Model specification, observational
equivalence and performance of unit root
tests
Atiq-ur-Rehman, Atiq-ur-Rehman and Zaman, Asad
IIIE, International Institute of Islamic Economics
July 2008
Online at
https://mpra.ub.uni-muenchen.de/13489/
! "##$%# ϒ
& ' ( $ $ (
' " & ) ) * + " ," ," " ' % && ! #- ' + %* * -#* . ( #' #- ) *-#* '% #- ('
*## & &$ / &(,, & -#%(& ', * % ! #' " * &#'& " %* 0 ,( ! ' (' *## & 1& * &( &$
+# * &#'& -#* ('& &- % #*! )*#) * & #- (' *## & & % ' 0 -#(' ' " * (* 2 3 " #
&&) % - % #' ' 2 3 #0& *. #' ( . '% $ , * ', - *& * &#' " * & '& * (*
#' & . * %# )#' ' & #- # &) % - % #' %#. * ', &) % - % #' %"' ( & %#'& ( '%
#-&&) % - % #' ' *#0(& "# &$ 4#+ . * %# ) # &) % - % #' '.# . & ( )
% & #'& ' #& #- & ( & #' ) *-#* '% #- (' *## & & # '# * && &&( #- ( )
&) % - % #' % & #'& & ( ' #(& !$ " #' * # & ( & * %#' #' #' &# #- ) %
&) % - % #' ' -#* #' * #5 " & &) % - % #'& * 0! %#'& *(% #' . $ ( -#* * "
) % % & #'& * #- ' '# *( ' &) % - % #' % & #'& ' # 0 ' #, ' $ % #& *
%" + " * % & & )#&& 0 - ( ) &) % - % #' % & #'& * ' #, ' "(& )*#. ',
#* * 0 &(* #- ) *-#* '% #- (' *## & &$ %#' )*#0 ' -- * ' ', * ' '
-- * '% & #' *! )*#% && & " #0& *. #' ( . '% 0 + ' +# )*#% && &$ / &(,, &
6) #* ', , ' * ', )*#% && & + " -- * ' #', *(' !' %& ' & & ) ( . '% &#
" * & *%" * &"#( " . ' 0#( # " * ) (& 0 # & -#* & -#* +" %" " " &
& &# # $
7 !+#* & 0& *. #' ( . '% # &) % - % #' * ' & #' *! -- * '%
& #' *!
8 && - % #' 9: :; <<
=
#** &)#' '% * && ## #$ :: 7(+ 4#& ' *' #' & % ' . *& ! & 0 > & ' #' % # ?@< AAB ;AAC<CA
⊥
" %"# * 2 %#'# * %&3 ' *' #' '& ( #- & % %#'# %& ' *' #' & % ' . *& ! & 0
ϒ
<
1. Introduction
*" )& " &&( &%(&& #& ' " " & #*! #- %#'# * % * (* & " 0
#' * ' . *&(& -- * '% & #' * ! ' 0! &#' ' #&& * 2:@E<3$ ( # " ," !
)#* ' ) % #' #- '-#* #' 0#( & #' * ! ' " ) * % %#'# * %
# ', " & &&( ,# ' #' #- "(' * & #- %#'# * % '& (* ', " ) & ( * *
% ' (*! 0( %#'& '&(& #' & . * )#* ' &&( & ' ) % #'& & & '# # )) * #
2 0 ' # <99;3$ 4(, & #%> #- (' *## & & *, (* ', ) & ( * * % ' (*! 0(
" % * ' ! 0#( '- * '% % ' '# 0 %" . $ #'& * !) % 6 ) #- *
F 5 -# #+ ', * . +& #' & #' * ! #- " & & * & )* & ' ' -- * ' ) ) *&
-- * '% & #' *!5 &#' ' #&& * 2:@E<3 * ' #' *!5 **#' 2:@E@3
* ' #' *!5 D .# ' ' * +& 2:@@<3 #'1 >'#+5 ( 0(&%" 2:@@A3 * '
& #' *!5 0# ' '" G 2:@@C3 -- * '% & #' *!5 (** ! ' &#' 2<99<3
7 ' ' " ' ' 2<99<3 * ' & #' *!5 ) ' *# ' 2<99A3$
-- * ' . +& #' & #' * ! #- & & * & * * &( #- #) ', -- * '
)*#% (* & -#* & ', (' *## & #' * !$ # " * & 0 ,( ! #' +" )*#% (*
#-& ', #-&"#( 0 #) ' "#+ (%" " & )*#% (* & * 0 $ / * . + " * &#'& "
* * &)#'& 0 -#* 0 ,( ! ' " '- * '% -*# (' *## & ' )*#)#& ' +
)*#% (* -#* . ( ', " ) *-#* '% #- (' *## & $
+# )#* ' * &#'& " % ' 0 * % ' * (* -#* ('& &- % #*! ) *-#* '%
#- (' *## & & * " # &&) % - % #' ' " #0& *. #' ( . '% $
" ) *-#* '% #- (' *## & & ) ' & #' & . * &) % - % #' % & #'& )* #* #
)) % #' #- (' *## & $ " #' * # 6) * ' & -#* . ( ', " ) *-#* '%
A
#' &# ) % &) % - % #'& ' " & ,' #- , ' * ', )*#% && &())#* & " ) %
&&( ) #'& +" * & -#* " * & * & ) % &&( ) #'&H *0 * *! &) % - % #'
% & #'& * #- ' ('G(& - 0 ' &# & '%# ) 0 + " $ # &(* "
) *-#* '% #- (' *## & & ' * & & " &) % - % #' % & #'& &"#( 0
' #, ' $
" & %#' * &#' -#* ('% * ' ! ' " '- * '% -*# (' *## & & & " )*#0
#- #0& *. #' ( . '% 0 + ' * ' ' -- * '% & #' *! )*#% &&$ " * '
& #' *! ' -- * '% & #' *! )*#% && " . ( -- * ' #', *(' !' %& 0( !
