Makalah Cutting Plane

(1)

Disusun Oleh : Disusun Oleh : Arina

Arina Noviani Noviani 118100010118100010 Fathurahman

Fathurahman Alhikmah Alhikmah 118100027118100027 Ali

(2)

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

Cancel Anytime.

(3)

KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Alloh SWT, atas limpahan rahmat Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Alloh SWT, atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan tugas ini

dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan tugas ini yang berjudul “yang berjudul “IntegerInteger Programming with Cutting Plane

Programming with Cutting Plane””

Makalah ini dibuat guna memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Riset Makalah ini dibuat guna memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Riset Operasi . Pada kesempatan kali ini kami mengucapkan terima kasih yang sebesar Operasi . Pada kesempatan kali ini kami mengucapkan terima kasih yang sebesar – – besarnya kepada pihak yang telah mebantu terselesaikannya tugas ini ,terutama besarnya kepada pihak yang telah mebantu terselesaikannya tugas ini ,terutama kepada dosen yang telah

kepada dosen yang telah memberikan materi tentang memberikan materi tentang tugas ini tugas ini ,juga kepada ora,juga kepada orangng tua

tua kami yang kami yang telah metelah memberikan dormberikan dorongan dan do’ongan dan do’a a kepada kakepada kami sehingga mi sehingga ddapatapat terselesaikanya tugas ini dengan baik. Semoga apa yang telah mereka berikan terselesaikanya tugas ini dengan baik. Semoga apa yang telah mereka berikan mendapat balasan dari Alloh SWT.

mendapat balasan dari Alloh SWT.

Kami menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih banyak kekurangan Kami menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih banyak kekurangan dan kesalahan.Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati , kami meminta dan kesalahan.Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati , kami meminta uluran saran dan kritiknya yang bersifat mebangun demi perbaikan tugas ini.

uluran saran dan kritiknya yang bersifat mebangun demi perbaikan tugas ini.

Akhir kata kami berharap makalah ini dapat memenuhi tugas yang telah Akhir kata kami berharap makalah ini dapat memenuhi tugas yang telah ditentukan, dan semoga karya tulis ini dapat menambah wawasan bagi pembaca . ditentukan, dan semoga karya tulis ini dapat menambah wawasan bagi pembaca . atas segala perhatiannya kami ucapkan banyak terima kasih.

atas segala perhatiannya kami ucapkan banyak terima kasih.

Bandung,

(4)

Cancel Anytime.

(5)

PENDAHULUAN PENDAHULUAN

Suatu permasalahan perencanaan linier biasanya menuntut solusi yang optimum Suatu permasalahan perencanaan linier biasanya menuntut solusi yang optimum agar diperoleh kondisi optimal yang di inginkan. Biasanya suatu permasalahan perencanaan agar diperoleh kondisi optimal yang di inginkan. Biasanya suatu permasalahan perencanaan linier ,menginginkan variabel keputusanya berupa integer ,

linier ,menginginkan variabel keputusanya berupa integer , agar jawaban menjadi realistik.agar jawaban menjadi realistik. Integer Programming adalah bentuk lain dari program linier dengan variabel-variabel Integer Programming adalah bentuk lain dari program linier dengan variabel-variabel keputusanya bertipe integer .Jika variabel keputusan yang dihadapi berkaitan dengan keputusanya bertipe integer .Jika variabel keputusan yang dihadapi berkaitan dengan jumlah orang,mesin- mesin , kendaraan da

jumlah orang,mesin- mesin , kendaraan dan lain-lain, akan terasa janggal jn lain-lain, akan terasa janggal jika menyelesaikanika menyelesaikan pekerjaan itu diperlukan 3,5 mesin dan 7,5 orang, sebaliknya jika pekerjaan memerlukan 4 pekerjaan itu diperlukan 3,5 mesin dan 7,5 orang, sebaliknya jika pekerjaan memerlukan 4 atau 5 mesin dan 8 orang ,

atau 5 mesin dan 8 orang , maka keputusan akan terasa realistik damaka keputusan akan terasa realistik dan lebih mudah.n lebih mudah.

