MECHANICS OF
MATERIALS
Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Lecture Notes: J. Walt OlerTexas Tech University CHAPTER
Contents
Introduccion
Cargas de Torsión en Ejes Circulares Torque Neto debido a Esfuerzos Internos Componentes axiales del esfuerzo cortante Deformaciones del eje
Deformación por cortante
Esfuerzos en el Rango Elástico Esfuerzos Normales
Formas de Falla por torsión Ejemplo Problema 3.1
Ángulo de giro en el Rango Elástico
Ejes Estáticamente Indeterminados Ejemplo Problema 3.4
Diseño de Transmisión por ejes Concentradores de esfuerzos Deformaciones Plásticas Materiales Elastoplásticos Esfuerzos Residuales
Ejemplo 3.08/3.09
Torsión en elementos no circulares Ejes Huecos de Pared Delgada Ejemplo 3.10
Cargas de Torsión en Ejes Circulares
• Interés en los esfuerzos y tensiones de los ejes circulares sujetos a pares de torsión o torques
• Generador crea un torque T’ igual y opuesto
• Eje transmite el torque desde el generador
Torque Neto debido a Esfuerzos Internos
(
)
∫ =∫
= dF dA
T ρ ρ τ
• El esfuerzo cortante interno neto es un torque interno, igual y opuesto al torque aplicado,
• Aunque el torque neto debido al esfuerzo cortante es conocido, la distribución de esfuerzos no lo es
• A diferencia de los esfuerzos normales debido a cargas axiales, la distribución de los esfuerzos cortantes no se pueden asumir uniformes.
• La distribución de los esfuerzos cortantes es estáticamente indeterminados – se consideran las deformaciones del eje
Componentes axiales del esfuerzo cortante
• El torque aplicado a un eje prodeceesfuerzos cortantes en las caras perpendiculares al eje.
• La existencia de las componentes axiales del esfuerzo cortante es demostrada considerandi un eje formado por listones axiales.
Los listones se deslizan uno respecto a otro cuando torques iguales y opuestos se aplican en los extremos del eje.
• La condición de equilibrio requiere la
existencia de esfuerzos iguales en las caras de los dos planos que contienen el eje del
• De la observación, el angulo de giro del eje es proporcional al torque aplicado y a la longitud del eje. L T ∝ ∝ φ φ
Deformaciones del eje
• Cuando se somete a torsión, todas las secciones transversales de un eje circular permanecen planas y sin distorsiones.
• Las secciones transversales de ejes no circulares (no simétricos) se distorsionan cuando se someten a torsión.
• Las secciones transversales de un eje solido y un eje hueco permanecen planas y sin
distorsíón porque los ejes circulares son simétricos.
Deformación por cortante
• Considerando una sección interior del eje. Como una carga de torsión es aplicada, un elemento en el interior del cilindro se deforma en un rombo.
• La deformación por cortante es proporcional al angulo de giro y al radio.
max max φ and γ ργ γ c L c = = L Lγ = ρφ or γ = ρφ
• Entonces, se tiene que,
• Dado que los extremos del elemento permanecen planos, la deformación por
Esfuerzos en un rango elástico
J c dA c dA T = ∫ρτ =τmax ∫ρ2 =τmax• Recordar que la suma de los momentos de la distribución interna de esfuerzos es igual al torque en el eje de la sección,
4 2 1 c J = π
(
4)
1 4 2 2 1 c c J = π − and max TcJ τ TJρ τ = =• Los resultados se conocen como las fórmulas elásticas de torsión,
• Multiplicando la anterior ecuación por el modulo de rigidez, max γ ρ γ G c G = max τ ρ τ c =
Por la ley de Hooke, τ =Gγ, entonces,
El esfuerzo cortante varia linealmente con la posición radial en la sección.
Esfuerzos Normales
• Elementos con caras paralelas y
perpendiculares al eje de simetría se someten sólo a esfuerzos cortantes. Esfuerzos normales, esfuerzos cortantes o una combinación de los dos se pueden encontrar en otras orientaciones.
(
)
max 0 0 max 45 0 max 0 max 2 2 2 45 cos 2 o τ τ σ τ τ = = = = = A A A F A A F• Considerando un elemento a 45o del eje central,
• Elemento a está en cortante puro.
• Notese que todos los esfuerzos de los elementos a y c tienen la misma magnitud.
• Elemento c es sometido a esfuerzo de tensión en dos caras y esfuerzo de compresión en las otras dos.
Modos de Fallas por torsión
• Generalmente los materiales ductiles fallan en cortante. Los materiales frágiles son más débiles en el esfuerzo de tensión.
• Cuando se sujeta a torsión, un
especimen dúctil se rompe a lo largo del plano de cortante máximo, i.e., un plano perpendicular al eje.
