(

V E,

)

можно

выполнить двудольное разбиение с разделени

-ем множествавершин V на два подмножества X , Y , включающиеначальныеиконцевые па

-раметрыстержня

НП 1

n

i i

X v v

=

=

∑

+ ; _КП

1 n

j j

Y v v

=

=

∑

+ . (1)

Ребра e_i, e_j (i, 1j= , 2 , …, n) вдвудоль

-номграфе G=

(

X Y E, ,

)

являются независимы

-ми и образуют максимальное паросочетание

M вграфах G_x, G_ϕ, G_y, G_z. Числопаросоче

-тания α

( )

G графа G равно 2n. Вершины v_i,

j

v являютсяконцевымии насыщенными, а па

-росочетание M – полнымпаросочетанием X с Y .

Определим матрицу достижимости

ij

M = ⎣ ⎦⎡ ⎤a графа G на n вершинах v_i и n вер

-шинах v_j как n n×

( )

0,1 -матрицу, имеющую

матрицы MбудутсоответствоватьНПстержня

свершинами v_i∈X , астолбцы – КПстержняс

вершинами v_j∈Y . Тогдаэлементы a_ij опреде

-ляютсяследующимобразом:

( )

( )

1, если , ;

0, если , .

i j

ij

i j

v v E

a

v v E

⎧ _∈

⎪ = ⎨

∉ ⎪⎩

Другимисловами, каждый элемент a_ij мат

-рицы M равен 1 при условии, чтосуществует

ориентированный путь из вершины v_i в вер

-шину v_j.

Так, матрицы M_x, M_ϕ и M_y, M_z графов

x

G , G_ϕ и G_y, G_z будут матрицами второго и

четвертого порядков с единичными элемента

-ми. Для графов GL, GT соответствующие

матрицы M_GL, M_GT примутвид:

(2)

где 1 2 3 4 5 6

x y z z y x

v v v v v v

X

N N M u u

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ _ϕ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭ для гра

-фа GL и

1 2 3 4 5 6

x z y y z x

v v v v v v

X

M N M u

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ _{ϕ ϕ} ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭ для гра-

фа GT.

Паросочетание графа GL состоит из двух

паросочетаний M_x, M_y исодержиткомпонен

-ты двух видов – для продольных и изгибных колебаний

GL x y

M =M ⊕M , (3)

где M_x =

{

e_Н1,e_Н6,e_К1,e_К6

}

,

{

Н2, Н3, Н4, Н5, К2, К3, К4, К5

}

y

M = e e e e e e e e .

Соответственно дляграфа GT можно запи

-сать

GT z

M =M_ϕ⊕M . (4)

Кольцеваясумма графов G_x, G_y и G_ϕ, G_z

представляетсобойграфы GL и GT (рис. 9)

x y

G ⊕G =GL; G_ϕ+G_z =GT. (5)

Рис. 9. Ориентированныеграфы GL и GT

Если представить величины v_i, v_j как ком

-поненты векторов V_НП, V_КП, то матрицу M

можнорассматриватькак матрицувлиянияили переходную матрицу [18, 19], котораяпреобра

-зует параметры оригинальногостержня всече

-нии x=0 (рис. 1) впараметрывсечении x=l.

В этомслучае каждыйненулевой элемент мат

-рицы M будет иметь свой вес ω_ij, выражае

-мый определенными функциями из уравнений метода начальных параметров в матричной форме

( )

( )

, если , ;

0, если , .

ij i j

ij

i j

v v E

a

v v E

⎧ω ∈

⎪ = ⎨

∉

⎪⎩ (5)

Значения ω_ij соответствуют элементаммат

-рицы влияния [19, 20], а зависимость между граничными НПиКПстержнявсечениях 0 , 1 (рис. 1) определяетсявыражением

1 1 0

V =M V . (6)

Таким образом, переменная, соответствую

-щая вершине v_j, равна сумме произведений

весов дуг, которые заходят ввершину v_j и пе

-ременных, соответствующих вершинам v_i, из

которыхэтидугиисходят.

