GEODEZIJA

GEODEZIJA:

KONCEPTI

Petr VANÍ^EK

Edward J. KRAKIWSKY*

Univerzitet New Brunswick Kanada

(*Sada na Univerzitetu Calgary)

Naslov originala:

GEODESY: THE CONCEPTS

Knjiga je u originalu izdata na engleskom jeziku od strane © Elsevier Science B.V., Sara Burgerhartstraat 25, P.O. Box 211, 1000 AE Amsterdam, The Netherlands.

Prevod na srpski jezik ura|en je na osnovu drugog izdanja , u pripremi © 1986 Elsevier Science B.V.

Preveo:

v

PREDGOVOR PREVODIOCA

Knjiga GEODEZIJA: KONCEPTI autora Prof. P. Vani~eka i Prof. E. Krakivskog pojavila se prvi put 1982. godine, da bi odmah zaokupila pa`nju me|unarodne geodetske javnosti i u kratkom roku do`ivela drugo izdanje, a zatim i vi{estruko ponovljenu {tampu u periodu od 1987. do 1995. godine. Ovakvo interesovanje rezultat je prevashodno odli~no didakti~ki organizovane materije, jasnog i popularnog jezika i orijentacije autora na geodetske koncepte, zbog ~ega se knjiga u celini ili po delovima mo`e koristiti za tehnolo{ko ili univerzitetsko obrazovanje svih nivoa.

U svojoj osnovnoj nameri da funkcionalizuju i demistifikuju geodeziju, autori su u potpunosti uspeli. Funkcionalizacija se jasno ogleda u strukturi knjige, nazivima i redosledu delova, poglavlja i podpoglavlja. Stilska i terminolo{ka jednoobraznost dosledno su sprovedene kroz celu knjigu, kao rezultat o~igledno velikog truda autora na ure|enju donekle nesre|ene terminolo{ke situacije u geodeziji i srodnim disciplinama. Ukupnom kvalitetu knjige znatno doprinose koncizni matemati~ki aparat i izvanredne ilustracije.

Iako se ova knjiga u svom izvornom obliku ve} godinama koristi u nastavi na Geodetskom odseku Gra|evinskog fakulteta u Beogradu, a u odre|enoj meri i u na{oj geodetskoj praksi, njena puna vrednost nije dolazila do izra`aja zbog relativno slabog poznavanja engleskog jezika na{ih studenata i geodetskih stru~njaka. Glavni podsticaj za prevo|enje ovako obimnog i kompleksnog dela bila je upravo `elja da se studentima, stru~njacima i svim zainteresovanim omogu}i da neposredno koriste ovu knjigu u svom formalnom ili li~nom obrazovanju.

Prevod knjige na srpski jezik bio je povezan sa odre|enim te{ko}ama. Pre svega, bilo je potrebno odr`ati stilsku ujedna~enost prevoda jednog kombinovanog matemati~ko-tehni~kog teksta, obzirom na specifi~nu englesku re~eni~nu strukturu koja se razlikuje od na{e. Zbog `elje da se iz originala ni{ta ne izostavi, prilikom prevo|enja nisu vr{ena nikakva sa`imanja niti skra}ivanja koja bi mo`da i bila primerena duhu srpskog jezika, tako da }e jedino upotreba prevoda tokom vremena

omogu}iti da u nekoj narednoj eventualnoj {tampi stilski nedostaci budu korigovani.

Poseban problem prilikom prevo|enja predstavljala je terminologija. Ona je za konvencionalnu geodetsku problematiku relativno dobro utemeljena u na{oj literaturi, ali je ekspanzija kosmi~ke i informati~ke tehnologije poslednje decenije donela sa sobom mno{tvo novih pojmova koji su dominantno engleski i nemaju adekvatan prevod ni na na{ ni na druge jezike. Stoga sve prevedene pojmove u ovoj knjizi treba shvatiti kao predlog koji mora izdr`ati probu vremena, a ne kao `elju prevodioca da u tom smislu postavlja standarde.

U pripremi i realizaciji ovog prevoda u~estvovalo je vi{e ljudi kojima dugujem zahvalnost. Zahvajujem se pre svega Aleksandru Matovi}u dipl. in`., za podsticaj, posve}enost, energi~nost, neumorno is~itavanje rukopisa i u~injene primedbe i sugestije. \ur|a Jankovi} dipl. in`. i Marijana Kokanovi} dipl. in`. ulo`ile su ogroman trud i napor na uno{enju ovako te{kog matemati~kog teksta, bezbrojnim proverama, korekcijama i predlozima. Za izvanrednu obradu ilustracija i prevoda na njima zaslu`an je Zoran Nedeljkovi} dipl. in`. Marijana Kokanovi} je izvr{ila prelom strane, i zajedno sa Zoranom Nedeljkovi}em osmislila i realizovala celokupni dizajn knjige. Sve pomenute koleginice i kolege posvetili su prevodu ove knjige mnoge sate sopstvenog slobodnog vremena, na ~emu im se jo{ jednom nesebi~no zahvaljujem.

Prilikom rada na prevodu u~injen je svaki napor da rezultat u svakom smislu bude {to kvalitetniji. Za sve nedostatke, propuste i eventualne gre{ke, odgovornost me|utim snosi isklju~ivo prevodilac.

vii

PREDGOVOR AUTORA

Dugi niz godina ose}ali smo da postoji definitivna potreba za novim ud`benikom geodezije koji bi (a) obuhvatao celokupnost geodezije, (b) tretirao je konceptualno, i (c) uklju~io savremena dostignu}a u standardne geodetske teme. Iskustvo nas je navelo da verujemo da su nove ideje i tehnike, koje su uvedene u geodeziju u poslednje tri ili ~etiri decenije, tako zna~ajno promenile karakter geodezije, da to zahteva novo raslojavanje njenih ciljeva. To smo poku{ali da uradimo u podpoglavlju 4.1. Kao posledica ovog raslojavanja do{la je funkcionalizacija geodezije, koja se reflektuje u celoj strukturi knjige. Koncepti koji su neophodni za tri najva`nije funkcije geodezije opisani su u poslednja tri dela: pozicioniranje (IV), istra`ivanje Zemljinog polja te`e (V), i istra`ivanje Zemljinih vremenskih deformacija (VI).

Sekundarni cilj ove knjige bio je demistifikacija geodezije. U tom smislu poku{ali smo da razjasnimo terminologiju i u~inimo je jednoobraznom koliko god je to bilo mogu}e. Nema vi{e fizi~ke i geometrijske geodezije; ne postoji ni satelitska geodezija, ni vertikalna geodezija, ni kinemati~ka geodezija. Gde god je to bilo pogodno, poku{ali smo i da sintetizujemo i klasifikujemo iznete ideje. Kad su bili potrebni termini iz drugih disciplina, savesno smo se trudili da ih koristimo u njihovom izvornom obliku, pa smo npr. koristili izraz mareograf umesto medimareometar, i podru~je poverenja umesto elipsa gre{aka. Tako|e smo upotrebljavali preovla|uju}u terminologiju kao i postoje}e oznake.

Izbor da se koncentri{emo na koncepte na~inili smo iz tri razloga: (a) da bi knjigu na~inili {to korisnijom za studente koji `ele da sami u~e geodeziju, (b) da odr`imo knjigu jasnom, i (c) da predupredimo suvi{e brzo starenje njenog sadr`aja. Cena koju smo morali platiti bila je da su mnoge stvari morale biti izostavljene. Na primer, izostavljen je veliki broj dokaza, tako da ~italac ili predava~ koji koristi ovu knjigu, mo`e da popuni praznine. Smatrali smo da je ovakav pristup bolji nego da pi{emo sve dokaze pa da ~italac izdvaja koncepte iz mase tehnika. Poku{ali smo da popunjavanje praznina olak{amo ukazuju}i na usvojene pretpostavke, glavne korake u lancu zaklju~ivanja i neophodan matemati~ki aparat. Mnoge nove i netestirane ideje morale su na taj na~in pasti kao `rtve na{e politike jasno}e. Isto tako, za mnoge usputne ideje i manje va`ne koncepte mogla je biti samo data referenca na literaturu.

Nismo ~inili poku{aje da uklju~ujemo opise mernih metoda i instrumenata. Smatramo da je ta materija dobro obra|ena u ud`benicima o premeru. Zbog toga smo samo pokazali koncepte neophodnih tehnika premera kako bi olak{ali razumevanje prirode razli~itih vrsta podataka koji se prikupljaju na terenu. S druge strane, uklju~ili smo ~itav deo (III) koji se bavi matemati~kom metodologijom geodezije. Skupljanjem svih potrebnih matemati~kih tehnika na jedno mesto, verujemo da smo u{tedeli u prostoru i ~itao~evom vremenu.

Knjiga sadr`i materiju koja je pogodna ili za tehnolo{ke kurseve ili univerzitetske diplomske i poslediplomske kurseve. Na primer, delovi I i II mogu ~initi uvodni geodetski kurs i na tehnolo{kom i na univerzitetskom nivou. Za tehnolo{ke {kole, takav kurs se mo`e dopuniti izabranom materijom iz dela IV. Za univerzitete, naredni kursevi se mogu sastojati od dela IV i izabranog materijala iz delova V i VI. S druge strane, deo VI }e verovatno ve}ina smatrati kao materiju prevashodno pogodnu za diplomske studije. Sva ova pitanja detaljnije smo prodiskutovali u podpoglavlju 4.4.

Moramo pomenuti i izvesna svojstva knjige koja su posebno dizajnirana da pomognu studentima i predava~ima. Prvo, svako poglavlje ima nenumerisano uvodno podpoglavlje ~ija je svrha da pru`i pregled materije sadr`ane u poglavlju. Uz to, ovi pregledi sadr`e ponekad koncepte koji se vi{e nigde ne pominju. Najva`nije formule su uokvirene, i na te formule se poziva ~e{}e nego na ostale. Sli~no tome, klju~ne re~i koje se prvi put pominju pisane su italikom, i nabrojane su u indeksu pojmova pri ~emu se broj odnosi na stranicu na kojoj je pojam definisan. Po{to "dobra slika vredi vi{e od hiljadu re~i", mnogo napora i rada ulo`eno je u ilustracije, tako da je najve}i broj koncepata prikazan i grafi~ki. Tako|e smo se potrudili da izaberemo odgovaraju}e reference, rukovo|eni pravilom da budu na engleskom i u dostupnoj literaturi. Postojalo je ipak nekoliko neizbe`nih izuzetaka. Reference su skupljene na kraju svakog dela, zbog ~ega su neke publikacije morale biti navedene na nekoliko mesta. Jedna~ine, slike i tabele numerisane su zasebno u svakom poglavlju. Kada je pozivanje vr{eno na njih u okviru istog poglavlja, broj poglavlja je izostavljan. Ako je na jedna~ine, slike ili tabele pozivanje vr{eno izvan poglavlja, kori{}en je njihov pun broj.

