Skript zur Vorlesung Grundlagen
der Linearen Algebra
Wintersemester 2018/19
Inhaltsverzeichnis
1 Aussagenlogik 5
1.1 Was ist eine Aussage? . . . 5
1.2 Logische Verkn¨upfungen . . . 5
1.3 Beweise . . . 8
1.3.1 Direkter Beweis . . . 8
1.3.2 Beweis per Kontraposition. . . 9
1.3.3 Beweis per Widerspruch . . . 10
2 Mengen und Abbildungen 11 2.1 Mengen . . . 11
2.1.1 (Naive) Definition einer Menge . . . 11
2.1.2 Quantoren. . . 11
2.1.3 Andere Elemente als Zahlen . . . 13
2.1.4 Einige wichtige Mengen . . . 13
2.1.5 Definition einer Menge durch Eigenschaften ihrer Elemente . . . 14
2.1.6 Teilmengen . . . 14
2.1.7 Mengenoperationen . . . 14
2.2 Abbildungen . . . 15
2.2.1 Grundlegende Definitionen . . . 15
2.2.2 Bilder und Urbilder, Injektivit¨at, Surjektivit¨at und Inverse . . . 16
3 Zahlenbereiche und Algebraische Strukturen 20 3.1 Nat¨urliche Zahlen. . . 20
3.1.1 Die Peano-Axiome . . . 20
3.1.2 Rekursive Beschreibung von Folgen . . . 20
3.1.3 Summen und Produkte . . . 22
3.1.4 Beweis per Induktion. . . 23
3.1.5 Binomialkoeffizienten. . . 24
3.2 Halbgruppen, Monoide und Gruppen . . . 25
3.3 Ringe und K¨orper . . . 27
3.3.1 Der K¨orper mit zwei Elementen: F2 . . . 29
3.3.2 Der Polynomring . . . 30
4 Lineare Algebra 34
4.1 Matrizen. . . 34
4.1.1 Addition und Multiplikation von Matrizen . . . 34
4.1.2 Der Ring der quadratischen Matrizen . . . 36
4.1.3 Vektoren und Transposition einer Matrix . . . 37
4.1.4 Matrizen codieren Lineare Gleichungssysteme . . . 38
4.2 Vektorr¨aume . . . 39
4.2.1 Definition und Beispiele . . . 39
4.2.2 Untervektorr¨aume . . . 41
4.2.3 Linearkombinationen, Spann und Erzeugendensysteme . . . 42
4.2.4 Lineare Unabh¨angigkeit . . . 44
4.2.5 Basen und Dimension . . . 46
4.2.6 Dimensionssatz f¨ur Unterr¨aume . . . 48
4.3 Lineare Abbildungen . . . 50
4.3.1 Definition und Beispiele . . . 50
4.3.2 Kern und Bild . . . 54
4.3.3 Injektivit¨at, Surjektivit¨at und Isomorphismen . . . 54
4.3.4 Lineare Abbildungen, die Standardbasis und Matrizen . . . 58
4.3.5 Rechenverfahren: Aufstellen von Abbildungsmatrizen bez¨uglich der Stan-dardbasen . . . 60
4.3.6 Basen und Isomorphismen . . . 61
4.3.7 Basen und Abbildungsmatrizen . . . 62
4.3.8 Rechenverfahren: Aufstellen von Abbildungsmatrizen bez¨uglich beliebi-ger Basen . . . 63
4.3.9 Rechenverfahren: Auswerten einer linearen Abbildung mit Hilfe der Ab-bildungsmatrix . . . 66
4.4 Der Gauß-Algorithmus und seine Anwendungen . . . 68
4.4.1 Homogene lineare Gleichungssysteme und Kerne von Matrizen . . . . 68
4.4.2 Der Dimensionssatz f¨ur lineare Abbildungen. . . 68
4.4.3 Zeilenstufenformen von Matrizen . . . 70
4.4.4 Rechenverfahren: Bestimmen des Kerns einer Matrix in Zeilenstufenform 73 4.4.5 Isomorphismen und invertierbare Matrizen erhalten Kerne . . . 77
4.4.6 Zeilentransformationen. . . 80
4.4.7 Rechenverfahren: Gauß-Elimination . . . 80
4.4.8 Rechenverfahren: Rang einer Matrix bestimmen. . . 85
4.4.9 Rechenverfahren: Dimension eines Spanns von Spaltenvektoren bestim-men . . . 85
