Introduction to Electrodynamics (2)

Introduction to Electrostatics

      Griffiths Ch 1 and Appendix A

Brief review of vector calculus

Consider a scalar field

The gradient tells us how F varies on small displacements

=>  ∇F points in dir. of max increase of F;   |∇F| = rate of increase of F         

      along this dir. In Cartesian coords:

1

Can think of  ∇  as a differential operator:

Now consider a vector field

The divergence is the flux of emerging from an infinitesimal

volume, per unit volume:

dx dy

dz

Flux out of x faces:

Similarly for y, z  =>  flux out of cube

Dividing a finite region into infinitesimal blocks and noting pair­wise cancellation in interior 

=>  Divergence Theorem:

The curl tells us about the circulation of the vector field:

(x,y) ₍x+dx, y) (x+dx, y+dy) (x, y+dy)

z Line integral: 3 is the line integral of the vector  field around an  infinitesimal closed  loop, ⊥ to x,y,z, per  unit area

is the z­component of Similarly for x, y­components

Dividing a finite surface into infinitesimal squares and noting pair­wise cancellation in interior 

=>  Stokes's Theorem:

Now consider curvilinear coord systems  (still in 3D Euclidean space, orthonormal at each point).

Line element

(For those who took relativity:  f, g, h =

4

For example, spherical coords

Again, for a scalar field

Also, 

So, for spherical coords  (f = 1, g = r, h = r sin ):

5

Divergence:   

Flux out of u faces: _{u u+du}

Similarly for v, w  =>

So, for spherical coords (f = 1, g = r, h = r sin ):

Curl

(u,v)

(u, v+dv) (u+du, v+dv)

(u+du, v)

w

=>   w­component of

Similarly for u, v­components  =>

So, for spherical coords  (f = 1, g = r, h = r sin ):

See front and back covers of Jackson for vector identities, theorems, and derivatives in curvilinear coords.

Problem 1:   Prove the following variant of Stokes's Theorem:

Stokes's Thm:

0

Must be true for arbitrary R  =>  the  integrals are equal.

Now, we focus on electrostatics:

Coulomb's Law: _{(force on 1 by 2)}

We adopt SI units; see Jackson appendix for conversion between SI and Gaussian.

Electric field:

(field due to a point charge q₁ at

(field due to a continuous charge distribution)

Point charges can be treated as a distribution using the Dirac delta function. )

In 1D:

if the region of integration (x₁, x₂) includes x = a; zero otherwise Specifically: if region includes x = a

Clearly (x­a) is undefined at x=a, so it really is not a function. We can try to express it as a limit, e.g.:

But does not exist.

This limit does exist!

Thus, (x) makes sense when it appears as part of an integrand—this is the  only context in which it should be used.

With for a collection of point charges,

Two expressions involving delta functions, D₁(x) and D₂(x), are equal if:

for all well­behaved functions   f (x).

Problem 2:  Show that when k is any non­zero constant. For arbitrary  f (x) :

Dirac delta function in curvilinear coords:

assuming is not a degenerate point, i.e., it is not characterized by  more than one set of coord values.

Examples of degenerate points:   origin in plane polar coords (multiple )

z­axis in spherical and cylindrical coords        (again, multiple )

At a point with multiple values of coord w :

Examples

Cylindrical coords:  point Not on z­axis:

On z­axis:

Check:

Spherical coords:  point Not on z­axis:

using cos  rather than  :

On positive z­axis:

using cos  rather than  :

The origin (degenerate in both  and ):

Note:  dimension of delta function = inverse of dimension of argument. Dimension of is  length­3

(r)    is  length­1

()    is  rad­1  (dimensionless)

Examples involving delta function in curvilinear coords Find the charge density for the following situations:

1)  Spherical coords, charge Q uniformly distributed over a spherical shell          with radius R:

2)  Cylindrical coords, charge per unit length  uniformly distributed over          a cylindrical surface of radius b:

3)  Cylindrical coords, charge Q spread uniformly over a flat circular disk           of negligible thickness and radius R:

4)  Same as (3), but in spherical coords:

Check:

Coulomb's Law plus linear superposition  of electric fields yields integral

form of Gauss's Law:

Divergence Thm yields the differential form: Coulomb's Law also yields

=>  existence of scalar potential:

Work done on moving a charge against the field:

Potential energy of a charge q =  q 

18

Potential energy of a collection of point charges

Start with one point charge q₁, located at ; its potential Bring next charge, q₂, in from infinity to point

Work done against field of 1 is Bring in a 3rd _charge, q

3, from infinity to

Work done =  _etc.

=>  potential energy = total work done

For a continuous charge dist :

Vector identity:

Taking the bounding surface at infinity, the first term vanishes (E ∝ r­2 ,  ∝ r­1 ).

