• No results found

Computational Aspects of Quaternionic Polynomials »

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "Computational Aspects of Quaternionic Polynomials »"

Copied!
24
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

��� �����������

®

�������

������������� ������� ��

������������ �����������

���� �� ������������� ����������

��� ���������

�� ����� ������

�������� �������

������� ��������

�� ����� ������

���� ������� ��������� � �������� ��������� ����������� ����� ������������� ���������� �� ��������� ��� �������������

���������� ��� ��������� ������������ ����������������������� ������ �� ��� �������������������������� ����� �� ��������� ��� �������� �� �������������������������������������

������������

���� ����� ���� ��� ���� ��� ������� �� ���� ������� �������� ��� �������� ����������� ������� ������������ ���������� ���������� ����������� ������� ������������ �������� �� ���� ��� �������� ����� ����� ������� �� ������� ��������� ��� �������� ���������� �� ����������������� ��������� ���� ����� ��� ��� ���� �������� �� �������� �� ��� ���� ��� ��������� ��� ��������� ��������� ����� ������������ ����� ��������� ��� ������� ���� ������������������� ���������� ����� � ���� ��� ������������������ ��������� ����� ����� ��� ������� ��� �������� ������� ���� ���� ���� ��������� ��� �������� �� ��� ������� ������� ������� ���� ���� ��� ��� ������� ����������

���� ����� ���� ������� ��� ������ �� ��������� ����� ���������� �� ��� ���� ���� ��� ���� ��������� �� ��� ������� �� ��� ���� �� ������������ ����������� �������� ����� ���� ���� ����������� ��� ����������� ��������� ���� ������� �� ������������� ���� ���� �������� �� ��� ���� �� ������������ ������������ ��� ���� ������� �� ��� ������� ������� �� �� �������� ����� ����������� ���������� ����� ��� ��� ������

�� ���� ���� ����� �� ������� ��� ����������� ����� ���������� ������� ��������� ��� �������� ��� ����� �������� �� ��� ���� �� ������������ ������������ ����������� ��������� ��������� �������� ������ ������� ��� �� ��� � ���� ������� �� ����������� ��� ������� ���������� �� ���� ������ �� ���� ��� ������ ����� �� ����� ����� �� ���� ������� ������������ ������ ���� �������������� ������� ��� ���������� ���� �� ��� ������� ����� ����������

(2)

��� ������������������ ������� ��� ��� ������� ��

���� �����������

�� ����� ��� ����� ������������� ������� ����� �������� ���������� ��� ������������ ����� ��� ������� �� ��� ����

=�+++���� ∈ �

����� ��� ��������� ������� ���������� ��� �������������� �����

= ==� � �= -��

���� �������������� ������� ��������� ��� ���������� ������� �� ���� ������������ ������� ������� ��ℍ�

��������� �

�� ������� ���� ��� ������� ������� ������ �� ���� ���� �� ��

��(�) =�� �� ������ ���� �� ��

���(�) =���+��+���� �� ��������� �� ��

=-�-�-��� �� ���� �� ��

|||| = � � = � � = ��+��+��+���

��� �������� ������� ����������� ���� ����� �� ����� ������ ������ ������ ��� ��� ����������� ����������������������� ����� ������� ��� ��������� ���������� ��������� ��� ��������� ��� ���������� ������� ����� ���������������� ������������� �������������� ��� ������������ �� ������������ � ���������� �� �� ������ �� ��� ���� ����������[��� ��� ��� ��] ��� ���� ���� ���� ������� ������ �������� ���� ��� �������� ��� �������� �������� �� �� �������� ����������

��� �������� ������� ������������������ ������ ��� ��� �� �������� �������� �������� ���� ��� ������� ��������� ���� �������� ��� ������������������ ������� ���� ������������� �� ��� ��������� ���������� ����� ������ ������� ������ ��� ����������������������������������������� �� ������ ���������� ���� �� ��� ���������� ��������� ������ �� ��� ������� �� ���� �������� �� ������ ���� ��� ������� ��������������������� ���� ����������

