УДК 539.3
В.М. ИЛЬМАН, канд. физ.-мат. наук (ДНУЖТ)
С.Ю. РАЗУМОВ (ДНУЖТ)
К КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧЕ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ КАЧЕНИИ
Наприкладіплоскоїконтактноїзадачідляпружнихтілпоказано, щонерівномірнаякістьзоднорідною зоноюзчепленняінеоднорідноюконтактноюзоноюзмоделлюПетрова-Фромманеможливі.
Напримереплоскойконтактнойзадачидляупругихтелпоказано, чтонеравномерноекачествосодно -роднойзонойсцепленияинеоднороднойконтактнойзонойсмодельюПетрова-Фромманевозможны.
With the help of example of plane contact problem for elastic bodies is demonstrated, that irregular rolling with homogeneous zone of adhesion and inhomogeneous contact zone with the help of Petrov-Fromm model is impossi-ble.
В предлагаемой работе приводится решение одной задачи о контактном взаимодействии упругих тел в процессе качения исследова-тельской программы «Колесо – рельс», прово-димой в Днепропетровском национальном уни-верситете железнодорожного транспорта под руководством академика Транспортной акаде-мии профессора А.А. Босова. Для подвижного состава железных дорог важной остается про-блема взаимодействия колесных пар с рельса-ми. Впервые исследования о фрикционном ка-чении тел вращения по упругому основанию выполнены О. Рейнольдсом [13], в результате которых установлено, что в области контакта присутствует проскальзывание и получена за-висимость для коэффициента проскальзывания. В дальнейшем механизм равномерного качение тела через решение контактной задачи рассмат-ривался многими авторами [11, 12, 4, 2].
Несмотря на то, что Ишлинским А.Ю. [6] указаны возможности равномерного качения с одной, двумя и тремя зонами контакта, Улитко А.Ф. [10] доказал возможность равномерного качения только при двухзонном контакте по схеме Петрова-Фромма: с одной зоной сцепле-ния и одной зоной проскальзывасцепле-ния.
Известно, что равномерное качение тела вращение является не единственным устано-вившимся движением [5]. Поэтому исследуем возможность качения цилиндра для одной зоны контакта и по схеме Петрова-Фромма при уста-новившемся периодическом движении с буксо-ванием.
Рассмотрим систему «цилиндр – основа-ние». Пусть в неподвижной ортогональной сис-теме координат
(
o
,
x
,
y
)
упругий цилиндр ра-диусомr
и массой m, отнесенной к единице длины, катится по упругому горизонтальному основанию в направлении оси x со скоростьюего оси x и угловой скоростью
ϕ
. Предполо-жим, что ось x совпадает с границей упругой полуплоскости, а осьy
направлена во внеш-нюю сторону основания. Предположим также, что упругие свойства цилиндра и основания одинаковы и цилиндр вдавливается в основание постоянной силойQ
, отнесенной к единице длины. Цилиндр катится под действием усред-ненных значений на периоде движения крутя-щего моментаM
и горизонтальной силы W, приложенной к его оси в сторону, противопо-ложную движению. Тогда в качестве возму-щающего равномерное плоское движение ци-линдра в направлении оси x выберем усред-ненное уравнение, предложенное в работе [7]rF
Wx
x
m
2=
−
+
2
1
, (1)
где усредненная сила F вызвана реакцией осно-вания на заглубление цилиндра как жесткого целого.
Очевидно, качение в системе «цилиндр – основание» возможно по закону (1) при усло-вии, что rF >Wx. В момент времени t =t1, когда rF =Wx, происходит буксование цилин-дра, то есть
x
=
0
,
ϕ
=
const
. Если скорости цилиндра мало отличаются от своих средних значений, то условиеϕ
=
const
имеет место при выполнении соотношения неравномерного качения типа О. Рейнольдса [5]η
ϕ
−
=
V
x
r
. (2)
2
)
(
2
m
t
C
W
W
rF
x
=
−
+
зависит от постояннойвеличины C, которую определим из условия
∫
= Txdt T V
0
1
.
Теперь скорость оси цилиндра определяется выражением
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
t
W
mV
T
m
W
x
2
. (3)Из выражений (2) и (3) следует, что моменту буксования соответствует
T
W
mV
T
t
=
+
≤
2
1 .