4.4.10 Rechenverfahren: Kern einer Matrix bestimmen . . . 86
4.4.11 Rechenverfahren: L¨osungsraum eines homogenen LGS bestimmen . . . 87
4.4.12 Rechenverfahren: Dimension eines Spanns in einem endlich-dimensionalen Vektorraum bestimmen . . . 88
4.4.13 Rechenverfahren: Kern einer linearen Abbildung bestimmen . . . 90
4.4.14 Nicht-homogene LGS und Fasern linearer Abbildungen. . . 91
4.4.15 Fasern einer linearen Abbildung und affine Unterr¨aume . . . 92
4.4.18 Invertierbare Matrizen und eindeutig l¨osbare LGS . . . 95
4.4.19 Rechenverfahren: Das Inverse einer Matrix bestimmen . . . 96
4.5 Determinanten . . . 98
4.5.1 Definition . . . 98
4.5.2 Explizite Formeln f¨ur kleinesn . . . 100
4.5.3 Determinanten von Dreiecksmatrizen. . . 101
4.5.4 Multiplikativit¨at der Determinante und Invertierbarkeit von Matrizen 102 4.5.5 Weitere Eigenschaften der Determinante . . . 102
4.6 Diagonalisierbarkeit . . . 105
4.6.1 Diagonalmatrizen und Diagonalisierbare Matrizen . . . 105
4.6.2 Motivation: Die Fibunacci-Reihe . . . 105
4.6.3 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit . . . 106
4.6.4 Das charakteristische Polynom . . . 110
4.6.5 Rechenverfahren: Eine Matrix Diagonalisieren . . . 111
4.6.6 Algebraische Vielfachheit . . . 115
4.6.7 Rechenverfahren: Schnelle Entscheidung der Diagonalisierbarkeit . . . 117
4.6.8 Abh¨angigkeit der Diagonalisierbarkeit vom Grundk¨orper . . . 118
4.7 Skalarprodukt, Norm und orthogonale Matrizen . . . 118
4.7.1 Das Standardskalarprodukt und seine grundlegenden Eigenschaften. . 119
4.7.2 Cauchy–Schwarz-Ungleichung und Dreiecksungleichung . . . 120
4.7.3 Orthonormalbasen . . . 121
4.7.4 Lot und orthogonale Projektion. . . 122
4.7.5 Orthogonale Matrizen . . . 124
4.7.6 Der Spektralsatz . . . 125
Kapitel 1
Aussagenlogik
1.1
Was ist eine Aussage?
Wir behandeln die Aussagenlogik nur sehr oberfl¨achlich. Die Studierenden der Informatik wer-den sich mit Logik in der gleichnamigen Vorlesung nochmals deutlich intensiver besch¨aftigen. Definition 1.1.1 (Aussagen) — EineAussage ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, dessen Bedeutung klar definiert ist, und das eindeutig wahr oder falsch ist. Wir k¨onnen also jeder Aussage (einen perfekten Kenntnisstand vorausgesetzt) eindeutig denWahrheitswert
’wahr‘ (kurz:
’w‘) oder’falsch‘ (kurz: ’f‘) zuordnen. Beispiel 1.1.2— 1)
”Jemand steht hinter der T¨ur.“ 2)
”Es gibt keine gerade Primzahl.“ (falsch) 3)
”2 + 2 = 4“ (wahr) 4)
”Es gibt unendlich viele nat¨urliche Zahlennmit der Eigenschaft, dass sowohlnals auch n+ 2 eine Primzahl ist “ (Wahrheitswert unbekannt)
1.2
Logische Verkn¨
upfungen
Definition 1.2.1 (Logische Negation) — Es sei Aeine Aussage. DieNegation ¬Avon A ist die Aussage
”NichtA“, oder genauer”Aist falsch“. Die Negation¬A ist wahr, fallsA falsch ist, und falsch, fallsA wahr ist.
Bemerkung 1.2.2—Die Negation ist nicht zu verwechseln mit dem, was man in der Alltags-sprache dasGegenteil nennen w¨urde.