Osnovu za ovu knjigu ~inilo je ~etrnaest svezaka pisanih predavanja odr`anih na Department of Surveying Engineering of the University of New Brunswick. Materijal predstavljen ovde bio je dakle testiran kroz u~enje na diplomskom i poslediplomskom nivou. Bezbrojne diskusije sa kolegama i studentima tokom svih ovih godina pomogle su nam da formiramo neka mi{ljenja i poglede predstavljene u ovoj knjizi. Naglasak smo uvek davali vi{e na jasno}u nego na originalnost. ^itaocu bi to trebalo da bude o~igledno na osnovu referenci citiranih u knjizi, kojima smo poku{ali da izbegnemo autorstvo velikog broja prezentiranih ideja.

Mnogi ljudi doprineli su na{im naporima svojim komentarima ili kritikama razli~itih delova rukopisa, kao i li~nom komunikacijom. Ovom prilikom odajemo priznanje na pomo}i Mr. J.R. Adams, Prof. E.G. Anderson, Prof. J.A.R. Blais, Dr. G. Blaha, Prof. C. Beaumont, Dr. J.D. Bossler, Mr. W.H. Falkenberg, Dr. K. Frankich, Prof. C. Gemael, Prof. E.W. Grafarend, Mr. L.F. Gregerson, Dr. B. Guinot, Prof. A.C. Hamilton, Prof. F. Hatschbach, Dr. R.C. Jachens, Prof. W.R. Knight, Mr. J. Kouba, Mr. M.P. Mepham, Dr. D. Nagy, Prof. N. Ní Chuív, Mr. B.G. Nickerson, Dr. M.K. Paul, Mr. A.J. Pope, Prof. S. Rinco, Prof. M.G. Rochester, Prof. K-P. Schwarz, Dr. R.A. Snay, Mr. R.R. Steeves, Prof. J.H. Thompson, Dr. D.B. Thomson, Prof. R.S. Turner, Prof. D.E. Wells, Dr. C.A. Whitten, Mr. T. Wray, i Dr. S. Yumi. Veliku zaslugu za knjigu dugujemo ovim ljudima. Svaki propust je me|utim isklju~ivo na{, mo`da ba{ zato {to ih nismo u svemu poslu{ali. Bi}emo zahvalni za svaku budu}u konstruktivnu kritiku.

U zaklju~ku, `eleli bismo da izrazimo posebnu zahvalnost Ms. Wendlynn Wells za pretvaranje rukopisa u ~itljivi engleski jezik, za njeno bezgre{no kucanje mnogih verzija rukopisa, i za konstantni pritisak kojem nas je izlagala. Bez tog pritiska knjiga verovatno ne bi ugledala svetlost dana. Zahvalnost za ilustracije dugujemo Mr. M. Anderson, Mrs. V. Rinco i Mrs. D. Jordan. Mnogi drugi ljudi zaslu`ni su za pripremu rukopisa, uklju~uju}i tu i na{e kolege koje su na sebe preuzele deo na{ih akademskih obaveza dok smo pisali knjigu. Svima njima iskreno se zahvaljujemo.

Petr Vani~ek Edward J. Krakiwsky Fredericton, N.B., Canada

xi

PREDGOVOR PREVODIOCA v

PREDGOVOR AUTORA vii

DEO I. UVOD 1

1. ISTORIJA GEODEZIJE 3

1.1. Istorijski po~eci geodezije 4

1.2. Nau~ni po~eci geodezije 10

1.3. Geodezija u slu`bi kartografije 15

1.4. Geodezija modernog doba 17

2. GEODEZIJA I DRUGE DISCIPLINE 20

2.1. Primene geodezije 20

2.2. Simbioti~ka veza geodezije i nekih drugih nauka 22

2.3. Teorijske osnove geodezije 25

3. MATEMATIKA I GEODEZIJA 28 3.1. Algebra 28 3.2. Analiza 35 3.3. Geometrija 44 3.4. Statistika 50 4. STRUKTURA GEODEZIJE 55 4.1. Funkcije geodezije 55 4.2. Geodetska teorija 57 4.3. Geodetska praksa 59 4.4. Geodetska profesija 60 LITERATURA 62

DEO II. ZEMLJA 65

5. ZEMLJA I NJENO KRETANJE 67

5.1. Zemljino godi{nje kretanje 68

5.2. Zemljina rotacija, precesija i nutacija 69

5.3. Zemljina slobodna nutacija 73

5.4. Odre|ivanja kretanja pola i varijacija u brzini rotacije 77

6. ZEMLJA I NJENO GRAVITACIONO POLJE 81

6.1. Gravitaciono polje 82

6.2. Anomalije sile te`e 88

6.3. Potencijal sile te`e 95

6.4. Geoid i vertikalski otkloni 101

7. ZEMLJA I NJENA VELI^INA I OBLIK 112

7.1. Stvarni oblik Zemlje 112

7.2. Geoid kao Zemljina figura 120

7.3. Dvoosni elipsoid kao figura Zemlje 126 7.4. Ostale matemati~ke figure Zemlje 134

8. ZEMLJA I NJENE VREMENSKE DEFORMACIJE 141

8.1. Plimatski fenomeni 142

8.2. Deformacije kore zbog optere}enja 149

8.3. Tektonske deformacije 158

8.4. Antropogene i ostale deformacije 164

9. ZEMLJA I NJENA ATMOSFERA 172

9.1. Neka fizi~ka svojstva atmosfere 172 9.2. Prostiranje talasa kroz atmosferu i vodu 176

9.3. Vremenske promene atmosfere 184

9.4. Polje te`e atmosfere 187

DEO III. METODOLOGIJA 197

10. ELEMENTI GEODETSKE METODOLOGIJE 199

10.1. Op{ti postupak 199

10.2. Formulacija matemati~kog modela 201 10.3. Merne veli~ine i njihova svojstva 206

10.4. Vektor mernih veli~ina 215

11. KLASE MATEMATI^KIH MODELA 218

11.1. Klasifikacija modela 218

11.2. Modeli sa jedinstvenim re{enjem 225 11.3. Modeli sa neodre|enim re{enjem 227 11.4. Modeli sa preodre|enim re{enjem 229 12. RE[AVANJE PREODRE\ENIH MODELA METODOM NAJMANJIH KVADRATA 232 12.1. Formulisanje problema najmanjih kvadrata 232 12.2. Re{enje problema najmanjih kvadrata 234 12.3. Kovarijacione matrice rezultata 240

13. PROCENJIVANJE REZULTATA 247

13.1. Hilbertov prostor i statistika 247

13.2. Statisti~ko testiranje 254

13.3. Ocena rezultata merenja jedne merne veli~ine 260 13.4. Simultano procenjivanje opa`anja i matemati~kih modela 268 13.5. Procenjivanje odre|enih parametara 277

14. FORMULISANJE I RE[AVANJE PROBLEMA 281

14.1. Projektovanje optimalne ta~nosti 282

14.2. Analiza trenda 285

14.3. Izravnanje opa`anja 300

14.4. Problemi sa prethodnim poznavanjem parametara 308 14.5. Problemi sa ograni~enjima i singularitetima 313 14.6. Sekvencijalni postupci u dinami~kim i stati~kim problemima 321

DEO IV. POZICIONIRANJE 335

15. APSOLUTNO POZICIONIRANJE 337

15.1. Osnove geodetske astronomije 338

15.2. Astronomsko pozicioniranje 351

15.3. Satelitsko pozicioniranje 357

15.4. Transformacije terestri~kih polo`aja 373

16. RELATIVNO POZICIONIRANJE 389

16.1. Relativno trodimenzionalno pozicioniranje 389 16.2. Relativno horizontalno pozicioniranje na referentnom elipsoidu 404 16.3. Relativno horizontalno pozicioniranje u konformnoj projekciji 413 16.4. Relativno vertikalno pozicioniranje 424

17. TRODIMENZIONALNE MRE@E 436

17.1. Terestri~ke trodimenzionalne mre`e 436

17.2. Fotogrametrijske mre`e 444

17.3. Trodimenzionalne ekstraterestri~ke mre`e 448 17.4. Procenjivanje i povezivanje trodimenzionalnih mre`a 454

18. HORIZONTALNE MRE@E 462

18.1. Horizontalni datum 462

18.2. Matemati~ki modeli i njihova re{enja 467 18.3. Procenjivanje, pro{irivanje i povezivanje horizontalnih mre`a 475

18.4. Marinsko pozicioniranje 485

19. VISINSKE MRE@E 493

19.1. Vertikalni datum 493

19.2. Matemati~ki modeli nivelmana 499

19.3. Procenjivanje i dizajn visinskih mre`a 511 19.4. Drugi koncepti odre|ivanja visina 514

DEO V. ZEMLJINO GRAVITACIONO POLJE 531

20. GLOBALNI TRETMAN GRAVITACIONOG POLJA 533

20.1. Osnovne jedna~ine potencijala te`e 533 20.2. Razvoj gravitacionog potencijala u sopstvene funkcije 543

20.3. Modelsko polje te`e 555

20.4. Poreme}ajni potencijal 563

21. LOKALNI TRETMAN GRAVITACIONOG POLJA 570

21.1. Transformacija poreme}ajnog potencijala u druge parametre polja 570

21.2. Vertikalni gradijent te`e 579

21.3. Krivina vertikale 587

21.4. Topografski i izostati~ki efekti 592

22. ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ GRAVIMETRIJSKIH OPAŽANJA 600

22.1. Stouksov koncept 600

22.2. Koncept Molodenskog 613

22.3. Gravimetrija 622

22.4. Re{avanje povr{inskih integrala 628

23. ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ SATELITSKIH OPAŽANJA 637

23.1. Sateliti i gravitaciono polje 637

23.2. Predikcija orbita 640

23.3. Analiza orbitalnih perturbacija 646 23.4. Odre|ivanje parametara polja te`e 652 24. ODRE\IVANJE POLJA TE@E IZ VERTIKALSKIH OTKLONA I RAZNORODNIH

PODATAKA 658

24.1. Geometrijsko re{enje za geoid 658

24.2. Transformacija parametara polja te`e 664 24.3. Progu{}enje i pobolj{anje vertikalskih otklona 668 24.4. Re{enje za geoid iz raznorodnih podataka 672