Предполагая, что радиус кривизны цилинд-ра в месте контакта с основанием намного больше области контакта, поэтому заменим ци-линдр верхней полуплоскостью. И рассмотрим теперь физическую модель задачи о контакте двух упругих одинаковых полуплоскостей при условии, что область контакта перемещается по ним по закону (2), (3). При этом будем считать, что скорости движения полуплоскостей малы по сравнению со скоростями упругих возмуще-ний в них, поэтому инерционными членами в уравнениях движения упругих тел пренебрега-ем. Обозначим через σ и τ нормальные и каса-тельные напряжения, а через v и u вертикаль-ные и горизонтальвертикаль-ные перемещения на границе y=0 упругих полуплоскостей.
Контактные задачи качения в дальнейшем будем рассматривать при полном сцеплении цилиндра с основанием и двух зонах: сцепле-ния и проскальзывания на площадке контакта. На участке проскальзывания имеет место куло-новское трение по закону τ=ρσ, где ρ – коэф-фициент трения. Так как в зоне сцепления ци-линдра с основанием скорости на поверхности цилиндра и граничных точек основания одина-ковы, то с учетом выражения (2) имеем
зависи-мость
u
u
V
dt
d
dt
u
d
η
−
=
−
=
(
2 1)
.Учитывая выражение (3) введем подвижную систему координат (O, ξ, ψ) так, чтобы уравне-ния профиля цилиндра имело вид ψ = f(ξ). По-этому очевидно, связь между старыми и новы-ми координатановы-ми представима в виде:
.
2
)
(
2
)
(
,
),
(
2 1 2
1
W
m
t
t
t
m
W
t
y
t
x
−
−
=
χ
ψ
=
χ
−
ξ
=
(4)
Приняв теперь в силу малости площадки контакта l по сравнению с радиусом цилиндра
r
f
(
ξ
)
=
ξ
22
, поэтому граничные условия первой задачи на периоде движения T предста-вим так:. ,
; ,
) (
; ,
0 ) , ( , 0 ) , (
2 1
l V
u t u
D
l r
v v
l t
t
∈ ξ η − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂ + ξ ∂
∂ χ − =
∈ ξ ξ
− = + ξ ∂
∂ = τ ξ = ξ∉
ξ σ
(5)
Для второй задачи граничные условия (5) дополнятся на передней части площадки кон-такта третьим условием из (5), а на задней час-ти – условием проскальзывания
τ
=
ρσ
.Из результатов работ [2, 9] следует, что ска-чок нормальных деформаций на участке кон-такта не зависит от касательных напряжений, а нормальные напряжения по второму условию (5) определяются из уравнения
, ,
2 )
,
( l
r s
ds t s
l
∈ −
= −
∫
ϑ
ξ
ξ
ξ
σ
(6)где
,
)
1
(
2
ν
2π
ϑ
−
=
E
E и v – упругие постоянные.Уравнение (6) в классе ограниченном на концах площадки l решениях [2] позволяет предста-вить нормальные напряжения так же, как при гладком стационарном контакте с
l
=
[
−
a
,
a
]
[2, 9]:.
4
,
2
2 2
2
a
rQ
a
r
−
=
=
ξ
ϑ
π
ϑ
σ
(7)Касательные напряжения в зоне сцепления удовлетворяют уравнению [2, 9]
ξ
ϑ
ξ
τ
∂ ∂ = −
∫
−u ds
s t s
a
a ) , (
,
ξ
∈
(
−
a
,
a
)
.Подействуем оператором D на это уравне-ние; тогда, учитывая третье граничное условие (5) и свойства сингулярного интеграла [3]
∫
∫
− −
+
−
=
−
a
a
a
a
ds
s
t
s
D
ds
s
t
s
D
ξ
τ
ξ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
+
ξ
τ
ξ
τ
χ
a
t
a
a
t
a
,
)
(
,
)
(
,а также то, что
τ
(
±
a
,
t
)
=
0
получим сингуляр-ное интегральное уравнение относительно функцииD
τ ξ
( , )
t
:∫
−= −
a
a
ds s
t s D
0 ) , (
ξ
τ
,
ξ
∈
(
−
a
,
a
)
. (8)Решение уравнения (8) в классе неограни-ченных решений [3] с точность до произволь-ной функции
c
(
t
)
представимо в виде:2 2
)
(
)
,
(
ξ
ξ
τ
ξ
χ
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
a
t
c
t
t
. (9)В свою очередь, соотношение (9) определяет интегральную поверхность
B
⊂
R
3, которая покрывается следующим семейством характе-ристик:2 2
,
1
,
ξ
τ
χ
ξ
−
−
=
=
−
=
a
c
dp
d
dp
dt
dp
d
.
