Text ABSTRACT pdf

) , ( ) ,

(  B  

B 



 _ 

 1 0

1 1

) 1 ( )

,

( x x dx

B    



 _ 

 1 0

1 1

) 1 ( )

,

( x x dx

B    

Dalam penelitian ini, untuk menentukan fungsi karakteristik dari distribusi

three-parameter generalized Rayleigh, penulis menggunakan beberapa fungsi

khusus yang berkaitan dengan hasil yang ingin diperoleh penelitian ini, yakni

sebagai berikut :

2.1 Fungsi Beta

Menurut Nakhi dan Kalla (2001), fungsi beta untuk batas nol sampai satu

didefinisikan sebagai berikut :

dengan konvergen untuk , 0

Selain itu, Nakhi dan Kalla (2001) juga mengungkapkan bahwa sifat yang

dimiliki fungsi Beta adalah simetris, yaitu :

Bukti :

Misal : x1y

dy dx(1)

Batas-batas integral :

0 1

1 0

  

  

y x

y x



 

0  

1

1 1

) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ,

( y y dy

B   



 _ 



 0

1

1 1_{(1 )}

) ( ) ,

( y y dy

B    



 _ 

 1

0

1 1

) 1 ( ) ( ) ,

( y y dy

B    

) , ( ) ,

(  B  

B 

2.2 Fungsi Gamma

Fungsi Gamma, menurut Walpole et al. (1998), adalah fungsi yang

didefinisikan sebagai integral dengan bentuk umum sebagai berikut :



  

 

0 1

)

(x tx e tdt



  



 

b t x

b t e dt

x

0 1 lim ) (

Walpole et al. (1998) juga mengemukakan beberapa sifat yang dimiliki oleh

fungsi Gamma, yaitu sebagai berikut :

1. (x)(x1).(x1)

Bukti :

Berdasarkan definisi fungsi Gamma, diketahui bahwa :



    

0 1

)



  





 b x t

b t e dt

x

0 1 lim ) (

Dengan menggunakan integral parsial, dilakukan perhitungan berikut :

Misal : u tx1 du x tx 2dt

) 1

( 

 _{  }



t t

e v dt e

dv    

Sehingga :



   



 b x t

b t e dt x

0 1

lim ) (

   

 

 

  

  



 



b

2 x t

t x

b t e e x t dt

x

0 1

) 1 )( ( ) ( lim ) (

   

 

   



  



 



b

t x t

x

b t e x t e dt

x

0

2 1

) 1 ( lim

) (

   

 

  



  

_

 



b t x t

x

b t e x t e dt

x

0 2 1

) 1 ( lim

) (











  

    



_

 

  

  

b t x b b

x

b b e x t e dt

x

0 2 1

lim 1 lim

) (







  

    





  

0 2

1 0

)

(x x tx e tdt







  

   





   

0 1 ) 1 ( 1 )

(x x t x e tdt



( 1)



) 1 ( )

(    

 x x x

2. (x1)x.(x)

Sifat ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama pada sifat pertama,





  

  

0 1 ) 1 ( ) 1

(x t x e tdt







  

0 ) 1

(x txe tdt

   

   



_



 

b t x

b t e dt

x

0 lim ) 1 (

Misal : u tx du xtx1dt

t t

e v dt e

dv    

Sehingga :



  

  

b t x b t e dt

x

0 lim ) 1 (

   

 

   



 

_

 



b

x t t

x

b t e e x t dt

x

0

1 ) )( ( ) ( lim ) 1 (

   

 

    

 

_

 



b

t x t

x

b t e xt e dt

x

0 1 lim

) 1 (

   

 

   

 



 



b

t x t

x

b t e xt e dt

x

0 1 lim

) 1 (







  

   

 





 

 



b t x b b x

b b e x t e dt

x

0 1 lim lim

) 1 (

   

    

 



 

0 1 0

) 1

(x x tx e tdt

   

   



_

  

0 1 )

1

(x x tx e tdt

3. (1)1

Bukti :

   

  



_

 

 

b

t

b t e dt

0 1 ) 1 ( lim ) 1 (

   

  



_



 

b t

b e dt

0 ) 1 ( lim ) 1 (

   

  







 

b t

b e dt

0 lim ) 1 (

   

  





 

0 ) 1

( e tdt

 

  

0 )

1

( e t

1 ) 1

( 



4. 