�����[���������������������]

������������������ ����������� ������ �� ��� ��{��� ��� ��� ��}�

����� ��� ��� ��������� ������

��=����������[�� �� �� �]� ��=����������[�� �� �� �]� ��=����������[�� �� �� �]�

(3)

����� ��� ��� �������������� ������

��**��

����������[-�� �� �� �]

��**��**��

����������[-�� �� �� �]

���� ��� ��� ����������� ���� �������� ������� ��� ����� ��������

�=����������[��� ��� ��� ��]� �=����������[��� ��� ��� ��]� �**�

����������[�� ��-�� ��-�� ��-�� ��� �� ��+�� ��-�� ��+�� ��� �� ��+�� ��+�� ��-�� ��� �� ��-�� ��+�� ��+�� ��]

��� ������� �� ���������������

�**

����������[�� ��-�� ��-�� ��-�� ��� �� ��+�� ��+�� ��-�� ��� �� ��-�� ��+�� ��+�� ��� �� ��+�� ��-�� ��+�� ��]

�**�-�**�

����������[�� -� �� ��+� �� ��� � �� ��-� �� ��� -� �� ��+� �� ��]

���� ��� ���� ����� ����������

��[�]

��

���[�]

����������[�� ��� ��� ��]

��[�] +���[�]

����������[��� ��� ��� ��]

���������[�] //��������������� ��-�� -�� -��

��� �������� ������ ����� ��� �������� �� ����������� ������� ��� ��� �� �� �������� ������� ��� ������������ ����� ����� ���� ��� ����������� ���� ������� ��������

�����[����������[�� �� �� �]� �]

����������[-�� �� �� �]

������������������ �������� � ��������� �������������� �� ��� ����� ���������

������� ����� �� ��������� �������� � ���������� ��� �������� ��������

������[�� �]

���������� ���-���-���-���� � �� ��� � �� ��� � �� ��

(4)

�� ����� ��� ������ �� ��� ������� ������������� ��� ���� ������� �� ��� ��� ��������� �������� �� ��� ��������

� �������������������*

�������������������

AbsVec Pk Tks

CauchyRiemannL PolarForm ToComplexLike

CauchyRiemannR PureQuaternionQ Vec

Ck QPower W

ComplexLike QuaternionToComplex X

ComplexToQuaternion QuaternionToComplexMatrix X0

DiracL QuaternionToMatrixL X1

DiracR QuaternionToMatrixR X2

Laplace R X3

Le�MonogenicQ RightMonogenicQ $CoordinatesList

MonogenicQ SetCoordinates $Dim

Paravector SymmetricProduct

������������ ������������ �����������

�� ����� ��� �� ��� ������������ ��� ������ ���������� ��� ����

() =����+��-���-�+ … ++����≠�� (�) ����� ��� �������������∈ ℍ��� �� ��� ���� �� ��� ������� ������ ��ℍ[]��� ��� �� ������� ����� �� ��� ���� ���� ������� �������� ��� �������������� �� �� ��� ����������� ���� ��� �������� ��� ���������������� ���� ��� ������������ ���� �� � ����� �������� �� �� ��� ���� �� ���� ��������� ��� ����������� ������������

���� ������� ���� ��� ��������� ��������� �� ������������ � ���������� () �� ℍ[] �� �� ������ ������ ������� ��� ��� �� ��� �������� ����������� ����� ������� ��� �������� ���� ��()� ������ ���� ������� ��� ��������� ������

����������[�_� �������]�=�

����������[�_����������]�=�

����������[� ��] =��

����������[�������[���������������[�]��]� �__]�=

����������[�]

��� �������������������� �� �� �������� �� � ������ �� ��� ����� ���� �� �� ��� � ������� ������� � ���������� ������ �� � �����������

�������[_]=

�����[���� ����[�] =!= #�/@

{�������� ����������� ����������}]

(5)

