The integer vector of optimization problem of determining the optimal composition of passenger trains

УДК 517.518.2:629.4.014.6

А. А. БОСОВ (ДИИТ), Г. Н. КОДОЛА (УкрГХТУ)

ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ

ВЕКТОРНАЯ

ОПТИМИЗАЦИЯ

В

ЗАДАЧЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНОЙ

КОМПОЗИЦИИ

ПАССАЖИРСКИХ

ПОЕЗДОВ

Запропонованийалгоритм длявизначенняцілочисельногорозв’язання задачівекторноїоптимізаціїдля опуклихфункцій.

Предложеналгоритмдляопределенияцелочисленногорешениязадачивекторнойоптимизациидлявы

-пуклыхфункций.

An algorithm for determination of integer solution of the task of vector optimization for convex functions is offered.

Реальные задачи инженерной практики и экономикивыдвигают задачи, основной чертой которых является разумное (рациональное) ис -пользование ресурсов. Часто требуется, чтобы компоненты решения такого класса задач вы -ражались в целых числах, т. е. были целочис -ленными. Книмотносятся, например, задачи, в которых переменные означают количество единиц неделимой продукции, число станков при загрузке оборудования, число судов при распределениях по линиям, число турбин в энергосистеме, числовычислительныхмашинв управляющемкомплексеимногиедругие.

Традиционнозадачацелочисленного линей -ного программирования решается методом Го -мориилиметодомветвейиграниц [1, 2].

Рассмотрим задачу векторной оптимизации подвумпоказателям f x₁( ) и f x₂( ), где x – из

множествацелых чисел Z; f x₁( ), f x₂( ) – вы

-пуклыефункции.

Тогда математическая модель задачи цело -численнойвекторнойоптимизациипредставля -етсобой:

1

2

( )

min ( )

f x

f x

⎛ ⎞

→

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , (1)

а на значение x накладывается условие x∈ ⊆X Z.

Изучениерешенияиустойчивостиподобно -городазадачрассматриваетсяв [3 − 6].

Рассмотрим одномерный случай и задачу целочисленнойоптимизациис однойвыпуклой функцией f x( ).

Решение задачи может оказаться как цело -численным, такинет.

Тогда для определения целочисленного ре -шения можно рассмотреть следующий алго -ритм

Пусть _x* _{– решение задачи f x( )→min,} необязательноцелое.

В случае, если _x* _{– целое, задача решена,} иначе целочисленное решение *

x

⎡ ⎤

⎢ ⎥ будет на -ходитьсявинтервале [x*−1,x*+1], см. рис. 1.

Обозначим, через x* – целое решение, ко

-тороележитвинтервале [x*−1, ]x* ; x* – целое

решение, котороележитвинтервале[ ,x x* *+1]. Для выбора оптимальногорешения необхо -димовыбрать min( ( ), ( ))f x* f x* .

Рис. 1. Интервалопределенияцелочисленного

решения

Для определения целочисленного решения задачи векторной оптимизации в интервале

* *

[x −1,x +1] воспользуемсятеоремой 1 из [7]. Для этого сформируем вариационные урав -нения:

1. В случае одной переменной интервал поиска целочисленного решения представляет собойрис. 2.,

Рис. 2. Интервалопределенияцелочисленногоре

-шениявслучаеоднойнезависимойпеременной

авариационныеуравнениябудутследующими

(

)

(

)

1 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1 2 1 2 1

( 1) ( ) ( 1) ( ) 0,

( 1) ( ) ( 1) ( ) 0.

f x f x f x f x

f x f x f x f x

+ − − λ + − =

− − − λ − − =

Числоуравненийсоставит 2.

2. В случае двух переменных интервалы поиска целочисленного решения представляет собойрис. 3.

Рис. 3. Интервалыопределенияцелочисленногоре

-шениявслучаедвухпеременных

(

)

(

)

(

)

1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 1 2

( 1, ) ( , )

( 1, ) ( , ) 0;

( 1, ) ( , )

( 1, ) ( , ) 0;

( , 1) ( , )

( , 1) ( , ) 0;

( , 1) ( , )

f x x f x x

f x x f x x

f x x f x x

f x x f x x

f x x f x x

f x x f x x

f x x f x x

+ − −

− λ + − =

− − −

− λ − − =

+ − −

− λ + − =

− − −

(

2 1 2 2 1 2

)

− λ f x x( , − −1) f x x( , ) =0. Числоуравнений – 4.