     

2 1

Bukti :

Berdasarkan definisi fungsi Gamma, maka :





               

0 1 2 1

2 1

dt e

t t



          

0 2 1

2 1

dt e

t t

Misal : t z2 dt2zdz

Batas-batas integral :

    

  

z x

z



 rcos

d v

  Sehingga :

 





         

0 2 1 2

2 2

1 2

zdz e

z z



          

0 1 2

2 2 1

zdz e

z z



         

0 2

2 2 1

dz e z

   

     

        

     





  





0 0

2

2 2

2 . 2

2 1

dz e dz

e z v

 



   

      

      

0 0 2

2 2 4 2

1

dz e z v

Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, kita uraikan sebagai

berikut :

Misal : zrcos



sin

r v



cos  

dr z



sin  

dr v



 rsin

d z _



Sehingga memenuhi :

 

 

d dr

dr u dr

u dr u dr

u

e r r



  

 

  

     

     

 2

0 0

) ) sin ) cos (( 2

2 2

4 2

1

 

 

  

 

     

     

 2

0 0

) ) (sin ) (cos ( 2

cos sin

sin cos

4 2

1 2 2 2





 _

 

 

drd r







  _

      

     

 2

0 0

2 2

2

sin cos

4 2

1 2



 

 r drd

r e r











  _

      

     

 2

0 0

2 2

2

sin cos

4 2

1 2



 

 drd

r e r

 

d dr r e r



        

     

 2

0 0 2

) ( 4

2

1 2

Misal : tr2

rdr

dt 2 dt

r dr

2 1 

Sehingga memenuhi :

 

d dt r r e r



        

     

 2

0 0 2

2 1 ) ( 4

2

1 2

 

d dt e t



        

     

 2

0 0 2

2 2

1

 

d



       

     

 2

0 2

) 1 ( 2 2

1

 

 

d



      

     

 2

0 2

1 2 2

1

            

     

 2

0 2

2 2

1 



            

      

2 2 2



      

      

2

2 1



       

2 1

2.3 Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Gamma

Pada penelitian ini, hubungan distribusi Beta menjadi distribusi Gamma

digunakan untuk menyederhanakan fungsi karakteristik distribusi distribusi

three-parameter generalized Rayleigh menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Mc Donald et al (1995) mengungkapkan bahwa untuk menghitung nilai

fungsi Beta, digunakan hasil dari fungsi Gamma.

Diketahui bahwa definisi fungsi Gamma sebagai berikut :



 _ 



1

0

1 1

) 1 (

) ,

( x x dx

B   

Dengan menggunakan koordinat polar, dilakukan perhitungan berikut :

Misal : xsin2

 

 d

dx 2sin cos .

Batas-batas integral :

2 1

0 0

 

  

  

y x

x



 _ 



1

0

1 1

) 1 (

) ,

( x x dx

B    



 _ 



2

0

1 2 1

2

. cos sin 2 . ) sin 1 ( ) (sin )

, (





 _{   }

 

 d



 



2

0

1 2 ) 1 ( 2

. cos sin 2 . ) (cos )

(sin )

, (





 _{   }

 

 d

B



 



2

0

1 2 )

1 ( 2

. cos ) (cos sin )

(sin

2 ) , (





 _{   }





 d

B



   



2

0

1 ) 1 ( 2 1

) 1 ( 2

) (cos )

(sin

2 ) , (





 _{ }





 d

B



 



2

0

1 2 1

2

) (cos )

(sin

2 ) , (





 _{ }





 d

B



 



2

π

0

dθ θ) θ)(cos

(sin2α1 2β 1

2 ) , (  B

Setelah perhitungan fungsi Beta di atas, kemudian dilakukan perhitungan

dengan menggunakan fungsi Gamma, yaitu sebagai berikut :



    

0 1

)

( x e xdx

Misal : xu2 dx2u.du, maka memenuhi :

) (

 =



  

0

1_{e dx} x x

) (

 =





 

0 1 2

. 2 )

(u  e u2 udu

) (

 =





  

0

1 ) 2 2

( 2

2 u  e u du

) (

 =



  

0 1

2 2

Dengan cara yang sama, diketahui bahwa :



    

0 1

)

( x e xdx

Misal xv2dx2v.dv_{, maka memenuhi :}



    

0 1

)

( x e xdx





  



0

1 2

. 2 )

( 2

)

( v  e v vdu





  

 

0

1 ) 2 2

( 2

2 )

( v  e v dv



  

 

0 1

2 2

2 )

( v  e v dv

Selanjutnya diperoleh bahwa :

   

     

 





  

  

  

0 1 2

0 1

2 2 2

2 2

) ( ).