��� ����������� �� ℍ[]� ��� ����� ����� ������ ���������������������� ���

��������� �� �� ������� ◼��������

����������/� ����[��_� �������� �_����������]�=

����������@@����@@@���������@�������[{{��}� ����@@�}]

����������/� ����[��_����������� �_����������]�=

����������@@����@@@���������@�������[{{��}� ����@@�}]

����������/� ����[��_����������� ��_����������]�=

����������@@

����@@@���������@�������[{����@@��� ����@@��}]

������� �� � ������

����������/� �����[��_� �������� �_����������]�=

���[��#�� �]

��������������

����������/� ����������������������[��_����������� �_����������]�=���[�� ** #�� �]

����������/� ����������������������[�_����������� ��_����������]�=���[ # **�� �� �]

����������/� ����������������������[��_����������� ��_����������]�=

������[{����=������@��� ����=������@��}� ����������@@

����@@@

���������[

��������[���������[��������

{���������[�����[����������������������� ����@@��� ����@@��]]�

�����[����� ����+����-�]}]]]]

�����

����������/� �����[�_����������� �_������� � ��������]�=

����[����������������������[�� #]�� �� �-�]

������� �

��� ����������� () =+ (+-)+ ��� () =+ (-+) ��� ��

������ ����� ����� ����������� �������������� ���������� ������

��=����������[�� ����������[�� ��-�� �]� ����������[�� �� �� �]]�

��=����������[�� ����������[�� ��-�� �]]�

���� �� ���� ���������� ��ℍ[]�

��+� ��

����������[�� ����������[�� ��-�� �]� ����������[�� ��-�� �]]

(6)

����������[�� �� �� �] **��

����������[����������[�� �� �� �]�

����������[�� �� �� -�]� ����������[-�� ��-�� �]]

��**��

����������[�� ����������[�� ��-�� �]�

����������[-�� �� -�� �]� ����������[-�� �� �� �]]

���

����������[�� ����������[�� ��-�� �]� ����������[-�� �� -�� �]�

����������[-�� �� -�� �]� ����������[-�� �� �� �]� ����������[-�� -�� �� �]� ����������[�� �� �� -�]]

�� ��� ����� ����� ������������ ��������� ������������ ��� ���� ��� ���������� ���� � ����� ������������� ��� ���� ��� ���������� ���� � ����� ����������

��������� �

���� � � ���������� �� �� �������������� � � ����������� �����

� ��������� �� �

() =����+��-���-�+ … ++��

� ��������� ���������� �� �

��() =()() =()()�

� �������������� ���������� �� �

Ψ() = (-) (-) = (-) (-) =�+� ��()+ ||||�

��� ���� ��� ����������� ��� ����������� ���� ��� ��������� ��������� ���

��������������������

����������/� ���������[�_����������]�=���������/@�

�������������������[�_����������]�=�**���������[�]

��� �������� ����������������������������������� ������� � ���������� ���������

���������[������������������������]� ������������������������[_� �������]=

����������[�� -�]� ��

����������/� ������������������������[�_����������]�=

����������[��-�] **����������[�� -���������[�]]

�����������������[������������������������] = {������������������-> {_� _�}}�

�������[������������������������]�

(7)

������� ���� �� � ���������� ���� ���� ������������ ��� ����������� �� ���� ������� ��� �� ���� �������� �� ������ ���� � ���������� ���� ������ ���� ���� �� �����

����������[�_� �� �� �]�=�

������� �

�������� ��� ����������()�� ������� � ��� ��� ����������=�-+

���������@��

����������[�� ����������[�� -�� �� �]� ����������[�� �� �� -�]]

�������������������@��

����������[�� �� �� �� �]

�=����������[�� ��-�� �]

������������������������[�]

����������[�� �� �]

���������� ������������ �����������

��� ���������� ��� �� � ����� ����������α� ������ ��� ��� ����������()����� �� ���� ��

(α) =��α+��-�α-�+ … +�α+�� (�)