Рассмотрим цепочку стержней с кусочно

-постоянными характеристиками ввиде логиче

-скойсхемы (рис. 10):

Рис. 10. Одномернаястержневаясистема

Тогда зависимость между граничными па

-раметрами иихзначениямивсечении p пред

-ставляетсяспомощьюцепочкиматриц [17, 18]:

1 1 0

p p p

Следуетзаметить, чтопутьотоднойверши

-ны к другойможет быть необязательно ориен

-тированным от 0 к p. Возможна и обратная

ориентация с учетом принятой системы коор

-динат и перемены знаков в элементах матри-

цы M. Поэтому, если между любыми смеж

-нымивершинамирасположить подвепротиво

-положноориентированныедуги, томожнорас

-сматривать граф G как неориентированный

граф, представляющийсимметричноебинарное отношение R ввиде v Rv_{i j} и v Rv_{j i}.

Нарис. 11 представленпланарный граф GR

и двойственный ему граф GR*. Принцип тео

-ретической двойственности используемых гра

-фов [10] позволяет более детальноисследовать ихструктуру, исходяизподпространствциклов иразрезовграфа G.

Рис. 11. Планарныйидвойственныйграфы

Матрица достижимости M_GR графа GR

имеетпорядок n=12 иопределяетсямножест

-вом параметров 1 2 3 4 5

x x y z z

v v v v v

X

N M N M N

⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩

6 7 8 9 10 11 12

y y z z y x x

v v v v v v v

M u u u

⎫⎪ ⎬

ϕ ϕ ϕ _⎪⎭.

(8)

или, в сокращенной форме, через компоненты

x

M , M_ϕ, M_y, M_z и M_GL, M_GT

GR x y z

M =M ⊕M_ϕ⊕M ⊕M ; (9)

GR GL GT

M =M ⊕M . (10)

Соответствующая матрице M_GR функцио

-нальная матрица влияния M_в приведена в ра

-боте [15]. Этиматрицыпримечательнытем, что они дают базовое описание всех величин, ха

-рактеризующих поведение колеблющегося стержня, из которого получаются другие опи

-сания для отдельных видов колебаний путем удаления некоторых строк и столбцов матриц

GR

M , M_в.

Связные подграфы G_x, G_ϕ, G_y, G_z будут

являться основными компонентами графа GR,

длякоторогоможнозаписать

x y z

GR=G ⊕G_ϕ⊕G ⊕G , (11)

или

GR=GL⊕GT. (12)

Также отметим, что графы GL и GT (рис. 9) будут нести параллельные (цикличе

-ские) ребра e_x, e_y и e_ϕ, e_z, которые могут

быть заменены одним ребром e_xy и e_ϕz. Соот

-ветственно для графа GR (рис. 11,а) парал

-лельные ребра e_x, e_y, e_z, e_ϕ можно заменить

одним ребром e_xyz, инцидентным вершинам

НП

v , v_КП. Ивтомидругом случаеприходимк

графу, представленномунарис. 8.

Следующим шагом являетсяпостроение ал

-горитма определения топологического кода графа G и его идентификация с помощью ас

-социированныхматриц. Каждыйэлемент такой матрицы является выражением частотного оп

-ределителя стержня при определенных вход

-ных параметрах v_i, v_j. Соответствующие оп

-ределители состоят из миноров порядка

/ 2

k=n , порождаемых матрицей влияния на

-чальных параметров M_в порядка n. Дляграфа GR k=6; GL, GT k=3; G_y, G_z k=2; G_x,

G_ϕ k=1. Возможные комбинации кодов на

Ассоциированная блочная матрица M_xyz для

пространственных колебаний стержня состоит из четырех подматриц, описывающих отдель

-ные виды колебаний стержня, соответствую

-щихкомпонентамграфа GR ивершинам двой

-ственного графа GR*, который является

удобным графическим представлением потока переменных в системе. При построении струк

-туры матрицы M_xyz использовался каскадный

алгоритм формирования ееблоков икодирова

-ния состояний. Полученные матрицы кодов,

ассоциированные матрицы, а также методика их использования для расчета свободных про

-странственных колебаний стержневых систем приведенывработе [15].