Permasalahan Integer Programming mencakup permasalahan semua integer. Permasalahan Integer Programming mencakup permasalahan semua integer. Permasalahan semua integer adalah permasalahan integer programming dengan variabel Permasalahan semua integer adalah permasalahan integer programming dengan variabel keputusan dan kendala dibatasi berupa bilangan integer. Terdapat dua metode untuk keputusan dan kendala dibatasi berupa bilangan integer. Terdapat dua metode untuk menyelesaikan masalah integer Programming. Dengan metode ini akan dibuat menyelesaikan masalah integer Programming. Dengan metode ini akan dibuat batasan-batasan khusus yang akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier batasan khusus yang akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier untuk bergerak ke arah pemecahan

untuk bergerak ke arah pemecahan integer yang diinginkan, metode itu adalahinteger yang diinginkan, metode itu adalah 1.

1. Metode Cutting PlaneMetode Cutting Plane 2.

2. Metode Branch and BoundMetode Branch and Bound

Pada Makalah ini akan membahas satu metode saja , yaitu metode Cutting Plane. Pada Makalah ini akan membahas satu metode saja , yaitu metode Cutting Plane. Dalam metode cutting plane dibuat kendala tambahan yang memmotong daerah Dalam metode cutting plane dibuat kendala tambahan yang memmotong daerah penyelesaian yang layak dari persoalan masalah integer , sehingga dapat penyelesaian yang layak dari persoalan masalah integer , sehingga dapat mengeliminasi penyelesaian yang bukan integer. Proses pemotongan pada daerah mengeliminasi penyelesaian yang bukan integer. Proses pemotongan pada daerah penyelesaian yang diinginkan.

(6)

Cancel Anytime.

(7)

LANDASAN TEORI LANDASAN TEORI

Pemrograman bulat (1nteger programming) dibutuhkan ketika keputusan harus dilakukan Pemrograman bulat (1nteger programming) dibutuhkan ketika keputusan harus dilakukan dalam

dalam bentuk bentuk bilangan bilangan bulat (bukbulat (bukan pecahan an pecahan yang yang sering terjadi sering terjadi bila kita bila kita gunakan gunakan metodemetode simpleks).

simpleks). Model matematis Model matematis dari pemrograman dari pemrograman bulat sebenarnya bulat sebenarnya sama dengan sama dengan modelmodel linear programming, dengan tambahan

linear programming, dengan tambahan batasan

batasan bahwa bahwa variabelnya variabelnya harus harus bilangan bilangan bulat. bulat. Terdapat Terdapat 3 3 macam macam permasalahan permasalahan dalamdalam pemrograman bulat, yaitu:

pemrograman bulat, yaitu:



 Pemrograman bulat murni, Pemrograman bulat murni, yaitu kasus yaitu kasus dimana semua dimana semua variabel keputusan variabel keputusan harusharus

berupa bilangan bulat. berupa bilangan bulat.



 Pemrograman bulat Pemrograman bulat campuran, campuran, yaitu yaitu kasus kasus dimana dimana beberapa, beberapa, tapi tapi tidak tidak semua,semua,

variabel keputusan harus berupa bilangan bulat variabel keputusan harus berupa bilangan bulat