�� �� ��� �� ������� ������������� ��() =()() ���� ��� ����� �� �������� ��

(α) =(α)(α)� �� ��� ���� ������� ��������

������� �

��� �() =∑��=����� ��� �() =∑��=����� �� ��� ����������� �� ℍ[] ��� ��������

��� ���������� �() =()()���α ∈ ℍ� ����

� �(α) =∑=����(α)α� �� �� �(α) =�� ���� �(α) =��

� �� �(α)≠�� ���� �(α)=(α)(α)������α=(α)α((α))-�� �� �� �()�� � ���� �������������� �(α) =(α)(α)�

� ��α ∈ ����� �(α)=(α)(α)

�� ������ �� ��� ���� α�� � ���� ��� ����� ��()��(α) =�� �� ��������� ����������� �� ������� � �� ���� ��(α)≠�� ����α�� � ���� ��()�� ��� ���� ��(α)α((α))-��� �

���� ��()�

(8)

� ��������������� �������������� �� �������� ��� ��� �� �������� ������������

����[_����������]=

����@@���������[�����������������������

{����@@�� �������@

��������[�� ��������[(# **�)�� �� ������@�-�]][#]}]�

����[�_����������� �_]�=����[�][�]

�� �� ��� ��������� ����� �� �������� ����� ��� ���������� �� � ���������� ��� ���� �� �������� �� ��� ��� �� �������� ���� ���� ��� ������ ���� �� �������� ��� ��

(α) = ((…(��α+��-�)α+ …)α+�)α+��

��� ��� ������������ ������� �� �������� ���� ��� �� ����������� �������������

����������[�_����������� �_]�=

����[����������������������[#�� �] + #� �� �� �]

������� �

�������� ����� ��� ����������() =+ (+-)+� ��� ������� �� ����������

() �� =�-+ ��� �� ������ ������� ��� �� ��� ��������� ���������� ���������� ������������

����[��� �]

����������[-�� �� -�� �]

����������[��� �]

����������[-�� �� -�� �]

������� �

�� ��� ���������� ���� �� ��� ����������� �� ������� � �� ����������� ��� ������� �����() =-+() =-�-+���() =-� ��� ��� ����������=-

��=����������[�� ����������[��-�� �� �]]� ��=����������[�� ����������[-�� �� -�� �]]� ��=����������[��-�]�

�=����������[�� �� �� -�]�

���=��**���

����[���][�] ===����[��][�] **����[��][�]

�����

����[���][���@�] ===����[��][���@�] **����[��][���@�]

����

���=��**���

����[���][�] ===����[��][�] **����[��][�]

����

(9)

��� ��������� ���������

��� ��� ����������� ���������� �� ���� �������� �� ����� ��� ������ �� ��� ���� ���� ��� ����� ����� �������� ���������� ��ℍ[]��� ����������� �����ℍ[]�� � ��������� ����� ������� ���� ��� ����� �������� ���������� ��� �� ������� ��� ��������� ������� ����� ���� ��������

������� ����������� ��������

�� ��()��� ��()��� ����������� ��ℍ[]������<����≤����� ���� ����� �����

������ �����()� �����()� ������()��� ������()���� ����

�() =����()�() +����() (�)

���

�() =�()�����() +�����()� (�)

�����������≤��������������≤���

�� �� �������� ��������() =�� ����()�� ������ � ����� ������� ��()� ��� �� �� �������� ���� �����() =�� �() �� ������ � ���� ������� �� �()� ���� ������� ���� �������� ����� �������� �� ��� �������� ���������� �� ����������� ���� ��� ���� ��� ����� �������� ��� ������������ ��� ��������������������������� �������� ��� ����� �������� �� ��� ������������ ������������ ��������� � ���� ���� ��� �������� ��� ��������� �� ��� ���������

�������������������[��_����������� ��_� �������]�= {��/��� �}

�������������������[��_����������� ��_����������]�= {��** (/��)� �}

�������������������[��_����������� ��_����������]�=

������[{��� ��=�� ��=��� ������=������@��-������@��}� �����[

����@��===���������� �� ������≥�� ��=����������@@

(��������[{�����@��** (�/�����@��)}� ������+�])� ��=��+���

��=��-��**���

������=������[��] -������[��] ]�

{��� ��}]

