Ch 04 HW

Ch 04 HW

Due: 10:59pm on Sunday, March 6, 2016 You will receive no credit for items you complete after the assignment is due. Grading Policy

Newton's 1st Law

Learning Goal: To understand Newton's 1st law. Newton's Principia states this first law of motion: An object subject to no net force maintains its state of motion, either at rest or at constant speed in a right line. This law may be stated as follows: If the vector sum of all forces acting on an object is zero, then the acceleration of that object is zero. Mathematically this is just a special case of the 2nd law of motion,   when  , prompting scholars to advance the following reasons (among others) for Newton's spelling it out separately: 1. This expression only holds in an inertial coordinate system­­one that is not accelerating­­and this law really says you have to use this type of coordinate system (i.e., Newton's laws won't work inside an accelerating rocket ship.) 2. This was a direct challenge to the Impetus theory of motion, described as follows: A mover, while moving a body, impresses on it a certain impetus, a certain power capable of moving this body in the direction in which the mover set it going, whether upwards, downwards, sideways or in a circle. By the same amount that the mover moves the same body swiftly, by that amount is the impetus that is impressed on it powerful. It is by this impetus that the stone is moved after the thrower ceases to move it; but because of the resistance of the air and the gravity of the stone, which inclines it to move in a direction opposite to that towards which the impetus tends to move it, this impetus is continually weakened. Therefore the movement of the stone will become continually slower, and at length, the impetus is so diminished or destroyed that the gravity of the stone prevails over it and moves the stone down towards its natural place. A. C. Crombie, Medieval and Early Modern Science</> This theory is sometimes called the Animistic theory of motion since it envisions a "life force" being associated with motion. Newton's 1st law is often very difficult to grasp because it contradicts various common­sense ideas of motion that may have been acquired from experience in everyday life. For example, unaccounted for forces like friction might cause a ball rolling on the playground to eventually stop, even though no obvious forces seem to be acting. When studying Newtonian mechanics, it is best to remember this as two laws: 1. If the net force (i.e., vector sum of all forces) acting on an object is zero, the object will keep moving with constant velocity (which may be zero). 2. If an object is moving with constant velocity (not speed), that is, with zero acceleration, then the net force acting on that object must be zero. Complete the following sentences to see if you can apply these ideas.

Part A

If a car is moving to the left with constant velocity, one can conclude that ANSWER:

= m

F ⃗ 

a⃗ 

F ⃗  0⃗ 

=

Typesetting math: 99%

Correct

Part B

An object cannot remain at rest unless ANSWER:

Correct

A Book on a Table

A book weighing 5 N rests on top of a table.

Part A

A downward force of magnitude 5 N is exerted on the book by the force of ANSWER: there must be no forces exerted on the car. the net force exerted on the car is directed to the left. the net force exerted on the car is zero. there is exactly one force exerted on the car. there are no forces at all exerted on it. the net force exerted on it is zero. the net force exerted on it is constant. there is only one force exerted on it.

Correct

Part B

An upward force of magnitude _____ is exerted on the _____ by the table. ANSWER:

Correct

Part C

Do the downward force in Part A and the upward force in Part B constitute a 3rd law pair?

Hint 1. The force of gravity

The force of gravity is another name for the force exerted by the earth (or any astronomical object) on objects near its surface.

Hint 2. Exploring Newton's 3rd law

Indicate whether the following statements about Newton's 3rd law are true, false, or indeterminate. 1. According to Newton's 3rd law, every real force has a unique pair force. 2. The pair force is called a "fictitious force." 3. The force and pair force must act on different point masses. 4. The force and the pair force must always have the same magnitude and must also act in exactly opposite directions. Enter t for true, f for false, or i for indeterminate for each statement, separating the answers with commas (e.g., if all but the first statement were true, you would enter f,t,t,t). ANSWER: the table gravity inertia  . 6 N / table 5 N / table 5 N / book 6 N / book , , ,

t f t t

ANSWER:

Correct

Part D

The reaction to the force in Part A is a force of magnitude _____, exerted on the _____ by the _____. Its direction is _____ .