3. Длятрехпеременных (см. рис. 4). Числоуравненийсоставит 6 ит. д.

Рис. 4. Интервалыопределенияцелочисленногоре

-шениявслучаетрехпеременных

Для n переменных в общем виде вариаци

-онные уравнения по x_i компоненте можно за

-писатькак

(

)

1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2

( , ,..., 1,..., ) ( , ,..., ,..., )

( , ..., 1,..., ) ( , ,..., ,..., ) 0; ( , ,..., 1,..., ) ( , ,..., ,..., )

( , ..., 1,..., ) ( , ,..., ,...,

i n i n

i n i n

i n i n

i n i

f x x x x f x x x x

f x x x x f x x x x

f x x x x f x x x x

f x x x x f x x x

+ − −

−λ + − =

− − −

−λ

(

− − x_n)

)

=0.

Числоуравненийвданномслучаесоставит 2n.

Решая данные уравнения для 0< λ < ∞, по -лучаем множествацелочисленных значенийпо каждой компоненте, которые удовлетворяют решениюзадачи (1).

Рассмотрим задачу из [8] определения ра -циональнойкомпозициипассажирскогопоезда. Математическая модель данной задачи пред -ставляет собой задачу векторной оптимизации с линейными ограничениями. Число мест, про -даваемыхвпоезд, можетприниматьтолько це -лочисленное значение. Поэтому задачу можно сформулироватьвследующемвиде:

Пусть по маршруту следования пассажир -скогопоездаимеется n станций, включаястан

-цию отправления и станцию прибытия. В слу -чае, когдакаждыйтипвагоноврассматривается независимо, имеем

( , )

ij

f x t – плотностьвероятностей распреде

-ления спроса на поездки из Ai в Aj в момент

времени t (t – деньнедели);

( )

ij t

ξ – математическая модель спроса на поездки из Ai→Aj в момент t (при фиксиро

-ванном t ξij – случайнаявеличина);

( )

ij

y t – число мест, которые могут быть

проданы в Ai для поездки в Aj в момент вре

ij

c – себестоимость одного места в поезде

отстанции A_i до Aj; ij

p – ценабилетаот Ai до Aj.

Зафиксировав t ирассматриваякаждыйтип

вагоновнезависимо, функция потерь представ -ляетсобой

1 1

1 1

( ) ( )

( ) (1 ( )) .

ij ij ij ij y n n

ij ij ij ij ij

i j i a

b

ij ij ij ij ij

y

F c y F y xf x dx

p xf x dx y F y

− = = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑ ∑

∫

∫

Функцияприбылиимеетвид

)

1

2

1 1

( ) (1 ( ))

. ij

ij

y

n n

ij ij ij ij ij

i j i a

ij ij

F p xf x dx y F y

c y − = = + ⎛ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ = + − − ⎜ ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎝ −

∑ ∑

_∫

Желание сделать потери F₁ как можно

меньше, а прибыль F₂ как можнобольше при

-водиткзадачевекторнойоптимизации

1 2 ( ) min ( ) F Y F Y ⎛ ⎞ → ⎜₋ ⎟

⎝ ⎠ , (2)

приусловиях

2 12 3

3 13 23 4 1 1 1 ... , , , 0, n j j n j j n i ij ki

j i k

y y

y y y

y y Y = = − = + = ≤ ≤ + ≤ ≥

∑

∑

∑

∑

(3) где

12 13 1 23 24 2 1

( , ,..., _n, , ,..., _n,..., _{n n})

Y = y y y y y y y ₋ .

Подрешениемзадачи (2−3) будемпонимать набор Y_*∈Z (где Z – множествоцелыхчисел),

такой, что любое y_*∈Y_* является эффектив

-ным.

В качестве алгоритма решения поставлен -нойзадачиможнорассмотретьследующий:

1. Определить множества целых значений по каждой компоненте, которые будут удовле -творятьрешениюзадачи (2).

