Bab 1 Transformasi Laplace

(1)

BDA, RYN

Transformasi

Laplace

(2)

Referensi

• Desjardins S J, Vaillancourt R, 2011, Ordinary Differential Equations Laplace Transforms and Numerical Methods for Engineers, University of Ottawa, Canada.

• Poularikas A D, Seely S, 2000 , Laplace Transform, CRC Press LLC

• Kreysziq, 2006, Advanced Engineering Mathematics 9th_ed.

(3)

Silabus

• Transformasi Laplace ( 1)

• Transformasi Turunan dan Integral (2)

• Transformasi Persamaan differensial berbatas (1) • Teori pergeseran (2)

(4)

I. TRANSFORMASI LAPLACE

Review Differensial

Review Integral

(5)

(6)

Differential Rule

1. dk

2. d(ku)

3. d (u + v)

4. d (uv )

5. d (u/v)

6. d (u

n

)

= 0

= k du

= du + dv

= u dv + v du

= (v du – u dv)/v

2

= nu

n-1

du

(7)

Tentukan

dy/dx

untuk fungsi di bawah ini.

2

sin

y



x

sin x

y

x



(8)





 

2 2

sin

dy

dv

du

u

v

dx

d x

d

x

dx









2

sin

y



x

 

2 2

cos

sin

2 cos

2 sin

dy

x

dx

x









(9)

sin x

y

x







 

2 2 2

sin

cos

sin

d

x

d x

du

dv

v

u

x

dy

_dx

dx

v

x









(10)

Review Integral

C x xdx C x xdx x C x xdx x C x xdx C a ax axdx C a ax axdx n x dx x C x dx n n                   



 cot csc csc cot csc sec tan sec tan sec sin cos cos sin 1 2 2 1 C x x x dx C x x dx C x x dx C x x dx C k e dx e kx kx             



arcsec 1 arctan 1 arcsin 1 ln 2 2 2

(11)

2

1 

x



2 x dx



Salah satu petunjuk yg kita cari adalah jika kita dapat menemukan fungsi dan

turunannya dalam integran

Turunan dari adalah

1 

x

2

2 x dx

1 2

u

du



3 2

2

3 u



C





3 2 ₂

2

1

3 

x



C

2

Let

u

 

1 x

2 du



x dx



Contoh

(12)

Contoh

4 x



1 dx



_Let

_u

_

₄

_x

_

₁

4 du



dx

1

4 du



dx

Penyelesaian untuk dx 1 2

1

4 u



du



3 2

2

1

3 u



4 

C

3 2

1

6 u



C





32

1

4

1

6 x





C

_

(13)

(14)

Definisi

• Transformasi: Konversi matematika dari satu cara berpikir ke cara berpikir yang lain yang membuat penyelesaian

permasalahan lebih mudah

Transform Solution in transform way of thinking Invers Transform Problem in original way of thinking Solution in original way of thinking

(15)

Laplace

Transform

Solution

in s

domain

Inverse

Laplace

Transform

Problem

in time

domain

Solution

in time

domain

(16)

Laplace transformation

linear differential equation time domain solution Laplace transformed equation Laplace solution time domain Laplace domain or

complex frequency domain

algebra Laplace transform

inverse Laplace transform

(17)

• Dikembangkan oleh seorang Matematikawan Prancis, Pierre Simon Marquis De Laplace (1749-1827) yang

memiliki kontribusi penting pada ilmu mekanika astronomis, astronomi umum, teori fungsi dan teori probabilitas.

(18)

Jika 𝑓(𝑡)  sebuah fungsi yang didefinisikan untuk t ≥ 0 maka Transformasi Laplace (L )-nya merupakan fungsi integral dari 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡_{dengan t = 0 hingga t = ∞.}

 Ini merupakan fungsi dari 𝑠, atau 𝐹(𝑠), atau dinotasikan dengan L [𝑓(t)]

L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 𝑒₀∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡

• Dengan demikian, 𝑓(𝑡) merupakan transformasi balik (invers) dari 𝐹(𝑠) atau dinotasikan dengan L -1_[F(s)]

(19)

Review

• Anda punya suatu fungsi yang tergantung pada waktu yaitu

f(t)

• Maka bentuk transformasi laplace adalah:

(20)

Catatan

• Penulisan notasi 𝑡 pada fungsi awal akan berubah menjadi 𝑠 setelah Transformasi Laplace

• Fungsi awal selalu menggunakan notasi dgn huruf kecil (misal: 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)), akan berubah menggunakan notasi dgn huruf kapital (misal: 𝐹(𝑠), 𝐺(𝑠)) setelah Transformasi

Laplace

L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 𝑒₀∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡 L [g(t)] = G(𝑠) = 𝑔 𝑡 𝑒₀∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡

(21)