Hint 1. The force of gravity

The force of gravity is another name for the force exerted by the earth (or any astronomical object) on objects near its surface. ANSWER:

Correct

Part E

The reaction to the force in Part B is a force of magnitude _____, exerted on the _____ by the _____. Its direction is _____. ANSWER:

Correct

yes no 5 N / earth / book / upward 5 N / book / table / upward 5 N / book / earth / upward 5 N / earth / book / downward 5 N / table / book / upward 5 N / table / earth / upward 5 N / book / table / upward 5 N / table / book / downward 5 N / earth / book / downward

Part F

Which of Newton's laws could we have used to predict that the forces in Parts A and B are equal and opposite? Check all that apply. ANSWER:

Correct

Since the book is at rest, either Newton's 1st or 2nd law can tell us that the net force on it must be zero. This means that the force exerted on it by the earth must be equal and opposite to the force exerted on it by the table.

Part G

Which of Newton's laws could we have used to predict that the forces in Parts B and E are equal and opposite? Check all that apply. ANSWER:

Correct

Video Tutor: Suspended Balls: Which String Breaks?

First, launch the video below. You will be asked to use your knowledge of physics to predict the outcome of an experiment. Then, close the video window and answer the question at right. You can watch the video again at any point. Newton's 1st law Newton's 2nd law Newton's 3rd law Newton's 1st law Newton's 2nd law Newton's 3rd law

Part A

A heavy crate is attached to the wall by a light rope, as shown in the figure. Another rope hangs off the opposite edge of the box. If you slowly increase the force on the free rope by pulling on it in a horizontal direction, which rope will break? Ignore friction and the mass of the ropes.

Hint 1. How to approach the problem

Because you slowly increase the force you exert on the rope, the block’s inertia does not affect the outcome. Why is that the case? As you pull harder, the ropes stretch a bit, so the block slides slightly toward you. But the changes are so gradual that the accelerations of the block and ropes are practically zero at any instant. Shown here are free­body diagrams for the ropes and block: What does Newton’s third law say about the tension forces exerted by the block on the two ropes?

ANSWER:

Correct

Since the attached rope doesn’t have to support any weight (as it did in the vertical case), the tension is the same in both ropes.

Tension in a Hanging Massive Rope

Consider a rope with length  , mass per unit length  , experiencing a gravitational acceleration   and hanging vertically as shown. Let   refer to the height of a point P above the bottom of the rope.

Part A

The force exerted on the rope by the ceiling is in the _____ direction.

Hint 1. Consider the weight of the rope

To support the rope, the ceiling must exert a force opposite to the weight of the rope. ANSWER: The rope that you are pulling on will break. The rope attached to the wall will break. Both ropes are equally likely to break.

l

λ

g

y

upward downward

Correct

Part B

Find  , the magnitude of the force exerted on the rope by the ceiling. Express   in terms of quantities given in the problem introduction.

Hint 1. Use Newton's 2nd law

Take   to be the weight of the rope. Apply Newton's 2nd law to find an expression for  . ANSWER:

Hint 2. Find the weight of the rope

What is the weight of the rope,  ? Express your answer in terms of  ,  , and  .

Hint 1. Find the mass of the rope

What is the mass   of the rope? ANSWER: ANSWER: ANSWER:

Correct

Part C

What is the tension   at point P in the rope? Express   in terms of quantitites given in the problem introduction.

F

F

W

W − F

 =  0

W − F

W

λ l

g

M

 = 

M

λl

 = 

W

λlg

 = 

F

lλg

TP

TP

Hint 1. How to approach this problem

The tension at point P is the magnitude of the force exerted by the part of the rope above P on the part of the rope below P. Remember that point P is located a distance   above the bottom of the rope.

Hint 2. Find the weight of the rope below point P

What is the weight   of the part of the rope below point P? Express your answer in terms of quantities given in the problem introduction. ANSWER: ANSWER:

Correct

Pulling Two Blocks

In the situation shown in the figure, a person is pulling with a constant, nonzero force   on string 1, which is attached to block A. Block A is also attached to block B via string 2, as shown. For this problem, assume that neither string stretches and that friction is negligible. Both blocks have finite (nonzero) mass.

Part A

y

WP

 = 

WP

λyg

 = 

TP

yλg

F ⃗ 

Which one of the following statements correctly descibes the relationship between the accelerations of blocks A and B?

