Libro 2014

(1)

PROBLEMAS Y SOLUCIONES

7

7 ◦◦

Ca

Camp

mpeo

eona

nato

to de

de Mat

Matem´

em´

at

atica

ica

Universidad de La Frontera

Departamento de Matem´

Departamento de Matem´ati

atica

ca y

y Est

Estad

ad´´ıst

ıstica

ica

Universidad de La Frontera

(2)

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(3)

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(4)

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El objetivo principal del matem´

El objetivo principal del matem´atico

atico

consiste en formular y resolver problemas

“La resoluci´

“La resoluci´on de problemas

on de problemas

es el coraz´

es el coraz´on de la Matem´

on de la Matem´atica”

atica”

Soluciones de los Problemas a cargo del

Com

Comit´

it´e Ac

e Acad´

ad´emi

emico

co del

del Cam

Campe

peona

onato

to Con

Confor

formado

mado po

por:

r:

Hern´

Hern´an Burgos Vega

an Burgos Vega

Jos´

Jos´e

e La

Labr

brin

in Par

Parra

ra

Eduardo Milman Aguilar

(5)

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(6)

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(7)

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Introducci´

on

Este peque˜

Este peque˜no libro contiene los problemas del 7

no libro contiene los problemas del 7

◦◦

_{Campeonato de Ma-}

_{Campeonato de}

Ma-tem´

tem´atica de la Universidad de La Frontera a˜

atica de la Universidad de La Frontera a˜no 2014, junto a sus solucio-

no 2014, junto a sus

solucio-nes, material que ponemos a disposici´

nes, material que ponemos a disposici´on de cada uno de los colegas con

on de cada uno de los colegas con

la

la ´´ıntima esp

ıntima esperanza y p

eranza y pretensi´

retensi´on de que les sirvan de ayuda y motivaci´

on de que les sirvan de ayuda y motivaci´on

on

en sus clases de matem´

en sus clases de matem´atica.

atica.

Est

Estamo

amos

s con

conv

venc

encido

idos

s de

de que

que est

estudi

udian

antes

tes en

entus

tusias

iasmad

mados

os y

y mot

motiv

ivados

ados

tendr´

tendr´an

an may

mayor

or ´´exito,

exito, como

como tambi

tambi´´en,

en, pensamos

pensamos que

que problemas

problemas no

no tri-

tri-viale

viales

s y

y que

que desaf

desaf´´ıan

ıan el

el int

intelec

electo

to del

del estu

estudian

diante

te lo

lo ayu

ayudan

dan a

a organi

organizar,

zar,

contar, razonar, encontrar secuencias y algoritmos que le permiten

en-tender los problemas y resolverlos, y al ﬁnal del proceso sentir el placer

tender los problemas y resolverlos, y al ﬁnal del proceso sentir el placer

de hab

de haber resuelto

er resuelto un probl

un problema novedoso,

ema novedoso, que inicia

que inicialmente era un

lmente era un desaf

desaf´´ıo.

ıo.

Este libro est´

Este libro est´a

a dir

dirigi

igido

do es

especi

pecialm

almen

ente

te a

a los

los col

colega

egas

s pro

profe

fesor

sores

es de

de ma-

ma-tem´

tem´atica de ense˜

atica de ense˜nanza b´

nanza b´asica y media de la regi´

asica y media de la regi´on

on de

de La

La Araucan´

Araucan´ıa,

ıa,

con el prop´

con el prop´osito

osito de

de despertar

despertar el

el inter

inter´´es

es por

por la

la resoluci´

resoluci´on y creaci´

on y creaci´on de

on de

problemas l´

problemas l´udicos y bonitos que motivan a nuestros estudiantes.

udicos y bonitos que motivan a nuestros estudiantes.

Quiero

Quiero agrad

agradecer el

ecer el impo

importante

rtante apo

aporte de

rte del co

l comit´

mit´e a

e acad´

cad´emico

emico del

del camp

campeo-

eo-nato, en la resoluci´

nato, en la resoluci´on de los problemas seleccionados, adem´

on de los problemas seleccionados, adem´as de agra-

as de

agra-decer por la lectura y correcciones del material a la profesora Elena

decer por la lectura y correcciones del material a la profesora Elena

Oli-vos del Departamento de Matem´

vos del Departamento de Matem´atica de nuestra Universidad. Debemos

atica de nuestra Universidad. Debemos

rec

reconocer

onocer tam

tambi´

bi´en

en el

el esfor

esforzado

zado y

y exc

excelen

elente

te trabajo

trabajo desar

desarrollad

rollado

o por

por el

el

profesor

profesor Jos´

Jos´e

e Labrin

Labrin en

en la

la escritura del

escritura del texto

texto en

en LaT

LaTeX.

eX.