DEO VI. VREMENSKE PROMENE 681

25. KOREKCIJE ZA VREMENSKE PROMENE 683

25.1. Elasti~na reakcija na plimatske sile 684

25.2. Plimatske korekcije 689

25.3. Korekcije za efekat plime mora 698 25.4. Korekcije zbog deformacija usled kretanja polova i ostalih uzroka 707

26. ODRE\IVANJE VERTIKALNIH POMERANJA 712

26.1. Izvori informacija o vertikalnim pomeranjima 712 26.2. Me|uzavisnost vremenskih varijacija te`e i visina 716 26.3. Profili vertikalnih pomeranja 721 26.4. Povr{insko modeliranje vertikalnih pomeranja 728

27. ODRE\IVANJE HORIZONTALNIH POMERANJA 737

27.1. Izvori informacija o horizontalnim pomeranjima 737 27.2. Upore|enje horizontalnih polo`aja 742 27.3. Direktno nala`enje horizontalnih pomeranja 749 27.4. Strejn, modeli smicanja i drugi modeli 755

DEO I

3

ISTORIJA GEODEZIJE

^ovek se interesovao za Zemlju jo{ od vremena kada je evoluirao u svesno bi}e. Razni prirodni fenomeni koje je, ~esto i sa strahom, oko sebe opa`ao, uglavnom su odre|ivali njegovo pona{anje i davali povoda za razvoj praznoverja, raznih rituala i kultova. Ali ovo je istovremeno stalno pro{irivalo njegova saznanja, {to je rezultiralo iznena|uju}e dubokim razumevanjem nekih prirodnih fenomena, koje su nam drevne kulture i civilizacije ostavile u tako o~iglednim oblicima kao {to su spomenici (Stonehenge u Wiltshire, ju`na Engleska i egipatske piramide), hramovi i gradovi (izgra|eni od strane centralnoameri~kih Indijanaca), kalendari, itd. Ti prirodni fenomeni ~esto su tesno povezani sa veli~inom, oblikom i gravitacionim poljem Zemlje, i njihovo razumevanje zahtevalo je odre|eno poznavanje geodezije. ^itav niz vekova jedini na~in izu~avanja geometrije Zemlje predstavljala su opa`anja Sunca, Meseca, planeta i zvezda. Stoga je isprva razvoj geodezije i{ao uporedo sa razvojem astronomije. Zajedno sa astronomijom geodezija spada u najstarije nauke uop{te, a nesumnjivo je najstarija geonauka.

O~uvano je veoma malo dokumenata o geodetskim dostignu}ima najstarijih civilizacija Sumera, Egip}ana, Kineza i Indijaca. Postoje, me|utim, mnogi dokazi da su izvodili veoma ta~na merenja, barem u vezi osnovnih kretanja Zemlje [TOMPKINS, 1971]. Na{ pregled istorije geodezije ipak }emo zapo~eti prvim dokumentovanim konceptima iz gr~ke ere. Pri~a koju predstavljamo neizbe`no je subjektivna, i sa vi{e istorijskih naznaka nego istorijske ta~nosti. Za ~injenice i datume koji u tekstu nisu pomenuti izvor je ASIMOV [1972]. U ovom poglavlju

koristi}emo modernu terminologiju koja sa istorijske ta~ke gledi{ta mo`e ponekad izgledati besmisleno. Me|utim druga~iji pristup bi zahtevao mnogo vi{e prostora. Ovo poglavlje podeljeno je na ~etiri hronolo{ka podpoglavlja. Prvo podpoglavlje se odnosi na period od Talesa do pada Rimskog carstva. Drugo podpoglavlje obuhvata srednji vek, renesansu i po~etak ere racionalizma pa sve do polovine osamnaestog veka kada je kona~no prihva}ena Njutnova teorija gravitacije. Tre}e podpoglavlje razmatra period od narednih dvesta godina, koji se zavr{ava sa drugim svetskim ratom, a obele`en je prihvatanjem Ajn{tajnove teorije gravitacije. Poslednje podpoglavlje obuhvata razvoj u poslednjih ~etrdeset godina. Namerno smo odlu~ili da izbegavamo reference `ivih nau~nika osim u nekoliko izuzetnih slu~ajeva.

1.1. Istorijski po~eci geodezije

Za vreme gr~ke ere geodezija je smatrana jednom od najizazovnijih disciplina, i stoga su se njome bavili neki od najve}ih mislilaca tog perioda. Prvi dokumentovani tragovi geodezije poti~u od Talesa iz Mileta (625.-547. p.n.e), op{tepriznatog osniva~a trigonometrije. Njegov koncept Zemlje svodio se na telo oblika diska koje pliva po beskona~no velikom okeanu. Na{a interpretacija ove ideje prikazana je na slici 1.

Anaksimandar iz Mileta (611.-545. p.n.e.), ina~e Talesov savremenik, imao je ne{to druga~iju predstavu. Smatrao je da je Zemlja cilindri~na (vidi sliku 2), sa osom orijentisanom u pravcu istok-zapad [ASIMOV,1972]. On je bio i prvi koji je koristio koncept nebeske sfere. Ova ideja pre`ivela je vekove astronomskog mi{ljenja, i jo{ uvek va`i za korisnu idealizaciju u pozicionoj astronomiji (vidi podpoglavlje 15.1.). Anaksimen, Anaksimandarov u~enik, modifikovao je Talesov koncept kona~nim okeanom koji se u prostoru odr`ava pomo}u komprimovanog vazduha [BROWN, 1949]. Njegova ideja prikazana je na slici 3.

U~enje Pitagore (580.-500. p.n.e.) prvo je koje je promovisalo sfernu Zemlju, {to je predstavljalo ideju koja }e pre`iveti preko dva milenijuma. Rad njegove {kole sintetizovao je kasnije Filolej (polovina petog veka p.n.e.), koji je tako|e i prvi koji je predlo`io negeocentri~ni kosmos ~iji je centar Hestija (centralna vatra). Po{to se

SLIKA 1.2. Autorova interpretacija Asimovog opisa Zemljinog oblika po Anaksimandaru.

po ovom konceptu Sunce i ostala nebeska tela okre}u oko centralne vatre, on se ne mo`e nazvati heliocentri~nim [DIJKSTERHUIS, 1950]. Krajem {estog veka p.n.e.,

Hekatej iz Mileta sastavio je jednu od prvih poznatih karata sveta, predstavljenu na slici 4 [BUNBURY,1883]. Ona `ivopisno ilustruje ograni~eno znanje starih Grka, i predrasude koje su imali o svetu. Otprilike u isto vreme Feni~anin Hano (ro|en oko 530. p.n.e. u Kartagini) oplovio je Afriku [WELLS,1961]. Kao {to je to slu~aj sa podvizima i otkri}ima mnogih istra`iva~a kroz vekove, tako su i njegova zaboravljena narednih 2000 godina.

SLIKA 1.4. Hekatejeva karta sveta.

Astronomija je nastavljala da se razvija iako se ~esto bazirala ne na opa`anjima ve} na filozofskim pogledima na svet. Anaksagora (500.-428. p.n.e.) prvi je uo~io sferni oblik Meseca i objasnio dnevno kretanje Sunca i Meseca. Prvu kartu zvezdanog neba uradio je Eudoks (408.-355. p.n.e.), koji je tako|e znao skoro ta~no trajanje sun~ane godine (365.25 dana), {to je verovatno vrednost preuzeta od Egip}ana. Herakleid (388.-315. p.n.e.) je predlagao koncept po kojem se barem Zemlja, Merkur i Venera okre}u oko Sunca, modifikuju}i na taj na~in sto godina staro Filolejevo u~enje. Tako|e, smatrao je da se Zemlja okre}e oko svoje ose.

Prvi nagove{taj postojanja gravitacije dugujemo Aristotelu (384.-322. p.n.e.), koji je uz to formulisao i danas va`e}i dokaz za sferni oblik Zemlje. Aristotelovo interesovanje za gravitaciju nasledio je Strato (ro|en oko 340. p.n.e.), nakon kojeg je dalje istra`ivanje moralo ~ekati sve do renesanse. Pitej (ro|en oko 300. p.n.e.) je naslu}ivao da su nebeska tela uzrok morske plime, ali je stepen tada{njeg znanja bio nedovoljan da to pove`e sa gravitacionim privla~enjem.

Po{to je ideja o sfernom obliku Zemlje postepeno prihvatana, bilo je samo pitanje vremena kada }e se u upotrebu uvesti sferne (uglovne) koordinate. To je kona~no uradio krajem tre}eg veka Dikerh (umro oko 285. p.n.e.). On je tako|e izradio verodostojniju verziju karte sveta, na kojoj su prikazani krajevi ju`ne Azije istra`eni

tokom vojnih pohoda Aleksandra Velikog. Ubrzo nakon toga Pitej je odredio prvu relativno ta~nu astronomsku {irinu (za Marsej).

Dalji napredak u astronomiji povezan je sa imenom Aristarha (310.-250. p.n.e.), i njegovim poku{ajem da odredi dimenzije i rastojanja do Meseca i Sunca. Nekih pola veka kasnije, Eratosten (276.-194. p.n.e.) uvodi pojam nagnutosti Zemljine ose rotacije. Hiparh (190.-120. p.n.e.) nam je ostavio prvu ta~nu kartu zvezdanog neba izra|enu u sistemu uglovnih koordinata, koji je danas poznat kao nebeski ekvatorski sistem (vidi podpoglavlje 15.1.). On se pridru`io ideji precesije Zemljine obrtne ose (vidi podpoglavlje 5.2.), ali nikad nije prihvatio heliocentri~nu hipotezu Heraklida, Aristarha i vavilonskog astronoma i savremenika Seleuka. Pro{lo je nakon toga jo{ 1700 godina pre nego {to je iko ponovo po~eo da razmi{lja o heliocentri~nom kretanju Zemlje.

Vratimo se ponovo Eratostenu koji je sa geodetskog stanovi{ta najzna~ajniji od svih pomenutih. Eratosten, ~ovek sa presti`nim polo`ajem knji`ara ~uvenog Aleksandrijskog muzeja (institucija koja odgovara dana{njem univerzitetu), mo`e se nazvati pravim osniva~em geodezije. Rezultati njegovog odre|ivanja veli~ine Zemlje ~uvenim merenjem razlike astronomskih {irina Aleksandrije i Asuana [GROUEFF, 1974], predstavljeni su u podpoglavlju 7.3. u kontekstu nekih savremenijih radova. Danas se zna da je kasniji poku{aj Posejdona (135.-50. p.n.e.), koji se ina~e bavio i efektima atmosferske refrakcije, znatno lo{iji od Eratostenovog. Eratosten je verovao u postojanje ogromnih okeana, {to je na potvrdu ~ekalo ~itavih 17 vekova. Njegova vizija Zemljine povr{ine prikazana je na slici 5 [BUNBURY,1883].