2. Решитьзадачу (2−3), применяяметодпа -раметризации Парето решения, как описано в [9], с учетом принадлежности полученного ре -шения целочисленным множествам, опреде -ленныхнапервомэтапе.

Рассмотрим случай с тремя станциями, включая станцию отправления и станцию при -бытия.

Пусть спрос распределен по равномерному закону.

Тогдафункцияпотерьпредставляетсобой

2 2 3 1 1 1 2 2 1 ( ) 2 ( ) . 2 ij ij ij

i j i ij ij

ij ij ij ij

ij ij ij ij ij

y

F p c

b a

c a p b

y p b c a

= = + ⎛ ⎛ ⎜ = _⎜⎜ + − ⎜ − _⎝ ⎝ ⎞ ⎞ + ⎟ − + + _⎟⎟⎟ ⎠⎠

∑ ∑

Функцияприбылибудетиметьвид

2 2

2 3 2

1 1 2 2

ij ij ij

ij ij ij ij

i j i ij ij

p y a

F y b c y

b a = = + ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜_⎜− + − ⎟_⎟− ⎜ − _{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠

∑ ∑

, приусловии 12 13 23 12 , ,

y y N

y y

+ ≤

≤

где N – общее число мест в поезде (в нашем

случаедляодноготипамест);

ij

a – соответствует минимальному спросу

дляпоездкииз A_i→A_j;

ij

b – соответствует максимальному спросу

дляпоездкииз A_i→A_j.

Для определения целочисленного решения задачи (2−3) воспользуемся алгоритмом, опи -саннымвыше.

Составим вариационные уравнения, число которыхвнашемслучаесоставит 6.

(

)

(

)

1 12 13 23 1 12 13 23

2 12 13 23 2 12 13 23

1 12 13 23 1 12 13 23

2 12 13 23 2 12 13 23

1 12 13 23 1 12 13 23

2 12 13 23

( 1, , ) ( , , )

( 1, , ) ( , , ) 0;

( 1, , ) ( , , )

( 1, , ) ( , , ) 0;

( , 1, ) ( , , )

( , 1, )

F y y y F y y y

F y y y F y y y

F y y y F y y y

F y y y F y y y

F y y y F y y y

F y y y

− − + +

+λ − − =

− + + +

+λ + − =

− − + +

+λ

(

−

)

(

)

(

)

2 12 13 23

1 12 13 23 1 12 13 23

2 12 13 23 2 12 13 23

1 12 13 23 1 12 13 23

2 12 13 23 2 12 13 23

( , , ) 0;

( , 1, ) ( , , )

( , 1, ) ( , , ) 0;

( , , 1) ( , , )

( , , 1) ( , , ) 0;

F y y y

F y y y F y y y

F y y y F y y y

F y y y F y y y

F y y y F y y y

− =

− + + +

+λ + − =

− − + +

(

21 1212 1313 2323 21 1212 1313 2323

)

( , , 1) ( , , )

( , , 1) ( , , ) 0.

F y y y F y y y

F y y y F y y y

− + + +

+λ + − =

Изкоторых определяем y_ij как функции λ.

Т. е. внашемслучаеопределяем y₁₂( )λ , y₁₃( )λ ,

23( )

y λ .

Перебирая 0< λ < ∞, находим множества целых значений для каждого из y_ij, которые

будутявлятьсяисходнымимножествамицелых значений для отбора тех решений, которые должныудовлетворятьусловию (3).

Далее, решаем задачу (2−3) как в [9] с уче -том принадлежности полученных решений множествам целочисленных решений, полу -ченныхнапредыдущемэтапе.

Рассмотримчисленныйпримериз [9]. Пусть n=3.

Минимальный спрос на поездки по станци -ям отобразим в матрице A, каждый элемент

которой представляет собой минимальный спрос из i-ой станции (где i – номер строки)

до j-ойстанции (где j – номерстолбца).

0 5 10

0 0 1

A= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦.

Максимальныйспроснапоездки постанци -ям отобразим в матрице B, каждый элемент

которой представляет собой максимальный спрос из i-ой станции (где i – номер строки)

до j-ойстанции (где j – номерстолбца).

0 20 35

0 0 10

B= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦.

Количествомествпоезде 55S = .

Рентабельность принимаем равной 30 % , т. е. 1,3ρ = .