Finalmente, es necesario destacar y reconocer el importante y decidido

apoyo que nos entrega la direcci´

apoyo que nos entrega la direcci´on de nuestra Universidad, sin el cual no

on de nuestra Universidad, sin el cual no

po

podr

dr´´ıamos

ıamos desarro

desarrollar

llar este Ca

este Campeon

mpeonato.

ato.

Reit

Reiteram

eramos

os nue

nuestro ´

stro ´ınt

ıntimo

imo dese

deseo

o de

de que

que este material

este material sea

sea un

un peque˜

peque˜no

no

aporte a los colegas en su pr´

aporte a los colegas en su pr´actica diaria.

actica diaria.

Dr. Hern´

Dr. Hern´an Burgos V.

an Burgos V.

Director

Director Acad´

Acad´emico

emico Campeo

Campeonato

nato de

de Matem´

Matem´atica

atica

Universidad de La Frontera

(8)

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(10)

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1

Problemas

Problema 1.

¿Qu´

¿Qu´e

e dibujo

dibujo es

es la

la parte

parte central

central

de la estrella que se muestra en la imagen ?

((A

A)

)

((B

B)

)

((C

C)

)

((D

D)

)

((E

E))

Problema 2.

Juan quiere

Juan quiere insertar

insertar el

el d

d´´ıgito

ıgito 3

3 en

en alg´

alg´

un lugar del n´

umero

2014. ¿D´

2014. ¿D´ond

onde

e se

se debe

debe ins

inserta

ertar

r el

el d

d´´ıgi

ıgito

to 3

3 si

si el

el qui

quiere

ere que

que su

su n´

n´

umero de

cin

cinco

co d

d´´ıgi

ıgitos

tos sea

sea lo

lo m´

m´as peque˜

as peque˜

no posible?

Problema 3.

¿Qu´

¿Qu´e

e pareja

pareja de

de casas

casas fueron

fueron hechas usando

hechas usando exactamente las

exactamente las

mismas piezas de forma triangular o rectangular?

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2 2

Problema 5.

Al

Alicia t

icia tiene 1

iene 10 niet

0 nietos. Fernanda es

os. Fernanda es la mayor.

la mayor. Un d

Un d´´ıa la

ıa la abuela

abuela

se da cuenta que sus nietos tienen todos edades distintas. Si la suma de las

edades de sus nietos es 180, ¿Cu´

edades de sus nietos es 180, ¿Cu´al

al es

es la

la edad

edad m

m´´ınima

ınima que

que F

Fernanda

ernanda puede

puede

tener?

Problema 6.

Mar

Mar´´ıa rea

ıa realiza 6

liza 6 resta

restas y obt

s y obtiene co

iene como resu

mo resultados

ltados los n

los n´´

umeros

desde el 0 al 5. Ella une los puntos de menor a mayor, comenzando en el

punto con el resultado 0 y terminando en el punto con el resultado 5. ¿Cu´

al

ﬁgura ella obtiene?

((A

A)

)

((B

B)

)

((C

C)

)

((D

D)

)

((E

E))

Prob

Problema

lema 7.

7. Alan construy´

Alan construy´o

o menos

menos castill

castillos

os de

de arena

arena que

que Mart

Mart´´ın

ın pero

pero

m´

m´as

as que

que Susana.

Susana. Luc

Luc´´ıa

ıa contruy´

contruy´

o

o m´

m´as

as castil

castillos

los que

que Alan

Alan y

y que

que Mart

Mart´´ın.

ın.

Daniela construy´

Daniela construy´o

o m´

m´as

as ca

cast

stil

illo

los q

s que

ue Mar

Martt´´ın

ın y

y men

menos

os que

que Luc´

Luc´ıa

ıa. . ¿Qu

¿Qui´

i´en

en de

de

ellos contruy´

(17)

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ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS

ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS ₃₃

Problema 9.

Ana tiene cuatro piezas las

cuales se muestran en la imagen. Con esas

pie

piezas

zas ella

ella pue

puede

de cub

cubrir

rir com

comple

pletame

tament

ntee

solo una de las siguientes ﬁguras. ¿Cu´

solo una de las siguientes ﬁguras. ¿Cu´al

al

de las siguientes ella puede cubrir con

to-das sus piezas?

das sus piezas?