Hint 1. Relative movement of the blocks

The two masses are connected (by string 2), which means, if they are being pulled, they must move together. ANSWER:

Correct

Since the two blocks are connected, they won't move independently when string 1 is pulled. As block A is accelerated, its motion will impart the same acceleration to block B.

Part B

How does the magnitude of the tension in string 1,  , compare with the tension in string 2,  ?

Hint 1. How to approach the problem

Suppose that block A has a mass  . Draw a free­body diagram for block A, then write down Newton's 2nd law for block A's horizontal motion. What is the tension  ? Express the tension in terms of  ,  , and the block's acceleration  .

Hint 1. Free­body diagram for block A

Taking the positive direction to be to the right, what is the net horizontal force acting on block A? (Note that, in the figure, forces are not drawn to scale.) Express your answer in terms of  ,  ,  , and  . Block A has a larger acceleration than block B. Block B has a larger acceleration than block A. Both blocks have the same acceleration. More information is needed to determine the relationship between the accelerations.

T1

T2

m

T1

T

2

m

a

T1

T2

nA

wA

ANSWER: ANSWER: ANSWER:

Correct

The force transmitted through string 1 (proportional to  ) must be enough to accelerate both blocks, but the force transmitted through string 2 only needs to accelerate block B. Consider the case where block A is very heavy and block B is very light: In this case, string 2 would only need to supply a tiny amount of tension to keep the blocks connected as block A is pulled around.

Enhanced EOC: Exercise 4.10

A dockworker applies a constant horizontal force of 72.0   to a block of ice on a smooth horizontal floor. The frictional force is negligible. The block starts from rest and moves a distance 10.0   in a time of 5.20   . You may want to review (  pages 112 ­ 117) .  = 

F = ma

T

1

−

T

2  = 

T

1

ma + T

2       More information is needed to determine the relationship between   and  .

>

T

1

T

2

=

T1

T2

<

T

1

T

2

T

1

T

2

T

1

N

m

s

For general problem­solving tips and strategies for this topic, you may want to view a Video Tutor Solution of Determining force from acceleration.

Part A

What is the mass of the block of ice?

Hint 1. How to approach the problem

Start by drawing a sketch of the block of ice and its motion across the smooth horizontal floor. Create a standard coordinate system, and draw all the forces on the block. Do you need to worry about the vertical forces (gravity and the surface’s normal force) on the block? Why? You know the force applied horizontally on the block. To determine its mass, what other quantity must you find? How can you use the information provided about the block’s motion to help you determine that other quantity? ANSWER:

Correct

Part B

If the worker stops pushing after 5.20   , how far does the block move in the next 5.50   ?

Hint 1. How to approach the problem

To find out how far something moves in a time period, you need to know its initial velocity and acceleration. How can you determine these quantities for the block in the second time interval, when the worker is no longer pushing? During that second interval of motion, there is no force on the block of ice from the dockworker. What can be said about the acceleration on the block in this time? Use this information to find the distance travelled during the second time interval. ANSWER:

Correct

Applying Newton's 2nd Law

 =  97.3      

m

kg

s

s

 =  21.2      

x

m

Learning Goal: To learn a systematic approach to solving Newton's 2nd law problems using a simple example. Once you have decided to solve a problem using Newton's 2nd law, there are steps that will lead you to a solution. One such prescription is the following: Visualize the problem and identify special cases. Isolate each body and draw the forces acting on it. Choose a coordinate system for each body. Apply Newton's 2nd law to each body. Write equations for the constraints and other given information. Solve the resulting equations symbolically. Check that your answer has the correct dimensions and satisfies special cases. If numbers are given in the problem, plug them in and check that the answer makes sense. Think about generalizations or simplfications of the problem. As an example, we will apply this procedure to find the acceleration of a block of mass   that is pulled up a frictionless plane inclined at angle   with respect to the horizontal by a perfect string that passes over a perfect pulley to a block of mass   that is hanging vertically.

Visualize the problem and identify special cases

First examine the problem by drawing a picture and visualizing the motion. Apply Newton's 2nd law,  , to each body in your mind. Don't worry about which quantities are given. Think about the forces on each body: How are these consistent with the direction of the acceleration for that body? Can you think of any special cases that you can solve quickly now and use to test your understanding later? One special case in this problem is if  , in which case block 1 would simply fall freely under the acceleration of gravity:  .