Beispiel 1.2.3— 1) Die Negation der Aussage A=
”Alle Menschen m¨ogen Schokoladenkuchen“. ist nicht etwa
2) Die Negation der Aussage A=
”Die Erde ist eine Scheibe “. ist nicht etwa
”Die Erde ist ein Kugel “ sondern schlicht
¬A=
”Die Erde ist keine Scheibe“. 3) Die Negation der Aussage
A=
”Das Quadrat einer reellen Zahl ist nie negativ “. ist
¬A=
”Es gibt (mindestens) eine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist“. Definition 1.2.4 (Logisches und) — Es seien A und B zwei Aussagen. Dann ist A∧B die Aussage
”A und B“. Die Aussage A∧B ist wahr genau dann, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
Beispiel 1.2.5— Wir betrachten die Aussagen A=
”9 ist eine ungerade Zahl“ (wahr), B =
”9 ist eine Primzahl“ (falsch), C =
”9 ist eine Quadratzahl“ (wahr),
Dann ist
A∧B =
”9 ist eine ungerade Primzahl“ (falsch), A∧C=
”9 ist eine ungerade Quadratzahl“ (wahr), B∧C =
”9 ist eine Primzahl und eine Quadratzahl“ (falsch).
Definition 1.2.6 (Logisches oder) — Es seienA und B zwei Aussagen. Dann ist A∨B die Aussage
”A oder B“. Die Aussage A∨B ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A und B wahr ist. Es gilt: A∨B =¬(¬A∧ ¬B).
Bemerkung 1.2.7 —Das
”oder“ der Logik meint nicht das ausschließende ”entweder oder“. Genauer gilt
”Entweder Aoder B“ = (A∨B)∧ ¬(A∧B)
Beispiel 1.2.8— 1) Ein Logiker st¨urmt bewaffnet in eine Bank und schreit:
”Ihr hebt jetzt sofort die H¨ande oder ich schieße!“
Obwohl wir die H¨ande heben, k¨onnen wir uns leider nicht darauf verlassen, dass er uns nicht trotzdem erschießt.
2) Die Aussage
3) Die Aussage
”Jede der drei Zahlen 4,6 und 9 ist durch 2 oder durch 3 teilbar“ ist wahr. Die Aussage
”Jede der drei Zahlen 4,6 und 9 istentweder durch 2 oder durch 3 teilbar“ ist falsch.
Definition 1.2.9 (Implikation) — Es seienA und B zwei Aussagen. Dann ist A =⇒ B die Aussage
”AusAfolgtB“ (andere Arten das zu sagen:”AusAfolgtB“,”WennA, dann auch B“). WennA wahr ist, istA =⇒ B genau dann wahr, wennB ebenfalls wahr ist. Wenn A falsch ist, istA =⇒ B immer wahr.
Bemerkung 1.2.10 —Die Aussage A =⇒ B bedeutet nicht, dass es einen kausalen Zu-sammenhang zwischen A und B gibt. Wenn wir einen Implikationspfeil in einem Beweis verwenden, sollte es allerdings schon so etwas wie einen kausalen Zusammenhang zwischen den Aussagen geben.
Beispiel 1.2.11— 1) Die Aussage
”Es hat vor kurzem geregnet“ =⇒ ”Der Boden ist nass“ ist wahr.
2) Die Aussage
”Es hat vor kurzem geregnet“ =⇒ ”2 + 2 = 4“ ist wahr.
3) Die Aussage
2 + 2 = 5 =⇒ 12 ist eine Primzahl ist wahr.
4) F¨ur jede nat¨urliche Zahln gilt:
n ist gerade =⇒ n2 ist gerade. (Wahre Aussage)
Definition 1.2.12 ( ¨Aquivalenzen) — Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist A ⇐⇒ B die Aussage
”Agenau dann, wennB“ (andere Art das zu sagen: ”Aist ¨aquivalent zuB“). Es gilt:
(A ⇐⇒ B) = (A=⇒B)∧(A⇐=B). Beispiel 1.2.13— F¨ur jede nat¨urliche Zahl ngilt:
nist durch 3 teilbar ⇐⇒ 5nist durch 15 teilbar. (Kurz: 3|n ⇐⇒ 15|5n).
Satz 1.2.14(Kontraposition) — F¨ur beliebige zwei Aussagen A und B ist die Aussage
Beweis. Dies folgt aus der Tatsache, dass in der Wahrheitstafel am Ende dieses Abschnittes die viert-letzte und die letzte Spalte ¨ubereinstimmen.
