• No results found

BOUNDARY ELEMENT METHOD IN PROBLEMS OF WATER-SATURATED SOIL THAT HAS CREEP PROPERTY

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "BOUNDARY ELEMENT METHOD IN PROBLEMS OF WATER-SATURATED SOIL THAT HAS CREEP PROPERTY"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

УДК 624.15.001

В. Г. ШАПОВАЛ, А. В. ШАПОВАЛ, В. В. КАПУСТИН (ПГАСА)

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В ЗАДАЧАХ ВОДОНАСЫЩЕННЫХ ГРУНТОВЫХ ОСНОВАНИЙ,

ОБЛАДАЮЩИХ СВОЙСТВОМ ПОЛЗУЧЕСТИ

Запропоновано алгоритм розрахунку методом граничних елементів (МГЕ) напружено-деформованого стану (НДС) водонасиченихґрунтовихоснов, якимвластиваповзучість. Основноювідмінністюмодифікації МГЕ, яка рекомендується, від загальноприйнятого варіанту є можливість прогнозу трансформації НДС грунтовихосновучасізурахуваннямїхреологічнихвластивостей.

Предложеналгоритмрасчетаметодомграничныхэлементов (МГЭ) напряженно-деформированногосос -тояния (НДС) водонасыщенныхгрунтовыхоснований, обладающихсвойствомползучести. Основнымотли -чиемрекомендуемоймодификацииМГЭотобщепринятоговариантаявляетсявозможностьпрогнозатранс -формацииНДСгрунтовыхоснованийвовремениприучетеихреологическихсвойств.

The aticle offers a calculation algorithm of the tensed & deformed state (TDS) of the water-saturated soil bases, possessing the quality of «creep», by the boundary element method (MBE). The main difference of the recom-mended modification of MBE from the generally accepted option is a possibility of forecasting the transformation of TDS of ground bases in time with account of their rheological properties.

В инженерной практике достаточно часто возникает необходимость прогноза напряжен-но-деформированного состояния водонасы-щенных грунтовых оснований, находящихся под воздействием переменной во времени ме-стной нагрузки. Эта проблема возникает при строительстве на слабых водонасыщенных грунтах, когда необходимо оценить величину порового давления в основании при его расчете по несущей способности, при прогнозе скоро-стей осадок фундаментов зданий и сооружений в процессе их возведения и эксплуатации, со-вместном расчете НДС зданий и сооружений на водонасыщенном основании и т. д. [1; 2].

Задача расчета в данном случае формулиру-ется так. Известны конфигурация и размеры в плане загруженной области. Известны величи-ны и закон изменения во времени действующей на отдельные фрагменты загруженной области внешней нагрузки. Известны упругие и реоло-гические свойства: модуль упругости, коэффи-циент Пуассона, коэффициент консолидации, вид и параметры ядра ползучести грунтового скелета. Требуется определить НДС основания в расчетный момент времени t.

Решение задачи в указанной постановке ме-тодом конечных элементов (МКЭ) малоперспек-тивно ввиду ее большой размерности, поскольку в данном случае добавляется новая координата – время. Уместно отметить, что обычно даже ре-шение пространственных задач в статической постановке с использованием МКЭ в ряде случа-ев вызывает значительные трудности, обуслов-ленные значительным числом неизвестных (т. е. большой размерностью матриц). В этой связи

перспективным является использование метода граничных элементов [3].

Применительно к рассматриваемой задаче использование классического метода гранич-ных элементов невозможно, поскольку в дан-ном случае коэффициенты влияния (т. е. эле-менты матрицы податливости) зависят от вре-мени, коэффициента консолидации, вида и зна-чений параметров ядра ползучести грунтового скелета [4]. В этой связи проблемой является определение коэффициентов влияния, позво-ляющих учесть особенности решаемой задачи. На решение этой проблемы и направлены из-ложенные в настоящей работе исследования.