Sa Posejdonom se prakti~no zavr{ila era originalnih mislilaca i eksperimentatora. Nakon toga geodezija stagnira nekih 1500 godina, osim povremenih kompilacija ili sinteza gr~kih dostignu}a. Jedini zna~ajni izuzetak za vreme Rimskog carstva predstavlja uvo|enje Julijanskog kalendara od strane Sosigena pod Julijem Cezarom sredinom prvog veka p.n.e. [DURANT, 1944]. Ovaj kalendar, uz malu gregorijansku reformu 1582. godine, va`i i danas [PANNEKOEK,1951].

Krajem gr~ke ere neke od veoma va`nih radova izvodio je gr~ki astronom Klaudije Ptolomej (75.-151.), i objavio ih u monumentalnom delu o astronomiji i geodeziji poznatom pod svojim arapskim imenom Almagest. U podjednako va`nom delu o geografiji objavljenom 150. godine, Ptolomej je predstavio i novu kartu sveta, neprevazi|enu narednih ~etrnaest vekova. Ona je ovde prikazana na slici 6 [THOMSON,1966]. Karta me|utim ne predstavlja nikakvo su{tinsko pobolj{anje 300 godina stare Eratostenove karte. U jednom aspektu ~ak je i lo{ija. Ptolomej je, naime, umesto Eratostenove koristio neta~niju Posejdonovu vrednost Zemljinog

polupre~nika. Kao ilustracija nau~nog konzervatizma tog doba mo`e poslu`iti ~injenica da Ptolomej nikada nije prihvatio heliocentri~nu hipotezu u koju je verovalo nekoliko astronoma pre njega. Tako|e nije prihvatao ni sugestiju putopisca Straboa (ro|enog oko 63. p.n.e.) da mogu postojati i kontinenti za koje ~ovek jo{ ne zna.

1.2. Nau~ni po~eci geodezije

Drevni narodi bili su sputavani u saznanjima o materijalnom svetu pre svega svojim filozofskim i religijskim verovanjima. U vekovima koji su sledili nakon pada Rimskog carstva, odnosno za vreme srednjeg veka, geodezija je zajedno sa mnogim drugim naukama tavorila pod skutima teologije. Gr~ko u~enje pre`ivelo je ovo mra~no doba uglavnom u arapskim verzijama, koje su u dvanaestom veku nekako prona{le put u Evropu preko [panije, i bile prevedene na latinski kao jezik onda{njih intelektualaca. Primer uticaja koji je Biblija imala na nau~nu misao u evropskom srednjem veku prikazan je na slici 7 [BROWN,1949], koja predstavlja

vi|enje sveta moreplovca Kozme godine 548.

Kao {to }emo u nastavku videti, povremeni nau~ni bljesci za vreme srednjeg veka bili su veoma retki i uglavnom nezadovoljavaju}i. Persijanac Karazmi (ro|en oko 780.), od ~ijeg je arapskog imena Al-Kvarizmi nastala re~ algoritam, ponovo je odredio veli~inu Zemlje. Rezultat je bio 1.6 puta ve}i od Eratostenovog. Al-Kvarizmi, koji je tako|e objavio i kartu sveta sli~nu Ptolomejevoj, ipak zauzima trajno mesto u istoriji jer je uveo indijske cifre 1, 2, ... 9 u arapsku matematiku. Arapski astronom Albatenius (858-929) znao je du`inu godine mnogo ta~nije od Sosigena devet i po vekova ranije. To je znao i Englez Rod`er Bekon (1210-1292), koji je predlagao reformu julijanskog kalendara, odnosno dodavanje jednog prestupnog dana svake 128. godine.

Stvari su po~ele da se pokre}u tek u ~etrnaestom veku karakteristi~nom po probu|enoj radoznalosti i narasloj nau~noj smelosti. Era velikih istra`ivanja se pribli`avala i zahtevala je nepristrasnu istinu kao preduslov. Novu viziju sveta, (nesumnjivo pod uticajem istra`ivanja Marka Pola u periodu 1271-1295), ponudio je Toskaneli (1397-1482), i ona je prikazana na slici 8 [HAPGOOD,1966]. Ova karta, kao i Bekonova procena rastojanja od Evrope do isto~ne obale Azije, bili su glavni motiv Kolumbovog poku{aja da plovi zapadno, i na|e novi, svega 5000 km duga~ak put do Indije [DURANT,1944].

Najve}a istra`ivanja obavljena su krajem petnaestog veka, Kolumbovim prelaskom Atlantika 1492. godine, plovidbom Vaska de Game oko Afrike 1497. godine i

SLIKA 1.7. Kozmina vizija sveta.

Magelanovom ekspedicijom oko sveta izme|u 1519. i 1522. godine. Sve bolje poznavanje geografije zahtevalo je br`i razvoj profesije kartografa. Kartografija je umetnost prikazivanja finalnog proizvoda geodezije, pa se neki od poznatijih kartografa u istoriji moraju pomenuti. Me|u najpoznatijima je svakako Italijan Amerigo Vespu~i (1451-1512), koji nam je dao prvu kartu severnoameri~ke pacifi~ke obale i po kome je kontinent nazvan. Drugi dobro poznati kartograf, ~esto smatran ocem moderne kartografije, bio je Flamanac Merkator (1512-1594). On je veoma uspe{no odgovorio na potrebu navigatora za kartama sa najmanjim deformacijama (vidi podpoglavlje 16.3). Slika 9 prikazuje jednu od njegovih karata sveta, koja ilustruje izvanredni napredak ljudskog poznavanja Zemljine povr{ine u vreme renesanse [FITE AND FREEMAN, 1926]. Iako je Eratostenova vrednost

Zemljinog polupre~nika bila kona~no prihva}ena nakon Magelanove ekspedicije, stare navike su te{ko napu{tane, pa su karte kao {to je ova prikazana na slici 10 jo{ uvek bile {tampane sredinom {esnaestog veka [NORDENSKJOELD,1889].

Znaci ponovnog o`ivljavanja geodezije mogu se uo~iti sredinom petnaestog veka, kada se pojavio niz mislilaca koji su utrli put za Kopernika i Keplera. Me|u poznatijima bili su nema~ki kardinal Nikola od Kuze (1401-1464), koji je pisao o dnevnom kretanju Zemlje i uveo pojam beskona~nog kosmosa, kao i italijanski umetnik Leonardo da Vin~i (1452-1519), koji je sugerisao mogu}nost postojanja izostazije (vidi podpoglavlje 8.2) [DURANT, 1944]. Kona~no, oko 1530. godine

SLIKA 1.8. Toskanelijeva ideja zapadne hemisfere.

Poljak Kopernik (1473-1543) objavljuje svoju heliocentri~nu teoriju koja u samom po~etku uklju~uje sve planete.

Ipak bitka sa teologijom jo{ nije bila gotova. Tako, godine 1600. italijanski astronom Bruno (1548-1600) umire izme|u ostalog i zbog toga {to je imao iste poglede kao i Nikola od Kuze i Kopernik pre njega. Pri~a o Galilejevom iznu|enom odricanju od heliocentri~ne teorije, tako|e je dobro poznata [WELLS, 1961].

Izvinjenje je kona~no stiglo u novembru 1979. godine od strane Pape Jovana Pavla II.

Opa`anja koja je vr{io danski astronom Tiho Brahe (1546.-1601.); pobolj{anje eksperimentalnih metoda zahvaljuju}i pre svega Italijanu Galileju (1564.-1642.); razvoj teorije vezan za ime Nemca Keplera (1571.-1630.); savr{eniji instrumenti (kao {to je teleskop), sve je to zajedno bilo potrebno da se kona~no pobede teolo{ki pogledi na svet. Ali u katoli~kim zemljama inkvizicija spaljuje knjige Kopernika, Keplera, Galileja i ostalih pristalica heliocentri~ne teorije sve do 1822. godine, kada su kona~no bili izbrisani iz Indeksa [DREYER,1905].

SLIKA 1.10. Apijanova karta sveta.

[to se ti~e geodezije, bogatstvo ideja koje je u me|uvremenu naraslo predstavljalo je po~etak pravog nau~nog uvida u gravitaciju, pre svega eksperimentom Holan|anina Stevina (1548.-1620.), kojim je dokazao ekvivalentnost me|usobnog gravitacionog privla~enja dva odvojena tela, i Galilejevom formulacijom prvog zakona mehanike. Ipak, Njutnova ideja o gravitaciji kao sili bila je jo{ daleko. Godine 1615., Holan|anin Snelijus (1591.-1626.), izveo je prvu ta~nu triangulaciju [BOEHM,1972] i sproveo prvo ozbiljno istra`ivanje refrakcije. Francuz Pikar izvodi 1670. prvo moderno odre|ivanje veli~ine Zemlje. Njegova vrednost za polupre~nik Zemlje od 6275km, prvo je pobolj{anje Eratostena nakon 19 vekova [GROUEFF, 1974]. Tehnika koju je Pikar koristio opisana je u podpoglavlju 7.3.

Scena je kona~no bila postavljena za najzna~ajnije otkri}e ove ere, Njutnov zakon univerzalnog privla~enja iz 1687. godine (vidi podpoglavlje 6.1), za koji se radovi Italijana Borelija (1608.-1679.) i Engleza Horoksa (1619.-1641.) mogu smatrati prethodnicom. Potreban matemati~ki aparat ve} su pripremili Dekart (1596.-1650.), Lajbnic (1646.-1716.) i sam Njutn (1642.-1727.), koji je pored ostalog bio i profesor matematike na univerzitetu u Kembrid`u. Napredak u razumevanju gravitacije iznedrio je i jo{ dva donekle povezana otkri}a. Krajem sedamnaestog veka Holan|anin Hajgens izumeo je prvi ure|aj na bazi klatna za ta~no odr`avanje vremena, a Englez Bredli (1693.-1762.) otkriva nutaciju (vidi podpoglavlje 5.2).