Part A

Consider another special case in which the inclined plane is vertical ( ). In this case, for what value of  would the acceleration of the two blocks be equal to zero? Express your answer in terms of some or all of the variables   and  . ANSWER:

m2

θ

m1

∑ = m

F ⃗ 

a⃗ 

= 0

m2

= −g

a⃗ 

1

j^

θ = π/2

m1

m2

g

Correct

Isolate each body and draw the forces acting on it

A force diagram should include only real forces that act on the body and satisfy Newton's 3rd law. One way to check if the forces are real is to detrmine whether they are part of a Newton's 3rd law pair, that is, whether they result from a physical interaction that also causes an opposite force on some other body, which may not be part of the problem. Do not decompose the forces into components, and do not include resultant forces that are combinations of other real forces like centripetal force or fictitious forces like the "centrifugal" force. Assign each force a symbol, but don't start to solve the problem at this point.

Part B

Which of the four drawings is a correct force diagram for this problem? ANSWER:

Correct

Choose a coordinate system for each body

Newton's 2nd law,  , is a vector equation. To add or subtract vectors it is often easiest to decompose each  = 

m1

m

₂

sin( )

π₂ a b c d

∑ = m

F ⃗ 

a⃗ 

vector into components. Whereas a particular set of vector components is only valid in a particular coordinate system, the vector equality holds in any coordinate system, giving you freedom to pick a coordinate system that most simplifies the equations that result from the component equations. It's generally best to pick a coordinate system where the acceleration of the system lies directly on one of the coordinate axes. If there is no acceleration, then pick a coordinate system with as many unknowns as possible along the coordinate axes. Vectors that lie along the axes appear in only one of the equations for each component, rather than in two equations with trigonometric prefactors. Note that it is sometimes advantageous to use different coordinate systems for each body in the problem. In this problem, you should use Cartesian coordinates and your axes should be stationary with respect to the inclined plane.

Part C

Given the criteria just described, what orientation of the coordinate axes would be best to use in this problem? In the answer options, "tilted" means with the x axis oriented parallel to the plane (i.e., at angle   to the horizontal), and "level" means with the x axis horizontal. ANSWER:

Correct

Apply Newton's 2nd law to each body

Part D

What is  , the sum of the x components of the forces acting on block 2? Take forces acting up the incline to be positive. Express your answer in terms of some or all of the variables tension  ,  , the magnitude of the acceleration of gravity  , and  .

Hint 1. Decompose the force of gravity on block 2

In this problem, the hardest force vector to express in terms of its coordinates is the force of gravity on block 2. The magnitude of the weight is  . Find the force of gravity in terms of its components, using a tilted coordinate system whose x axis is parallel to and pointing up the inclined plane.

Express the force of gravity on block 2,  , in terms of some or all of the variables  ,  , and  . Express your answer as a vector in terms of the unit vectors   and  . ANSWER:

θ

tilted for both block 1 and block 2 tilted for block 1 and level for block 2 level for block 1 and tilted for block 2 level for both block 1 and block 2

∑F2x

T m

2

g

θ

g

m

2

F ⃗ 

g2

m2

g

θ

i^

j^

ANSWER:

Correct

Part E

Now determine  , the sum of the y components of the forces acting on block 1. Take forces acting upward as positive. Express your answer in terms of some or all of the variables  ,  , and  . ANSWER:

Correct

Part F

Write equations for the constraints and other given information In this problem, the fact that the length of the string does not change imposes a constraint on relative accelerations of the two blocks. Find a relationship between the x component of the acceleration of block 2,  , and the acceleration of block 1. Pay careful attention to signs.

Express   in terms of   and/or  , the components of the acceleration vector of block 1.

Hint 1. Visualize the motion

If block 2 has an acceleration   up the incline, must the acceleration of block 1 be upward or downward to keep the string taut? ANSWER:

Correct

Part G

 = 

F ⃗ 

g2

−

m2

g(sin(θ) + cos(θ) )

i^

j^

 = 

=

m2

a2x

∑F2x

T −

m2

gsin(θ)

= ∑

m1a1y

F1y

T m1

g

 = 

=

m

1

a

1y

∑F

_1y

T −

m

₁

g

a

2x

a

2x

a

1x

a

1y

a

2x  = 

a2x

−a1y

Solve and check In the previous parts, you obtained the following equations using Newton's 2nd law and the constraint on the motion of the two blocks: and Solve these equations to find  . Before you enter your answer, make sure it satisfies the special cases you already identified:  if   and  if   and  . Also make sure that your answer has dimensions of acceleration.