Это семейство допускает решение, выра-женное через начальные значения величин t, ξ и τ:
∫
−
+
−
−
=
−
−
=
−
=
−
p
s p p
a
ds
s
c
p
t
t
0 2 2
0
0 0
)
(
)
(
,
,
χ
χ
ξ
τ
τ
χ
ξ
ξ
, (10)
где
j
j
p
s
m
W
j
,
,
2
2
=
=
χ
.Очевидно, в момент буксования интеграль-ная поверхность
B
пересекает параметриче-скую кривую:r
k
a
k
t
t
π
ρϑ
α
α
τ
ξ
2
,
,
,
2 2 0
0 1 0
=
−
=
=
=
; (11)
поэтому, исключив параметр k из формул (10), получим выражение для касательных напряже-ний в зоне сцепления
∫
−
+
−
−
−
+
−
=
p
s p
p
a
ds
s
c
a
t
0 2 2
2 2
)
(
)
(
)
(
)
,
(
χ
χ
ξ
χ
ξ
α
ξ
τ
, (12)
1 t t p = − .
Определим теперь неизвестную функцию c. Для этого воспользуемся условием ограничен-ности касательных напряжений, то есть
T
t
t
a
=
∀
≤
±
,
)
0
,
(
τ
. Тогда из выражения (12), например, при значенииξ
=
a
получим инте-гральное уравнение относительно функции c2 2
0 2 2
)
(
)
(
)
(
p p
s p
a
a
a
a
ds
s
c
χ
χ
χ
α
+
−
=
=
−
+
−
∫
. (13)
Уравнение (13) сводится к полному уравне-нию Абеля с регулярной частью
∫
∫
×
−
+
−
я z
s
z
s
c
s
z
ds
s
с
0 0
)
(
)
(
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
+
×
ds
s
z
s
z
z
1
)
2
)(
(
2
2 2
)
2
(
2
z
z
+
z
2=
,в котором
ma
W
a
c
c
p
z
2
,
,
=
α
2ω
ω
=
ω
=
.Так как решение этого уравнения единст-венное [3], то решение уравнения (13) или эк-вивалентного ему уравнения вида
∫
+
−
+
=
−
2
1
1
2 2
2
1
(
1
)
1
)
(
zz
s
ds
s
c
есть функция
c
(
z
)
=
z
.области контакта при установившемся качении с буксованием невозможен.
Рассмотрим теперь вторую задачу – с неод-нородным контактом, для которой нормальные напряжения определяются по формуле (7). То-гда касательные напряжения в силу граничных условий в зоне проскальзывания
(
−
a
,
b
)
опре-деляются какτ ξ
( )
=
α
a
2−
ξ
2 , а в зоне сцеп-ления(
b
,
a
)
согласно формуле (8) – из уравне-ния ) , ( , ) , ( ) , ( 22 s b a
ds s a s ds s t s D ds s t s D b a b a a b ∈ − − − = = − − = −
∫
∫
∫
− − ξ ξ χ α ξ τ ξ τ , (14)Обращая сингулярный интеграл на проме-жутке
(
b
,
a
)
[3], получим:⎜
⎜
⎝
⎛
×
−
−
−
×
×
−
−
=
∫
a bds
s
b
s
s
a
b
a
t
D
ξ
π
χ
α
ξ
ξ
ξ
τ
)
)(
(
)
)(
(
1
)
,
(
2⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
−
×
∫
−)
(
0 22
s
c
t
d
a
b aς
ς
ς
ς
(15)Повторный интеграл в выражении (15) уда-ется вычислить, если изменить порядок интег-рирования. Так как внутренний интеграл не особенный, то в результате получим
∫
∫
− × − − − − = b a a b b s s a d aI ( )( )
2
2
ς
ξ
ς
ς
ς
ds
s
s
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
×
ς
ξ
1
1
.Каждый из внутренних интегралов легко вычисляется по методике Мусхелишвили [9], поэтому
ς
ξ
ς
ς
ς
ς
ς
π
b
a
d
a
I
b a∫
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
+
−
=
1
2 2 .И снова используя ту же методику, оконча-тельно найдем, что интеграл
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − + + − − = a b b a b a I
ξ
ξ
ξ
ξ
π
π
2 2 2 2Подставив теперь значение интеграла
I
в формулу (15), получим уравнениеотноситель-но касательных напряжений на участке сцепле-ния ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − + − = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − 2 2 1 ) )( ( ) ( ) , (
ξ
ξ
χ
ξ
ξ
ξ
χ
α
ξ
τ
ξ
χ
a b a t c t t , (16)где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
=
2
2 2 0 1b
a
b
a
c
c
π
χ
α
.Применим к уравнению (16) такую же схему поиска решения, как и к уравнению (9). В ре-зультате найдем распределение касательных напряжений в зоне сцепления:
, ) ))( ( ( ) ( ) ( ) , (
0 2 2
1 2 2 ∫ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ξ − ξ χ − ξ − − ξ + ξ χ α − − χ + ξ − α = ξ τ p s s p ds a a s b s c a t
где
ξ
=ξ
+χ
p −χ
s. Так как интеграл2 2
2 2
0 2 2
)
( p
p
s ds a a
a
ξ
ξ
ξ
χ
ξ
χ
+ − − − = −∫
,то окончательно на участке сцепления
(
b
,
a
)
имеем.