Njutnova teorija gravitacije nije bila prihva}ena preko no}i. Najugledniji protivnik bio je Njutnov francuski pandan, kraljevski astronom italijanskog porekla Kasini (1625.-1712.). Dok je Njutnova nova teorija predvi|ala da Zemlja bude spljo{tena na polovima zbog centrifugalne sile prouzrokovane rotacijom, Kasini je smatrao da treba da bude spljo{tena po ekvatoru. Nastavio je u to da veruje uprkos otkri}u Francuza Ri{era 1671. da je gravitacija slabija na ekvatoru ba{ kako je diktirala Njutnova teorija.

Kako je teorija gravitacije sticala sve vi{e poklonika, moralo je uslediti kona~no razre{enje spora izme|u Njutna i Kasinija. U godinama 1735.-1743., francuska akademija nauka organizovala je dve ekspedicije za merenje meridijanskih lukova i odgovaraju}ih razlika {irina. Jednu je uputila na ekvator, a drugu bli`e polu. Ekvatorska ekspedicija oti{la je u Peru (danas Ekvador) pod vo|stvom Bugea. Druga, predvo|ena Mopertiusom (1698.-1759.) uklju~uju}i i mladog Kleroa (1713.-1765.), oti{la je u Laplandiju. Rezultati dve ekspedicije potvrdile su ispravnost Njutnove teorije. Uz to, Klero je u sklopu svoje teorije o rotiraju}im fluidnim telima izveo kasnije i jednostavnu vezu izme|u promene gravitacije du` meridijana i spljo{tenosti Zemlje (vidi podpoglavlje 7.4).

1.3. Geodezija u slu`bi kartografije

Pionirski radovi Snelijusa, Pikara i dve francuske ekspedicije, pokazali su da su terestri~ka geodetska merenja uglova i du`ina vredno oru|e za relativno pozicioniranje. Mre`e ta~aka sa horizontalnim polo`ajima odre|enim iz merenja uglova i povremeno du`ina (vidi podpoglavlje 7.1), poznate kao trigonometrijske mre`e, po~ele su da se {ire svim delovima Evrope kao osnova za izradu karata. Ta~no kartografisanje za vojne i civilne potrebe postalo je izvodljivo, jer je bilo mogu}e relativno lako pokriti veliku teritoriju trigonometrijskim ta~kama. Instrumenti potrebni za triangulaciju, tj. teodoliti i ure|aji za merenje du`ina kao {to su `ice i pantljike, postajali su sve ta~niji, lak{i za rad i portabilniji. Metoda triangulacije, astronomsko odre|ivanje polo`aja i azimuta, kao i nivelman, zna~ajno su usavr{eni (vidi deo IV). Odre|ivanja polo`aja iz terestri~kih i astronomskih merenja bila su svakodnevni geodetski posao izme|u 1750. i 1950. godine. ^ak i danas mnogi geodeziju smatraju sinonimom ovih aktivnosti.

U to vreme, osnovni geodetski zadaci predstavljaju intelektualni izazov najve}im misliocima, i pobu|uju interesovanje jednako onom u osvit civilizacije. Tako na primer, nailazimo na Gausa (1777-1855), priznatog kao najve}eg matemati~ara ranog devetnaestog veka, koji pronalazi heliotrop (ure|aj za signalizaciju geodetskih ta~aka odbijenim sun~evim zracima), i vr{i merenja u geodetskoj mre`i kraljevine Hanover. U retko naseljenoj i prostranoj Americi, geodete kao {to je D`ord` Vo{ington koriste posebne metode za re{avanje problema pozicioniranja.

Tako je prva zadovoljavaju}a karta britanske i francuske severne Amerike bila je izra|ena 1755. godine [BOORSTIN,1958].

Ukorak sa razvojem geodetskog pozicioniranja i{la su otkri}a i u drugim aspektima geodezije. Godine 1798. Englez Kevendi{ koristi Mi~elovu torzionu vagu i uspeva da izmeri “te`inu Zemlje“. Francuski matemati~ar Laplas (1749-1827) postavio je temelje moderne nebeske mehanike i teorije plime, a dao je i ogroman doprinos razvoju teorije verovatno}e. Nema~ki astronom Besel (1784-1846) odredio je prvu ta~nu vrednost za spljo{tenost Zemlje (vidi podpoglavlje 7.3) iz do tada poznatih polo`aja geodetskih ta~aka. Gaus je definisao geoid (vidi podpoglavlje 6.3), i istovremeno sa Le`androm prona{ao teoriju najmanjih kvadrata (vidi poglavlje 12). Njegov rad na teorijskim osnovama geodezije naveo je neke geodete da ga proglase ocem geodezije. On jeste uveo geodeziju u njeno zrelo doba, ali je podjednako bio eminentan i u drugim granama nauke.

Kraj osamnaestog i celi devetnaesti vek bili su izvanredno plodonosni u oblasti matematike. Najve}i deo metoda primenjene matematike koje danas koristimo u geodeziji bio je prona|en tada. Stoga se neki od matemati~ara koji su najvi{e doprineli teorijskoj izgradnji geodezije moraju pomenuti. To su, na primer, [vajcarac Ojler (1707-1783) sa svojim radom na mehanici fizi~kih tela, i Francuz-Italijan Lagran` (1736-1813) osniva~ analiti~ke mehanike, koji se izme|u ostalog zalagao za uvo|enje metri~kog sistema u Francuskoj 1795. godine. Drugi Francuz, Furije (1768-1830), zapam}en je po svom radu na potencijalu, Gaus i Nemac Riman (1826-1866) po radu na diferencijalnoj geometriji, a Irac Hamilton (1805-1865) po tome {to je kona~no zaokru`io teorijsku analiti~ku mehaniku.

U ovom periodu racionalizma razvijale su se podjednako brzo i ostale nau~ne oblasti povezane sa geodezijom. Geofizika zapo~inje teoriju evolucije Zemljine povr{ine koju formuli{e {kotski geolog Haton (1726.-1797.), Nemac Humbolt (1769-1859) izu~ava razli~ite fizi~ke aspekte Zemlje, a nema~ki geofizi~ar Vegener (1880-1930) objavljuje svoju teoriju o kretanju kontinenata (vidi podpoglavlje 8.3). Vrh ^imborazo u Ju`noj Americi va`i kao najvi{i sve do merenja geodete Everesta u Himalajima [BOTTING,1973]. Okeanografija napreduje od prvih merenja dubina

engleskog istra`iva~a Kuka (1728-1779), do izrade karte dna i morskih struja ameri~kog okeanografa Morija (1806-1873) i opa`anja {vajcarskog istra`iva~a Pikarda (1884-1962) izvr{enih iz podmornice. Kretanje elektromagnetnih talasa teorijski opisuje {kotski fizi~ar Maksvel (1831-1879), a njihovu brzinu prvi laboratorijski meri Francuz Fizo (1819-1896). Primenu elektromagnetnih talasa u merenju velikih du`ina razra|uje nema~ko-ameri~ki fizi~ar Majkelson (1852-1931), koji je i prvi odredio geodetsku du`inu sa relativnom ta~no{}u boljom od 10−6.

Sav ovaj razvoj imao je i povratni stimulativni uticaj na geodeziju. Francuski fizi~ar Koriolis (1792-1843) objasnio je ukupno ubrzanje tela koja se kre}u po Zemljinoj povr{ini. Sredina devetnaestog veka svedo~ila je prvom merenju vertikalskih otklona (vidi podpoglavlje 6.4), i prvom poku{aju dva engleska fizi~ara Ejrija i Prata da odrede uticaj izostazije (podpoglavlje 8.2). U isto vreme francuski fizi~ar Fuko demonstrirao je okretanje Zemlje i izumeo `iroskop koji je kasnije Amerikanac Speri (1860-1930) adaptirao u `iro-kompas (vidi podpoglavlje 16.1). Godine 1880. nema~ki geodeta Helmert ~ini prvi poku{aj sintetizovanja i formalizovanja matemati~ke i fizi~ke osnove geodezije u svojoj knjizi “Matemati~ka i fizi~ka teorija geodezije“. Engleski fizi~ar Stouks objavljuje 1883. godine re{enje geodetskog grani~nog problema u zatvorenom obliku (vidi podpoglavlje 22.1). [kotlan|anin Kelvin (1824-1907), Englez Darvin (1845-1912, sin ^arlsa Darvina) i Francuz Poenkare (1854-1912) razvijaju teoriju Zemljine plime (vidi podpoglavlje 8.1), a Kana|anin Njukomb (1835-1909) istra`uje kretanje Zemljine ose rotacije (vidi podpoglavlje 5.4).

Po~etkom dvadesetog veka dolazi do ogromne promene u shvatanjima fizi~ara, pre svega zbog teorije prostor-vreme Minkovskog, i naravno Ajn{tajnove specijalne i op{te teorije relativiteta koje predstavljaju uop{tenje Njutnove teorije gravitacije [CLARK, 1971]. Ideja da je gravitacija ustvari geometrija prostora i vremena [DAVIES, 1979], su{tinski je oblikovala fiziku, i iako nije direktno primenljiva u

ve}ini geodetskih problema, uticala je u odre|enoj meri i na geodeziju. Svakako je imala udela u formiranju filozofskih pogleda autora ove knjige.

U prvoj polovini dvadesetog veka ma|arski fizi~ar Etve{ izu~ava gradijente sile te`e, a holandski geofizi~ar Vening Majnes zna~ajno usavr{ava teoriju izostazije. Engleski geofizi~ar D`efriz uvodi koncept teluroida (vidi podpoglavlje 7.4), kojim zapo~inje novi trend u geodeziji, i koji kulminira strogim re{enjem geodetskog grani~nog problema ruskog fizi~ara Molodenskog (vidi podpoglavlje 22.2). Kona~no, mora se pomenuti i rad na teoriji normalnog gravitacionog polja italijanskih matemati~ara Picetija i Somiljane (vidi podpoglavlje 20.3).

1.4. Geodezija modernog doba

Sredinom dvadesetog veka dolazi do tehnolo{ke revolucije. Na razvoj geodetskih instrumenata uti~e pre svega pronalazak radara, izazvan ina~e potrebama odbrane za vreme drugog svetskog rata. Otprilike u isto vreme pojavljuju se i prvi prakti~ni elektronski ra~unari, otvaraju}i do tada nezamislive horizonte u oblasti numeri~ke matematike. Uvo|enje kompjutera nije samo ubrzalo geodetska ra~unanja, ve} je i revolucionalizovalo razmi{ljanje geodeta. Re{enja problema, koja ranije zbog ogromne koli~ine ra~unskih operacija nisu ni poku{avana, postala su sada ne samo izvodljiva ve} i veoma laka.