" . & * & & ) & * 0( #' & ) '#& ' %F( *> 2<99C3 -#* 6 ) $ /
)*#)#& # 6) #* , ' * ', )*#% && + " -- * ' #', *(' !' %& ' & & )
( . '% &# " ' '. & , #* &"#( " . ' #- # " * ) (& 0 # & -#*
& * & -#* +" %" " " . - &# # $
6 & % #'& #- " & ) ) * * #*, ' & -# #+& ' & % #' < + &%(&& ' (*
' & * ', " #- " * &#'& " %* 0 ,( ! ' " '- * '% -*# (' *## $ ' & % #' A
+ &( * " &%(&& #' ' * %# ' " & * ,! -#* #* * 0 '- * '% $
2. Inference from unit root tests; the reasons of uncertainty
# %" . " ,# #- ,* * %#'- '% ' " '- * '% -*# (' *## & & +
)*#)#& # -#%(& * % ! #' " * &#'& " %* 0 ,( ! ' " '- * '% $ +# G#*
* &#'& " * &%(&& ' " * (* -#* (' & * 0 )*#) * & #- (' *## & & * "
model misspecification ' " observational equivalence$ * - " & #*! #- * (* #' " &
+# * &#'& & , . ' ' " * & ,' - % '% & " ," ," 0! 2 3 . '% & -#(' ' * (*
B )*#% (* -#* . ( ', ) *-#* '% #- (' *## & ' )* & ' #(* &(,, & #' -#*
)*#. ' $ #+ + &%(&& " +# * &#'& & ) * !$
* #* # " )) % #' #- (' *## & " '. & , #* " & # > '( 0 *
#-&) % - % #' % & #'& +" %" ," 0 ) % $ " & &) % - % #' % & #'& ) ! & ,' - % '
*# ' " - ' #( )( #- (' *## & $ '% . *! 0 , '' ', #- 0 #' (' *## #' % '
* % " & ,' - % '% #- )*#) * &) % - % #' ' (' *## & ', $,$ %> ! ' ( * 2:@I@3
)* & ' -- * ' & & -#* (' *## + " "* &) % - % #'& #- * ' & % ) * ' ('
*## # $ $ (' *## + "#( * - ' ' * * ' + " * - ' + " * - ) (& ' *
* ' $ - *+ * " & ,' - % '% #- & . * # " * !) & &) % - % #'& + * &%(&& ' "
* (* $,$ " &) % - % #' #- ( #* ,* && . ,& 2 %> ! ' ( * :@E:3 &) % - % #'
#- & * 0( #' #- ''#. #' 2 ' %> ! :@EB3 )* & '% #- & *(% (* 0* >& 2 **#'
:@E@ :@@93 %$ 4#+ . * )( ', " & &) % - % #'& #, " * ' & ( ! #- " ) %
#-( ) % & #'& " & * (* ' & %* $ /" ' + " . * & * & + # '#
" . %% && # & *( F $ -#* %"##& ', & -#* (' *## + " . # > '( 0 *
#-&) % - % #' % & #'& +" %" ! 0 *0 * *! 0 & #* 0 & #' )* . #(& '-#* #'$
" & & " & ( #' +" %" & ( -- * ' -*# (&( #' * # 6) * ' $ ' #'
* # 6) * ' & . ' +" ' & ( ! ', " %#'& ( '% & #- &# ' #, ' &) % - % #'
% & #' + * %#' #' ', #' & . * ) % &) % - % #'&$ #* 6 ) **#' 2:@E@3
D .# ' ' * + 2:@@<31& ' !& & #- (' *## & & ' )* & '% #- & *(% (* 0* > &
%#' #' #' " ) % &&( ) #' #- "# #&> & % ! #- " ''#. #'&$ ' #'
* # " ) % &) % - % #' 0( ' " &&( ) #'& #- # & 0! %#'& *(% #' . $
;
G(& - $ ( " * & %> #- & ( ! #' " )*#) * & #- (' *## & & +" ' #. *
&) % - % #' #- # & ) ' ' $ " )#* '% #- 0 & &) % - % #' % & #'&
& -(* " * '" '% ( # '( 0 * #- . '% & , '& . ! #- ) % &) % - % #' $,$
. '% & %# % 0! ' * #( ' ) '#&∗ 2<99A3$ " '- * '% -*# (' *## & &
0 ,(#(& (' + * %#'- ' " " # + &) % - & ))*#)* $ ' ' #(*
#) ' #' ) ' ' &) % - % #' & " 0 & + ! # '&(* " ))*#)* ' && #- "
&) % - % #' #- # )* #* # )) % #' #- (' *## & $
& )#* ' # '# " '# & * #(& )*#0 ' )*#) * & ' )*#) * & #- (' *##
& * & & - " # & )*#) * ! &) % - $ " & #* )#+ * )*#0 #- (' *## & &
* & & ( # &&) % - % #' #- & ', &% ' * # )* #* # )) % #' #- (' *## & $ . ' "
& %#' )*#0 $ $ #0& *. #' ( . '% &# * & & 2 & &# &3 ( # "
&&) % - % #' #- & ', &% ' * # $,$ ) '#& ' %F( *> 2<99C3$ / -#%(& #' -#(*
&) % - % #' % & #'& ' ' ! " * *# ' " '- * '% -*# (' *## & &$ " & -#(*
&) % - % #' % & #'& * 2 3 %"# % #- * ' & % ) * 2 3 %"# % #- ( #* ,* && . ,&
2 3 " & *(% (* 0* >& ' 2 .3 & * 0( #' #- ''#. #' )*#% &&$ # #+ ', * "
# . #' - % #*& 0 " ' %"# % #- " & -#(* % & #'& + ' #' 0#.
:$ ' *## & & * & '& . # %" #- -#(* &) % - % #' % & #'& ' #' 0#.