((A

A)

)

((B

B)

)

((C

C)

)

((D

D)

)

((E

E))

Problema 10.

Bruno ha pintado ﬂores en la ven-

Bruno ha pintado ﬂores en la

ven-tana de la tienda (mire la ﬁgura). ¿C´

tana de la tienda (mire la ﬁgura). ¿C´omo se ver´

omo se ver´an

an

estas ﬂores desde el otro lado de la ventana?

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4 4

((A

A)

)

((B

B)

)

((C

C)

)

((D

D)

)

((E

E))

Problema 13.

Paula dispara ﬂechas al objeti-

Paula dispara ﬂechas al

objeti-vo que se muestra en la ﬁgura. Cuando ella no

vo que se muestra en la ﬁgura. Cuando ella no

acierta al objetivo, obtiene cero puntos. Paula

dispara dos ﬂechas y suma el puntaje de

am-bos disparos. ¿Cu´

bos disparos. ¿Cu´al de las siguientes sumas no

al de las siguientes sumas no

puede ser su puntaje?

((A

A))660

0 ((B

B))770

0 ((C

C))880

0 ((D

D))990

0 ((E

E))110000

Prob

Problema

lema 14.

14. Mar

Mar´´ıa

ıa ten´

ten´ıa

ıa el

el mis

mismo

mo n´

n´ume-

ume-ro de ﬁchas grises, negras y blancas. Ella

ro de ﬁchas grises, negras y blancas. Ella

uti-liz´

liz´o algunas de estas ﬁchas para hacer una pila.

o algunas de estas ﬁchas para hacer una pila.

En la ﬁgura, se pueden ver todas las ﬁchas que

utiliz´

utiliz´o.

o. Ella

Ella todav

todav´´ıa

ıa tiene

tiene cinco

cinco ﬁchas

ﬁchas que

que no

no

est´

est´an en la pila. ¿Cu´

an en la pila. ¿Cu´antas

antas ﬁchas

ﬁchas negra

negras

s ten

ten´´ıa

ıa

al principio?

Prob

Problema

lema 15.

15. A un conejo le gustan mucho las zanahorias y el repollo.

A un conejo le gustan mucho las zanahorias y el repollo.

En un

(23)

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ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS ₅₅

((A

A)

)

((B

B)

)

((C

C)

)

((D

D)

)

((E

E))

Problema 17.

¿Cu´

¿Cu´antos puntos hay en esta imagen?

antos puntos hay en esta imagen?

Problema 18.

¿En el planeta canguro cada canguro-a˜

no tiene 20

no tiene 20 cangur

canguro-

o-meses y cada canguro-mes tiene 6 canguro-semanas. ¿Cu´

(26)

canguro-Trusted by over 1 million members

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6 6

Problema 20.

Evelyn orden´

Evelyn orden´o ca

o cartas

rtas en l

en l´´ınea c

ınea como s

omo se muest

e muestra en

ra en la ﬁ

la ﬁgura.

gura.

En cada movimiento a Evelyn se le permite intercambiar cualquier par de

cartas. ¿Cu´

cartas. ¿Cu´al es el menor n´

al es el menor n´

umero de movimientos que Evelyn tiene que

hacer para conseguir la palabra ALOCADOS?

Problema 21.

Se realiza una secuencia de tri´

angulos de diamantes. En la

ﬁgura se muestran las tres primeras etapas. En cada etapa se a˜

nade una

ll´´ınea

ınea de

de diamantes

diamantes. En

. En las

las ll´´ıneas

ıneas inferi

inferiores

ores los

los diamantes

diamantes exter

exteriores

iores son

son de

de

color blanco

color blanco. El

. El resto de

resto de los diaman

los diamantes en el

tes en el tri´

tri´

angulo son negros. ¿Cu´

angulo son negros. ¿Cu´antos

antos

diamantes negros tiene la ﬁgura en la etapa n´

umero 6?

Prob

Problema

lema 22.

22. Un canguro compr´

Un canguro compr´o juguetes y le entreg´

o juguetes y le entreg´o 150 canguro-

o 150

canguro-monedas al asistente de la tienda. Recibi´

monedas al asistente de la tienda. Recibi´

o 20 canguro-monedas de vuelta.

Luego cambi´

Luego cambi´o de opini´

o de opini´on y cambi´

on y cambi´o uno de los juguetes por otro. Le de-

o uno de los juguetes por otro. Le

de-¿Con

(29)

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(30)

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(31)

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ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS ₇₇

Problema 23.