Bemerkung 1.2.15—Wir verwenden Satz 1.2.14 h¨aufig im Alltag. Zum Beispiel: A=
”Der Bus war vor kurzem da.“ B =
”Niemand steht an der Bushaltestelle.“
Wir laufen zur Bushaltestelle und sind mal wieder sp¨at dran. Als wir Menschen an der Bus-haltestelle stehen sehen, sind wir dank Kontraposition erleichtert.
Satz 1.2.16(Klassische Schlussfolgerung) — F¨ur beliebige drei AussagenA, B undC ist die folgende Aussage immer wahr:
(A =⇒ B)∧(B =⇒ C) =⇒ (A =⇒ C)
Beweis. Mittels Wahrheitstafel auf dem ¨Ubungsblatt.
Bemerkung 1.2.17 —Diese Grundregel der Logik wird in beinahe jedem mathematischen Beweis verwendet.
Hier noch eine Wahrheitstafel, die die grundlegenden logischen Konstruktionen zusam-menfasst.
A B ¬A ¬B A∧B A∨B A⇒B A⇐B A⇔B ¬A⇐ ¬B
w w f f w w w w w w
w f f w f w f w f f
f w w f f w w f f w
f f w w f f w w w w
1.3
Beweise
Ein mathematischer Beweis ist eine zwingende logische Begr¨undung einer mathematischen Aussage. Wir werden in diesem Abschnitt drei Standardmethoden zur Beweisf¨uhrung ken-nenlernen, n¨amlichdirekter Beweis, Beweis per Kontraposition, und Widerspruchsbeweis. Ei-ne weitere wichtige Beweismethode, n¨amlich Beweis per Induktion werden wir sp¨ater noch kennen lernen.
1.3.1 Direkter Beweis
Wir machen zun¨achst ein Beispiel und erkl¨aren dann das Prinzip.
Behauptung:Es seiena,bundcnat¨urliche Zahlen so, dass gilt:ateiltbund bteiltc. Dann gilt auch:ateiltc.
Beweis. Seien a,b undc nat¨urliche Zahlen so, dassateiltb und bteilt cgelten. =⇒ Es gibt ganze Zahlen mund nmitb=ma undc=nb
=⇒ c=nma(setze eine Gleichung in die andere ein) =⇒ ateiltc.
Wir starten mit der Voraussetzung der Aussage, die wir beweisen wollen, oder einer an-deren Aussage, von der wir bereits wissen, dass sie wahr ist. Aus dieser Aussage folgern wir Schritt f¨ur Schritt andere Aussagen, bis wir bei der Aussage, welche wir zeigen wollten, ange-kommen sind. Der Grund, dass so eine Kette tats¨achlich einen Beweis liefert, istSatz 1.2.16. In mathematischen B¨uchern oder Artikeln wird in Beweisen ¨ublicherweise auf den Impli-kationspfeil verzichtet und die Argumentationskette wird ausformuliert. Den obigen Beweis kann man zum Beispiel folgendermaßen formulieren.
Beweis. Es seien a, bund cnat¨urliche Zahlen so, dass bvon aund c von b geteilt wird. Per Definition bedeutet das, dass es zwei weitere nat¨urliche Zahlen m und n gibt mit b = ma und c =nb. Setzen wir die erste Gleichung in die zweite ein, so erhalten wir c =nma, also istc ein ganzzahliges Vielfaches von a. Dies bedeutet, wiederum per Definition, dass cvon a geteilt wird.
1.3.2 Beweis per Kontraposition
Die meisten mathematischen S¨atze lassen sich als eine Implikation A =⇒ B formulieren, wobei A die Voraussetzung des Satzes und B die Aussage des Satzes ist. Dank Satz 1.2.14 k¨onnen wir stattdessen¬B =⇒ ¬A beweisen.
Behauptung:Es sei neine ganze Zahl. Istn2 ungerade, so war bereitsn ungerade.