<$ #' #- 6 & ', & ( ! #' ) *-#* '% #- (' *## & & -#%(& #' " & % & #'&
& ( ' #(& !
A$ " * * . '% & #- . # #' #- " %#'. ' #' ) % &) % - % #' ' *
& &$
∗
C B$ #* " * & & 6% ) ' - + % & & " *0 * *! priori &) % - % #' & '#
G(& - 0 $ " & ' % && & " ' #, '#(& % & #'& 0#( " & &) % - % #'&$
/ )* & ' - + . '% & ' - .#* #- " & ' & , . ' 0#. $ (& &%(&& " -#(*
&) % - % #' % & #'& & ) * !$
& & * * " & ,' - % '% #- &) % - % #' #- * ' ' * - & * %#,' & '%
. *! 0 , '' ', #- * & *%" #' (' *## & &$ '% " ' # #- * (* *, #' . * #(&
&) % & #- &) % - % #' #- * ' ' * - $ 4 #' 2:@@B3 &( * & " & * 0( #' " #*!
#- (' *## & & & & %& (' * . * #(& &) % - % #'& #- * ' ' * - $ 4#+ . * (' > "
, ', " & % #' ' " & *(% (* %" ', * (* & " * * && ', " &&( "
"#+ # &) % -! * - ' * ' +" )) ! ', (' *## & # * & &$ #
* %# ' #'& ' " & * , * * )*#. 0! **#' 2:@EE3 * ' 2:@@B3 ! '
(** , 2<9993 * ' 7 '' ! 2<99:3 ' ' *& 2<99B3$ " +# & * & #- " &
& * , & % ' 0 ' - -*# * (* $ *& #- " & & & ( ' & ', & * ,! &
.#% 0! ' * 2<99B3$ " # " * & * ,! & ( #' #- )* #* '-#* #' #' ,*#+ "
)*#) * & #- (' * ! ', & * & ' & .#% 0! * ' 7 '' ! 2<99:3$ '% "
& ,' - % '% #- ))*#)* &) % - % #' #- * ' & % %# )#' ' & * %#,' * &
&# #' +#( 6) % . ( 0 +#*> #' & * . ' &) % &$ ( " * & %> #- ) * %
& ( & #' %# ) * &#' #- " & * , & -#* &) % - % #' #- * ' & % %# )#' ' $
* . ' & ( ! & ( # 4 %> * ' 4 2<99C3 +"# %# ) * ' *1& & * ,! # *
' 7 '' !1& & * ,! + " " %#'% (& #' " " * & * ,! & &() * #*$ 4#+ . * "
I
( "#*&$ /" & * ,! #- &) % - % #' #- * ' & % %# )#' ' +#*>& 0 * ' -* +#*>
#- * % ' ! * %# ' & & > , ' **#' 2<99:3 & 5 " * & '# )*#) * ,( '
. 0 #' " & ( & #' ' " * (* $
4#+ . * " )* % % & ,' - % '% #- &) % - % #' #- * ' & % %# )#' ' 5 &
% * 0! -# #+ ', 6 ) $ / )) ! & #- , ' **#' & & # * F -*#
:@9@ # :@I9 #0 ' -*# &#' ' #&& *1& & $ #, % 0 " ' %"# % #- , **#'
& & " %%( ( & ' % ( " * , #- '! )* . #(& & $,$ # $ 2:@@C31&
)# ' #) & %$ " * &( & #- +# &) % - % #'& #- * ' & % %# )#' ' & *
&( * 0 #+$
0 :$ ( )( #- , **#' & )) # * F
( 4!)# " & & F J " & (' *##
) :@9@ :@I9
6#, '#(& #'& ' #'& ' ? * '
D D D D
, **#' &
& & %&= &! ) # %
* %
( &==
:K :A$E9 <$;E 9$:I :$IE <A$E9 A$B< 9$:B B$9A
;K E$:9 :$@E 9$<A A$:I :I$A9 <$@: 9$:C ;$BE
:9K ;$I9 :$C< 9$<I B$B; :B$<9 <$C< 9$:E C$CI
= ( # % , ', " % #' *#% (* ) % * F * ' 0 & #' L FM:9
== , **#' 2<99: 0 :3
/" ' +#*> ', + "#( ' * * ' " (' *## "!)# " & & & '#+" * * G % '
+" ' +#*> ', + " ' * * ' -#(* & & * G % (' *## :9K & ,' - % '% . $
0 * " -#* &) % - % #' #- , ', " + * (& ', %%#* ', #
* %# ' #' #- , ' **#' 2<99:3$ " * &#' -#* &(%" * &( & ) *" )& , **#'1&
E #) ' %"##& ', , ', " 0( " & "(& & ,' & #* & '& . # &) % - % #'
#-* ' & % ) * $ & *%" * & , ' - % ', & * )*#0 "#+ # %"##& * ' & %
) * $ # G(& - % #' -#* &# *0 * *! %"# % #- * ' & % %# )#' ' & . 0 '
)* & ' & ()$
' #* 6 ) + + )* & ' 0! %# )( * , ' * & $ '% + >'#+
6 % , ' * ', )*#% && -#* %# )( * , ' * & & #* &( 0 # >'#+
+" & 6 % ! " )) ' ',$ / , ' * & * & #- ', " C< 2 ( # ', " #- *
F & * & (& 0! &#' ' #&& *3 + " -# #+ ', F
t t
t y u
y =9$<+9$E −: +
3 : 9 2 N
ut 2:3
# -- % ' #- , * & 9$E (%" 0 #+ (' ! ' " * -#* , ' * & * & & * '
& #' *!$ / )) ! (' *## & & # " & & * & ' +# &% ' * #&5 2 3 * - + "#( ' * * '
2 3 ' * * ' ) (& * - $ " * &( #- & #' & & -# #+&
0 <$ , **#' & )) # * - %