=>  energy density in the field

Red flag:  Field energy density is non­negative, but energy of a set of point charges can be negative (e.g., 2 charges of opposite sign).

What's going on?

In the integral form of W, _{is the total potential at , due to the rest} of the charge dist plus the charge at .  For a truly continuous charge dist, this is the same as the  due to the rest of the dist, since the amount of 

charge at a point vanishes.  For a point charge, at the location of the point charge  =>  an infinite "self­energy" that was  not included in the energy of the point charge collection (i.e., the charges  were taken as already assembled). Note:  infinite self­energy  =>  infinite mass of a point particle unless a negative infinite mass contribution arises from non­electromagnetic source (“renormalization”). What happens to at a charged surface? Consider a small rectangular surface  ⊥ to the charged surface:  l h

E_∥, 1 E_∥, 2

as  h  0 =>  tangential component of

is continuous across the surface

Gaussian pillbox: 

In a conductor, free charges move in response to an applied

Charge flows until inside conductor  ( of induced charges cancels applied field).

=>  any net and induced charge resides on the surface

 = const in a conductor, since

External is perpendicular to conductor's surface (since tangential  component of is continuous across surface and = 0 inside);

Suppose we have a conductor held at fixed potential ₀.  We would like to 

find  everywhere outside the conductor.  If we knew how charge distributed itself on the surface of the conductor, we could use

But, can we find without knowing

Yes!  We'll find a differential eqn for and apply boundary conditions.

For regions where  = 0,

Let's verify that satisfies the Poisson eqn.

= 0 everywhere except r = 0, where r­2 _is      

       undefined.

Treatment of the boundary value problem is aided by use of Green's Identities.

Start with the Divergence Thm:

= normal derivative on S, directed     outward from within V)

(Green's First Identity)

(interchanging  and )

Subtracting eqns  =>

(Green's Theorem)

;

(1.36)

Note:

1.  For surface at , this reduces to our original result for

(assuming _{falls off faster than R}­1_).

2.  If  = 0 in V,  anywhere in V depends only on  and _on S.

Green's 1st _{Identity leads to powerful conclusions re. the uniqueness of solns} 

to electrostatic boundary value problems.  Specifically, problems with 

Dirichlet or Neumann boundary conditions have unique solns to the Poisson eqn.

Dirichlet:   is specified everywhere on the bounding surface.

Neumann: is specified everywhere on bounding surface. Proof:   Suppose there are 2 different solns, 

1 and 2

In V:

On S:     Dirichlet: Neumann:

Green's 1st _{Identity with  =  = U:}

0

product = 0 for both Dirichlet and         Neumann

=>   is unique to within an additive constant.

Suppose the boundary of V consists of the surface of a set of conductors plus a sphere at ∞.

Dirichlet:   is specified on each conductor  (e.g., by connecting a

      battery btwn the conductor and ground)

Neumann: _{is specified on each conductor.} We don't know !

Suppose we know total charge on each conductor.  Is soln unique?   In this case, for each conductor surface,

The potentials can be brought out of the integrals since they are constant on each conductor surface, and the resulting integral = Q by Gauss's Law. So, again, U = const  =>   is unique to within an additive constant.

Consider a set of conductors.  Conductor 1 has Q = 1 C and the rest have  Q = 0. 1 2 3 Q = 1 C Q = 0 Q = 0 This has a unique soln for the potential, The surface charge dist, is also uniquely determined.  

Now alter the charge on conductor 1 from 1 C to  C. Do the charge dists change?

Suppose the dists are all multiplied by :

Q remains 0 on 2 and 3.

Thus, the soln to Poisson's eqn is unique for a region bounded by conductors  with either specified potentials or specified charges.  (A boundary at infinity is also acceptable.)

Since the Poisson eqn is linear, a new potential is a solution.

Since the charge on each conductor is specified, the soln is unique. So:  NO—the charge dists don't change.

If all conductors but conductor 1 have Q = 0, then  ∝ Q 1.

Since the Poisson eqn is linear, the sum of 2 solns is a soln.

In particular, we can add the _{obtained for the case where} (1) all but conductor 1 have Q = 0 and (2) all but conductor 2 have Q = 0.

Again, the soln is unique for these boundary conditions.

Thus, the potential at the surface of the ith  _{conductor, V}

i , is given by

The p_ij are called coefficients of capacity and  depend only on the geometry of the conductors.

Inverting the eqns for V_i in terms of Q_j :

C_ii are called capacitances.  C_ij, i ≠ j, are called coeffs of induction.

The capacitance C of 2 conductors with Q₂ = ­Q₁ and potential difference

V is defined by

The potential energy for the system of conductors is

As a special case, for a capacitor

32