������� �

�������� ��� ����������� () =+ (-+-)+++ ��� �() =

-�

���=����������[�� ����������[-�� �� �� -�]� ����������[�� �� �� �]]�

���=����������[�� ����������[�� �� �� -�]]� �������������������[���� ���]

{����������[�� ����������[-�� �� �� �]]� �}

(10)

�����() =��()�� � ����� ������� ��()���() = (-�++) (-�)� �� ��� ����� �����() =-�++���� ��� ������������()���� �� �� � ���� ���������

���=����������[�� ����������[-�� �� �� �]]� �������������������[���� ���]

{����������[�� ����������[�� �� �� -�]]� ����������[�� �� �� �]}

��� �������� ������ ������ �� ����� ������� ���������� �� ��� ����������� ��� ��� �� �������� ����� ��� ��������� ��������� �� � ����� ��������� ������� �� ��� ��� ���� �� ��� ������� �������� ��� �������� ���� ���������� ���� ��������� ��� ��� ���� �� ��� �������� ������ ����� ��������

����[�_� �] = ��

����[�_� �_]�=����[�� ����[�������������������[�� �]]]

����[�_� �_� �__]�=����[����[�� �]� �]

��������������[�_� �_� �___]�=�����������[����[�� �� �]]

����������������� ������ �� ��������

�����������[�] =��

�����������[��_� �������]�= (�/��) **��

�����������[��_����������]�=�

�����������[�_����������]�= (�/�����@�) **�

������� � �����������

����() =��� ����() =��

��������������[���� ���]

����������[�� ����������[�� �� �� -�]]

��� ���� ��������� ��

(

)

������ ���������� ��� ���� ��� ℤ �� � ������������ ���������� � �� ���� �� ��������� ���� ���������

��������� �

�� ��� ���� � ���������� � �� ��������� ��� �������� �� � ���������� � ���� ����� ~�� �� ����� ������ � ������� ���������� � ���� ���� �=� � �-�

(11)

���� �� �� ����������� �������� ��ℍ[]���� ����������ℍ[]���� ���������� �������� ��� ���� ������� ����� ���������� � ����� ������������ ������� ��[]� �� ��� �� ����� ����� ���� ���� ����

[] = {∈ ℍ� ��=����� |||| = ||||}�

���� ������ ����� � ������ ��� �� ���� �� ��� �� ���� ����������� ��� �������� ����������� ���� ��� �����������������

��������[�_����������� �_����������]�=

�����[��@�-��@�] �� �����[����@�-����@�]

��� ���� �� �������� �������� �� ��� ������������ ���������

�����[�_]�=�������������[�� ������→�����������������]

�����[�_����������]�=���@@�����/@�

��=����������[�� �� �� �]� ��=����������[�� �� �� �]� ��=����������[-�� �� �� �]� ��������[��� ��]

����

��������[��� ��]

�����

�� ������� ����[] = {}�� ��� ���� ��∈ � ��� ���������� ����� �� � ������� ����������

=�+++ ��� �� ��������� ���� ��� ����������������� ������ �� ��� ������

�����{(�������)∈ �� �=�}���� ������(�� �� �� �)��� ������ ��+��+�� �

��������� �

� ���� � �� �∈ ℍ[]�� ������ �� �������� ���� �� � ��[]�������� �� ����� ����� �� ���������� � �� ������ � ��������� ���� �� � ��� [] �� �������� �� �� � ������ �� ������

�� ��� �� ������ ���� ���� � ���� ���� �� ��� ��������� ���� ��� ����������� ��[]��� �� ���� ����� �� ���� ������� ��� ��������� ��� ������ �� ��� ���� ��������� �� ��������� ���� ���� �� ���� �� �������� ��������� �� ��� ���������� ���� ����� ��� ������ �������� ������ ����������� ����� ��� �� ����� ������ ���� ������� ��� ��������� ��������

������� ������

��� �∈ ℍ[]���α∈ℍ� ��� ��������� ���������� ��� ����������

� ����� �� ��α�∈[α]���� ���� �(α�) =�

� ��� �������������� ���������� �� α� Ψα� �� � ������� �� ��� ��������� ���������� ���� �

� � ���� �� ���

(12)

������� ������ �����

� ������� ����α�� � ��������� ���� �� �∈ ℍ[] �� ��� ���� �� ��� �� ��� ��������� ���������� ���������� ����

���� ���� ����� �� �

[α]⊂ ℤ

� ��� �������������� ����������Ψα��α�� � ����� ������� �� ����� ������� ������ � ����� ������ �∈ ℍ[]���� ���� �() =()Ψα()

������� �

�� ��� ����� �� ���� ���� ��� ����������

() =+ (-+)++-+

��� � ��������� �����+��� �� �������� ����-�+-

���=����������[�� ����������[�� -�� �� �]� �� ����������[�� -�� �� �]]�

���=����������[�� �� �� �]� ���=����������[-�� �� -�� �]�

�� ���� ������� ���� ���������������� ����� ��

����[���][���]

����[���][���]

��� �� ��� ������� ��� �� �������� ���� ��� ���� ����� ���������� ����� ��� �������

�� ���������

����[���][���������@���]

����[���][���������@���]

����������[�� -�� �� �]

�� ��� ����� ��� ���� ���������� ���� ������� ����

�������������������[���� ������������������������[���]]

{����������[�� ����������[�� -�� �� �]]� �}

�������������������[���� ������������������������[���]]

{����������[�� ����������[-�� -�� �� �]]�

����������[����������[�� ��-�� �]� ����������[�� �� -�� �]]}

(13)

������ ��� ���� ���� �������� ��� ����������� �� ��� ������ �� � ���� ��� �� ���� ����� ��� �������������������

����������[�_����������� �_����������]�=

�����[����[�][�]]�� �����[����[�][���������@�]]

�������� ��� ���� ���������� ��� ����������� ������

����������[���� ���]

����

����������[���� ���]

�����

�� ��� ���� ����� ������� ������ �� ��� ���� ��������

������� �������� ������������� �����

��� �∈ ℍ[] ��� α ∈ ℍ� ����α�� � ���� �� � �� ��� ���� �� ����� ������ �∈ ℍ[]

���� ���� �() =() (-α)�

������� ������������� ������� �� �������������

��� ����������� ���������� ��ℍ[]������ ��� � ���� ��ℍ�

���������

�� ���� �������� �� ������� ��� ������� �� ��������� � ���������� � �� ������ ������ ���� �� �� ��� ��������� ����� �� �� ������ �������� �� ����� � ������������ ���������� �� � ������� �� ������ �������� ������� ��� ���� ������� ����� ������� ��� ��� ������������� ����� �� ��� ���������������� �� �� ��������� ����������� �� �������� � ��� �� ��� ��� ��� ��������� ��������

������� ��������������� ���� ������ �����

��� ����� ���������� � �� ������ �≥� ��ℍ[] ������� ���� ������ ����������� ��

����� ����� �����…���∈ ℍ���� ����

() = (-��) (-��-�) … (-�)� (�)

��������� �

�� � ������������� �� � �� ��� �������� ��� ����������� �����…������ ������ ������

����� �� � ��� ��� �������(����…���) �� ������ � ������ ����� ����� ���������� ���� �

�� ������ � ����� �� ��

�� (����…���) ��� (����…���) ��� ������ ���������� ���� ��� ���� ���������� � ���� �� ��� ���� ��� ������ ��� ������� ��� �����(����…���) ~ (����…���)�

(14)

��� ������������������������������������� � ���������� ���� � ����� ������ ��� ��� ��������������������������� �� ��� ����� ������ ��� ��������

�������������������[����_����]�=

����������������������@@

(����������[�� - #�]�) /@�������[����]

�����[�_����������]�=���@@ (�����/@�)