• Cuando se sujeta a torsión, un
especimen frágil a lo largo de planos perpendiculares a la dirección donde la tension es máxima, i.e., a lo largo de superficies de 45o del eje.
Eje BC es hueco con diametros interno y externo de 90 mm y 120 mm,
respectivamente. Ejes AB y CD son sólidos de diámetro d. Para la carga mostrada, determine (a) el mínimo y máximo del esfuerzo cortante en el eje BC, (b) el diámetro d requerido para los ejes AB y CD si el esfuerzo cortante
admisible en estos ejes es 65 MPa.
Ejemplo Problema 3.1
SOLUCIÓN:
• Cortar las secciones a traves de los ejes AB y BC y realizar
analísis de equilibrio estático para encontrar los toques aplicados.
• Dado el esfuerzo cortante
admisible y el torque aplicado, despejar de la formula de torsión elastica para encontrar el diámetro requerido.
• Aplicar las formulas de torsión elástica para encontrar los
esfuerzos minimos y máximos en el eje BC.
SOLUTION:
• Cortar secciones a través de los ejes AB y BC y realizar el analísis de
equilibrio estático para encontrar los torques aplicados.
(
)
CD AB AB x T T T M = ⋅ = − ⋅ = = ∑ m kN 6 m kN 6 0(
) (
)
m kN 20 m kN 14 m kN 6 0 ⋅ = − ⋅ + ⋅ = = ∑ BC BC x T T MEjemplo Problema 3.1
• Aplicar las formulas de torsión elástica para encontrar el esfuerzo minimo y máximo en el eje BC.
(
)
[
(
) (
)
]
4 6 4 4 4 1 4 2 m 10 92 . 13 045 . 0 060 . 0 2 2 − × = − = − = π c c π J(
)(
)
MPa 2 . 86 m 10 92 . 13 m 060 . 0 m kN 20 4 6 2 2 max = × ⋅ = = = − J c TBC τ τ MPa 7 . 64 mm 60 mm 45 MPa 2 . 86 min 2 1 max min = = = τ τ τ τ c c MPa 2 . 86 max = = τ τ• Dado el esfuerzo cortante admisible y el torque aplicado, despejar de la formula de torsión elastica para encontrar el diámetro requerido m 10 9 . 38 m kN 6 65 3 3 2 4 2 max − × = ⋅ = = = c c MPa c Tc J Tc π π τ mm 8 . 77 2 = = c d
Ejemplo Problema 3.1
Angulo de giro en un Rango Elástico
• Recordar que el ángulo de giro y la maxima deformación por cortante se relacionan,
L cφ
γmax =
• En el rango elástico, el esfuerzo y deformación cortante por ley de Hooke,
JG Tc G = = max max τ γ
• Igualando las expresiones de deformación por cortante y resolver para el ángulo de giro,
JG TL
=
φ
• Si la carga torsional o la sección transversal del eje cambia a lo largo de la longitud, el ángulo de rotación se encuentra como la suma de la rotación de los segmentos. ∑ = i i G J L T φ
• Dadas las dimensiones del eje y el torque aplicado, nos gustaría encontrar el torque de reacción en A y B.
Ejes estáticamente indeterminados
• De un analísis de cuerpo libre del eje,
que no es sufuciente para encontrar los torques terminales. El problema es estáticamente
indeterminado. ft lb 90 ⋅ = + B A T T ft lb 90 2 1 = ⋅ + A A LL JJ T T
• Sustituyendo en la ecuación de equilibrio original, A B B A T J L J L T G J L T G J L T 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1+ = − = 0 = =φ φ φ
• Dividir el eje en dos componentes que debe tener deformaciones compatibles,
Ejemplo Problema 3.4
Dos ejes de acero sólido estan
conectadoa por engranajes. Sabiendo que para estos ejes G = 11.2 x 106 psi y
el esfuerzo admisible cortante es 8 ksi, determine (a) el mayor torque T0 que puede aplicarse en el extremo final del eje AB, (b) el correspondiente angulo de deformación que termina en A de la rotación del eje AB.
SOLUCIÓN:
• Aplicar un analísis de equilibrio
estático en los dos ejes para encontrar una ralación entre TCD y T0
• Encontrar el correspondiente angulo de giro para cada eje y el angulo neto de rotación al final de A
• Encontrar el maximo torque admisible en cada eje - escoger el mas pequeño • Aplicar un analisis cinemáticopara
relacionar la rotación angular de los engranajes
SOLUCIÓN:
• Aplicar un analísis de equilibrio
elástico en los dos ejes para encontrar la relación entre TCD y T0
(
)
(
)
0 0 8 . 2 in. 45 . 2 0 in. 875 . 0 0 T T T F M T F M CD CD C B = − = = − = = ∑ ∑• Aplicar un analísis cinemático para relacionar el angulo de rotación de los engranajes C B C C B C B C C B B r r r r φ φ φ φ φ φ φ 8 . 2 in. 875 . 0 in. 45 . 2 = = = =
Ejemplo Problema 3.4
• Encontrar el T0 para el maximo torque admisible en cada eje – escoger el más pequeño
(
)
(
)
(
)
(
0.5in.)