( 4!)# " & & L " & (' *##
) :@9@ :@I9
6#, '#(& #'& ' #'& ' ? * '
D D D D
, **#' &
& & %&= &! ) # %
* %
( &==
:K :A$E9 <$;E 9$:I :$IE <A$E9 A$B< 9$:B B$9A
;K E$:9 :$@E 9$<A A$:I :I$A9 <$@: 9$:C ;$BE
:9K ;$I9 :$C< 9$<I B$B; :B$<9 <$C< 9$:E C$CI
= ( # % , ', " % #' *#% (* ) % * F * ' 0 & #' L FM:9
@
/ '# & % & * & -#* " & !) #- #( )( 5 " & #( )( & -#* " - *& & * &
, ' * 0! %*#&#- 6% ' "* #* %#'& %( . ) & ! & * * &( &$
0 * " " *( , ' * ', )*#% && & + "#( ' * * ' $ /" ' + )) ! & '
))*#)* &% ' * # " & * &( )*#. (& * ," && , 0#( & #' * ! #- & * & '
(' *## & * G % ;K & ,' - % '% . $ ( +" ' " &% ' * # & &&) % - & #- ,
**#' & - & # * %" " * ," %#'% (& #'$
#* " * - % & * & + >'#+ +" " *( , ' * ', )*#% && & ' +
-#(' " - )* & &% ' * # & &&) % - (' *## & - # % * ," , ' * ',
)*#% &&$ ( -#* " * & * & + # '# >'#+ +" &% ' * # & , ' * ', &# +
% ''# ,( && +" " * + * , ', * ," && , -*# " & $ #+ - + >
' #, '#(& % & #' #- '% (& #' #- * ' -#* 0# " * - % ' * & * & % #& *
* & 0 '% & )#&& 0 ' +" . * " * &( 0#( ) *-#* '% #- (' *## & + ,
+ 0 #* +#* "+" $
! " # " #
" * & %#'& '&(& #' " . + " ' ))*#)* &) % - % #' #- ( #* ,* && . ,
& # (' & * 0 )*#) * & #- (' *## & &$ " * -#* " %"# % #- ( #* ,* && . ,
', " ,# ( ' #' #- %#'# * % '& 2(' > * ' & % %# )#' ' 3$ %> ! '
( * 2:@E:3 # -! " * & # '%#*)#* ( #* ,* && . &) % - % #' ' " # $ " *
# - & & (&( ! % (, ' %> ! ( * & $ ' %> ! 2:@EB3 & ( !
) % #- #. ', . * , *## #' (' *## & &$ " ! &(,, & '% ( ', &(-- % ' ,& '
( #* ,* && . &) % - % #' ' (, ' %> ! ( * & +" %" % ' ))*#6 '!
#. ', . * , )*#% &&$ 4#+ . * " ))*#)* %"# % #- , ', " * '& ' )#* '
:9 %"##& ', ))*#)* , ', " $,$ %$ , ' **#' 2<99:3 &( *
* (* #' " & &&( $ , ' **#'1& & ( ! * . & " # - > > '-#* #'
%* * #' 2 3 #( ) *-#* # " * )*#% (* & -#* %"# % #- ))*#)* , ', "$ # " &
)# ' " ,# &) % - % #' #- , ', " ##>& # 0 %" . 0( +" ' %# 0 ' + " # " *
&) % - % #'& -- * ' %#'% (& #'& % ' 0 * %" $ % & #- -#(* &) % - % #' % & #'&
+ * & ( ! ', " * * . '% & " +*#', % & #' 0#( #' &) % - % #' ! * &( '
- (* #- )*#% (* -#* &) % - % #' #- '# " * % & #'$ #* 6 ) -#* * F '
(, ' & () + ' ! %"# % #- , 0! * %# ' 0! , ' **#'$
" * &( & * &( * ' 0 A$
/ "#( * - ' * ' :
/ " * - :
/ " * - ' * ' 9
" * &( & - .#* #(* &())#& #' " &&) % - % #' #- #' 0 * #- &
#-&) % - % #' &%(&& 0#. ! # +*#', * &( ' &) % - % #' -#* &# # " *
0 * #- " & & $ 4 '% " * &( ', '- * '% -*# (' *## & , '& & *
. ' , #- + & ,' )*#% (* #- & % #' #- , ', "$
! $ $ " %
" 0 #- & *(% (* 0* >& ' %*# %#'# % & * & " & 0 ' G#* * '
(' *## * & *%"$ **#' 2:@E@3 &(,, & " &#' ' #&& *1& & *#', . '% '
::
' #'& * " & "*#(," '%#*)#* ', ' 6#, '#(& & *(% (* 0* > -#* " :@<@
%* &"$ ' # ', &# " * . *& " &#' #&& * 2:@E<3 %#'% (& #'& -#* :9 #- " :A & * &$
**#'1& & ( ! % ' 0 * , * & ' ) # * &) % -! " # #- &#' ' #&&#*
"#+ . * " & "# -#* '%#*)#* ', & *(% (* 0* >& & 0 & #' >'#+ , #- " & #* %
. ' & ' & '# 0 & * &) % - % #'$ " 0 , '' ', #- " :@@9& ' *G et al$
2:@@<3 "* & '# 2:@@<3 ' D .# ' ' * +& 2:@@<3 *,( " & % ', " & *(% (*
0* > a priori 0 & #' ' ex post 6 ' #' #* >'#+ , #- " %#( # '
#. * * G % #' #- " (' *## "!)# " & &$ # * && " & &&( " & & ( & '%#*)#*
& ', ' #, '#(& & *(% (* 0* >$ ' #, ' ', & *(% (* 0* >& D .# ' ' * +&
2:@@<3 + * (' 0 # * G % (' *## -#* -#(* & * & " **#' %#'% ( # 0 & #' *!$