Escribe cada uno de los n´

umeros 0,

1, 2, 3, 4, 5, 6 en los cuadrados para hacer la adici´

1, 2, 3, 4, 5, 6 en los cuadrados para hacer la adici´on

on

co

corr

rrec

ecta

ta. . ¿Qu´

¿Qu´e

e d

d´´ıg

ıgit

ito

o es

esta

tar´

r´a en el cuadrado gris?

a en el cuadrado gris?

Prob

Problema

lema 24.

24. ¿Cu´

¿Cu´al es el mayor n´

al es el mayor n´umero de

umero de

cuadrados peque˜

nos que pueden ser sombrea-

nos que pueden ser

sombrea-dos para que ning´

dos para que ning´un cuadrado de la forma:

un cuadrado de la forma:

He

Hech

cho

o de

de cu

cuatr

atro

o cu

cuad

adrad

rados

os so

som

mbr

brea

eado

dos

s pe-

pe-que˜

que˜

nos aparezca en la ﬁgura?

Problema 25.

Nicol ha escrito cada uno de los

n´

n´umeros del 1 al 9 en las celdas de la tabla 3

umeros del 1 al 9 en las celdas de la tabla 3

_×

3.

3. Solo cuatro de estos n´

Solo cuatro de estos n´umeros se pueden ver en

umeros se pueden ver en

la ﬁgura. Nicol se ha dado cuenta de que para el

n´

n´umero 5 la suma de los n´

umero 5 la suma de los n´umeros en las celdas

umeros en las celdas

vecinas es igual a 13 (las celdas vecinas son

aquellas celdas que comparten lados). Se dio

cuenta que lo mismo se aplica para el n´

umero

6.

(32)

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(33)

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(34)

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8 8

(A)

a < b < c

(B)

a < c < b

(C)

b < a < c

(D)

b < c < a

(E)

c < b < a

Problema 28.

¿

¿Q

Qu´

u´e

e n

n´´

umero est´

umero est´a en el medio de

a en el medio de

22

33 y

y

44

55 ??

Prob

Problema

lema 29.

29. En el n´

En el n´umero 2014 el ´

umero 2014 el ´

ult

ultimo

imo d

d´´ıgi

ıgito

to es

es m´

m´as grande que la

as grande que la

suma

suma de

de los

los otros

otros tres

tres d

d´´ıgitos.

ıgitos. ¿Cu´

¿Cu´

antos a˜

nos atr´

nos atr´as fue la ´

as fue la ´ultima vez que

ultima vez que

ocurri´

ocurri´o esto?

o esto?

Pro

Proble

blema

ma 30

30..

L

La

a lo

lon

ngi

gitu

tud

d d

de

e lo

los

s la

lad

dos

os

de

del l he

hex´

x´

ago

agono

no reg

regul

ular

ar gr

gran

ande

de es

es do

dos

s ve

vece

cess

la

la lo

long

ngit

itud

ud de

de lo

los

s la

lado

dos

s de

del l he

hex´

x´

ag

agon

ono

o re-

re-gular peque˜

gular peque˜

no. El hex´

no. El hex´agono peque˜

agono peque˜

no tiene

una superﬁcie de 4 cm

22

_{. ¿Cu´}

_{. ¿Cu´al es el ´}

_{al es el ´area del}

_{area del}

hex´

hex´agono

agono grande

grande??

Prob

(35)

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(36)

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(37)

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ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS ₉₉

Problema 35.

Una abuela, su hija y su nieta pueden decir este a˜

Una abuela, su hija y su nieta pueden decir este a˜no (2014)

no (2014)

que

que la

la suma de

suma de sus

sus edade

edades

s es

es 100. ¿En

100. ¿En qu

qu´´e

e a˜

a˜

no naci´

no naci´o la nieta si cada una

o la nieta si cada una

de las edades es una potencia de 2?

Prob

Problema

lema 36.

36. Pablo puso algunos cua-

Pablo puso algunos

cua-dros rectangulares en la pared. Por cada

dros rectangulares en la pared. Por cada

foto puso un clavo en la pared 2,5 m por

encima del suelo y adjunt´

encima del suelo y adjunt´o una larga ca-

o una larga

ca-dena de 2 m en las dos esquinas

dena de 2 m en las dos esquinas

superio-res. ¿Cu´

res. ¿Cu´al de las siguientes fotos es la m´

al de las siguientes fotos es la m´

as

cercana al suelo (formato: ancho en cm

_×

altura en cm)?