 Pemrograman bulat biner, kasus dengan permasalahan khusus dimana semuaPemrograman bulat biner, kasus dengan permasalahan khusus dimana semua

variabel variabel

keputusan harus bernilai 0 dan 1 keputusan harus bernilai 0 dan 1

Banyak aplikasi kegunaan dari integer programming, misalnya dalam penghitungan Banyak aplikasi kegunaan dari integer programming, misalnya dalam penghitungan produksi

produksi sebuah sebuah perusahaan perusahaan manufaktur, manufaktur, dimana dimana hasil hasil dari dari perhitungannya perhitungannya haruslahharuslah bilangan

bilangan bulat, bulat, karena karena perusahaan perusahaan tidak tidak dapat dapat memproduksi memproduksi produknya produknya dalam dalam bentukbentuk setengah jadi. Misal perusahaan perkitan mobil tidak bisa merakit 5,3 mobil A dan 2,5 mobil setengah jadi. Misal perusahaan perkitan mobil tidak bisa merakit 5,3 mobil A dan 2,5 mobil B perhari, tetapi haruslah bilangan bulat, dengan metode pembulatan, bisa kita hasilkan B perhari, tetapi haruslah bilangan bulat, dengan metode pembulatan, bisa kita hasilkan misalnya 5 mobil A dan 2 mobil B per hari, tetapi apakah metode pembulatan ini efisien? misalnya 5 mobil A dan 2 mobil B per hari, tetapi apakah metode pembulatan ini efisien? Kita lihat pada penjelasan selanjutnya.

Kita lihat pada penjelasan selanjutnya.

Model pemrograman bulat dapat juga digunakan untuk memecahkan masalah Model pemrograman bulat dapat juga digunakan untuk memecahkan masalah

(8)

Cancel Anytime.

(9)

x

x j j = = 1, 1, untuk untuk keputusan keputusan yaya

x

x j j = = 0, 0, untuk untuk keputusan keputusan tidaktidak

Model ini seringkali disebut sebagai model pemrograman bulat biner. Model ini seringkali disebut sebagai model pemrograman bulat biner.

(10)

Cancel Anytime.

(11)

Perusahaan Maman Catering

Perusahaan Maman Catering akan akan memproduksi tiga memproduksi tiga jenis Gorengan yaitu jenis Gorengan yaitu Bakwan, Mendoan,Bakwan, Mendoan, dan

dan Pisang Pisang goreng goreng dengan dengan keuntungan keuntungan tiap tiap jenis jenis produksi produksi Rp. Rp. 400, 400, Rp.600, Rp.600, Rp.200 Rp.200 , , ketiga ketiga jenisjenis gorengan

gorengan memerlukan memerlukan pemrosesan pemrosesan tiga tiga kali kali yaitu yaitu penyiapan penyiapan bahan, bahan, penggorengan, penggorengan, finishng finishng ,, seperti

seperti pada tabel pada tabel berikut inberikut inii

Pemrosesan

Pemrosesan Jenis Jenis RotiRoti

Penyediaan Penyediaan Max

Max Bakwan

Bakwan Mendoan Mendoan Pisang Pisang GorengGoreng Penyiapan Penyiapan Bahan Bahan 4 4 -4 -4 0 0 55 Penggorengan Penggorengan -1 -1 6 6 0 0 55 Finishing Finishing -1 -1 1 1 1 1 55

Proses Penyiapan Bahan memiliki paling banyak 5kg, penggorengan memiliki paling banyak 5L dan Proses Penyiapan Bahan memiliki paling banyak 5kg, penggorengan memiliki paling banyak 5L dan finishing paling banyak memiliki 5 bungkus

finishing paling banyak memiliki 5 bungkus

1. Jika menyiapkan bahan 4kg bakwan maka harus menyiapkan bahan 4kg juga untuk 1. Jika menyiapkan bahan 4kg bakwan maka harus menyiapkan bahan 4kg juga untuk mendoan

mendoan

2. Jika melakukan penggorenga membutuhkan minyak sayur 6

2. Jika melakukan penggorenga membutuhkan minyak sayur 6 L untuk Mendoan maka harusL untuk Mendoan maka harus menyiapkan 1L minyak sayur untuk bakwan

menyiapkan 1L minyak sayur untuk bakwan

3. Jika dalam pembungkusan mendoan membutuhkan 1

3. Jika dalam pembungkusan mendoan membutuhkan 1 bungkus dan Pisang Goreng 1bungkus dan Pisang Goreng 1 Bungkus maka dibutuhkan 1 bungkus

Bungkus maka dibutuhkan 1 bungkus untuk bakwanuntuk bakwan

Tentukan kombinasi terbaik dari jumlah Bakwan, Mendoan, Pisang Goreng yang

Tentukan kombinasi terbaik dari jumlah Bakwan, Mendoan, Pisang Goreng yang harusharus diproduksi agar menghasilkan laba maksimum.

diproduksi agar menghasilkan laba maksimum.