in. 5 . 0 8 . 2 8000 in. lb 663 in. 375 . 0 in. 375 . 0 8000 4 2 0 max 0 4 2 0 max = = ⋅ = = = T psi J c T T T psi J c T CD CD AB AB π π τ τ• Encontrar el angulo de giro correspondiente para cada eje en el angulo de rotación neto al final de A
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
( )
o o o o o 6 4 2 / o 6 4 2 / 26 . 8 95 . 2 8 . 2 8 . 2 95 . 2 rad 514 . 0 psi 10 2 . 11 in. 5 . 0 . 24 in. lb 561 8 . 2 2.22 rad 387 . 0 psi 10 2 . 11 in. 375 . 0 . 24 in. lb 561 + = + = = = = = = × ⋅ = = = = × ⋅ = = C B CD CD D C AB AB B A in G J L T in G J L T φ φ φ φ φ φ φ π π o = φEjemplo Problema 3.4
Diseño de transmisión por ejes
• Las especificaciones de latransmisión por ejes son: - potencia
- velocidad
• Determine el torque aplicado al eje la potencia y la velocidad especificadas,
f P P T fT T P π ω π ω 2 2 = = = =
• Encontrar la sección transversal del eje que no exceda el esfuerzo cortante
maximo,
(
)
(
)
(
hollowshafts)
2 shafts solid 2 max 4 1 4 2 2 2 max 3 max τ π τ π τ T c c c c J T c c J J Tc = − = = = =• El diseñador debe seleccionar material del eje y la sección transversal para cumplir con las especificaciones de rendimiento sin exceder esfuerzo cortante permisible.
Concentradores de esfuerzos
• La derivación de la formula de torsión, asumiendo un eje de sección transversal circular uniforme a traves de placas
extremas rigidas. J Tc = max τ J Tc K = max τ • Experimentalmente o numericamente
determinando los factores de concentración • El uso de acoplamientos de bridas,
engranajes y poleas conectados a los ejes mediante los chaveteros y seccíones
transversales discontinuos pueden causar concentraciones de esfuerzos
Deformaciones plásticas
• Asumiendo un material linealmente elástico,
J Tc = max τ
(
)
= ∫ ∫ = c d c d T 0 2 0 2 2πρ ρ π ρ τ ρ ρτ• La integral de los momentos de la distribución de esfuerzos es igual al torque en la seccíón del eje, • Deformación por cortante varia linealmente
independientemente de las propiedades del materiales. Aplicación curva de cortante-tensión-deformación
permite la determinación de la distibución de esfuerzos. • Si el límite de elasticidad es excedido o el material
tiene una curva de cortante-tensión-deformación no lineal, esta expresión no se sostiene.
• As ρY →0 , el torque se aproxima a un valor límite, torque plastic T TP = 34 Y =
Materiales elastoplásticos
• A medida que aumenta el, en la región plástica ( ) se desarrolla alrededor del nucleo elástico ( ) Y τ τ = Y Y τ ρρ τ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 41 33 3 4 3 3 4 1 3 3 2 1 1 c T c c T π τY ρY Y ρY ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 14 33 3 4 1 φ φY Y T T φγ ρ L Y Y =
• En el torque maximo elástico,
Y Y Y Jc c T = τ = 12π 3τ c L Y Y γ φ =
Esfuerzos residuales
• Región plástica se desarrolla en un eje cuando es sometido a un par de torsión suficientemente grande
• En una curva T-f , las descargas del eje a lo largo de una línea recta a un ángulo mayor que cero
• Cuando se elimina el torque, la reducción del esfuerzo y la tensión en cada punto tiene lugar a lo largo de una línea recta a una tensión residual generalmente distinto de cero
• Esfuerzos residuales encuentran desde el principio de superposición
( )
=0 ∫ρ τdA Tc = ′ τEjemplo 3.08/3.09
Un eje sólido circular esta sujeto a un torque en el final. Asumiendo que el eje esta hecho de
un material elastoplastico con y determine (a) el radio
del corazon elástico, (b) el angulo de giro del eje. Cuando el torque es
removido, determine (c) el giro permanente, (d) la distribución de esfuerzos residuales. MPa 150 = Y τ GPa 77 = G m kN 6 . 4 ⋅ = T SOLUTION:
• Resolver la Eq. (3.32) para rY/c y evaluar el radio del corazon elástico.