Vekovima su horizontalni uglovi imali prednost nad du`inama zbog ve}e ta~nosti i neuporedivo lak{eg izvo|enja merenja. Me|utim, ubrzo nakon rata, u {iroku geodetsku upotrebu ulaze dovoljno ta~ni i komercijalno dostupni elektromagnetni ure|aji za merenje du`ina. Ovi instrumenti, zasnovani isprva na polarizovanoj svetlosti, zatim na radio talasima i kona~no na laseru, u potpunosti su izmenili sliku geodetskog pozicioniranja.

Prethodnica vrtoglavog razvoja ekstraterestri~kih metoda bili su eksperimenti u radio-astronomiji koji su kulminirali otkri}em pulsara i kvazara. Ovi udaljeni radio objekti emituju signale sa frekvencijom velike stabilnosti, i danas se koriste za razvoj tehnike radiointerferometrije (vidi podpoglavlje 16.1).

Lansiranje prvog ve{ta~kog satelita bio je slede}i d`inovski skok za geodeziju. Po prvi put su geodete mogle koristiti aktivna i pasivna ekstraterestri~ka tela za ta~no pozicioniranje ta~aka, a da se pri tome ne postavlja uslov njihovog dogledanja. Niske visine leta satelita pru`ile su mogu}nost istra`ivanja geometrije Zemljinog gravitacionog polja pomo}u direktnih merenja poreme}aja satelitskih putanja (poglavlje 23). Sateliti su istovremeno postavili i novi zahtev pred geodeziju: odre|ivanje gravitacionog polja iznad Zemlje za potrebe prognoze satelitskih putanja. Jo{ jednom je glavni korisnik ovih informacija bila vojska kojoj je poznavanje geometrije gravitacionog polja potrebno za ra~unanje putanja projektila.

Drugo dostignu}e kosmi~kog programa predstavljaju sistemi inercijalne navigacije i pozicioniranja (vidi podpoglavlje 16.1). Ovi tehnolo{ki kompleksni sistemi ostvareni su zahvaljuju}i pre svega izvanrednom pobolj{anju ta~nosti ure|aja i senzora za merenje ubrzanja i odre|ivanje pravaca. Za pove}anje ta~nosti najzaslu`niji je spektakularni razvoj mikroelektronike.

Lako}a i ta~nost kojom su geodete mogle odre|ivati polo`aje ta~aka i parametre gravitacionog polja vodili su novim primenama, ali i postavili nove probleme. Ono {to je na primer ranije moglo biti zanemareno sada se pojavilo kao efekat koji se mora obra~unati. Druge discipline naglo su postale zainteresovane za geodetske metode i rezultate radi efikasnijeg istra`ivanja svojih fenomena. Primeri takvih simbioti~kih veza geodezije su one sa geofizikom, kosmi~kim naukama, astronomijom i okeanografijom (vidi podpoglavlje 2.2).

Veza geodezije sa geofizikom bila je posebno plodonosna jo{ iz jednog razloga. Naime, kasnih {ezdesetih godina kona~no je gotovo jednoglasno prihva}ena hipoteza o pomeranju kontinenata. U nekim delovima sveta (podpoglavlje 8.3), brzina relativnih tektonskih kretanja toliko je velika da se direktno mo`e meriti geodetskim putem. Geodezija je stoga postala glavni izvor geometrijskih informacija o ovom kretanju, i ta uloga joj je otvorila primenu i u drugim podru~jima geodinamike.

Poslednji zna~ajni razvoj geodezije koji moramo pomenuti odnosi se na more. Sve ve}a upotreba morskog okru`enja u vidu eksploatacije resursa morskog dna postavila je pred geodeziju zadatak pozicioniranja pokretnih i stacionarnih objekata na moru. U okviru te svoje uloge geodezija danas ima veliki zna~aj i u zadovoljavanju naraslih potreba za ta~nom navigacijom.

Savremena geodezija, koja iznova poprima nove dimenzije, neprekidno se suo~ava sa novim izazovima i stalno iznalazi nove tehnike i metode, to je geodezija koju smo poku{ali da predstavimo u ovoj knjizi.

20

GEODEZIJA I DRUGE DISCIPLINE

Za svakog ko prou~ava geodeziju izuzetno je instruktivno da upozna njene veze sa drugim disciplinama. Te veze su ono {to odre|uje stepen korisnosti i prakti~nosti bilo kog nau~nog polja, i u krajnjoj liniji diktira njegove ciljeve. Ovo poglavlje predstavlja na{ poku{aj da sagledamo povezanost geodezije sa drugim disciplinama, i to onako kako ih mi vidimo. Te veze ina~e variraju od zemlje do zemlje, a menjale su se i kroz vreme. Na{a je klasifikacija prema tome nu`no subjektivna, i nema sumnje da postoje geodete koje se ne}e s nama slo`iti. Nismo uostalom ni poku{avali da klasifikujemo nau~na polja izvan geodezije niti da uspostavljamo njihovu hijerarhiju i me|uveze. Poku{ali smo samo da prika`emo tok informacija u odnosu na geodeziju i upotrebimo ga kao na{ na~in klasifikacije.

Prvo podpoglavlje razmatra discipline u kojima geodezija nalazi primenu. Drugo podpoglavlje ukratko opisuje simbioti~ku vezu koju geodezija ima sa drugim naukama. Tre}e podpoglavlje posve}eno je onim disciplinama koje obezbe|uju nau~nu osnovu geodezije. Me|u njima matematika ima dominatnu ulogu, i to tako dominantnu da je ustvari celo jedno poglavlje (3) posve}eno onim delovima matematike koji se naj~e{}e koriste u geodeziji. Suprotno na{oj nameri, morali smo zapo~eti sa primenom, a zavr{iti sa osnovama, kako bismo obezbedili logi~ki kontinuitet materije predstavljene kroz razna poglavlja.

2.1. Primene geodezije

Pre nego {to zapo~nemo sa pregledom razli~itih primena geodezije, razjasnimo prvo vezu izme|u geodezije i premera. U ve}ini jezika nema posebne razlike izme|u ova dva pojma. Razlika svojstvena engleskom jeziku verovatno stvara vi{e problema nego {to ih re{ava. Bilo kako bilo, premer je po na{em mi{ljenju praksa pozicioniranja, a geodezija predstavlja njegovu teorijsku osnovu.

Vekovima je uloga geodezije bila ona u slu`bi izrade planova i karata (vidi podpoglavlje 1.3), tako da to jo{ uvek ve}ina ljudi smatra njenim glavnim ciljem. Ovakvo redukovanje geodezije na takozvani kontrolni premer ~ija je jedina funkcija

da obezbedi kontrolne polo`aje za kartografisanje, vi{e jednostavno ne stoji. Iako zna~ajni deo informacija koje geodezija obezbe|uje spada u domen pozicioniranja, postoje i drugi jednako va`ni aspekti (vidi podpoglavlje 4.1).

Vratimo se sada disciplinama kojima je potrebna geodetska poziciona ili neka druga informacija. Na{e istra`ivanje usmerile su ideje sadr`ane uglavnom u slede}im publikacijama: KRAKIWSKY AND VANI~EK [1974],VANI~EK [1976],U. S. COMMITTEE ON GEODESY [1978],MUELLER [1978],HIEBER AND GUYENNE [1978],

i RINNER [1979].

(a) Kartografija: Sasvim je jasno da su mre`e odgovaraju}e raspore|enih ta~aka poznatog horizontalnog i vertikalnog polo`aja (takozvana geodetska kontrola), neophodne da bi se izradile karte, i to kako sitnorazmerne za celu dr`avu, tako i krupnorazmerne za npr. op{tine. Uspostavljanje ove kontrole je jasan geodetski zadatak i bi}e razmatran u delu IV.

(b) Urbani menad`ment: U urbanom okru`enju neophodno je definisati i dokumentovati lokacije raznih struktura kao {to su na primer podzemne instalacije. Potreba za kontrolnim ta~kama u ovakvim slu~ajevima jasno je istaknuta u {irokoj literaturi, npr. BLACHUT ET AL.[1979].

(c) In`enjerski projekti: Za vreme izgradnje velikih objekata kao {to su brane, mostovi ili fabrike, neophodno je obele`avati i postavljati njihove komponente na prethodno definisananim lokacijama. U ove svrhe koriste se koordinate ove ili one vrste, tako da je ponovo neophodno postojanje kontrolnih ta~aka. Isto tako, ~esto je potrebno pratiti pomeranja tla i nivoa vode pre, za vreme i nakon izgradnje objekta. U slu~aju brana, vodenih tunela i irigacionih objekata, mora se poznavati i ta~an oblik gravitacionih ekvipotencijalnih povr{i. Odre|ivanje pomeranja (vidi poglavlja 26 i 27) i oblika ekvipotencijalnih povr{i (vidi deo V), tako|e su geodetski zadaci.

(d) Razgrani~enja: Stroga definicija me|unarodnih i unutra{njih granica oduvek je imala izuzetnu va`nost. Od skora je tako|e na va`nosti dobilo i brzo i ta~no opisivanje granica nalazi{ta nafte i gasa, ~ak i u tako udaljenim i negostoljubivim podru~jima kao {to su Arktik, Severno more ili brojni kontinentalni zalivi. Pozicioniranje i obele`avanje ovih granica najekonomi~nije se izvodi ako se odnosi na polje ta~aka sa poznatim horizontalnim polo`ajima, odnosno na geodetsku mre`u (vidi poglavlje 18).

(e) Ekologija: Poslednjih nekoliko decenija uo~ena je va`nost ispitivanja efekata koje ljudska aktivnost ima na okolinu. Jedan od takvih efekata je pomeranje tla, koje nastaje kao posledica kori{}enja podzemnih resursa kao {to su

voda, nafta i minerali (vidi podpoglavlje 8.4). Otkrivanje i pra}enje ovih pomeranja geodetski je problem (vidi poglavlja 26 i 27).

(f) Upravljanje prostorom: Uo~eno je da uspostavljanje banki podataka o ljudskoj sredini koje bi slu`ile kao integralni informacioni sistem za potrebe transporta, kori{}enja zemlji{ta, socijalne i komunalne slu`be, utvr|ivanja vlasni{tva, prikupljanje poreza i popisa, treba da se bazira na parcelama ~iji su polo`aji jedinstveno definisani u vidu koordinata [HAMILTON,1969]. U tu svrhu ponovo je najekonomi~nije da se te koordinate odnose na geodetsku mre`u.