Max Z =4x1+6x2+2x3 Max Z =4x1+6x2+2x3 Kendala : Kendala : 4x1 - 4x2 <= 5 4x1 - 4x2 <= 5 6x2 - x1 <=5 6x2 - x1 <=5 x2 + x3 -x1 <=5 x2 + x3 -x1 <=5

Bentuk Standar nya : Bentuk Standar nya : Maks Maks Z - 4x1 - 6x2 - Z - 4x1 - 6x2 - 2x3 - 0S1 - 0S2 - 2x3 - 0S1 - 0S2 - 0S3=00S3=0 Kendala Kendala 4x1 - 4x2 + S1 = 5 4x1 - 4x2 + S1 = 5 6x2 - x1 + S2 = 5 6x2 - x1 + S2 = 5

(12)

Cancel Anytime.

(13)

INTEGER PROGRAMMING WITH CUTTING PLANE

METHOD

2012

Dasar Dasar Z Z 1 1 -4 -4 -6 -6 -2 -2 0 0 0 0 0 0 00 S1 S1 0 0 4 4 -4 -4 0 0 1 1 0 0 0 0 55 S2 S2 0 0 -1 -1 6 6 0 0 0 0 1 1 0 0 55 S3 S3 0 0 -1 -1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 55 Z Z 1 1 -5 -5 0 0 -2 -2 0 0 1 1 0 0 55 S1 S1 0 0 3 3 1/3 1/3 0 0 0 0 1 1 2/3 2/3 0 0 8 8 1/31/3 x2 x2 0 0 - - 1/6 1/6 1 1 0 0 0 0 1/6 1/6 0 0 5/65/6 S3 S3 0 0 - - 5/6 5/6 0 0 1 1 0 0 - - 1/6 1/6 1 1 4 4 1/61/6 Z Z 1 1 0 0 0 0 -2 -2 1 1 1/2 1/2 2 2 0 0 17 17 1/21/2 x1 x1 0 0 1 1 0 0 0 0 3/10 3/10 1/5 1/5 0 0 2 2 1/21/2 x2 x2 0 0 0 0 1 1 0 0 1/20 1/20 1/5 1/5 0 0 1 1 1/41/4 S3 S3 0 0 0 0 0 0 1 1 1/4 1/4 0 0 1 1 6 6 1/41/4 Z Z 1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 3030 x1 x1 0 0 1 1 0 0 0 0 3/10 3/10 1/5 1/5 0 0 2 2 1/21/2 x2 x2 0 0 0 0 1 1 0 0 1/20 1/20 1/5 1/5 0 0 1 1 1/41/4 x3 x3 0 0 0 0 0 0 1 1 1/4 1/4 0 0 1 1 6 6 1/41/4

Dari tabel optimum diatas didapatkan persamaan berikut Dari tabel optimum diatas didapatkan persamaan berikut x1 + 3/10 S1 + 1/5 S2 =5/2

x1 + 3/10 S1 + 1/5 S2 =5/2 x2 + 1/20 S1 + 1/5 S2 = 5/4

x2 + 1/20 S1 + 1/5 S2 = 5/4 Diambil sebagai dasar untuk menambah kendala baru dan yang Diambil sebagai dasar untuk menambah kendala baru dan yang diambil

diambil

hanya dalam bentuk pecahannya saja hanya dalam bentuk pecahannya saja X3 + 1/4 S1 + S3 = 25/4