Beweis. Unsere Behauptung l¨asst sich als Implikation ”n
2 ist eine ungerade ganze Zahl =⇒ nist eine ungerade ganze Zahl“
formulieren. Wir zeigen stattdessen die Kontraposition ”n ist eine gerade ganze Zahl =⇒ n
2 ist eine gerade ganze Zahl“
Sei also neine gerade ganze Zahl, das bedeutet 2|n. Weiterhin ist n2 =n·n, also gilt n|n2. Jetzt d¨urfen wir die Behauptung verwenden, die wir schon in Unterabschnitt 1.3.1 gezeigt hatten: Aus 2|nund n|n2 folgt 2|n2, also ist n2 gerade.
Oft formulieren wir nicht explizit aus, was die Kontraposition ist, sondern erw¨ahnen nur kurz, dass wir den Beweis per Kontraposition f¨uhren. Obigen Beweis k¨onnte man also folgen-dermaßen k¨urzer formulieren.
1.3.3 Beweis per Widerspruch
Wir nehmen an, dass unsere Behauptung falsch w¨are. Aus dieser Annahme folgern wir eine falsche Aussage. DankSatz 1.2.14wissen wir dann, dass unsere Behauptung doch richtig war. Behauptung:Die Gleichung a2−4b= 3 hat keine ganzzahligen L¨osungen.
Beweis. Wir nehmen an die Behauptung w¨are falsch und wollen das zum Widerspruch f¨uhren. Es seien alsoa undb ganze Zahlen mit
3 =a2−4b . (?)
Aufl¨osen der Gleichung nach a2 ergibt
a2= 4b+ 3 = 2(2b+ 1) + 1.
Also ista2ungerade. Wie wir inUnterabschnitt 1.3.2gezeigt haben, ist dann auchaungerade. Daher gibt es eine ganze Zahln mita= 2n+ 1. Das setzen wir in die Gleichung (∗) ein und erhalten
3 = (2n+ 1)2−4b= 4n2+ 4n+ 1−4b= 4(n2+n−b) + 1. Wir ziehen auf beiden Seiten dieser Gleichung 1 ab und erhalten
2 = 4(n2+n−b).
Kapitel 2
Mengen und Abbildungen
2.1
Mengen
2.1.1 (Naive) Definition einer Menge
Die Mengenlehre bildet das Fundament der Mathematik. Die Mengenlehre axiomatisch kor-rekt aufzuziehen w¨urde uns zu viel Zeit kosten. Daher begn¨ugen wir uns mit folgender Defi-nition einer Menge, die f¨ur unsere Zwecke ausreichend ist.
Definition 2.1.1 — Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter unterschiedlicher Objekte – welche dieElemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen.
Eine Menge ist dadurch bestimmt, was ihre Elemente sind. Wir schreiben
”x∈X“, falls xein Element der MengeX ist, und
”x /∈X“, falls nicht. Zum Beispiel: 3∈ {1,2,3} , 4∈ {/ 1,2,3}.
Kein Element kann in einer Menge mehrfach vorkommen. Der Ausdruck{1,2,2,3} ist also keine Menge (oder wird als {1,2,3} interpretiert). Die Elemente einer Menge haben keine ausgezeichnete Reihenfolge, es gilt also
{1,2,3}={1,3,2}={2,1,3}={2,3,1}={3,2,1}={3,1,2}.
Es gibt verschiedene M¨oglichkeiten eine Menge zu beschreiben. Beiendlichen Mengen k¨onnen wir die Elemente der Menge dadurch spezifizieren, dass wir sie aufz¨ahlen. Zum Beispiel:
X1 ={1,2,3} , X2 ={7,8,9} , X3 ={21,30,36}.
Eine Menge kann aus endlich vielen oder unendlich vielen Elementen bestehen (wir spre-chen dann von einer endlichen bzw. einer unendlichen Menge. Besteht eine Menge X aus endlich vielen Elemente, so schreiben wir |X| f¨ur die Anzahl der Elemente. Besteht X aus unendlich vielen Elementen, so schreiben wir|X|=∞.
2.1.2 Quantoren
Meistens betrachten wir Mengen, deren Elemente irgendetwas miteinander zu tun haben. Wir machen dann qualitative Aussagen1 ¨uber die Elemente der Menge. Diese Aussagen sind meist
von der Form
”F¨ur alle Elemente der Menge gilt die Eigenschaft . . . “ oder von der Form”Es gibt (mindestens) ein Element in der Menge mit der Eigenschaft . . . “. Die Quantoren∀ und
∃werden verwendet um diese Art von Aussagen abzuk¨urzen und zu formalisieren. ”∀ (. . . ) : (. . . )“ bedeutet ”F¨ur alle (. . . ) gilt (. . . )“
bzw.