�������������[��_����� ��_����]�=

�����[�������������������[��] -�������������������[��]]

��� �������� ��� �� ��� ���� ������ ������ ��� ������������� �� ������� ������� �� ����

������� �

���(����…���-�����…���)�� � ����� �� � ���������� �� �� �=��-��-�≠�� ����

(��…�-����-���-��…���) ~ (����…���-�����…�)� ������� � ��� �� ����������� ����� ��� ��������������������

�����������[{��_� ��_}]�=������[{

�= (���������@��-��)}�

��[�����@�� {��� ��}� {(�/�) **��**�� (�/�) **��**�}] ]

�����������[�_����� �_������� � ��������� �_������� � ��������]=������[

{�����=�� ���=������@�� ���}�

��[�>���||�>���� �������[�����������������]�

���=����/@���������[�����[�� �� ����[�-�]]� �� �]� ���[(����[������ #] =�����������[����[������ #]])��

���]]� �����

]

�����������������=������ ��� ��������

������� �

���� ���������� ������ ������� �� ��� �����(�++�-�+++)�

��= {����������[�� �� �� �]� ����������[-�� �� �� �]� ����������[�� �� �� �]}

��=�����������[��� �� �]

���������� �� �� ���

� ���

�� �� �

���������� �� ��

���� ��� ����

��

��� � ���������� -�� � ��

� ��

� �

(15)

��=�����������[��� �� �]

���������� -�� � ��

� ��

-� � �

���������� �� �� ���

�� ���

��

� � ���������� �� �� ���

�� ���

� �

������� ����������������� ������� �������

�������������[��� ��]

����

�������������[��� ��]

����

�� ��������� ���� ����� ��� ����������� ���� ���� ��� ������ ���� ����� �� ��������� �� ������� ��� ��� ��� ������� �� ���� ���� �� ������� �� ���� � �����������

��= {��=����������[�� �� �� �]� ��=����������[�� �� �� �]� ��=����������[�� �� �� �]}�

�����������[��� �� �]

{����������[�� �� �� �]�

����������[�� �� �� �]� ����������[�� �� �� �]}

�����������[��� �� �]

{����������[�� �� �� �]�

����������[�� �� �� �]� ����������[�� �� �� �]}

�������������������[��]

����������[�� ����������[�� -�� -�� -�]� ����������[��-�� ��-�]� -�]

����������[�� -��] **����������[�� -��] **����������[��-��]

����������[�� ����������[�� -�� -�� -�]� ����������[��-�� ��-�]� -�]

����� ������������ ���� �� �� ��� ���������� ���� ��� ���������� - (++) -(-+)-� ������� �������� ��(-) (-) (-)�

��� ���� ����������� ������� ���� ����� �� ��� �������� ������� ������ ����� ��� ����� �� � ������������ �����������

������� ����������

���(����…���)�� � ����� �� ��� ���������� �� ���� ����� ���� �� � �� ������� ��

���� ������ ���� �� �� ��� ����� ��� ����������� ����� ������ ���� �� �� ������� �� ����

���� �� ��

(16)

������� �������� ���� �������������

�������� � ����� (����…���) �� ��� ���������� �� �� ��� ���������� ������� [��]

��� ��������� ���� � ��� ������� � ������ ����� ��� ����� ��

ζ = () ()-�� =��…�=��…�

�����

() = �(- �� �=��

-�) … (-�) ���������� (�)

��� �������� �������������� ���������� ��� ����� �� � ���������� ���� � ���������� ����� �� ��� ���� ����� �� ��� ������� �� ��� ����� ��� ������� ������������ ������ � ������� �� ���� ��������� ���� ��� �����

��������������[����_����]�=������[

{�=������@����� �������=����� �����= {}� ������ ������}� ��[�>������@�����@���[{��@ #� ����@ #}�� ����]�

�������[��������������������]� ���[�=�� �≤�� �++�

�����=����[�������� �]�

������=����[�����][�������〚�〛]�

��������[������ ������**�������〚�〛** (�/������)]�

]� �����

]]