• Encontrar la distribución de la tensión residual por una superposición de la tensión debido a la torsión y destorsión el eje
• Evaluar la Eq. (3.16) para el angulo que el eje rectifique cuando el torque es removido. El giro permanente es la diferencia entre angulos de giro y rectificado.
• Resolver la Eq. (3.36) para el angulo de giro.
SOLUTION:
• Resolver la Eq. (3.32) para rY/c y evaluar el radio del corazon elástico
3 1 3 4 1 41 33 3 4 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = ⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = Y Y Y Y c TT c T T ρ ρ
(
)
(
)(
)
m kN 68 . 3 m 10 25 m 10 614 Pa 10 150 m 10 614 m 10 25 3 4 9 6 4 9 3 2 1 4 2 1 ⋅ = × × × = = ⇒ = × = × = = − − − − Y Y Y Y Y T c J T J c T c J τ τ π π 630 . 0 68 . 3 6 . 4 3 4 3 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = c Y ρ mm 8 . 15 = Y ρ• Resolver la Eq. (3.36) para el angulo de giro
(
)
(
)
(
)
(
)
o 3 3 3 4 9 -3 8.50 rad 10 3 . 148 630 . 0 rad 10 4 . 93 rad 10 4 . 93 Pa 10 77 m 10 614 m 2 . 1 N 10 68 . 3 = × = × = × = × × × = = = ⇒ = − − − φ φ φ ρ φ φ ρ φ φ Y Y Y Y Y Y Y JG L T c c o 50 . 8 = φEjemplo 3.08/3.09
• Evaluar la Eq. (3.16) para el angulo que el eje se distorsiona cuando el torque es removido. El giro permanente es la diferencia entre los angulos de giro y
rectificado
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
o 3 3 3 9 4 9 3 1.81 rad 10 8 . 116 10 8 . 116 rad 10 8 . 116 Pa 10 77 m 10 14 . 6 m 2 . 1 m N 10 6 . 4 = × − × = ′ − = × = × × ⋅ × = = ′ − − − φ φ φ p φ JG TL o 81 . 1 = p φ• Encontrar la distribución de esfuerzo residual por la superposición del
esfuerzo debido a la torsión y la distorsión del eje
(
)(
)
MPa 3 . 187 m 10 614 m 10 25 m N 10 6 . 4 4 9 -3 3 max = × × ⋅ × = = ′ − J Tc τEjemplo 3.08/3.09
Torsion en elementos no circulares
• Para grandes valores de a/b, el maximo esfuerzo cortante y angulo de giro para recciones abiertas es el mismo que en una barra rectangular.
G ab c TL ab c T 3 2 2 1 max = φ = τ
• Para secciones rectangulares uniformes, • La anteriores formulas de torsión son
validas para ejes asimetricos o circulares • Sección transversal plana de un eje no
circular no permanecen planas y el
esfuerzo y la distribución de la no varia linealmente
Ejes de pared delgada
• Asumiendo fuerzas en la dirección x AB,
esfuerzo cortante varia inversamente con el espesor
(
)
(
)
flow shear 0 = = = = Δ − Δ = = ∑ q t t t x t x t F B B A A B B A A x τ τ τ τ τ( ) ( )
tA T qA dA q dM T dA q pds q ds t p dF p dM 2 2 2 2 0 0 = = = = = = = = ∫ ∫ τ τ• Calcular el torque de la integral de los momentos debido al esfuerzo cortante
∫ = t ds G A TL 2 4 φ
Ejemplo 3.10
Tubos de aluminio extruido con una sección transversal rectangular tiene un torque de apriete de 24 kip-in. Determinar el esfuerzo cortante en cada una de las cuatro paredes con (a) espesor de pared uniforme de 0,160 pulg. Y espesores de pared de (b) en 0.120. Sobre AB y CD y 0,200 pulg. En CD y BD.
SOLUCIÓN:
• Determinar el flujo de cortante a través de las paredes de la tubería
• Encontrar la tensión de corte
correspondiente a cada espesor de pared
SOLUCIÓN:
• Determinar el flujo de cortante a través de las paredes de la tubería
(
)(
)
(
)
in. kip 335 . 1 in. 986 . 8 2 in. -kip 24 2 in. 986 . 8 in. 34 . 2 in. 84 . 3 2 2 = = = = = A T q A• Encontrar la tensión de corte
correspondiente a cada espesor de pared
Con una pared de espesor uniforme,
in. 160 . 0 in. kip 335 . 1 = = t q τ ksi 34 . 8 = τ
Con un espesor de pared variable
in. 120 . 0 in. kip 335 . 1 = = AC AB τ τ in. 200 . 0 in. kip 335 . 1 = = CD BD τ τ ksi 13 . 11 = = BC AB τ τ ksi 68 . 6 = = CD BC τ τ