”Alle (. . . ) erf¨ullen (. . . )“ bzw.
”Jedes (. . . ) erf¨ullt (. . . )“ bzw.
”Alle (. . . ) haben die Eigenschaft, dass (. . . )“ bzw.
”F¨ur jedes (. . . ) ist es wahr, dass (. . . )“ ”∃ (. . . ) : (. . . )“ bedeutet ”Es existiert (mindestens) ein (. . . ) mit (. . . )“
bzw.
”Es gibt ein (. . . ) so, dass (. . . )“ bzw.
”Es existiert ein (. . . ) mit der Eigenschaft, dass (. . . )“ bzw.
”Es existiert ein (. . . ) , f¨ur das gilt (. . . )“ Zum Beispiel seien, wie inUnterabschnitt 2.1.1,
X1 ={1,2,3} , X2 ={7,8,9} , X3 ={21,30,36}.
Dann k¨onnen wir folgende Aussagen treffen: • ∀x∈X1 : x≤4.
• ∀x∈X3 : 3|x.
• ∃x∈X2 : x ist eine Primzahl.
Wir k¨onnen die Quantoren∀ und ∃kombinieren: • ∀x∈X1∃y∈X2 : x+y = 10.
• ∃m∈X2 : ∀n∈X1 : m+n≤10.
Quantoren k¨onnen sich auf Paare von Elementen beziehen: • ∀x, y∈X1 : x+y≤6.
• ∃α∈X1, β∈X3 : α·β = 90.2
• ∀a∈X1, b∈X2∃c∈X3 : a·b≤c.
Nat¨urlich k¨onnen sich Quantoren auch auf Tripel und Quadrupel usw. von Elementen bezie-hen:
• ∀x∈X1, y∈X2, z∈X3 : xyz≤1000.
• ∃α, β ∈X1, γ ∈X2, δ∈X3 : αγ =βδ.
Weiterhin k¨onnen wir Quantoren mit den logischen Verkn¨upfungen aus Kapitel 1verbinden: • ∀t∈X3 : (t ist gerade∨ t≤25).
• ∀v∈X2 : (v ist eine Primzahl =⇒ ∃w∈X3 : v teiltw).
2
In einem solchen Fall wird der Existenzquantor∃nat¨urlich als
2.1.3 Andere Elemente als Zahlen
Bislang bestanden die Mengen in unseren Beispielen aus ganzen Zahlen. Wir k¨onnen aber alles M¨ogliche in Mengen packen. InKapitel 4werden unsere Mengen oft aus Vektoren bestehen. Zum Beispiel k¨onnen wir die Menge
X4 =
n
1 0 2
,
2 0 4
,
3 0 6
o
betrachten und ¨uber sie Aussagen treffen, wie:
• ∀v∈X4∃λ∈X1 : v=λ
1 0 2
.
Auch Mengen k¨onnen Elemente einer Menge sein, zum Beispiel X5 =
{9,21,30},{8,36},{9,77} . Jetzt k¨onnen wir wieder Eigenschaften dieser Menge formulieren:
• ∀M ∈X5∃x∈X2 : x∈M.
• ∀y∈X3∃M ∈X5 : y ∈M.
Nat¨urlich k¨onnen wir auch Elemente von v¨ollig unterschiedlichem Typ zu einer Menge zu-sammenfassen. Zum Beispiel ist
X6 =
n
1,{2,
1 8
−2
}, 1 2 ,9,
18,19, X4, X2
o
eine Menge mit 3 Elementen.
2.1.4 Einige wichtige Mengen
Hier sind einige f¨ur die Mathematik wichtige Mengen.
∅={ } die leere Menge,
N={1,2,3, . . .} die nat¨urlichen Zahlen,
N0 ={0,1,2,3, . . .} die nat¨urlichen Zahlen mit 0, Z={. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .} die ganzen Zahlen, Q die rationalen Zahlen (Bruchzahlen)
R die reellen Zahlen
2.1.5 Definition einer Menge durch Eigenschaften ihrer Elemente
Wir k¨onnen Mengen dadurch beschreiben, indem wir die Eigenschaften ihrer Elemente spe-zifizieren. Zum Beispiel l¨asst sich die Menge der ungeraden nat¨urlichen Zahlen auf folgende Arten schrieben:
{n| ∃k∈N0 : n= 2k+ 1}={2k+ 1|k∈N0}.