Express   in terms of some or all of the variables  ,  ,  , and  .

Hint 1. How to solve the equations

Substitute for   from equation (1) into equation (2) and then use   from equation (3) in the new equation (2). This will yield a linear equation in   that is easy to solve. ANSWER:

Correct

Can you see how a simple generalization of the problem could be solved with a little extra work or how you could solve a nontrivial problem that is a subset of this one? For example, imagine that there is friction in this problem between the plane and block 2. This would lead to an additional force on block 2:  , where the normal force   is given by  .

This additional force would lead to a new term in the expression for the acceleration of block 1: . Now, by choosing whether or not  , you have a result that can be applied whether the plane is frictionless or not!

Enhanced EOC: Exercise 4.5

Two dogs pull horizontally on ropes attached to a post; the angle between the ropes is 56.0  . Dog A exerts a force of 290   , and dog B exerts a force of 306   . You may want to review (  pages 105 ­ 108) .

= T −

gsin(θ), (1)

m2

a2x

m2

= T −

g, (2)

m1

a1y

m1

= −

. (3)

a2x

a1y

a1y

= −g

a1y

m2

= 0

= 0

a1y

m1

=

m2

θ = π/2

a1y

m1

m2

θ

g

T

a2x

a1y

 = 

a

1y (m2sin(θ)−_{m +} m1)g 1 m2

= μN

F

f2

N

N =

m

2

gcos(θ)

=

g

a

_1y m2sin(θ)−μm2cos(θ)−m1 + m1 m2

μ = 0

∘

N

N

For help with math skills, you may want to review: Vector Magnitudes Determining the Angle of a Vector Vector Addition For general problem­solving tips and strategies for this topic, you may want to view a Video Tutor Solution of Superposition of forces.

Part A

Find the magnitude of the resultant force.

Hint 1. How to approach the problem

Imagine you were sitting in a tree directly above the post, so that you were looking down on the dogs and the ropes tying them to the post. Start by drawing a sketch of the two dogs pulling on their ropes as seen by you from above, and choose a coordinate system so that the post is at the origin and the rope tied to dog A is along the x­axis. In what direction would dog B be seen pulling its rope? Now, find the resultant force. How is the magnitude of a vector related to its components? ANSWER:

Correct

Part B

Find the angle the resultant force makes with the rope of dog A.

Hint 1. How to approach the problem

How can you find the angle the resultant force vector makes with the x­axis (the rope of dog A) from the components of that vector? ANSWER:

Correct

 =  526      

F

N

 =  28.8      

θ

∘

Newton's 3rd Law Discussed

Learning Goal: To understand Newton's 3rd law, which states that a physical interaction always generates a pair of forces on the two interacting bodies. In Principia, Newton wrote: To every action there is always opposed an equal reaction: or, the mutual actions of two bodies upon each other are always equal, and directed to contrary parts. (translation by Cajori) The phrase after the colon (often omitted from textbooks) makes it clear that this is a statement about the nature of force. The central idea is that physical interactions (e.g., due to gravity, bodies touching, or electric forces) cause forces to arise between pairs of bodies. Each pairwise interaction produces a pair of opposite forces, one acting on each body. In summary, each physical interaction between two bodies generates a pair of forces. Whatever the physical cause of the interaction, the force on body A from body B is equal in magnitude and opposite in direction to the force on body B from body A.  Incidentally, Newton states that the word "action" denotes both (a) the force due to an interaction and (b) the changes in momentum that it imparts to the two interacting bodies. If you haven't learned about momentum, don't worry; for now this is just a statement about the origin of forces. Mark each of the following statements as true or false. If a statement refers to "two bodies" interacting via some force, you are not to assume that these two bodies have the same mass.