Определение коэффициентов влияния вы-полнялось следующим образом. Вначале их определение было выполнено в рамках модели упругой изотропной водонасыщенной среды, а затем полученные таким образом результаты были обобщены на случай наследственно – уп-ругой водонасыщенной среды. Для нахождения коэффициентов влияния в рамках модели упру-гой изотропной водонасыщенной среды в каче-стве фундаментального было использовано точное решение задачи о сосредоточенной вер-тикальной силе, приложенной к верхней грани-це водонасыщенного полупространства (аналог задачи Буссинеска) [5–7], которое имеет вид

ф( , ) ( ) 1 ( )

0

4 4 0

Q t

S r t J r

G r G

= + α ⋅ ×

⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅

{

( ) [ , , ,( )]

}

0

t

Q F r t d d

(2)

где ( , , , )

F r ν αt =

2

(1 v) 1 erf a t( )] v e b terfc c t( )

t

⎧ ⎡ ⎤⎫

− ⋅ + + ⋅

⎣ ⎦

⎩ ⎭

=

∂ ,

где S r tф( , ) – осадка точки поверхности

основа-ния с координатами (x,y), обусловленная фильт-рационной консолидацией в момент времени t;

2

2 y

x

r= + ;

) (t

Q – вертикальная сосредоточенная сила; G – модуль сдвига основания; ν – коэффициент Пуассона основания; J0(x) – функция Бесселя первого рода с нулевым индексом; α – пара-метр, имеющий размерность перемещения (метры); τ – то же, имеющий размерность вре-мени; )erf(x – интеграл вероятности;

) ( 1 )

(x erf x

erfc = − ; a2 = α ⋅2 ck;

(

)

(

)

2 2

2

1 2

1 k

v

b c

v

= α

− ;

2

2 2

2

(1 ) k

c = ν α ⋅c

− ν ;

k

c – коэффициент консолидации при комп-рессии [4–8].

Равенство (1) содержит несобственный ин-теграл, который в общем случае можно вычис-лить только численно. В этой связи подынте-гральная функция была аппроксимирована на-ми рядами экспонент. В этом случае прибли-женное решение задачи после вычисления несобственных интегралов имеет вид

ф( , ) ( ) 1

4 4

Q t S r t

G r G

≈ + ×

⋅π ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅

10 /

( ) ( , , )

1 1

0

t i

Q ai bj j C tk r d

i j

⎡ ⎤

⎢ ⎥

×∫ τ ⋅ ∑ ⋅ ∑ ⋅ϕ −τ ⋅ τ

= =

⎣ ⎦

, (2)

где ϕ/j =0 при j=1 и

2 2

3

2 2 2 2

1 ( 1)

2

( 1) ( )

j

k

d j

r d j C t

− ′

ϕ = −

+ − τ

⎣ ⎦

при j>1.

Здесь ai и d – установленные в ходе ап-проксимации подынтегральной функции коэф-фициенты, зависящие от коэффициента Пуас-сона ν; bj – коэффициенты смещенных поли-номов Чебышева [8]. Значения коэффициентов

i

a и d представлены в табл. 1.

Таблица 1

КоэффициентПуассона

ν

Значения

коэффициентов 0 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

d 8,91E-01 9,58E-01 9,53E-01 9,73E-01 9,63E-01 1,350863 6,72E-01 0

1

a 1,606773 1,371392 1,313537 1,252509 1,192316 1,118534 1,07112 1

2

a –5,33E-01 –3,15E-01 –2,60E-01 –2,07E-01 –1,53E-01 –1,05E-01 –4,60E-02 0

3

a –1,16E-01 –7,68E-02 –6,85E-02 –5,63E-02 –4,54E-02 –1,84E-02 –2,19E-02 0

4

a 3,99E-02 1,76E-02 1,22E-02 8,28E-03 4,18E-03 5,42E-03 –4,38E-03 0

5

a 8,14E-03 5,10E-03 4,85E-03 3,80E-03 3,13E-03 –3,67E-04 9,12E-04 0

6

a –7,25E-03 –3,28E-03 –2,46E-03 –1,75E-03 –1,09E-03 –3,39E-04 4,23E-04 0

7

a 1,32E-03 5,10E-04 2,35E-04 1,45E-04 7,22E-06 2,30E-04 –1,21E-04 0

8

a 5,82E-04 2,45E-04 2,41E-04 1,71E-04 1,36E-04 –9,98E-05 –3,08E-05 0

9

a –5,19E-04 –2,06E-04 –1,58E-04 –1,16E-04 –6,76E-05 3,13E-05 2,24E-05 0

10

a 1,73E-04 7,03E-05 4,72E-05 3,69E-05 1,36E-05 –4,56E-06 –7,01E-07 0

При определении коэффициента влияния для прямоугольного граничного элемента с

(3)

( )dQ q t d d= ⋅ ξ ⋅ η,

2 2

( ) ( )

r= x−ξ + −ηy

и проинтегрировать полученное таким образом равенство по площади (рисунок). Здесь q(t) – действующая в пределах граничного элемента распределенная нагрузка.