F¨ur zwei reelle Zahlena, b∈R mita < b definieren wir dasabgeschlossene Intervall
[a, b] :={x|x∈R, a≤x≤b}={x∈R|a≤x≤b}
und das offene Intervall
(a, b) :={x|x∈R, a < x < b}={x∈R|a < x < b}.
2.1.6 Teilmengen
Definition 2.1.2— SeienA und B zwei Mengen. Wir sagen, dassA eine Teilmenge von B ist, kurz A⊆B, wenn gilt:
x∈A =⇒ x∈B .
In anderen Worten: Aist eine Teilmenge vonB, wenn jedes Element vonAauch ein Element von B ist.
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Außerdem ist jede MengeX eine Teilmenge von sich selbst: X ⊆X. Haben wir eine echte Teilmenge A⊆X vorliegen (alsoA6=X) und wollen dies deutlich machen, so schreiben wir manchmal A(X.
2.1.7 Mengenoperationen
In diesem Unterabschnitt lernen wir Operationen kennen, die aus zwei gegebenen Mengen eine neue Menge konstruieren. Diese Operationen sind analog zu den logischen Verkn¨upfungen aus Abschnitt 1.2, bei denen wir aus zwei Aussagen eine neue Aussage gewonnen haben.
Definition 2.1.3— SeienAund B zwei Mengen.
1) Die Schnittmenge A∩B besteht aus allen Elementen, die sowohl in A als auch in B liegen:
A∩B:={x|x∈A∧x∈B}.
2) DieVereinigung A∪B besteht aus allen Elementen die in mindestens einer der beiden Mengen Aund B liegen:
A∪B:={x|x∈A∨x∈B}.
3) Die mengentheoretische Differenz A\B besteht aus allen Elementen von A, die nicht inB liegen:
A\B :={x|x∈A∧x /∈B}.
Bemerkung 2.1.4—IstB⊆A, so nennen wirA\B auch dasKomplement vonB in A. Jede mengentheoretische Differenz l¨asst sich als Komplement schreiben, da immer gilt:
Anstatt den Durchschnitt und die Vereinigung von zwei Mengen, k¨onnen wir auch den Durchschnitt und die Vereinigung von beliebig vielen (sogar unendlich vielen) Mengen be-trachten. Sei dazu I eine Menge. Zu jedem i ∈ I sei eine weitere Menge Ai gegeben. Wir haben also eine Menge von Mengen {Ai | i ∈ I}. Solch eine Menge von Mengen wird auch oft alsFamilie von Mengen bezeichnet und in der Form {Ai}i∈I geschrieben. Wir nennen I dann dieIndexmenge der Familie.
Definition 2.1.5— Es sei{Ai}i∈I eine Familie von Mengen. 1) Die Schnittmenge T
i∈IAi besteht aus allen Elementen, die in jeder der Mengen Ai liegen:
\
i∈I
Ai :={x|x∈Ai∀i∈I}.
2) Die Vereinigung S
i∈IAi besteht aus allen Elementen, die in (mindestens) einer der Mengen Ai liegen:
[
i∈I
Ai{x| ∃i∈I : x∈Ai}.
Beispiel 2.1.6— 1) S
n∈N[−n, n] =R.
2) T
n∈N(0,n1) =∅.
Definition 2.1.7 (Kartesisches Produkt) — Seien A und B zwei Mengen. Das kartesische Produkt A×B besteht aus allen (geordneten) Paaren von Elementen ausA und B:
A×B :=(a, b)|a∈A, b∈B .
Beispiel 2.1.8— R2:=R×Rist die Menge der Punkte im zwei-dimensionalen kartesischen
Koordinatensystem.
Sind allgemeiner endlich viele MengenA1, A2, . . . , Angegeben, so ist das kartesische
Pro-dukt definiert als die Menge dern-Tupel
A1×A2× · · · ×An:={(a1, a2, . . . , an)|ai ∈Ai∀i= 1, . . . , n}.
IstA1 =A2 =· · ·=An=A, so schreiben wirAn:=A1×A2× · · · ×An.