Contoh 1. Transformasi Laplace sederhana

Jika 𝑓(𝑡) = 1 dengan t ≥ 0, Carilah Transformasi Laplacenya L [𝑓(t)] = 𝑓 𝑡 𝑒₀∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡 L [1] = 1 𝑒₀∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡 = − 1 𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 0 ∞ = − 1 𝑠 𝑒−𝑠∞ − − 1 𝑠 𝑒−0 = 0 + 1 𝑠 = 1 𝑠

(22)

Contoh 2. Fungsi Eksponensial

• Jika𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡_{dengan t ≥ 0 dan 𝑎 adalah sebuah konstanta,}

Carilah Transformasi Laplacenya

L [𝑓(t)] = 𝑓 𝑡 𝑒₀∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡 L [𝑒𝑎𝑡] = 𝑒₀∞ 𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 𝑒₀∞ −(𝑠−𝑎)𝑡𝑑𝑡 = - 1 𝑠−𝑎 𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡 ₀ ∞ = - 1 𝑠−𝑎 𝑒−(𝑠−𝑎)∞ − − 1 𝑠−𝑎 𝑒 𝑎−𝑠 0 = 1 𝑠−𝑎

(23)

Contoh 3. Fungsi Hiperbola

Carilah transformasi Laplace dari cosh at dan sinh at. Jawab: Diketahui cosh at = 1 2 𝑒𝑎𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡 sinh at = 1 2 𝑒𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡

(24)

cosh at = 1 2 𝑒 𝑎𝑡 _{+ 𝑒}−𝑎𝑡 L cosh at) = 1₂ 𝑒₀∞ 𝑎𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 1 2 𝑒 𝑎𝑡_𝑒−𝑠𝑡 _{+ 𝑒}−𝑎𝑡_𝑒−𝑠𝑡 _𝑑𝑡 ∞ 0 = 1 2 1 𝑠−𝑎 + 1 𝑠+𝑎 = 1 2 𝑠+𝑎 (𝑠−𝑎)(𝑠+𝑎) + 𝑠−𝑎 (𝑠+𝑎)(𝑠−𝑎) = 1 2 2𝑠 𝑠2−𝑎2 = 𝑠 𝑠2−𝑎2 sinh at = 1 2 𝑒𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡 L (sinh at) = 1₂ 𝑒₀∞ 𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 1 2 𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 = 1 2 1 𝑠−𝑎 − 1 𝑠+𝑎 = 1 2 𝑠+𝑎 (𝑠−𝑎)(𝑠+𝑎) − 𝑠−𝑎 (𝑠+𝑎)(𝑠−𝑎) = 1 2 2𝑎 𝑠2−𝑎2 = 𝑎 𝑠2−𝑎2

(25)

Contoh 4. Fungsi Sinus

Buktikan bahwa: L (sin at ) = _𝑠₂_+𝑎𝑎 ₂ L (sin at ) = 𝑒₀∞ −𝑠𝑡sin at 𝑑𝑡 = y  𝑑 𝑑𝑡 𝑢𝑣 = 𝑢 ′_{𝑣 + 𝑢𝑣′} 𝑢𝑣 = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ 𝑢′𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′ 𝑢′ = 𝑒−𝑠𝑡 𝑢 = − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑡 𝑣 = sin 𝑎𝑡 𝑣′ = 𝑎 cos 𝑎𝑡

(26)

𝑦 = − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑡 sin 𝑎𝑡 − − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑡𝑎 cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 𝑦 = − 𝑒−𝑠𝑡 𝑠 sin 𝑎𝑡 + 𝑎 𝑠 𝑒−𝑠𝑡 cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 𝑢′ = 𝑒−𝑠𝑡 𝑢 = − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑡 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑣′ = − 𝑎 sin 𝑎𝑡 𝑦 = − 𝑒−𝑠𝑡 𝑠 sin 𝑎𝑡 + 𝑎 𝑠 − 𝑒−𝑠𝑡 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 − − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑡(−𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡) 𝑑𝑡 ∞ 0 𝑦 = − 𝑒−𝑠𝑡 𝑠 sin 𝑎𝑡 − 𝑎 𝑠2 𝑒−𝑠𝑡 cos 𝑎𝑡 − 𝑎2 𝑠2 𝑒−𝑠𝑡 sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 𝑦

(27)

𝑦 + 𝑎2 𝑠2 𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡 1 𝑠 sin 𝑎𝑡 + 𝑎 𝑠2 cos 𝑎𝑡 𝑠2 + 𝑎2 𝑠2 𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡 1 𝑠 sin 𝑎𝑡 + 𝑎 𝑠2 cos 𝑎𝑡 0 ∞ = 0 + 1 0 + _𝑠𝑎₂ = _𝑠𝑎₂ 𝑠2 + 𝑎2 𝑠2 𝑦 = 𝑎 𝑠2 𝑦 = 𝑎 𝑠2 𝑠2 𝑠2 _{+ 𝑎}2 = 𝑎 𝑠2 _{+ 𝑎}2

(28)