(g) Geografija: Sve informacije o polo`ajima potrebne geografiji obezbe|uje geodezija. Iako je ta~nost pozicionih i drugih geometrijskih informacija koje geografi koriste u op{tem slu~aju mnogo ni`a nego {to to zahtevaju do sada navedene discipline, ove informacije su globalnog karaktera, {to jedino geodezija mo`e obezbediti.

(h) Planetologija: Mo`e se diskutovati o tome da li je to deo astronomije ili geofizike, ali bilo kako bilo, planetologija koristi metode istra`ivanja geometrije, gravitacionog polja i deformacija planeta, koje su identi~ne ekstraterestri~kim geodetskim metodama. To prakti~no zna~i da je geodezija jednako primenljiva i u planetologiji. Zbog ove bliske veze planetologije i geodezije neke geodete smatraju odre|ivanje oblika, veli~ine i gravitacionog polja planeta delom geodezije.

(i) Hidrografija: Neki ovo polje svrstavaju u okeanografiju, dok je drugi smatraju posebnom vrstom takozvanog marinskog premera. U oba slu~aja hidrografija ima donekle specijalnu vezu sa geodezijom. Hidrografija se naime mo`e posmatrati kao praksa pozicioniranja na moru, kombinovana sa odre|ivanjem dubine, i kao takva koristi mnoge geodetske metode (vidi podpoglavlja 18.4 i 19.4).

2.2. Simbioti~ka veza geodezije i nekih drugih nauka

Jasno je da osim izrade planova i karata postoje i drugi ciljevi geodezije, zbog ~ega njena primena u mnogim nau~nim disciplinama ima za rezultat obostranu vezu. Naime, dok geodezija tim disciplinama obezbe|uje jednu vrstu informacija, one zauzvrat geodeziji obezbe|uju drugu vrstu informacija. Te discipline su slede}e:

(a) Geofizika je kroz svoju istoriju imala verovatno najbli`u vezu sa geodezijom, i to toliko blisku da se u nekim zemljama geodezija smatra granom geofizike. Zbog ove bliskosti ponekad je te{ko oceniti gde se geofizika zavr{ava, a geodezija po~inje. Shodno tome ne o~ekujemo da }e na{a gledi{ta deliti sve geodete i svi geofizi~ari.

Geofizika, kao i mnoge druge oblasti, koristi polo`aje i geometrijske informacije koje mo`e obezbediti geodezija. Naro~ito su joj potrebne geometrijske informacije o Zemljinim vremenskim deformacijama. Kao {to je obja{njeno u podpoglavlju 1.4, geodetske tehnike se danas rutinski koriste u otkrivanju tektonskih kretanja (vidi npr. SAVAGE AND BURFORD [1973], NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE

ADMINISTRATION (NASA) [1979]). Geodetski podaci koriste se isto tako i u prou~avanju geometrije deformacija i u drugim oblastima savremene geodinamike [VANI~EK,1977].

Gravimetrija je jedan od najva`nijih izvora informacija koji se koristi u teorijskoj i primenjenoj geofizici [TELFORD ET AL.,1976]. Gravimetrijski podaci neophodni su za izu~avanje nepravilnosti u rasporedu podzemnih masa. Kako su geodete tako|e zainteresovane za gravimetrijske podatke radi izu~avanja geometrije gravitacionog polja (vidi podpoglavlje 4.1.), obe nauke pola`u pravo na prikupljanje takvih podataka. Po jednoj donekle ve{ta~koj podeli, globalni gravimetrijski radovi pripadali bi geodeziji, dok bi regionalni i lokalni gravimetrijski premer predstavljao geofizi~ki zadatak. Vremenske promene gravitacionog polja pru`aju vredne informacije o fizi~kim uzrocima vertikalnih pomeranja Zemljine kore. Ovi podaci ~esto se koriste u kontekstu savremene geodinamike (vidi podpoglavlje 26.1). Zauzvrat, geofizika obezbe|uje uvid u fizi~ku reakciju Zemlje na razli~ite sile (poglavlje 8), u mogu}u raspodelu gustina unutar Zemlje (podpoglavlje 6.1) i u uticaje unutra{nje Zemljine strukture na njeno kretanje (podpoglavlje 5.3). Ove informacije su potrebne za uspostavljanje raznih matemati~kih modela za geodetske svrhe.

(b) Prostorne nauke u pore|enju sa geofizikom veoma su mlade. Od samog po~etka njihova veza sa geodezijom bila je jako bliska. Glavni razlog za to je {to je poznavanje geometrije Zemljinog spolja{njeg gravitacionog polja neophodno za predikciju orbita kosmi~kih objekata (podpoglavlje 23.2). Pored toga, polo`aji stalnih satelitskih stanica moraju biti poznati sa visokom ta~no{}u [NASA,1978] zbog ~ega se odre|uju isklju~ivo geodetskim putem.

S druge strane prostorne nauke su razvile neke veoma mo}ne pozicione sisteme koji koriste Zemljine ve{ta~ke satelite, i oni se sada upotrebljavaju u geodeziji zajedno sa postoje}im terestri~kim tehnikama (vidi poglavlja 15 i 16). Analiza opa`anja prema niskolete}im satelitima obezbe|uje ta~no odre|ivanje dugotalasnih karakteristika Zemljinog gravitacionog polja, uklju~uju}i i vrednost spljo{tenosti Zemlje (podpoglavlja 7.3 i 23.4). Pra}enjem kosmi~kih sondi dobija se najbolja ocena za vrednost mase Zemlje.

(c) Astronomija kao jedna od najstarijih postoje}ih nauka dugo se razvijala zajedno sa geodezijom (poglavlje 1). Iako je u novije vreme me|uzavisnost geodezije i astronomije oslabila, poziciona astronomija jo{ uvek ima odre|enu ulogu u geodeziji (podpoglavlja 15.1 i 15.2). [tavi{e, budu}nost }e verovatno svedo~iti poja~anoj ulozi pozicione radio-astronomije (vidi podpoglavlje 16.1). Jedan drugi deo astronomije, nebeska mehanika, tako|e je neophodan geodeziji zbog izu~avanja satelitskih putanja (vidi podpoglavlje 23.1). Geodezija deli sa astronomijom interes i u laserskom odre|ivanju rastojanja do Meseca (vidi podpoglavlje 16.1). Ova rastojanja koriste se u astronomiji za ra~unanje Mese~eve orbite i libracije [COOK ET AL., 1977], dok ih geodete koriste za odre|ivanje polo`aja. Od zajedni~kog interesa je tako|e i pra}enje rotacije Zemlje (podpoglavlje 5.4).

(d) Okeanografija je jo{ jedna nauka sa kojom geodezija ima zajedni~ka interesovanja. Naime, i geodezija i okeanografija bave se pozicioniranjem i odre|ivanjem pomeranja obalskih linija. Geodezija obezbe|uje okeanografima relativne visine priobalnog nivoa mora pomo}u posebnih mernih ure|aja (mareografa), kao i njihova relativna vertikalna pomeranja [LENNON, 1974]. Okeanografima su tako|e va`ni geodetski odre|eni polo`aji raznih morskih objekata, uklju~uju}i tu i sante leda, okeanografska plovila i sli~no (vidi podpoglavlje 18.4).

Okeanografske informacije koje su od zna~aja za geodeziju podrazumevaju dinamiku morske povr{i (podpoglavlje 8.4) i odstupanja srednjeg nivoa mora od ekvipotencijalne povr{i Zemljinog gravitacionog polja (vidi podpoglavlje 7.2). Ove informacije neophodne su geodeziji za uspostavljanje vertikalnih datuma.

(e) Atmosferske nauke, kao i do sada pomenute, koriste geodetske podatke o polo`ajima i gravitaciji, naro~ito na lokacijama koje se odnose na meteorolo{ke stanice i sonde. One tako|e kao i geodezija imaju interesa za analizu satelitskih putanja. Dok geodezija interpretira satelitske orbitalne perturbacije kao posledicu gravitacionih efekata, atmosferskim naukama ovi poreme}aji slu`e pre svega za istra`ivanje efekata rasporeda vazdu{nih masa [JACCHIA AND SLOWEY, 1975]. Geodeziji su osim toga potrebni {to ta~niji modeli atmosferske refrakcije kao i odgovaraju}i meteorolo{ki podaci potrebni za ra~unanje (vidi podpoglavlje 9.2), {to ina~e predstavlja jedan od najte`ih problema u mnogim geodetskim merenjima kao {to }e se videti u delu IV. Meteorolo{ki podaci su isto tako potrebni i za analizu vremenskih promena nivoa mora (podpoglavlja 8.4 i 19.1), a u posebnim slu~ajevima i za analizu vremenskih promena oblika Zemljine povr{i (podpoglavlje 8.4).

(f) Geologija koristi geodetske informacije i o horizontalnim i o vertikalnim polo`ajima za izradu svojih karata. Zauzvrat, ona pru`a geodeziji informacije o geomorfologiji i lokalnoj stabilnosti raznih geolo{kih formacija. Informacije o stabilnosti neophodne su geodetama pri izboru odgovaraju}ih mesta za postavljanje geodetskih belega i izgradnju raznih vrsta opservatorija (vidi podpoglavlje 7.1).

2.3. Teorijske osnove geodezije

Poslednja grupa disciplina koje se moraju pomenuti su one koje obezbe|uju geodeziji teorijsku osnovu. Standardnu osnovu mnogih nauka, pa prema tome i geodezije, predstavljaju pre svega matematika, kompjuterske nauke i fizika.

(a) Matematika je bez sumnje najva`niji gradivni elemenat geodezije. Ustvari, neki izvori smatraju geodeziju granom primenjene matematike (vidi npr. ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA [1970]). Mnogo toga se mo`e re}i u prilog ovom

gledi{tu, jer je geodezija u su{tini geometrija primenjena na Zemlju. Da bi se istakao zna~aj matematike, celo poglavlje 3 posve}eno je opisu matemati~kih koncepata potrebnih u geodeziji - barem u geodeziji predstavljenoj u ovoj knjizi. Moramo napomenuti da smo statistiku uklju~ili u na{ tretman matematike u poglavlju 3, dok smo numeri~ku analizu pomenuli pod naslovom koji se odnosi na kompjuterske nauke.

(b) Kompjuterske nauke nas u~e kako da koristimo kompjuterske sisteme, najmo}nije ra~unsko i analiti~ko oru|e kojim danas raspola`emo. Mnogi problemi sa kojima se geodezija danas suo~ava zahtevaju kompjutersko re{enje. Geodete, kao i drugi nau~nici, moraju imati odgovaraju}e znanje barem jednog programskog jezika visokog nivoa i da budu upoznati sa interaktivnim i grafi~kim mogu}nostima kompjutera. Zbog ogromne koli~ine podataka potrebnih za re{avanje ve}ine geodetskih problema, geodete moraju imati i odgovaraju}e obrazovanje u ra~unarskom rukovanju bazama podataka.

