NUMERICAL SIMULATION OF POLYHARMONIC VIBRATIONS OF NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS

УДК

533.6.013.42; 696.2

В

.

Е

.

ВОЛКОВА

(

ДИИТ

)

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ

КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

У статті подані методика та результати обчислювального експерименту: властивості та особливості змушенихколиваньнелінійнихмеханічнихсистем, які описуютьсянелінійнимидиференціальнимирівнян

-нями. При розробціпрограмного забезпечення, необхідногодля рішенняданої задачі, використаніметоди численного інтегрування (метод Рунге-Кутта 4-го порядку), спектрального аналізу (алгоритм Герцеля),

комп’ютерноїграфікитаін.

Встатьеприведеныметодикаирезультатывычислительногоэксперимента: свойстваиособенностивы

-нужденных бигармонических колебаний нелинейных механических систем, описываемых нелинейным дифференциальным уравнением. При разработке программного обеспечения, необходимого для решения даннойзадачи, использованыметодычисленного интегрирования (методРунге-Кутта 4-гопорядка), спек

-тральногоанализа (алгоритмГерцеля), компьютернойграфики.

The methods and results of the numerical modelling, qualities and peculiarities of the non-linear mechanical system biharmonic forced oscillations, described by the non-linear differential equation. are presented in the paper. The method of numerical integration (Runge-Kutta method of the fourth order), spectral analysis (Hertzel algo-rithm), computer graphic were used working out of the software necessary for the solution of the given task.

Периодические колебательные режимы ме

-ханических систем, динамическое поведение которых описывается уравнением типа Дуф

-финга, при моногармоническом возмущении достаточноподробно изучены [5]. Наибольший практический и теоретический интерес пред

-ставляет вопрос о поведении таких систем, в тех случаях, когда внешнее возмущение, оста

-ваясь периодическим, будет изменяться по бо

-лее сложному закону. Можно ожидать, что в качественной структуре получаемых периоди

-ческих колебательных режимов произойдут

существенныеизменения.

Качественное исследование поведения ди

-намической системы сводится к изучению по

-ведения траекторий в фазовом пространстве.

Основыкачественной теорииисследования ди

-намическихпроцессовбылисозданыПуанкаре.

Исключительнаярольвразвитиикачественных методов исследования динамических систем принадлежит А. А. Андронову [1], Е. А. Леон

-товичу, И. И. Гордону, А. М. Ляпунову. Основ

-ной задачей классической теории качественно

-гоисследованияявляется определение динами

-ческихсвойствсистембезполучениязамкнуто

-го аналитического решения. С этой целью широкоиспользовалисьфазовыетраекториина плоскости

(

y y,

)

.

Отметим, что фазовое пространство дина

-мических систем многомерно. Возможен и иной выбор параметров фазовых плоскостей.

Впервые попытка применить фазовые траекто

-рии на плоскостях

(

y y,

)

и

(

y y,

)

к исследова

-нию динамических систем была сделана в мо

-нографии [2]. Как следует из полученных ре

-зультатов, фазовые траектории на плоскости

(

y y,

)

могут быть весьма эффективно исполь

-зованыдляидентификации [3].

Цельюданнойработыявляетсяизучениеди

-намическогоповедениянесимметричныхсистем с кусочно-линейной упругой характеристикой,

получениевременныхпроцессовифазовыхтра

-екторий

( )

y,y и

( )

y,y для различных режимов колебанийивыявлениеихособенностей

1. Дифференциальноеуравнение

вынужденныхколебаний

Для широкого ряда механических динами

-ческихсистемвнешнеевозмущениеотличноот моногармонического. Оно может содержать несколько гармоник, имеющих различные ам

-плитуды. Вынужденные колебания таких сис

-тем могут быть описаны дифференциальным

уравнениемвида [4]

( )

( )

;

y+ ε +y R y = F t

( )

0

F t = F +

( )

( )

( )

( )

1 1

cos sin ,

n n

i i j j

i j

F t t F t t

= =

+

∑

ω +

∑

ω (2)

1,2,3 , 1,2,3 ,

где y – обобщеннаякоордината; ε – коэффици

-ентдемпфирования; R y

( )

– упругая характери

-стикасистемы; F t

( )

– характеристикавнешнего полигармоническоговозмущения.

Предположим, что упругая характеристика динамическойсистемы нелинейнаяиизменяет

-сяпозакону

( )

3

R y = −α + βy y . (2)

Ограничимся случаем несимметричного би

-гармонического возмущения. Предположим,

что характеристика внешнего полигармониче

-скоговозмущенияимеетвид

( )

1cos

( )

1 mcos

(

m

)

,

F t =F ω +t F ω t (3)

1, 2, 3,

m= …

Известно, что характеристика внешнего возмущения является периодическойфункцией времени t только в случае кратности частот,

т. е. ω = µω_{m 1}, 0,1, 2, 3,µ = … Отметим, чтопо

-явление стационарных колебаний возможно

только при периодическом возбуждении. По

-этому в дальнейшембудем рассматривать слу

-чайкратностичастот.