Для решения системы n неоднородных ли

-нейных алгебраических уравнений с n неиз

-вестныминачальнымипараметрами x_m (m=1, 2 , …, n), описывающих вынужденные коле

-бания стержневой системы, можно применить теоретико-графовый метод, предложенный

Коутсом и Мэзоном [2]. Однако, вместо ис

-пользуемых ими матриц смежности удобнее сразужеперейти черезматрицыдостижимости и влияния к ассоциированным матрицам с по

-следующим определением значений x_m по

правилуКрамера [22].

/

m zm z

x =D D , (13)

где D_z = a_im1n – определитель системы уравне

-ний

1 n

im m i

m

a x b

=

=

∑

, 1i= , 2 , …, n, составлен

-ныйиз коэффициентов левой части; D_zm – оп

-ределитель, получаемый из D_z заменой

элементов a_1m, a_2m, …, a_nm m-го столбца,

соответствующего определяемому неизвестно

-му, свободнымичленами b₁, b₂, …, b_n, или

1 n

zm im i

i

D A b

=

=

∑

, (14)

где A_im – алгебраическоедополнение элемента

im

a вопределителе D_z.

Использование ассоциированных матриц позволяет значительно упростить процедуру формирования выражений D_z и D_zm. Так, для

цепной стержневой системы (рис. 10) при пе

-риодическом внешнем воздействии выражение

(13) можнопредставитьвследующемвиде:

1

1 2 1

1 2 p

k p

k

k p

k p

k

W T W

x

V M V

−

= −

=

=

∏

∏

, (15)

где V₁, M_k, V_p и W₁, T_k, W_p – ассоциирован

-ные матрицы участков-стержней, характери

-зующих свободные и вынужденные колебания системысоответственно.

В целом, структура графов, моделирующих вынужденные колебания стержня, остается без изменений. Отличие заключается только лишь в кодах граничных параметров, которые нахо

-дятся в состоянии силового или кинематиче

-ского возмущения и параметров, которые под

-лежат вычислению. Такие параметры могут быть выражены функцией в виде двузначного предиката [6]. Если задано какое-либо возму

-щение в сечении стержня k, то предикат

( )

k

F x принимает значение 1, если возмуще

-ния нет – значение 0 . И наоборот – для пара

-метра, который подлежит вычислению, преди

-кат F x

( )

_k принимаетзначение 0 , еслинет – 1.

В этом случае возможные комбинации кодов граничных условий на каждом из концов стержня могут содержать различное число фиксированных и произвольных параметров.

Следовательно, входные последовательности НП, КПстержнямогутбытьтакжереализованы на множествах

{

0,0,0,1 ,

}

{

1,1,1,0

}

для графов

y

G , G_z и

{ }

0,1 – для G_x, G_ϕ. Следовательно,

элементы ассоциированных матриц, соответст

-вующихтопологическомукодуграфа G, будут

состоять из определителей миноров матрицы

в

M , имеющих порядок k=8 для графа GR;

4

k= – для GL, GT; k=3 – для G_y, G_z и

1

k= – для G_x, G_ϕ. Полученнаятакимобразом

блочная ассоциированная матрица R_xyz и ее

подматрицыприведенывработе [21].

В заключение, можно сделать вывод о ши

-рокихперспективахпредставлениястержневых конструкцийспомощьюматематическихмоде

-лей, основанных на теории конечных графов.

Сочетаниекомбинаторныхметодовиклассиче

-ских методов строительной механики позволя

-ет формализовать и систематизировать дина

-мический расчет, открывает альтернативную возможность к исследованию поведения таких систем. Следует также отметить высокую эф

информации в терминах теории матриц и ко

-нечныхмножеств.

Вдальнейших исследованияхпредполагает

-ся использовать конечно-графовые модели в динамических расчетах стержневых и балоч

-ных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК 1. БасакерР. Конечныеграфыисети: Пер. сангл. /

Р. Басакер, Т.Саати. – М.: Наука, 1973. – 368 с. 2. СвамиМ. Графы, сетииалгоритмы: Пер. сангл.

/ М. Свами, К. Тхуласираман – М.: Мир, 1984. – 455 с.

3. Maschke B. Geometrical Formulation of Bond Graph Dynamics with Application to Mechanism // J. Franklin Inst., v. 328, N 5-6. − 1991. − P. 723-740.