" & 0 & %#' '(#(& # ' '! "# & -#* ' #, ' ', & % ', ' & ',
& *(% (* 0* >& " . 0 ' . #) ' ' ! &# - *$ % ' &(*. ! #- * (* #' " &
&&( & )*#. 0! !*' ' * ' 2<99C3 ' **#' 2<99C3$ / # '# - ' % && ! #
)* & ' . '% & -#* #&& #- & * 0 )*#) * & #- (' *## & & ( # &&) % - % #'
#-& *(% (* 0* > 0 % (& * (* %#' '& &# '! . '% & ' " * & '# %#'& * 0
& ,* ' #' " &&( $ 4#+ . * " * + & %#' *#. *& *! #' & ', ' '%#*)#* ',
%"' ( & #- & *(% (* 0* >& ' # $ " & %#' *#. *& *! # * ) ,*#+ " ' "
* (* $ #+ " * * + #%( ' %"' ( & . 0 -#* ' #, ' ', & *(% (*
0* >& ' & ', -#* (' *## ' )* & '% #- & *(% (* 0* >& "#+ . * " & %"' ( &
(&( ! %#' #' #' # " * ) % &) % - % #'$ , ' + )" & & " &&) % - % #'
#-#' &&( ) #' ! * . & - ' " &) % - % #' )*#% (* -#* " &# # " *
:< %# )#' ' & ( # 0* > ' ''#. #' . * '% $ / ) # * & ( -*# * ,* && #' ( #'
#- &#' ' #&& * 2:@E<3 -#* * F $
, :$ & ( & -*# * ,* && #' ( #' #- &#' ' #&& * -#* * F
" 0* > ' . * '% #- " * & ( & . ' -*# " 0#. ,* )"$ ," 0
)#&& 0 " )) * ' & *(% (* 0* > " '. & , #*& -#(' ' " & * & & * - % #'
#-0* > ' " ''#. #' . * '% " + #0& *. ' " - , 0#. $
$ " $
#', " & * 0( #' &&( ) #' " #& %# #' &&( ) #' & '#* !
#-''#. #' )*#% &&$ 4#+ . * '! ( "#*& '# " . # #' #- " & &&( ) #' # & '#
" . & * #(& ) % #' (' *## & &$ '# " * &&( ) #' & " " ''#. #'& &"#( 0
& * ! ' ) ' ' $ . * ( "#*& " . #%( ' " - ''#. #'& * & * !
) ' ' $ $ ''#. #' %* & #. ', . * , *## & ' " #. ', . * , *## & % ' 0
))*#6 0! &(-- % ' ( #* ,* && . ,&$ 4 '% " & )*#0 & '# & * #(& 0 % (& +
:A
'#* ! &&( ) #' %#( 0 ( # &# # " * - % #*& ' ) * %( * ( # #( *&$ ' "
% & & &# + #%( ' " " )* & '% #- #( *& ' (% & & *#', - ' & )
0 & #+ * & '# * G % ', " (' *## ## #- '$ " & & 0 % (& #( *& )*# (% *,
#. ', . * , *## &$ " & )*#0 % ' 0 " ' 0! ))*#)* %"# % #- , ', "$ #*
#- &%(&& #' #' " & &&( ) #'& & **#' 2<99A3 ' * - * '% & % " * $
4#+ . * '# " * & * 0( #' &&( ) #' & "# #&> & % ! #- ''#. #' )*#% &&$
% ' & ( & * . " '#' %#'& ' . * '% & % ' 0# " '- ' - " * G % #'
-* ( '%! #- " %# #' ! (& (' *## & & 0# " (' * " '( ' (' * " *' . $
" & &&( ) #' ' & -(* " * ' #' ( # " - % '# 0! '! ( "#*& '% ( ',
, ' ' %"+ * 2:@@93 #* ' ' " )& 2:@@B3 / &#' 2:@@@3 % #'' '
( *#& 2<9993 ' . ' G> $ 2<99<3 +"# )*#. . '% & '#' %#'& ' . * '% &
#-'! %*# %#'# % & * &$ 7 2<99<3 &"#+' " %" ', ' " ''#. #'
. * '% #- ' ' ,* )*#% && % ' , ' * &)(* #(& * G % #'& #- " (' *## '(
"!)# " & & ' *#( ' )) % #'& #- %> ! ( * & &$ " ! . #) ' '. & ,
# - & & & %& 0 & #' (' *## & & #- **#' 2:@E@3 +" %" * )) % 0 +" '
" * & %" ', ' ''#. #' . * '% #- ' ('>'#+' ,' ( ' ('>'#+' #% #'$
. * 2<99B3 &"#+ " '#' %#'& ' . * '% & % ' 0# " '- ' - " * G % #'
-* ( '%! #- " (' *## & & + " * ! ' , . ' )#& . . * '% %" ', & " . ',
" & *#', & ) % $ " ! &"#+ " " " #% ! 0 & '. * ' 2 3 & #- (' *##
, '& . & #' * ! & *#0(& # " *#&> & % ! #- '! -#* (' * " '( "!)# " & &$
4#+ . * " %#'% (& #' #- ( "#* & . %#' #' ', #' " # " * ) % &&( ) #'&
:B " . '# 0 ' &%(&& &# - *$ #+ + ) # ( * % * ' - # * F $ "
. '% #- . * 0 ! #- " . * '% & ( % * " * $
, <$ ( * % * ' - # * F
# " )*#0 " * & & ( # &&) % - % #' # 0 ,(#(& '- * '% -*# ('
*## & &$ - + &( * " . '% & )* & ' &# - * -# #+ ', %#'% (& #'& % ' 0
* +'
:$ " &) % - % #' % & #'& + & % -- % " #( )( #- (' *## & &
<$ " *0 * *!H ) % &) % - % #' ' %#'. ' #' "# # #,! & #- ' #))#& 0!