Рис. Копределениюкоэффициентавлиянияматрицыподатливости дляпрямоугольногограничногоэлемента

Имеем

( , , ) ( , )

ф

S x y t =A x y ×

[

]

( ) , ,( ) ( )

0

t ф

q t K x y t q d

⎧ ⎫

⎪ ⎪

× + −τ ⋅ τ ⋅ τ

⎪ ⎪

⎩ ⎭

, (3)

где

− π ⋅ −ξ + −η ξ

− η

= /2

2

/ 4 ( )2 ( )2

2 /

2 / ) ,

( L

L G x y

d b

b d y

x

A

и

[

]

ф , ,( ) 1

4 ( , )

K x y t

GA x y

− τ = ×

π

/ 2 / 2 10

/ ( , , , , , )

1 1

/ 2 / 2

b L i

ai bj j kC t x y

i j

b L

⎡ ⎤

⎢ ⎥

× ∫ ∫ ∑ ∑ ϕ − τ ξ η ×

= =

− −

d d

× η ξ.

Если требуется определить осадку в точке с координатами (xj,yj), а центр граничного эле-мента находится в точке с координатами

) ,

(xi yi , то в (3) следует положить

i j x

x

x= − и y=yjyi.

Аналогичным образом определяются коэф-фициенты влияния для граничных элементов треугольной, круглой и иной формы.

Для того, чтобы учесть влияние на осадки точки с координатами (х, у) ползучести грунто-вого скелета используем принцип Вольтерра [9]. Пусть K

( )

t,τ – ядро ползучести грунтового скелета [4; 6]. Тогда в соответствии с принци-пом Вольтерра для учета ползучести грунтово-го скелета упругие константы (в данном случае это модуль сдвига G) следует заменить инте-гральными операторами вида

( ) 1

( ) ( ) ( , ) 0

t Y t

Y t Y K t d

G G

⎡ ⎤

= ⎢ +∫ τ ⋅ τ ⋅ τ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

.

Имеем

( , , )

Ф

( , , )

S x y t

=

S

x y t

+

0

( , , ) ( , )

t

Ф

S x y K t d

+

τ ⋅ τ ⋅ τ. (4)

Положив в (4)

(

)

(

)

( )

* , , ,

Ф

, ,

,

K

x y z t

=

K

x y t

− τ ⎤ +

K t

τ +

( )

, , ,

(

)

t Ф

K t K x y d

+∫ ξ ⎡ τ − ξ ξ⎤

τ ,

найдем

[

]

*

( , , ) ( , ) ( ) , , , ( ) 0

t

S x y t =A x y q t⎧⎪⎨ +∫K x y t qτ τ τd ⎫⎪⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

(4)

В классическом варианте метода граничных элементов коэффициентом влияния Bij

назы-вают перемещение центра i-го граничного эле-мента, возникающее под воздействием посто-янной единичной нагрузки на j-м граничном элементе [3]. Поскольку в рассматриваемом случае перемещение является функцией коор-динат и времени, коэффициентом влияния на-зовем интегральный оператор вида

( ) ( j i, j i, )

ij

B q t =S xx yy t =

( j i, j i)

A x x y y

= − − ×

*

( ) , , , ( )

0

t

q t K xj x yi j y ti q d

⎧ ⎫

×⎨ +∫ − − τ τ τ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

. (6)

В этом случае осадка в центре i-го гранич-ного элемента в момент времени t, вызванная действующими в пределах каждого из N гра-ничных элементов нагрузками, определится путем суперпозиции:

( ) ( )

1

N ij

S ti B q tj

j = ∑ ⋅ = =

{

( , , ) ( , ) 1 1 N N

S xj x yi j y ti A xj x yi j yi

j j = ∑ − − = ∑ − − × = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

∫ − − τ ⋅ τ ⋅ τ

+

× qj t tK xj xi yj yi t qj d

0 ) ( ) , , , ( * )

( . (7)

Если известны упругие и реологические свойства основания, величины и закон измене-ния во времени нагрузок, действующих в пре-делах каждого из граничных элементов, равен-ство (7) позволяет определить осадку i-го гра-ничного элемента в любой момент времени t.