Part A

Every force has one and only one 3rd law pair force. ANSWER:

Correct

Part B

The two forces in each pair act in opposite directions. ANSWER:

Correct

true false true false

Part C

The two forces in each pair can either both act on the same body or they can act on different bodies. ANSWER:

Correct

Part D

The two forces in each pair may have different physical origins (for instance, one of the forces could be due to gravity, and its pair force could be due to friction or electric charge). ANSWER:

Correct

Part E

The two forces of a 3rd law pair always act on different bodies. ANSWER:

Correct

Part F

Given that two bodies interact via some force, the accelerations of these two bodies have the same magnitude but opposite directions. (Assume no other forces act on either body.)

Hint 1. 

Remember  : If the forces are equal in magnitude, must the accelerations also be of equal magnitude? true false true false true false

= m

F ⃗ 

a⃗ 

= m

F ⃗ 

a⃗ 

ANSWER:

Correct

Newton's 3rd law can be summarixed as follows: A physical interaction (e.g., gravity) operates between two interacting bodies and generates a pair of opposite forces, one on each body. It offers you a way to test for real forces (i.e., those that belong on the force side of  )­­there should be a 3rd law pair force operating on some other body for each real force that acts on the body whose acceleration is under consideration.

Part G

According to Newton's 3rd law, the force on the (smaller) moon due to the (larger) earth is ANSWER:

Correct

Enhanced EOC: Exercise 4.24

The upward normal force exerted by the floor is 620   on an elevator passenger who weighs 650  . You may want to review (  pages 112 ­ 117) . For general problem­solving tips and strategies for this topic, you may want to view a Video Tutor Solution of Determining acceleration from force.

Part A

What is the magnitude of the acceleration?

Hint 1. How to approach the problem

Start by drawing a sketch with an appropriate coordinate system and including all of the forces acting on the elevator passenger. true false

Σ = m

F ⃗ 

a⃗ 

greater in magnitude and antiparallel to the force on the earth due to the moon. greater in magnitude and parallel to the force on the earth due to the moon. equal in magnitude but antiparallel to the force on the earth due to the moon. equal in magnitude and parallel to the force on the earth due to the moon. smaller in magnitude and antiparallel to the force on the earth due to the moon. smaller in magnitude and parallel to the force on the earth due to the moon.

N

N

Why in this problem is the normal force not equal to the passenger’s weight? What must be happening? Find the resultant net force acting on the elevator passenger, and using the appropriate equations, calculate the passenger’s acceleration. What additional quantity do you need to find to calculate the acceleration? ANSWER:

Correct

Part B

What is the direction of the acceleration?

Hint 1. How to approach the problem

Suppose you were in this elevator. What would it feel like if the normal force (from the elevator floor) acting on you in the upward direction were less than the force of gravity acting on you in the downward direction? Suppose the normal force was larger than gravity – which way would you move? In which direction is the resultant force acting on the elevator passenger? ANSWER:

Correct

Video Tutor: Tension in String between Hanging Weights

First, launch the video below. You will be asked to use your knowledge of physics to predict the outcome of an experiment. Then, close the video window and answer the question at right. You can watch the video again at any point.  =  0.452      

a

m/s

2 upward downward

Part A

Consider the video tutorial you just watched. Suppose that we duplicate this experimental setup in an elevator. What will the spring scale read if the elevator is moving upward at constant speed?

Hint 1. How to approach the problem

What does the phrase "at constant speed" imply about the acceleration of the system? ANSWER:

Correct

Since the elevator is not accelerating, the reading on the scale is the same as in the video.

± Motion of a Block with Three Forces

The diagram below shows a block of mass   on a frictionless horizontal surface, as seen from above. Three forces of magnitudes  ,  , and   are applied to the block, initially at rest on the surface, at angles shown on the diagram. In this problem, you will determine the resultant (total) force vector from the combination of the three individual force vectors. All angles should be measured counterclockwise from the positive x axis (i.e., all angles are positive). 0  18  More than 18  Less than 18   but greater than 0 

N

N

N

N

N

m = 2.00 kg

= 4.00 N

F1

F2

= 6.00 N

F3

= 8.00 N

Part A

Calculate the magnitude of the total resultant force   acting on the mass. Express your answer in Newtons to three significant figures.

Hint 1. Definition of resultant force

When several forces are applied to an object, the vector sum is often called the resultant or the resultant force.