)
))(
(
(
)
(
)
,
(
0 1 2 2∫
ξ
−
−
ξ
+
ξ
χ
α
−
−
ξ
−
α
=
ξ
τ
p sds
a
s
b
s
c
a
t
(17)Полученное решение качественно верно от-ражает поведение касательных напряжений на площадке контакта, которые в момент буксова-ния
(
p
=
0
)
распределены по закону кулонов-ского скольжения. Найдем теперь на площадке контакта точку раздела зон сцепления и про-скальзывания.Из условия непрерывности касательных на-пряжений на площадке контакта следует, что
)
,
0
(
)
,
0
(
b
−
t
=
τ
b
+
t
.
0
)
))(
(
(
)
(
,
0
)
))(
(
(
)
(
0
1 0
1
=
−
−
+
χ
=
−
−
+
χ
∫
∫
p s p
s
ds
a
a
s
b
a
s
c
a
ds
b
a
s
b
b
s
c
b
(18)
Нетрудно заметить, что уравнения (18) имеют только решения
c
1=
χ
pχ
p, b=a. По-этому и в этой задаче качение не возможно. Таким образом, рассмотренные постановки за-дач не корректны для установившегося качения в целом.Можно лишь считать, что рассмотренные постановки задач являются локальными, то есть предшествуют моменту буксования, перед тем как зона сцепления в области контакта ис-чезает [2, 5]. В частности, при равномерном качении цилиндра b const= (c1 =0)для лю-бых значений
p
≠
0
имеем из выражения (17) известный результат [2] распределения каса-тельных напряжений в зоне сцепления(
b
,
a
)
(
(
)(
)
)
)
(
ξ
=
α
a
2−
ξ
2−
a
−
ξ
ξ
−
b
τ
.В реальности качение тел происходит по более сложным контактным законам, на что указывают экспериментальные [8] и теоретиче-ские [1] исследования.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Босов А.А., Ильман В.М. О динамике каче -ния цилиндрического катка по деформируемому основанию // Транспорт: Збірник наук. праць. – 2002. – Вип. 12. – Д. – С. 30-36.
2. ГалинЛ.А. Контактныезадачитеории упру -гостиивязкоупругости. – М.: Наука, 1980. – 304 с.
3. ГаховФ.Д. Краевыезадачи. – М.: Физматгиз, 1963. – 640 с.
4. Глаголев Н.И. Сопротивление перекатыва -нию цилиндрических тел // Прикл. математематика имеханика. – 1945. – Т. 9, вып. –4. С. 318 – 333.
5. Ильман В.М., Мусияка В.Г. О контактной задаче при установившемся качении // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – 1999. – Т. 5. – Д. – С. 94-100.
6. Ишлинский Ю.А. Прикладные задачи меха -ники. Кн.2. – М., 1986. – 362 с.
7. МарютаА.Н. Теориямоделированияколеба -ний рабочих органов механизмов иее приложения. Днепропетровск: ДГУ, 1991. – 146 с.
8. Марков Д.П. Взаимосвязь коэффициента трения с проскальзыванием в условиях взаимодей -ствияколесасрельсом // ВестникВНИИЖТ. – 2003. – №3. – С. 31-33.
9. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 708 с.
10. Улитко А.Ф. ОзадачеРейнольдсаперекаты -вания жесткого цилиндра по упругому несжимае -момуоснованию // Проблемиобчислювальноїмеха -ніки і міцності конструкцій. – 1999. – Т. 5. – Д. – С.182-192.
11. Carter F.W. On the action of a locomotive driv-ing wheel. // Proc Royal Soc. – 1926. – Ser. A., vol. 112, N 760. – London. – P. 151-157.
12. Fromm H. Berechnung des Schlupfes beim Rol-len deformierbarer Scheiben. // Ztschr. angew. Math. und Mech. – 1927. – Bd. 7, H. 1. – S. 27-58.