X3 + 1/4 S1 + S3 = 25/4



 Yang diambil bentuk pecahan saja maka Yang diambil bentuk pecahan saja maka persamaanya menjadipersamaanya menjadi 1/20 S1 + 1/5 S2 = 5/4

1/20 S1 + 1/5 S2 = 5/4

(0 + 1/20) S1 + (0 + 1/5) S2 = (1 + 1/4) (0 + 1/20) S1 + (0 + 1/5) S2 = (1 + 1/4)

(14)

(15)

INTEGER PROGRAMMING WITH CUTTING PLANE

METHOD

2012

Bentuk Standar Bentuk Standar 1/20 S1 + 1/5 S2 - S4 + A4 = 1/4 1/20 S1 + 1/5 S2 - S4 + A4 = 1/4 x1 x1 x2 x2 x3 x3 S1 S1 S2 S2 S3 S3 S4 S4 A4 A4 NKNK 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 M M 3030 *(-M) *(-M) 0 0 0 0 0 0 1/20 1/20 1/5 1/5 0 0 -1 -1 1 1 1/4 1/4 ++ 0 0 0 0 0 0 2 2 - - 5M/20 5M/20 2 2 - - 1M/5 1M/5 2 2 1 1 0 0 30 30 - - 1M/41M/4 Var Var Dasar Dasar Z Z x1 x1 x2 x2 x3 x3 S1 S1 S2 S2 S3 S3 S4S4 A4A4 NKNK Z Z 1 1 0 0 0 0 00 2 2 -5M/20 5M/20 2 2 -1M/5 1M/5 2 2 1 1 0 0 30 30 - - 1M/41M/4 x1 x1 0 0 1 1 0 0 0 0 3/10 3/10 1/5 1/5 0 0 0 0 0 0 2 2 1/21/2 x2 x2 0 0 0 0 1 1 0 0 1/20 1/20 1/5 1/5 0 0 0 0 0 0 1 1 1/41/4 x3 x3 0 0 0 0 0 0 1 1 1/4 1/4 0 0 1 1 0 0 0 0 6 6 1/41/4 A4 A4 0 0 0 0 0 0 0 0 1/20 1/20 1/5 1/5 0 0 -1 -1 1 1 1/41/4 Z Z 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1/2 1/2 0 0 0 0 11-M 11-M M-10 M-10 27 27 1/21/2 x1 x1 0 0 1 1 0 0 0 0 1/4 1/4 0 0 0 0 1 1 -1 -1 2 2 1/41/4 x2 x2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 11 x3 x3 0 0 0 0 0 0 1 1 1/4 1/4 0 0 1 1 0 0 0 0 6 6 1/41/4 A4 A4 0 0 0 0 0 0 0 0 1/4 1/4 1 1 0 0 -5 -5 5 5 1 1 1/41/4 Program (3) Program (3) Z = 4X1 + 6 X2 + 2X3 Z = 4X1 + 6 X2 + 2X3 St : X1+1/4S1+S4=9/4

St : X1+1/4S1+S4=9/4 Diambil sebagai dasar untuk menambah kendala baru dan yang diambilDiambil sebagai dasar untuk menambah kendala baru dan yang diambil hanya dalam bentuk pecahannya saja

(16)

(17)

INTEGER PROGRAMMING WITH CUTTING PLANE

METHOD

2012

Bentuk standar nya adalah ¼ S1

Bentuk standar nya adalah ¼ S1 – – S5 +A5 = ¼ S5 +A5 = ¼

Solusi Optimal nya : Solusi Optimal nya :

X1 = 2 X1 = 2 X2 = 1 X2 = 1 X3 = 6 X3 = 6 A4 = 1 A4 = 1 A5 = 1 A5 = 1

(18)

(19)