��������������������=

���������� �� ��� ���� ���������� ��������

����[����_� �_]�=������[ {�=������@����}� �����[

�==�� ����������[�]�

�⩵�� ����������[�� -���������@ #]�@@ (����[����� �-�-�])�

�≤��

(����������������������@@

(����������[�� -���������@ #]�/@ (����[����� �-�-�])))

]�

]

������� �

�������� ��� ���������� () = (-+-) (+�) (-�) (+�-+)� ��� �� ��� ������ ��(-�+-� ��-�-+)� ��� �� ������� �� ���� ���� ��� ���������� ������� �� ��� ������ ����� ��� ��� ��������� ���������� �� �������� ���� ������� �� ���� ��� ���� �������� �������� ������ ����� ��� �� �������� ���� ��� ��������� �����

��������������[{����������[-�� �� -�� �]� ��

����������[�� �� �� -�]� ����������[�� �� -�� �]}]

{����������[-�� �� -�� �]� ��

����������[�� �� �� -�]� ����������[�� �� -�� �]}

(17)

�� ��� ����� ����� ��� ���������� () = (-) (+�) (-) ���(�-�) �� ��� �� ��� ������� �����[] = []� ��� ������ ����� ������� �� �� ��� ��� ����� ��

��������������[

��= {����������[�� �� �� �]� ����������[�� �� �� -�]� ����������[�� �� �� �]}]

������������������������ �� ��� ���� ���������� ������

������� ���� ���� ���� ��� ���� ���� ��� ����� ����� ����������

���=�������������������[��]

����������[�� ����������[�� -�� -�� �]� ����������[�� �� �� �]� �]

����[���][�����@��]

����������[���� �����@��]

�����

���� ����� ���� �� ������� ����� �� ���������� ���� ��� ������ �� ��� ������������ �� � ����� ��� ��������� ������� ��������� ���� ����� ������� ����������� ��� ��� ��������� � ������� ���� ������ ���������� ������

������� ���������� ���� ����������

�� ζ��…�ζ ��� ����������� ���� ���� ��� ���������� �������] ��� ��������� ����

����� �� � ������ ���������� � �� ������ � ���� ����� ζ��…�ζ ���� ��� �� �����������

���� ��� �����(����…���)� �����

��= ( ))-�� =��…�

����� ��� ��� �������������

��� �������������������������������� ��� ��������� ��������� �� ������� ���

��������������[����_����]�=������[

{�=������@����� ������� �������� �����=�� ������}� ��[�>������@�����@���[{��@ #� ����@ #}�� ����]�

�������[���������������������]�

������=�����@����� �������= {������}� ���[�=�� �≤�� �++�

�����=����������[�� -������] **������ ������=����[�����][����〚�〛]�

������=������**����〚�〛** (�/������)� ��������[�������� ������]�

] ������� ]]

���������������������=

���������� �� ��� ���� ���������� ������ ��� �� ����������� ���������

References

Related documents

General hypothesis is that the communication between the operator of the call center and clients of the company “Beogas” may have features of asymmetrical institutional

In line with wider economic activity the first half of the year has seen positive performances across the five sectors tracked by the Business Factors Index, resulting in the

In order to prevent food borne illnesses, mobile food owners need to access and improve operator’s knowledge, personal hygiene and the hygiene practices on food

structure of ferroelectric perovskite-type PZT:SNO was investigated in particular by EXAFS analysis, which served as a powerful method to study the crystal lattice

Robot ini bergerak maju sampai bertemu halangan berupa tembok maka robot/ alat ini akan berbelok ke kiri otomasis sebesar 90 derajat untuk menghindari halangan dan

Depreciate the fixed asset for the current year and one prior year: Retained earnings, Jan... Consolidated

Objective: This study investigated the effect of an educational intervention on selected hypertensive participants’ levels of knowledge about hypertension, their beliefs about

Zbog toga se smatra da je upravo Bela Čikoš Sesija započeo trend simbolizma kao dominantnog ostvarenja secesije u hrvatskom