Hint 2. How to find the resultant

When working with vectors, the general rule is to think geometrically but to calculate using components. Thus to add vectors one estimates the sum by imagining the tail of the second vector to be placed at the point of the first, the tail of the third to be placed at the second, etc. But to calculate the vector sum each vector is represented by components in a convenient coordinate system and these components are added to find the components of the sum.

Hint 3. Find the components of 

What are the x component and y component of  ? Express your answer as an ordered pair of numbers, separated by a comma, to three significant figures.

Hint 1. x component of 

The x component of   is  , where   is the angle between the positive x axis and the vector's direction. ANSWER:

=

+

+

F ⃗ 

r

F ⃗ 

1

F ⃗ 

2

F ⃗ 

3

F ⃗ 

1

F ⃗ 

1

F ⃗ 

1

F ⃗ 

1

F

1

cos(θ)

θ

Hint 4. Find the components of 

Find the x and y components of the vector  .

Express your answer as an ordered pair to three significant figures. ANSWER:

Hint 5. Find the components of 

Now find the   and   components of the resultant (sum) vector,  . (Don't forget to include  .) Express your answer as an ordered pair to three significant figures.

ANSWER:

Hint 6. Magnitude of 

The magnitude of   in terms of its x and y components   and   is given by . ANSWER:

Correct

Part B

What angle does   make with the positive x axis? Express your answer in degrees to two significant figures.

Hint 1. Find the angle symbolically

The angle that   makes with the x axis can be determined if you know its x and y components, which you should have from your calculation for Part A. What is the angle that   makes with the positive x axis? ,   =  3.63,1.69      

F1x

F1y

N

F ⃗ 

2

F ⃗ 

2 ,   =  4.91,­3.44

F

2x

F

2y

F ⃗ 

r

x

y

F ⃗ 

r

F ⃗ 

3 ,   =  0.540,­1.75

Frx

Fry

F ⃗ 

r

F ⃗ 

r

Frx

Fry

| | =

F ⃗ 

r

Frx

2

+

Fry

2

−

−−−−−−−

−

√

 =  1.83      

| |

F ⃗ 

r

N

F ⃗ 

r

F ⃗ 

r

F ⃗ 

r

Answer symbolically in terms of   and  .

Hint 1. How to approach this problem

When developing a general formula for the angle, you can choose the vector to lie in any quadrant. It is easiest to have the vector lie in the first quadrant. ANSWER: ANSWER:

Correct

Part C

What is the magnitude of the mass's acceleration vector,  ? Express your answer to two significant figures.

Hint 1. Newton's 2nd law

Recall that  , so you should be able to find   fairly easily here.

ANSWER:

Frx

Fry

atan( )

Fry Frx ­73  degrees 

a⃗ 

= m

F ⃗ 

a⃗ 

| |

a⃗ 

Correct

Part D

What is the direction of  ? In other words, what angle does this vector make with respect to the positive x axis? Express your answer in degrees to two significant figures.

Hint 1. Relation between the direction of   and 

Is there any reason why the direction of   should be different from  ? ANSWER:

Correct

Part E

How far (in meters) will the mass move in 5.0 s? Express the distance   in meters to two significant figures.

Hint 1. Displacement with constant acceleration

Remember that we have constant acceleration here, so you can use the equation: , where   is the displacement at time  . ANSWER:

Correct

Part F

What is the magnitude of the velocity vector of the block at  ?  =  0.92      

| |

a⃗ 

m/s

2

a⃗ 

a⃗ 

F ⃗ 

a⃗ 

F ⃗ 

­73  degrees 

d

d(t) = + t+ a

d

0

v

0 1₂

t

2

d(t)

t

 =  11      

d

m

t = 5.0 s

Express your answer in meters per second to two significant figures.

Hint 1. Velocity with constant acceleration

Remember, we have constant acceleration, and because the object starts from rest, the velocity vector will be parallel to the acceleration vector. Therefore,  . ANSWER:

Correct

Part G

In what direction is the mass moving at time  ? That is, what angle does the velocity vector make with respect to the positive x axis? Express your answer in degrees to two significant figures.