(A)60

(38)

Cancel Anytime.

(39)

Cancel Anytime.

(40)

Cancel Anytime.

10 10

Problema 40.

En la imagen hay un dado especial.

Los n´

Los n´umeros en las caras opuestas siempre suman

umeros en las caras opuestas siempre suman

lo mismo. Los n´

lo mismo. Los n´umeros que no podemos ver en la

umeros que no podemos ver en la

imagen son todos n´

umer

umeros

os pri

primos

mos. . ¿Qu´

¿Qu´e

e n´

n´umero es

umero es

opuesto al 14?

Problema 41.

Ana ha caminado 8 kil´ometros

Ana ha caminado 8 kil´

ometros con una vel

con una velocidad de 4km/h

ocidad de 4km/h..

Ahora ella correr´

Ahora ella correr´a alg´

a alg´

un tiempo con una velocidad de 8 km/h. ¿Cu´

un tiempo con una velocidad de 8 km/h. ¿Cu´anto

anto

tiempo le queda por correr para que su velocidad promedio global sea de

5 km/h?

Problema 42.

Un jugador de ajedrez jug´

Un jugador de ajedrez jug´o 40 partidos y acumul´

o 40 partidos y acumul´o 25 pun-

o 25

pun-tos (una victoria cuenta como un punto, un empate cuenta como medio

tos (una victoria cuenta como un punto, un empate cuenta como medio

punto, y una derrota cuenta como cero puntos). ¿Cu´

(41)

Cancel Anytime.

(42)

Cancel Anytime.

(43)

Cancel Anytime.

ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS ₁₁₁₁

Pro

Proble

blema

ma 46

46..

En la imagen que se mues-

En la imagen que se

mues-tra, Karina quiere a˜

tra, Karina quiere a˜

nadir algunos segmentos de

ll´´ınea de

ınea de tal

tal manera que

manera que cada

cada uno

uno de

de los

los siete

siete

pun

puntos tenga el

tos tenga el mismo n´

mismo n´

umero de conexiones a

los otros puntos. ¿Cu´

los otros puntos. ¿Cu´al es el menor n´

al es el menor n´

umero de

segmentos

segmentos de

de ll´´ınea

ınea que

que Karina

Karina debe

debe dibujar?

dibujar?

Problema 47.

La imagen mues-

La imagen

mues-tra el mismo cubo desde dos

tra el mismo cubo desde dos

pun-tos de vista diferentes.

tos de vista diferentes.

Est´

Est´a construido a partir de 27

a construido a partir de 27

cubos peque˜

nos, algunos de ellos

son de color negro y algunos son

blancos.

(44)

Cancel Anytime.

(45)

Cancel Anytime.

(46)

Cancel Anytime.

Cancel Anytime. 12 12

Pro

Proble

blema

ma 51.

51. En la

En la

imagen,

P

P T

T

es tangen-

es

tangen-te

te a

a un

una

a ci

circ

rcun

unfe

fere

ren-

n-cia

cia

C

con centro

O

y

P

P B

B

bisectriz del ´

bisectriz del ´angulo

angulo

T

T P

P A

A

. Calcula el ´

. Calcula el ´angu-

angu-lo

lo

T

T BP

BP

..

Prob

Problema

lema 52.

52. Considere el conjunto de todos los n´

Considere el conjunto de todos los n´

umeros

umeros de

de 7

7 d

d´´ıgit

ıgitos

os

que se pueden obtener utilizando, para cada n´

que se pueden obtener utilizando, para cada n´umero,

umero, tod

todos

os los

los d

d´´ıgito

ıgitos

s 1,

1,

2, 3, ..., 7. Enumere los n´

2, 3, ..., 7. Enumere los n´umeros de la serie en orden creciente y divida la

umeros de la serie en orden creciente y divida la

lista exactamente en la mitad en dos partes de igual tama˜

no. ¿Cu´

no. ¿Cu´al es el

al es el

´´ultimo n´

ultimo n´

umero de la primera mitad?

AB

ABC

C

(47)

Cancel Anytime.

(48)

Cancel Anytime.

(49)

Cancel Anytime.

ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS ₁₃₁₃

Problema 56.

¿Cu´

¿Cu´antos cuadril´

antos cuadril´ateros de

ateros de

cualquier tama˜

no se muestran en la ﬁgu-

no se muestran en la

ﬁgu-ra?

ra?

Problema 57.

(50)

Cancel Anytime.