&# " &) % - % #' % & #'& ' # 0 G(&
-A$ # #' #- #' #- &&( ) #'H ) % &) % - % #' ! * . & - ' +*#',
%#'% (& #' #- &# # " * &) % - % #' )*#% (*
" & %#' " ', +" %" %* & 0 ,( ! ' " '- * '% -*# (' *## & & "
)*#0 #- #0& *. #' ( . '% $ "#(," " * ' & #' *! ' -- * '% & #' *!
:;
( . ' $ #%"* ' 2:@@:3 *,( & " ' . * , &#' 2:@E<3 %# )#& #'
#-& * #-& ' # * '#-& #*! ' ) * ' ' %# )#' ' & " * ' # + > %# )#' ' ! " .
*0 * * ! & . * '% $ ' " % & (' *## & & ! " . *0 * * ! #+ )#+ * ' &
& ) &$ 4 &# &"#+& " " * * &# -- * '% & #' *! )*#% && & +"#& > "##
& *0 * * ! % #& # (' *## )*#% &&$ (* " * '. & , #' #- #0& *. #' ( . '%
0 + ' * ' ' -- * '% & #' *! )*#% && & ( # #(," 2:@@<3 ' (& 2:@@A3$
* & ' ', * &#'& & * # #%" * ' #(," *,( & " '#' #- (' *## & % ' " .
" ," )#+ * -#* & #' *! )*#% && 6% ) " . ', " ," )*#0 0 ! #- - & * G % #' -#* "
' *0! 0 * #- (' *## '( $ 4#+ . * " *,( ' & #- #(," # & '# %* & "
)#* '% #- (' *## & ', 0 % (& - &# %# )#' ' #- , ' * ', " & *0 * * !
& + ," H. * '% + # '# 0# " * # % 0 % (& ' " - ' "#* #' " &
%# )#' ' + " & . * '% H+ ," + '# %* *, * '- ( '% $ / & ' #
* ' !' %& #- # ' ' )#* #' #- , ' * ', )*#% &&$
' * #( ' ) '#& 2<99A3 * %# ' (& ', " O& & % ( %!1 & ,( #
&) % -! # +" & ', -#* (' *## & $ %%#* ', # " ( "#*& 0! & & % ( %!
" ! ' ) * % . ! #- " )*#0 0 & % &&( ) #'& &&#% + " " # $ "
& & % ( %! )*#. & &(-- % ' %#' #' -#* . ! #- " # ' " " * & '#
. # #' #- " &&( ) #' #- " # -#(' ' " $ " ! & # & #- &#' '
#&& * 2:@E<3 ' **#' 2:@E@3 -#* & & % ( %! ' -#(' " #& #- " * # &
* '# ( $ - * * &) % - % #' #- " # & " ! -#(' * &( -- * ' -*# 0# "
&#' #&& * ' **#'$
) '#& ' %F( *> 2<99C3 '# ' )#* ' &"#* %# ', #- & * ,! #- ' * #(
:C * ' & #' *! +" ' - # & & ! 0 0# " & & % ! ( ' " " *
* &) % . )*#0 0 & % &&( ) #'& * '# #))#& 0! $ ' ) * %( * " ! '# - *(
, ' * ', )*#% && & * ' # + > + " * - * ' & #' *! # + " * - ) (&
* ' ! )*#. & & % ! ( ))*#6 #'$ " ( "#*& %#'& * -# #+ ',
"* &% ' * #&
: yt =
δ
yt−:+ε
t<
t t
t y
y =
α
+δ
−:+ε
εt N IID 29σ<3 2<3A yt =α+βt+δyt−:+εt
" ( "#*& '# " - & , ' * 0! < + "δ M : 2* ' # + > + " * - 3 '
- # 0 #', # A #' ! , * ' & #' *! & & % ! ( ))*#6 #'
# " $
" & ( ! #- ) '#& ' %F( *> % ' 0 " 0 & & -#* ' + * % #' #- " * & *%" '
(' *## $ # #+ ', %#'% (& #' % ' 0 * +' -*# " & ( ! #- ) '#& ' %F( *>
:$ #* * & * & " * ! 0 #* " ' #' & & % ! ( # & + "
( #))#& #', *(' !' %&
<$ & ' &# % & & " #0& *. #' ( . '% % ' 0 #0& *. ( #
&&) % - % #' #- &% ' * # " + (& -#* & ', (' *##
) '#& ' %F( *> )* & ' G(& #' 6 ) #- #0& *. #' ( . '% 0 + '
# & + " -- * ' #', *(' !' %&$ #+ & ) (& 0 # &&( " &# # " * !) &
#- * ' ' -- * '% & #' *! # & ! 0 #0& *. #' ! ( . ' ' " " *
* &) % . )*#0 0 & % &&( ) #'& * '# #))#& 0! " $ - & &# '. & , #* ' &
# >'#+ +" # " * !) & #- # & ! 0 &())#* 0! " & * & #* +" %" " " &
:I
' ,* 29 : :3 # ' & #' *! 2:3 # $ / " #' * #
6) * ' ' +" %" + & , ' * 0! -# #+ ', , ' * ', )*#% &&
t t
t y u
y = −:+
t t
t ku e
u = −: +
3 : 9 2 N
et 2A3
%> ! ( * (' *## & + & )) # " , ' * & * &$ " % & #'
0#( '% (& #' #- * ' ' * - + & 0 & #' " & ,' - % '% #- " * & %# -- % '
& * ', -*# , ' * # ' * (% ', &(%% && . !$ ' & % #' #- # + & . *
--#* & & % ( %! 0! & ', -#* " &&( ) #'& $ $ ( #%#** #' '
"# #&> & % ! #- * & ( &$ / & -#* - *& & %#' ' " * #* * ( #%#** #'
#-* & ( # '&(* '# . '% #- %#** #' & " * & '% #. ', . * , & &"#( * .