При значениях µ =0 и µ =1 формула (2)

описываетгармоническое возмущениечастотой

ω иамплитудами F₁ и F₁+F_m соответственно.

2. Методикачисленногомоделирования

ДляполучениянаЭВМчисленногорешения уравнения (1) был использован метод Рунге

-Кутта 4-го порядка. Учитывая сложный харак

-тер колебаний нелинейных систем, описывае

-мых уравнением (1), шаг интегрирования ∆t выбиралсяв диапазоне T 250≤ ∆ ≤t T 150, где

2

T = π ω – период гармонической составляю

-щейвнешнеговоздействия. Выполнениеданно

-го условия обеспечивало устойчивость проце

-дуры численного решения уравнения (1) при всех рассмотренных вариантах значений его коэффициентов.

Дляопределения амплитудэтих гармониче

-ских составляющих был использованалгоритм Герцеля.

3. Анализполученныхрезультатов

В статье приведены результаты исследова

-ниябигармоническихколебанийсимметричной

системы с двумя потенциальными ямами.

На закон изменения внешнего возмущения,

в общем случае, достаточно точно можно на

-ложить следующее ограничение – функция

( )

F t должнаудовлетворятьусловиюДирихле.

Сопоставим поведение изучаемой системы

(1) ссистемами

( )

1cos

( )

1

y+ ε +y R y =F ωt

; (4 а)

( )

_mcos

(

_m

)

y+ ε +y R y = F ω t

. (4 б)

Амплитудно-частотная характеристика для уравнения (1) представленанарис. 1. Нарис. 1.

ярковыраженыдве резонансныеобласти, соот

-ветствующие резонансамдля каждой из гармо

-никвнешнеговозмущения. Сопоставление ихс амплитудно-частотными характеристиками для систем (4 а) и (4 б) в области основного резо

-нанса (рис. 2) показывает достаточно близкое совпадение параметров колебаний на резони

-рующих гармониках. В области второго резо

-нансанаблюдается незначительноерасширение частотногодиапазона и увеличение амплитуды длясистемы (4 б).

Характеристики субгармоническихрезонан

-сов порядковω 2 для систем (1) и (4 а) совпа

-дают. В то время как наблюдается незначи

-тельноерасширения частотногодиапазонасуб

-гармонических колебаний на частоте ω 3 для случаябигармоническоговозмущения.

Таким образом, можно сделать заключение,

что для некоторых участков характеристики амплитудно-частотных зависимостей могут быть получены, с достаточной точностью, при изучении систем с более простой структурой внешнеговозмущения.

Наличиедвух гармониквнешнеговозмуще

-ния приводиткизменениям вструктурепрояв

-ляющихся периодических режимов. Эти изме

-нения в основном затрагивают частотный диа

-пазон до первого резонанса, и выражаются,

прежде всего, в изменении порядков прояв

-ляющихсясубультрагармоническихтонов.

В промежутке между первым и вторым

частотными диапазонами системы (1) ярко проявляются резонансные колебания порядка

(

µ + ω µ1

)

. Заметим, чтовданномдиапазонеко

-лебанияначастоте ω становятсянеустойчивыми,

и возникает пара субгармонических режимов на частоте ω µ (резонансныйинерезонансный). Ам

-плитуда колебаний нагармонике

(

µ + ω µ1

)

бы

Рис. 1. Амплитудно-частотнаяхарактеристикасимметричнойсистемысдвумяпотенциальнымиямами:

3

µ = ; _{ε =0,5 c ;}−1 _{α=40,8 c ;}−2 _{β =7660000м}−2_c−2_; 2 1 0,15мc

F ₌ − _; 2

2 0,075мc

F ₌ −

Рис. 2. Амплитудно-частотныехарактеристикисимметричнойсистемысдвумяпотенциальными ямамиприразличныхвидахвнешнеговозмущения:

3

µ = ; _{ε =0,5 c ;}−1 _{α=40,8 c ;}−2 _{β =7660000м}−2_c−2_; 2 1 0,15мc

F ₌ − _; 2

2 0,075мc

a б

Рис. 3. Временныепроцессы, спектральныехарактеристикиифазовыетраекториисимметричной системысдвумяпотенциальнымиямами. Диапазон II:

а – моногармоническоевозмущение; б – бигармоническоевозмущение

Обнаружено, что некоторые субгармониче

-скиережимы, например, порядков

(

2µ + ω µ1

)

и

(

3µ + ω µ1

)

проявляются не в одном, а в двух частотных диапазонах. При этом наблюдаются многократныебифуркацииколебанийначастоте

ω и ω µ, связанныесудвоениемпериодаколе

-баний (двезоныхаоса дляколебанийпо первой ивторойгармоникам – переходы «малые» коле

-бания – «большие», инаоборот). Амплитудыко

-лебанийна частотах

(

2µ + ω µ1

)

и

(

3µ + ω µ1

)

быстровозрастают (убывают) сизменениемчас

-тоты внешнего возмущения. Вследствие боль

-шой крутизны соответствующих участков ам

-плитудно-частотных характеристик, исследова

-ние данных режимов численными методами за

-труднено. Наличие изолированных (расщеплен

-ных) частотныхдиапазонов, проявлениенекото

-рых дополнительных суб- ультра- гармониче

-ских режимов, являются следствием того, что частота собственных колебаний существенно

нелинейных систем зависит от параметров

сравнительно большого числа входящих в

решениегармоник.