INTEGER PROGRAMMING WITH CUTTING PLANE

METHOD

2012

Pembahasan Makalah ini bertujuan untuk menentukan nilai optimal dari Pembahasan Makalah ini bertujuan untuk menentukan nilai optimal dari suatu fungsi objektif dalam program linier dengan

suatu fungsi objektif dalam program linier dengan variabel keputusan bernilaivariabel keputusan bernilai integer dengan menggunakan metode

integer dengan menggunakan metodecutting planecutting plane

MANFAAT PEMBAHASAN MANFAAT PEMBAHASAN

Penulisan makalah ini diharapkan dapat memberikan sumbangan baik kepada Penulisan makalah ini diharapkan dapat memberikan sumbangan baik kepada penulis sendiri maupun bagi pembaca dalam

penulis sendiri maupun bagi pembaca dalam meyelesaikan masalah perencanaanmeyelesaikan masalah perencanaan integer programming menggunakan metode cutting plane

(20)

(21)

INTEGER PROGRAMMING WITH CUTTING PLANE

METHOD

2012

Berdasarkan pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa metode Cutting Plane Berdasarkan pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa metode Cutting Plane dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian

dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian optimal dalam masalahoptimal dalam masalah perencanaan linier integer dengan membuat pembatas yang

perencanaan linier integer dengan membuat pembatas yang memotong daerahmemotong daerah penyelesaian layak , sehingga penyele

penyelesaian layak , sehingga penyelesaian untuk masalah ini menjadi integersaian untuk masalah ini menjadi integer programming.

programming.

Untuk masalah yang cukup banyak , tabel

Untuk masalah yang cukup banyak , tabel simpleks bertambah panjang dansimpleks bertambah panjang dan lebar , tetapi jumlah kendala tambahan tidak melebihi

lebar , tetapi jumlah kendala tambahan tidak melebihi jumlah semua variabel aslijumlah semua variabel asli (n+m) dengan n banyak variabel dan m banyak persamaan.

(22)

(23)

Cancel Anytime.

INTEGER PROGRAMMING WITH CUTTING PLANE

METHOD

2012

Adapun saran yang di

Adapun saran yang di kemukakan sehubungan dengan pembuatan Makalah inikemukakan sehubungan dengan pembuatan Makalah ini adalah penggunaan metode

adalah penggunaan metode Cutting PlaneCutting Plane dalam menyelesaikan masalah perencanaan linier dalam menyelesaikan masalah perencanaan linier integer membutuhkan waktu yang

integer membutuhkan waktu yang panjang, maka diharapkan pengkajian selanjutnya dapatpanjang, maka diharapkan pengkajian selanjutnya dapat menggunakan metode lain dalam menyelesaikan perencanaan integer

menggunakan metode lain dalam menyelesaikan perencanaan integer programming untukprogramming untuk mengefisiensikan waktu dalam menentukan penyelesaian optimal.

(24)

Cancel Anytime.

INTEGER PROGRAMMING WITH CUTTING PLANE

METHOD

2012

1.

1. Anton,h,1987, Elementary Linier Algebra Fifth Edition . Anton,h,1987, Elementary Linier Algebra Fifth Edition . anton Textbooks inc,anton Textbooks inc, Newyork

Newyork 2.

2. Aprilia, S, 2005 aplikasi Algoritma Aprilia, S, 2005 aplikasi Algoritma Cutting Plane untuk meyelesaikan integerCutting Plane untuk meyelesaikan integer Programmin , Lab ilmu

Programmin , Lab ilmu dan rekayasa Komputasi. Departmen Teknik Informatikadan rekayasa Komputasi. Departmen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung

Institut Teknologi Bandung 3.

3. Bronsn , R 1996 , Teori dan SoalBronsn , R 1996 , Teori dan Soal – – soal soal Operation Research Erlangga jakartaOperation Research Erlangga jakarta 4.

4. Dimyati, T.T , dan Dimyati . A 1994. Operation Research Model-model pengambilanDimyati, T.T , dan Dimyati . A 1994. Operation Research Model-model pengambilan keputusan , sinar Baru, Algendinso, Bandung