" ' ( #%#** #'$ " *( , ' * ', )*#% && & -- * '% & #' *!$ #*
& * & #- ', " :99 -# #+ ', ) *% ' , #- & & % ! ( & #' *! # + &
#0 ' $ <999 & ( #'& + * % ** #( -#* %" . ( #-k$
0 B *% ' , * G % #' #- (' *## '( +" ' *( F & %%#* ', # $ 2A3
( #-k K #- & #' *! # &
9$; <@
9$C AI
9$I B;
9$E C<
:E " & & #' #* . '% #- #0& *. #' ( . '% 0 + ' * ' ' -- * '%
& #' *!$ * ! - + ##> # " * !) & #- , ' * ', )*#% && & #' % ' & *%" "
#0& *. #' ! ( . ' )*#% && ' " % && + " -- * ' #', *(' !' %&$ 7'#+ ,
#- # + " #0& *. #' ( . '% + )*#. ,( # '. & , #* 0#( # " *
) (& 0 # & -#* & -#* +" %" " " . -#(' &# & & % ! ( # $
3. Measuring strength of reasons of uncertainty; a step forward to more
reliable inference
" * &( & ' . '% & )* & ' &# - * # % ' 0 &( * ' # -# #+ ',
:$ %" &) % - % #' % & #'& &%(&& ' " & ( ! -- % " #( )( #- (' *## &
<$ " *0 * *!H ) % &) % - % #' % & #'& * #- ' '%# ) 0 #* ('G(& - 0
-#* " *
A$ '. % & #' #' #' &) % - % #' ! -- % # " * &) % - % #' % & #'&
' , . !
B$ . ' + " &())#* &) % - % #'& " * ! 0 #* " ' #' # & + "
( #))#& #', *(' !' %& 0( " . ', %# ) 0 ! + "
" * &( & : A # . (& # * . & %* * -#* . ( #' #- )*#% (* & -#* & ',
& #' * !H(' *## ' * & &$ " ) *-#* '% #- )*#% (* + " ' #, '
:@
&(* #- ) *-#* '% #- (' *## & & & )#&& 0 +" ' ( ) &) % - % #' % & #'& *
' #, ' $ /" . * ) *-#* '% #- & ', )*#% (* & &(* . " & %* * #'
+#( 0 #* * 0 ' #* * & %$
" * &( B # . (& # 6) #* " # & + " -- * ' #', *(' !' %& ' &
& ) ( . '% &# " ' '. & , #* +#( 0 0 # ,( && +" # " * !) & #- #
! 0 ) (& 0 -#* & -#* +" %" " " & - &# # $
Bibliography
P:Q ' * #( $ ' ) '#& $ 2<99A3$ & % ( %! ' " & ', #- * ' *&(& -- * '%
#' * ! %#'# * % . +& <<2A3 <:I R <AI$
P<Q ' *G $ ( & ' $ ' #%> 8$4$ 2:@@<3$ %(*& . ' & ( ' & & #- (' *## ' "
* ' 0* > "!)# " & & " #*! ' ' *' #' . '% $ 8#(*' #- (& ' && %#'# %& '
& %& :9 <I: <EI$
PAQ !*' 8$ $ ' #, * * ' 2<99C3$ ' ## & ' *(% (* * >& (*. ! #- " * (*
PBQ )0 8$ S$ ' **#' $ 2:@@:3$ - & ' #))#* (' & +" %*# %#'# & & &"#( >'#+
0#( (' *## &T %*# %#'# %& ''( $ C$ :B:R<9:$
P;Q $ $ F *% $ F$ $ **#' $ 2:@@@3$ ' *## & ' " )* & '% #- 0*() ,#. *' '
' *. ' #'& + " ' )) % #' # * ' $ 8#(*' #- )) %#'# * %& :B <IR;C$
PCQ . * F$ 2<99;3$ ' ## & & (' * *! ', * '% &$ %#'# * % . +& <A A <;@
R <@<$
PIQ "* & '# $8$ 2:@@<3$ *%" ', -#* 0* > ' F $ 8#(*' #- (& ' && %#'# %& ' & %&
:9 <AI <;9$
PEQ #%" * ' $ 4$ 2:@EI3$ U * ( #- " )) % #' #- ' ## & & U # ' . *& !