(  u e u du v  e v dv

 



   

 

 

0

) ( 1 2

0 1

2 2 2

4

) ( ).

(  u  v  e u v dudv

Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, kita uraikan sebagai berikut :

Misal : urcos



sin

r v



cos  

dr

u _

sin  

dr v



 rsin

d u

 

 _

 rcos

d v

Maka dengan menggunakan transformasi parameter diperoleh persamaan berikut :  

 

            0 ) sin ( ) cos ( 1 2 2 0 1

2 2 2

) sin ( ) cos ( 4 ) ( ).

( d dr

dr u dr u dr u dr u e r

r    r  r  

       



         0 ) (sin ) (cos 1 2 2 0 1 2 cos sin sin cos ) sin ( ) cos (

4 2 2 2

) ( ).

( d dr

r r

e r

r r 

            





 

    _    0 2 2 1 2 2 0 1

2 _{( sin ) cos sin}

) cos ( 4 2 ) ( ).

( r  r   e r r  r  ddr

   









 

    _    0 2 2 1 2 2 0 1

2 _{( sin ) cos sin}

) cos ( 4 2 ) ( ).

( r  r   e r r   ddr

   

 

       0 1 2 2 0 1 2 ) ( ) sin ( ) cos ( 4 2 ) ( ).

( r  r   e r r ddr

   

 

         0 1 2 2 0 1 2 1 2 1

2 _{(cos ) (sin ) ( )}

4 2

) ( ).

( r  r   e r r ddr

     

 

         0 1 2 2 0 1 2 1 2 1 2 2 ) sin ( ) (cos 4 ) ( ).

( r r r    e r ddr

     

 

         0 1 2 2 0 1 2 1 ) ( 2 ) sin ( ) (cos 4 2 ) ( ).

( r e r    ddr

     

 

         0 1 2 2 0 1 2 1 ) ( 2

)

sin

(

)

(cos

4

2 ) ( ).

(

r

e

r







d



dr

                       _{ }   





           

 r e r dr 2 1d



( , )



)

( ). (

0

1 ) (

2 2

2

 





r

 

e

r

dr

_

B















   

 

 





) , ( )

( ). (

0

1 ) (

2 2

2  



 r   re r dr_ B

  

 





  

  

Misal : tr2

rdr dt2

dt r dr

2 1 

Sehingga :

 

_

_

) , ( )

( ). (

0

1 ) (

2 2

2  



 r   re r dr_ B

  

 





  

  



( , )



)

( ). (

0

1 ) (

2 1 .

2  



   dt B

r re

t t _

  

 





   

 



( , )



)

( ). (

0

1 )

( _{ }



 t  e tdt_ B   

 





     



( , )



)

( ) ( ).

(        B  



Jadi, diperoleh rumus umum untuk menghitung nilai fungsi Beta

menggunakan fungsi Gamma, yaitu :

) (

) ( ). ( ) , (

 

  



 

  

B

2.4 Rumus Euler

Rumus Euler adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang

menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi

Kreyszig (1993) menuliskan bahwa rumus Euler untuk setiap bilangan riil x

sebagai berikut :

) sin( )

cos(t i t

eit  

Dan fungsi sekawannya yaitu :

) sin( )

cos(t i t

eit  

dengan :

adalah basis logaritma natural

adalah unit imajiner

yang diperoleh dari : cos(− ) = cos(t); sin(− ) =−sin( ).

Diketahui bahwa :

) sin( )

cos(t i t

eit   ..(1)

) sin( )

cos(t i t

eit   ...(2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh rumus untuk menghitung nilai cos (tx)

dan sin (tx) sebagai berikut :

2 )

cos(

it it

e e t



 

dan,

i e e t

it it

2 )

sin(