Kona~no, i razli~iti koncepti numeri~ke analize su isto tako potrebni u geodeziji. To se pre svega odnosi na teoriju aproksimacija obra|enu u odre|enoj meri u podpoglavlju 14.2. Numeri~ke metode linearne algebre obra|ene u poglavljima 12 i 14, i kori{}ene u celoj knjizi (naro~ito u podpoglavlju 18.2), tako|e su neophodne. Korisne su i numeri~ka integracija, diferencijacija i integracija diferencijalnih jedna~ina.

(c) Fizika je geodetama va`na skoro isto toliko koliko i matematika. Jo{ od Njutna, gravitacija ima veliku ulogu u geodeziji (vidi poglavlje 6 i deo V). Ovaj zna~aj samo je porastao otkad je utvr|eno da je gravitacija u stvari geometrija prostora u kojem se izvode geodetska merenja (podpoglavlje 1.3). Danas se

prou~avanje geometrije Zemljinog gravitacionog polja smatra delom geodezije a ne fizike (vidi podpoglavlje 4.1).

Podjednako fundamentalni zna~aj za geodeziju ima i teorija kretanja elektromagnetnih talasa. Skoro svi geodetski instrumenti koriste principe ovog kretanja na ovaj ili onaj na~in, pa je razumevanje fizi~kih zakona kretanja (vidi podpoglavlje 9.2) od su{tinskog zna~aja za na{e razumevanje prirode prikupljenih podataka. Kako zna~ajan broj geodetskih instrumenata koristi vidljivi deo elektromagnetnog spektra, jasna je potreba i za geometrijskom optikom.

Mehanika je u op{tem slu~aju neophodna za razumevanje kretanja Zemlje i njenih satelita (vidi poglavlja 5 i 25). U tom kontekstu koriste se dva dinami~ka koncepta. Jedan se odnosi na kretanje fizi~kih ~estica u potencijalnom polju (centralnom ili poreme}enom), a drugi na rotaciju deformabilnog tela. Stoga su jednako

neophodne kako Keplerova i perturbaciona teorija [HAGIHARA, 1971], tako i teorija deformabilnih `iroskopa Lujvija [ROUTH,1884]. U ovoj knjizi je, me|utim, predstavljena samo Ojlerova teorija ~vrstih `iroskopa (vidi podpoglavlje 5.3), koja se koristi za izu~avanje `iroskopske orijentacije (vidi podpoglavlje 16.1).

Neki od elemenata mehanike kontinuuma i reologije potrebni su za izu~avanje Zemljine reakcije na razli~ite sile (vidi poglavlja 8 i 25). Iako razumevanje fizike Zemljinih deformacija nije neophodno za geodeziju, odre|eno poznavanje ovih fenomena joj svakako koristi. Osim toga rudimenti akustike nalaze primenu u marinskom pozicioniranju (vidi podpoglavlje 18.4), a poznavanje metrologije neophodno je u kalibraciji geodetskih instrumenata.

Predstava svih do sada opisanih veza data je na sl.1. Primetimo da razli~ite senke ozna~avaju razli~ite veze.

28

MATEMATIKA I GEODEZIJA

Kao {to je ve} konstatovano u poglavlju 2, geodezija ima posebne veze sa matematikom, i matematika se u njoj obilno koristi. Cilj ovog poglavlja je da opi{e matematiku potrebnu geodetama. Tome u prilog, odlu~ili smo da usmerimo izlaganje na one teme koje su od zna~aja za preostala poglavlja knjige. Osim toga definisali smo i neke nestandardne pojmove i oznake, i ukazali na veze izme|u tema za koje smo smatrali da }e biti od pomo}i ~itaocu. Najve}i deo upotrebljenog matemati~kog aparata mo`e se na}i u KORN AND KORN [1968] i HOGG AND CRAIG

[1970]. No i pored toga, citirane su brojne reference koje mogu pomo}i u daljem izu~avanju izlo`ene materije.

Pregled koji smo ovde predstavili slu`i samo za osve`avanje ~itao~evog pam}enja i kao takav ne sme se smatrati tekstom o matematici. Najve}i deo tema, iako ne sve, uobi~ajeni su deo kurseva matematike na univerzitetskim studijama.

Teme su podvedene pod ~etiri, vi{e ili manje prirodna naslova, i to algebru, analizu, geometriju i statistiku. Nismo ~inili poku{aje da opravdamo didakti~ki redosled materije ili izbor jedne ili druge teme. Materija koja je previ{e specijalizovana, ili nije u okviru uobi~ajenih univerzitetskih kurseva matematike, tretirana je direktno u glavnom tekstu knjige.

3.1. Algebra

U prvom delu ovog podpoglavlja razmatran je onaj deo matematike koji se bavi algebrom vektora i matrica. Kroz knjigu }e vektori biti ozna~avani malim zadebljanim slovima ( ba , , . ..), a matrice velikim zadebljanim slovima (A ,B , . ..). Ukoliko nije druga~ije napomenuto, vektori }e se smatrati kona~nim, ure|enim skupom realnih brojeva, i kao takvi pripada}e realnim vektorskim, odnosno linearnim prostorima. Za vektor a koji ima n komponenti (dim( a)=n) onda va`i:

n

R ∈

gde R ozna~ava skup realnih brojeva. Sli~no tome, ako je za matrice )) dim( ), (dim( ) , ( )

dim(A = n m = colA rowA , onda A pripada prostoru R_{( mn, )} koji je izomorfan prostoru Rnm. Naravno vektori uklju~uju i vektore polo`aja u geometrijskom prostoru, ali razlike izme|u apstraktnih vektora i vektora koji imaju o~igledno geometrijsko zna~enje bi}e isticane na odgovaraju}im mestima u kasnijim poglavljima (vidi podpoglavlje 3.3).

Matrice (pa prema tome i vektori) mogu imati jednu od slede}e dve uloge: one mogu biti smatrane objektima ili linearnim operatorima. Ako napi{emo:

Ba

b= (3.2)

onda se mo`e smatrati da Btransformi{e a∈V_a u b∈V_b kao transformacioni operator izme|u dva vektorska prostora V_a i V_b. Gornja jednakost pretpostavlja kongruenciju izme|u a,b i B, tj. da je dim(B)=dim(b),dim(a)). Primer matrice koja se smatra operatorom je Jakobijan matrica (parcijalnih izvoda):

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ n m m m n n l f l f l f l f l f l f l f l f l f 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 l f , (3.3)

gde je f∈F vektor funkcija f_i (vektorska funkcija vektora sa argumentima l_j); L

∈

l je vektorski argument, a F i L su vektorski prostori. Zamenom neke odre|ene vrednosti l₁ za l, ∂ f/∂l se mo`e smatrati transformacijom okoline

L ∈ 1

l u okolinu f(l₁)= f₁∈F . Primer matrice koja je sama po sebi objekat je Vandermondova matrica:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

φ

φ

φ

φ

φ τ

φ

φ

φ

φ

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

Φ T

sastavljena od n funkcionalnih vrednosti u funkcija

φ

{

}

j

τ

τ

τ

τ

Navedimo sada neke naro~ite vrste matrica koje }emo koristiti u knjizi:

(a) Kvadratna matrica Q je matrica za koju je dim(colQ)=dim(rowQ)= )

dim(Q .

(b) Simetri~na matrica S je kvadratna matrica za koju je s_ij =s_ji ,i, j=1,. . . )

dim( ,

... S , gde su s_ij elementi od S.

(c) Antisimetri~na matrica A je kvadratna matrica za koju je a_ij =−a_ji, ) dim( ..., , 1 ,j= A i

(d) Dijagonalna matrica D je kvadratna matrica za koju je d_ij =0, za i≠ j. Ona se ~esto ozna~ava sa D=diag(d_ii)=diag(d_i). Matrica ~iji su nenulti elementi raspore|eni u n dijagonala simetri~no oko glavne dijagonale zove se n -dijagonalna matrica.

(e) Jedini~na matrica I je dijagonalna matrica za koju je d_i =1, za ) dim( , . . . 1, I = i .

(f) Gornja (donja) trouglasta matrica je kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod (iznad) glavne dijagonale jednaki nuli.

(g) Pozitivno definitna matrica P je kvadratna matrica za koju je kvadratna forma aTPa pozitivan broj pri bilo kojem a≠0.

(h) Dijadi~ka matrica Y je matrica koja se dobija kao: T

aa

Y = , (3.5)

gde je a proizvoljni vektor. Jasno je da je dim(Y)=(dim(a),dim(a)).

(i) Ortogonalna matrica je matrica R ~ije sve kolone (vrste) c_i zadovoljavaju slede}u jednakost: ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = . , 1 , , 0 T j i j i j i c c (3.6)

(j) Ako su elementi matrice H i sami matrice, tada je H hipermatrica. Svaka matrica B ~ija je ve}a dimenzija 2 ili vi{e, mo`e postati hipermatrica odgovaraju}om particijom.

Trag kvadratne matrice Q je broj definisan kao:

( )

_∑

Mo`e se pokazati da za pozitivno definitnu matricu P va`i:

(

)

Pa

aT _=tr T

. (3.8) Za bilo koje dve matrice A,B:

( ) ( )

tr AB = BA (3.9)

ako oba proizvoda postoje.

Svakoj kvadratnoj matrici Q mo`e se pridru`iti realni broj koji se zove determinanta det(Q). Po definiciji je:

( )

_{∑ ∏}

gde indeks l_j podrazumeva sve mogu}e vrednosti, tako da su zastupljene sve permutacije u kojima se svaka kolona pojavljuje samo jednom, a (l) je broj zamena potrebnih da se vrednosti drugog indeksa dovedu u prirodni red. Matrica Q zove se regularna (nesingularna) ako i samo ako je det(Q)≠0. Obrnuto, ako je

0 )

det(Q = , matrica Q je singularna. Ako je det(Q) veoma mali broj, matrica Q je slabo uslovljena. Pozitivno definitna matrica je uvek regularna. Za dijagonalnu matricu D va`i:

( )

_∏

Rang matrice B, u oznaci rank(B), je broj linearno nezavisnih vrsta ili kolona matrice B. Ako je P pozitivno definitna onda je BPBT tako|e pozitivno definitno kada je rank(B)=dim(colB)≤dim(rowB). Ako je za kvadratnu