4. Brown Forbes T. Hamiltonian and Lagrangian bond graphs // J. Franklin Inst., v. 328, N 5-6. − 1991. −

P. 809-831.

5. Karnopp D. An approach to derivative casuality in bond graph models of mechanical systems // J. Franklin Inst., v. 329, N 1. − 1992. − P. 65-75. 6. Рвачев В. Л. Геометрические приложения алге

-брылогики. – К.: Техника, 1967. – 212 с. 7. ЭйхеГ. Н. Особенности структуры уравнений

частотиформустановившихсяколебанийрам

-ных мостов и других плоских ортогональных стержневых систем // Вопросы статикиидина

-микимостов: Межвуз. сб. науч. тр. – Д.: ДИИТ, 1987. – С. 83-94.

8. Shai O. Design Through Common Graph Represen-tations // Proc. of DETC’03 ASME 2003 Design Engin. Tech. Conf. – Chicago, Illinois, USA, 2003. – 10 pp.

9. Бобыльченко В. Ю. Определение собственных колебаний балокссосредоточенными регуляр

-ными массами методом электромеханических аналогий / В. Ю. Бобыльченко, П. М. Чеголин //

Рост. гос. акад. стр-ва, 1996. – 12 с.; Деп. в ВИНИТИ 09.08.96, № 2652-В96.

10. Ta’aseh N., Shai O. Graph theoretical duality per-spective on conjugate structures and its applica-tions // Eur. J. Mech. A, 2005. – 24, N 6. – P. 974-986.

11. Филин А. П. Алгоритмы построения разреша

-ющихуравнениймеханикистержневыхсистем. – Л.: Стройиздат, 1983. – 232 с.

12. Watanuki Kelichi. Automatic generation of equations of motion for mechanical system using linear graph theory. Application to mechanical vibration systems / Kelichi Watanuki, Hideyuki Ohtaki // Nihon kikai gakkai ronbunshu. C. = Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C., 1993. – 59, N 562. – P. 1960-1965.

13. McPhee J. J. On the Use of Linear Graph Theory in Multibody System Dynamics // Nonlinear Dynam-ics, 9. – 1996. – P. 73-90.

14. Montbrun-Di Filippo J. A survey of bond graphs: theory, applications and programs / J. Montbrun- Di Filippo, M. Delgrado // J. Franklin Inst., v. 328, N 5-6. – 1991. – P. 565-606.

15. Распопов А. С. Конечно-автоматноемоделиро

-вание пространственных колебаний стержне

-вых и балочных конструкций // Вестник Днеп

-роп. нац. ун-тажел.-дор. тр-та. – Вып. 19. – Д.:

ДНУЖТ, 2007. – С. 125-133.

16. Gheng-Ho Hsu. Topological Code of Graphs / Hsu Gheng-Ho, Lam Kin-Tak // J. Franklin Inst., v. 329. – 1992. – P. 99-109.

17. Ивович В. А. Переходныематрицы вдинамике упругихсистем: Справочник. – М.: Машиност

-роение, 1981. − 183 с.

18. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. – М.: Машиностроение, 1970. – 736 с. 19. Распопов А. С. Изгибно-продольные колебания

стержневых конструкций с распределенными параметрами // Строительство, материаловеде

-ние, машиностроение: Сб. науч. тр. – Вып. 43. –

Д.: ПГАСА, 2007. – С. 413-421.

20. Распопов А. С. Совершенствование расчета из

-гибно-крутильных колебаний неразрезных ба

-локи рам // ВестникДнепроп. нац. ун-тажел

.-дор. тр-та. – Вып. 18. – Д.: ДНУЖТ, 2007. –

С. 161-166.

21. Распопов А. С. Конечно-автоматноемоделиро

-вание вынужденных колебаний недиссипатив

-ных стержневых систем // Опір матеріалів та теоріяспоруд: Наук.-техн. збірка / Київськ. нац.

ун-тбуд. таарх. (КНУБА). – Вип. 67. – К., 2007. 22. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 4-е изд. – М.:

Наука, 1988. – 552 c.