Hint 1. Relationship between the direction of   and 

The mass starts at rest and is accelerated in one direction. Therefore, it must have velocity in the direction of the acceleration, and that direction only. ANSWER:

Correct

Enhanced EOC: Exercise 4.28

A person pulls horizontally on block B in the figure , causing both blocks to move together as a unit. You may want to review (  pages 124 ­ 125) . For general problem­solving tips and strategies for this topic, you may want to view a Video Tutor Solution of A Newton’s third law paradox.

= + at

vf

vi

 =  4.6      

| (5)|

v⃗ 

m/s

t = 5.0 s

v⃗ 

a⃗ 

­73  degrees 

Part A

While this system is moving, make a carefully labeled free­body diagram of block A if the table is frictionless. Draw all relevant force vectors with their tails at the dot. The orientation of your vectors will be graded. The exact length of your vectors will not be graded, but the relative length of one to the other will be graded.

Hint 1. How to approach the problem

First, picture what is happening. What force(s) does block B exert on block A? Are there any other forces acting on block A? If the table is frictionless, what happens to block B as it is pulled? Since block A and block B move as a unit, what can be said about their accelerations? So is there a net force on block A? Think about what causes this resultant force on block A. In what direction must it act? ANSWER:

Correct

Part B

While this system is moving, make a carefully labeled free­body diagram of block A if there is friction between block B and the table and the pull is equal to the friction force on block B due to the table. Draw all relevant force vectors with their tails at the dot. The orientation of your vectors will be graded. The exact length of your vectors will not be graded, but the relative length of one to the other will be graded.

Hint 1. How to approach the problem

How has friction with the table changed this problem from part A? What is the acceleration of block B now? Since block A and block B move as a unit, what can be said about their accelerations? So is there a net force on block A? ANSWER:

Correct

Problem 4.58

The position of a   training helicopter under test is given by  .

Part A

Find the net force on the helicopter at  . Express your answer in terms of  ,  ,  . Use the 'unit vector' button to denote unit vectors in your answer. Express your coefficient using two significant figures. ANSWER:

Correct

Exercise 4.31

A chair of mass 12.0   is sitting on the horizontal floor; the floor is not frictionless. You push on the chair with a force 

2.75 ×

10

5

N

= (0.020 m/ )

+ (2.2 m/s)t − (0.060 m/ )

r⃗ 

s

3

_t

3

_i^

_j^

_s

2

_t

2

_k^

t = 5.0 s

i^ j^ k^

 =       

F ⃗ 

17000 − 3400

i^

k^ N

kg

 = 35.0   that is directed at an angle of 43.0   below the horizontal and the chair slides along the floor.

Part A

Use Newton's laws to calculate the normal force that the floor exerts on the chair. ANSWER:

Correct

Problem 4.36

You have just landed on Planet X. You take out a ball of mass 100   , release it from rest from a height of 13.0   and measure that it takes a time of 2.10   to reach the ground. You can ignore any force on the ball from the atmosphere of the planet.

Part A

How much does the ball weigh on the surface of Planet X? ANSWER:

Correct

Problem 4.40

Part A

An advertisement claims that a particular automobile can "stop on a dime". What net force would actually be necessary to stop an automobile of mass 910   traveling initially at a speed of 49.0   in a distance equal to the diameter of a dime, which is 1.8   ? Express your answer using two significant figures. ANSWER:

Correct

F

N

∘  =  141    

n

N

g

m

s

 =  0.590      

W

N

kg

km/h

cm

F =  4.7×106   _{\rm N}  

Problem 4.60

An object with mass m initially at rest is acted on by a force \vec F=k_1 \hat i + k_2 t^3 \hat j where k_1 and k_2 are constants.

Part A

Calculate the velocity \vec v\left( t \right) of the object as a function of time. ANSWER:

Correct

Score Summary:

Your score on this assignment is 99.4%. You received 26.83 out of a possible total of 27 points. \large{\vec v(t)=m\left({k_1t\hat i+\frac{k_2}{3}t^3\hat j}\right)} \large{\vec v(t)=\frac{1}{m}\left({k_1\hat i+\frac{k_2}{3}t^3\hat j}\right)} \large{\vec v(t)=\frac{1}{m}\left({k_1t\hat i+\frac{k_2}{4}t^4\hat j}\right)} \large{\vec v(t)=m\left({k_1t\hat i+\frac{k_2}{4}t^4\hat j}\right)}