Цена за проезд из i-ой станции до j-ой

станцииотобразимвматрице P

0 1 2 0 0 1

P= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦.

Для нашего примера целевые функции имеютвид:

Функцияпотерь:

2 2

1 12 13 23 12 12 13 2

13 23 23

( , , ) 0.059 1.5897 0.0708

3.4154 0.0983 1.1966 71.6496 .

F y y y y y y

y y y

= − + −

− + − +

Функцияприбыли:

2 2

2 12 12 13

2

13 23 23

=-0.0333 0.5641 0.04

1.2615 0.0556 0.3419 4.8889 .

F y y y

y y y

+ − +

+ − + −

Ограниченияпредставляютсобой

12 23

12 13

, .

y y

y y S

≥ ⎧

⎨ _{+ ≤}

⎩

Напервомэтаперешим задачу (2) безучета ограничений (3) дляопределения множествце -лочисленных значений, решение которой дает следующиемножества

*

12 {9,10,11,12,13,14}

Y = ;

*

13 {17,18,19,20,21,22,23,24,25}

Y = ;

*

23 {4,5,6,10,20,30,40,100}

Y = .

На втором этапе решения задачи, с учетом полученных ранее множеств интервалы для выбора целочисленных значений, удовлетво -ряющихограничениям (3), представляютсобой (рис. 5):

[

]

12( ) 9, 13

y λ ∈ ;

[

]

13( ) 17, 24

y λ ∈ ;

[

]

23( ) 4, 6

y λ ∈ .

что исключает (при использовании правил ок -ругления) для y₁₂ числомест – 8; для y₁₃ число

мест – 16; для y₂₃ числомест – 3 (см. решение,

полученноев [9]).

Рис. 5. Решениезадачи

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. Акулич И. Л. Математическое программирова

-ние впримерах и задачах. – М.: Высш. школа, 1986. – 320 с.

2. КузнецовЮ. Н. Математическое программиро

-вание / Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов,

А. Б. Волощенко. – М.: Высш. школа, 1980. – 300 с.

3. Сергиенко И. В. О существовании решений в задачахвекторнойцелочисленнойоптимизации

/ И. В. Сергиенко, Т. Т. Лебедева, Н. В. Семено

-ва // Кибернетикаисист. анализ, 2000. – № 6. –

С. 39-46.

4. Лебедева Т. Т. Устойчивость векторных задач целочисленной оптимизации: взаимосвязь с устойчивостьюмножеств оптимальныхи неоп

-тимальныхрешений / Т. Т. Лебедева, Н. В. Се

-менова, Т. И. Сергиенко // Кибернетикаисист.

анализ, 2005. – № 4. – С. 90-100.

5. Лебедева Т. Т. Сравнительный анализ различ

-ных типов устойчивостипо ограничениям век

-торной задачи целочисленной оптимизации /

Т. Т. Лебедева, Т. И. Сергиенко // Кибернетика исист. анализ, 2004. – № 1. – С. 63-70.

6. Лебедева Т. Т. Устойчивость по векторному критерию и ограничениям векторной целочис

-ленной задачи квадратичного программирова

-ния / Т. Т. Лебедева, Т. И. Сергиенко // Кибер

-нетикаисист. анализ, 2006. – № 5. – С. 63-72. 7. Босов А. А. Векторная оптимизация по двум

показателям / А. А. Босов, Г. Н. Кодола,

Л. Н. Савченко // ВісникДніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна. – Вип. 18. – Д.: Вид-воДНУЗТ, 2007.– С. 134-138.

8. Аксенов И. М. Математическая модель компо

-зициипассажирских составов / И. М. Аксенов,

Г. Н. Кодола, Е. А. Момот // Залізничний транспортУкраїни, 2005.– № 1. – С. 47-50. 9. Босов А. А. Применение метода параметриза

-цииПареторешениявзадачахвекторнойопти

-мизациикрешениюзадачиопределениярацио

-нальной композиции пассажирского поезда /

А. А. Босов, Г. Н. Кодола // ВісникДніпропетр.

нац. ун-тузалізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна. – Вип. 19. – Д.: Вид-воДНУЗТ, 2007.– С. 94-98.