Если заранее известны осадки основания )

(t

Si и не известны величины и закон измене-ния во времени нагрузок действующих в пре-делах каждого из граничных элементов (такая ситуация имеет место при решении контактных задач), мы придем к системе уравнений вида:

);1(

1 ) ( ~ t S N j t j q ij B = ∑ = ⋅

);2(

1 ) ( ~ t S N j t j q ij B = ∑ = ⋅ ………. ) ( 1 ) ( ~ t N S N j t j q ij B = ∑ = ⋅ ,

или в матричной форме

[ ]

B~ij qGi(t)=SGi(t), (8) где

[ ]

B~ij – скалярная матрица, описывающая

упругие и реологические свойства основания; )

(t

qGi – вектор неизвестных нагрузок в гранич-ных элементах; вектор SGi(t) – заданных (из-вестных заранее) перемещений центров гра-ничных элементов. В заключение отметим, что поскольку в данном случае неизвестными яв-ляются нагрузки qGi(t), то равенства (8) являют-ся системой канонических уравнений метода граничных элементов в форме метода сил.

Построив матрицу, обратную матрице

[ ]

B~ij ,

т. е.

[ ]

R~ij =

[ ]

B~ij −1, и умножив обе части (8) на

матрицу

[ ]

Rij , мы придем к системе

уравне-ний вида

[ ]

R~ij SGi(t)=qGi(t). (9) Если в данном случае неизвестными

явля-ются перемещения центров граничных элемен-тов, то равенства (9) являются системой кано-нических уравнений метода граничных элемен-тов в форме метода сил.

В заключение необходимо отметить, что ес-ли основание не обладает свойством ползуче-сти, то в равенствах (4)–(9) следует положить

0 ) , (t τ =

K . При этом, если ползучестью грун-тового скелета можно пренебречь, то в равен-ствах (4)-(9) следует положить Ck →∞. Кроме того, изложенный выше алгоритм допускает естественное обобщение на задачи определения напряжений и задачи смешанного типа.

Выполненные нами исследования позволи-ли сделать такие выводы.

1. В рамках модели основания в виде уп-ругой водонасыщенной среды, обладающей свойством ползучести получены коэффициенты влияния метода граничных элементов.

2. Получены системы канонических урав-нений предложенной нами модификации мето-да граничных элементов в форме метода сил и метода перемещений.

(5)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. АбелевМ. Ю. Слабыеводонасыщенныегрунты как основания сооружений. – М.: Стройиздат, 1973. – 288 с.

2. УховС. Б. Механика грунтов, основанияифун -даменты: Учебник. – М.: Изд. АСВ, 1994. – 527 с. 3. КраучС. Методыграничныхэлементовв меха -нике твердого тела / С. Крауч, А. Старфилд – М.: Мир, 1987. – 328 с.

4. ЗарецкийЮ. К. Теорияконсолидациигрунтов. – М.: Наука. – 270 с.

5. Швец В. Б. Общее решение пространственной задачи теориивзаимосвязаннойфильтрационной консолидации / В. Б. Швец, В. Г. Шаповал // Ос -нования, фундаменты и механика грунтов. – 1994. – № 5. – С. 19–21.

6. Шаповал В. Г. Прогноз процессов уплотнения находящихся под воздействием циклической и постоянной во времени нагрузки пылевато -глинистыхоснований. – Д.: ПГАСА, 1996. – 22 с. 7. ШаповалВ. Г. Алгоритмпостроенияразложений васимптотическиеряды принахождении обрат -ного преобразования Лапласа в задачах тепло -массопереносаифильтрационнойконсолидации / В. Г. Шаповал, А. В. Шаповал, Е. С. Титякова // Свiтгеотехнiки. – 2005. – № 4. – С. 12–16. 8. КорнГ. иКорнТ. Справочникпоматематике. –

М.: Наука, 1974. – 840 с.

9. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной ме -ханикитвердыхтел. – М.: Наука, 1977. – 384 с.

References

Related documents

The present paper will attempt to demonstrate that the tax rate (the rate in Kosovo is 10%) will not be applied to the accounting profit, but it will be applied after the

extracts, the extract of the plant material obtained using photoactivated goat urine shows higher activity than the. extracts obtained using raw

The findings of this study provide information regarding the years, type of publication, countries, institutions, study areas, frequently used words, trend/most

To determine the effects of concept mapping strategy on the students’ argumentative writing, the level of essay writing of the experimental and control groups students’ before

These categories are themselves divided in terms of degree of intensity into four various speech acts: threat, order, blessing and admonition which are considered as commands on

Even professional indexers often just skim the document without actually reading it (Bonura, 1994). However, it is necessary to at least understand the concepts the document

This indicates that students who participated in only the dramatization activity scored significantly higher on an immediate test of their knowledge of the cardiac cycle

Isobutylmethylxanthine (IBMX) was incubated with all groups, and Forskolin (Fsk) treatment served as the positive control ( n = 3). A) Immunofluorescence of DU-L transfected