<9
P@Q %> ! $ $ ' ( * /$ $ 2:@I@3$ & * 0( #' #- " & #*& -#* ( #* ,* && . & * & + "
(' *## $ 8#(*' #- " * % ' & % &&#% #' IB B<I BA:$
P:9Q %> ! $ $ ' ( * /$ $ 2:@E:3$ > "## # & %& -#* ( #* ,* && . * & + "
' ## Econometrica B@ :9;I :9I<$
P::Q 0# $ L$ ' '" G $ $ 2:@@C3$ " '% * ' ## ' F # ' $ American
Economic Review EC :<@: :<@E$
P:<Q * 8$ ' 7 '' ! $ $ 2<99:3$ & ', -#* ' ## & /" "#( ( ' & (," T 8#(*'
#- %#'# % (% #' A<2<3 :AI BC$
P:AQ ' *& /$ 2<99B3$ )) %#'# * % * & %#' #'$ 8#"' / ! V #'& '
&$
P:BQ 4 #' 8$ $ 2:@@B3$ * & ' !& &$ * '% #' ' . *& ! * && * '% #' + 8 *& !$
P:;Q 7 ' $ ' " ' ' $ 2<99<3 ' ## & * ' * >& ' * '& #*! !' %&
%*# %#'# % *&) % . $ Macroeconomic Dynamics C C:B CA:$
P:CQ 7 $ 4$ !0#(*' $ +0# $ 2<99<3$ ' *## & & + " 0* > ' ''#. #' . * '% $
8#(*' #- %#'# * %& :9@ AC;RAEI$
P:IQ 0 ' # F$ $ 2<99;3$ ' *## & ' %*# %#'# % & * & " #*! ) % #'& ' . '% $
'#. %#'# # 4#* #' :; 2A3:B; :IC
P:EQ #* ' $ ' " )& $ $ $ 2:@@B3$ & ', %#. * '% & #' * ! (' * # ' %#' #'
- (* + " ' )) % #' # %# #' & #%> * (*'&$ 8#(*' #- ) * % ' '% : <::R<BE
P:@Q ( & ' $ $ ' ) $4$ 2:@@I3$ ( ) * ' 0* >& ' " (' *## "!)# " & &$ . +
#-%#'# %& ' & %& I@ <:< <:E$
P<9Q % #'' $ $ ' ( *#& $ 2<9993$ ( )( - (% ( #'& ' " ' & +" " & %" ',
& '% " * ! :@E9&T * % ' %#'# % . +$ @9 :BCBR:BIC$
P<:Q (** ! $ 8$ ' &#' $ $ 2<9993$ " ('% * ' * ' ' $ $ F $ 8#(*' #- #' *!
<:
P<<Q &#' $ $ ' #&& * $ $ 2:@E<3$ * ' & ' * ' # + >& ' %*# %#'# %& & * & &#
. '% ' ) % #'&$ 8#(*' #- #' *! %#'# %& :9 :A@R:C<$
P<AQ , $ ' **#' $ 2<99:3$ , ', " & % #' ' " %#'& *(% #' #- (' *## & & + " ,## &
' )#+ *$ %#'# * % C@ :;:@R:;;B$
P<BQ (' & $ $ $ 7( ' ' $ +0# 2:@@I3$ )(* #(& * ,* && #'$ %#'# * % " #*! :: IAC B@$
P<;Q ) $ 4$ ' *# ' $ 2<99A3$ & * % *(% (* " ', ' " ' ## 4!)# " & &$
Working paper, University of Houston
P<CQ **#' $ 2:@EE3$ * ' & ' ' # / >& ' %*# %#'# % * & (* " * . '% -*#
+ ))*# %"$ 8#(*' #- %#'# % !' %& ' #' *# :< <@I AA<$
P<IQ **#' $ 2:@E@3$ " ,* %* &" " # )* % &"#%> ' " (' *## "!)# " & &$ %#'# * % ;I
:AC: :B9:$
P<EQ **#' $ 2<99A3$ # ' #' U & % ( %! ' " & ', #- * ' *&(& -- * '%
#' * !U 0! ' * #( ' ) '#& 2 ( 0 * :3$ %#'# * % . +& << A <A@ R <B;
P<@Q **#' $ 2<99;3$ ', + " *(% (* * >&$ # -#* "%# ', ' " 4 ' 0##>
#-%#'# * %& %#'# * % " #*!$
PA9Q ( 0(&%" F$ $ 2:@@A3 " '% * ' ' ## ' F $The American Economic Review EA
<CB <I<$
PA:Q $ $ ' %> ! $ $ 2:@EB3$ & ', -#* (' *## & ' ( #* ,* && . #. ', . * , # &
#-('>'#+' #* *$ # * > I: ;@@ C9I$
PA<Q %# 4$ $ ' 4 8$ $ 2<99C3$ " *#) * & #- *#% (* & ', + " '% * ' ! 0#(
' *% ) ' * ' & % * ' ' ' ## & ',$
PAAQ ) '#& $ ' '! %F( *> 2<99C3$ . & ', " -#(' #'& #- (' *## & ', +"! " 2:3$
# # & '# ' & " (' *## *, ' %" +#*> ', ) ) * & * &
PABQ . ' G> $ &0#*' $ $ ' '& * $ 2<99<3$ " ', & ' . * 0 ! #- " 0(& ' && %!% ' "
<<
PA;Q / &#' $ /$ 2:@@@3$ 6) ' ', " '%* & . * 0 ! ' #', * ' * & * &$ %" #'
%#'# % ( * * ! E; I:R@C$
PACQ D .# $ ' ' * +& $/$7$ 2:@@<3$ (* " * . '% #' " ,* %* &" " # )* % &"#%> ' "