Устойчивые ветви амплитудно-частотной ха

-рактеристикисистемы (1) формируютпятьдиапа

-зонов частот, для которых получены временные процессы, спектральные характеристики и фазо

-вые траектории на плоскостях

(

y y,

)

,

(

y y,

)

и

(

y y,

)

. Переход отодного режима вынужденных колебаний к другому сопровождается не только переходом от «больших» колебаний к «малым»,

или наоборот, но также и появлением колебаний накомбинационныхтонах.

Диапазон I (ω = ÷0 3рад/с) является обла

-стьюналожения «малых» ультрагармонических колебаний порядка (nω n=2,3, 4,5 )… на

«большие» колебания основного тона как при увеличении, так и при уменьшении основной частотывозмущения.

Диапазон II (ω = ÷3 7рад/с) – область бие

-ний «больших» ультрагармонических колеба

-Диапазон III (ω = ÷7 26рад/с) характеризу

-ется установлением резонансных «больших»

колебанийосновноготонаприувеличениичас

-тот возмущения, и комбинационных ультра- и субгармоническихколебанийпорядков 2 ,ω 3ω

и ω 2 соответственно при уменьшении часто

-ты внешнего возмущения. Необходимо отме

-тить, что колебания на четных гармониках не устойчивы, так как система симметрична.

В данном диапазоне частот возможно возник

-новениехаотическихколебаний (рис. 4, б).

Диапазон IV (ω =26 32÷ рад/с) – область

«больших» субгармонических колебаний по

-рядка ω 3 как при увеличении, так и при уменьшениичастотывозмущения.

Диапазон V (ω >32рад/с) – являетсязарезо

-нансной областью, где реализуются только

«малые» колебания относительно одного из несмежных положений равновесия. В этом диапазоневозможныскачкообразныепереходы от колебаний относительно одного положения равновесиякдругому.

На рис. 3, а и 4, а представленывременные процессы, спектральные характеристики и со

-ответствующие фазовые траектории для систе

-мы (4 а) длятехжечастотнизшейгармоники.

a б

Рис. 4. Временныепроцессы, спектральныехарактеристикиифазовыетраектории симметричнойсистемысдвумяпотенциальнымиямами. Диапазон III:

а – моногармоническоевозмущение; б – бигармоническоевозмущение

С изменением частоты внешнего возму

-щения спектральный состав решения может кардинально меняться, чтоследует изанали

-за представленных амплитудно-частотных характеристик и спектральных характери

-стик отдельных временных процессов. Би

-гармоническое внешнее возмущение способ

-ствует таким изменениям спектрального состава.

Варьируя закономизменения внешнеговозмуще

-ния, можно получить либо расширения тре

-буемыхчастотныхдиапазонов, либоисчезновение нежелательных. Это создает основу для проекти

-рованияэлементовконструкций, рабочиединами

4. Заключение

Анализ полученных результатов позволяет утверждать, чтосистемы с нелинейными упру

-гими характеристиками весьма чувствительны кзаконуизменения внешнеговозмущения. По

-этому широко применяемые при исследовании реальных механических систем допущения, о моногармоническомзаконе изменения внешне

-говозмущения, не всегдаявляютсякорректны

-ми. Так, сравнительно небольшие отклонения формывнешнеговозмущения от моногармони

-ческого, неоказываютзначительноговлиянияв широкихдиапазонах частот (резонансы начас

-тотах ω и ω3), но могут привести к качест

-веннымизменениямвпрочихдиапазонах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. АндроновА. А., Е. А. Леонтович, И. И. Гордон,

А. Г. Майер. Качественная теория динамиче

-ских систем второгопорядка – М.: Главноеиз

-дательство. Государственное издательство фи

-зико-математическойлитературы, 1966. – 568 с. 2. Казакевич М. И., ВолковаВ. Е. Динамика сис

-темсдвумяпотенциальными ямами. – Д.: Арт

-Пресс, 2000. – 160 с.

3. Казакевич М. И., ВолковаВ. Е. Фазовыетраекто

-риинелинейныхдинамическихсистем. Атлас. – Д.:

Наукаиобразование, 2002. – 94 с.

4. Вибрациивтехнике: Справочник. В 6 т. Т. 2. –

М.: Машиностроение, 1979. – 315 с.

5. БондарьН. Г. Устойчивостьиколебанияупругих систем в современной технике(конструкции спрощелкиванием). – К.: Вищашк.,1987. – 200 с.