Noch allgemeiner sei {Ai}i∈I eine Familie von Mengen mit beliebiger (m¨oglicherweise unendlicher) IndexmengeI. Dann definieren wir
Y
i∈I
Ai :={(ai)i∈I |ai ∈Ai∀i∈I}.
2.2
Abbildungen
2.2.1 Grundlegende Definitionen
Definition 2.2.1— Es seienX undY zwei Mengen. EineAbbildung f:X →Y vonX nach
2) F¨ur jede Teilmenge A ⊆B gibt es die nat¨urliche Einbettung ι:A → B gegeben durch ι(x) =x f¨ur alle x∈A.
Definition 2.2.3 (Abbildungsgraphen) — Es seif:X→Y eine Abbildung. DerGraph von f ist die Teilmenge Γf ⊆X×Y gegeben durch
Γf :=(x, y)∈X×Y |y=f(x) =(x, f(x))|x∈X
Definition 2.2.4 (Verkn¨upfung von Abbildungen) — Seien X, Y, und Z Mengen und f:X→Y,g:Y →ZAbbildungen. Dann ist dieVerkn¨upfungoderHintereinanderausf¨uhrung
g◦f:X→Z definiert durch die Vorschrift (g◦f)(x) =g(f(x)) f¨ur alle x∈X.
Beispiel 2.2.5— 1) Seien f:R → R, x 7→ x+ 2 und g: R→ R, x 7→ x2. Dann ist die
Verkn¨upfungg◦f:R→R gegeben durch
(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(x+ 2) = (x+ 2)2=x2+ 4x+ 4 f¨ur alle x∈R. In diesem Fall ist, da alle Quell- und Zielmengen gleich sind, auch die umgekehrte Verkn¨upfungf◦g:R→R wohldefiniert. Sie ist gegeben durch (f◦g)(x) =x2+ 2.
2) Es sei f:X → Y eine Abbildung und T ⊆X eine Teilmenge. Dann definieren wir die
Einschr¨ankung von f auf T als die Abbildung f|T:T → Y mit f|T(x) :=f(x) f¨ur alle x∈T. Die Einschr¨ankungf|T hat also die gleiche Abbildungsvorschrift wief, wird aber bloß auf die Elemente der Teilmenge angewandt. Wir k¨onnen die Einschr¨ankung auch als Verkn¨upfung von Abbildungen beschreiben: Bezeichnet ι:T → X die nat¨urliche Einbettung, so ist f|T =f◦ι.
Bemerkung 2.2.6—Sei X 6=∅ eine nicht-leere Menge. Dann ist es recht offensichtlich, dass es keine Abbildungf:X → ∅ gibt (da es keine Elemente in∅ gibt, auf die wir die Elemente vonXabbilden k¨onnten). Weniger offensichtlich ist die Frage ob es eine Abbildungf:∅ →X gibt. Hier ist die ¨ubliche (und sinnvolle) Konvention, dass es f¨ur jede Menge X genau eine Abbildung ∅ → X gibt; auch im Fall X = ∅, es gibt also genau eine Abbildung∅ → ∅. Ein Grund weshalb dies eine sinnvolle Konvention ist: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge X, also sollte es eine nat¨urliche Einbettung ∅ →X geben. Die Abbildung∅ →X ist jedoch fast nie von belang. Darum k¨ummern wir uns aus Bequemlichkeit beim Formulieren von allgemeinen S¨atzen nicht um sie. Zum Beispiel m¨ussten wir eigentlich bei Proposition 2.2.14 den FallX =∅ ausschließen.
2.2.2 Bilder und Urbilder, Injektivit¨at, Surjektivit¨at und Inverse
Definition 2.2.7— Seif:X→Y eine Abbildung.
1) SeiS⊆X eine Teilmenge. Wir definieren das Bild von S unter f als f(S) :={f(x)|x∈S}={y∈Y | ∃x∈S : y=f(x)} ⊆Y .
2) SeiT ⊆Y eine Teilmenge. Wir definieren das Urbild von T unterf als f−1(T) :={x∈X|f(x)∈T} ⊆X
Ist y ∈ Y ein Element, so bezeichnen wir f−1({y}) als die Faser von f ¨uber y und Elemente von f−1({y}) alsUrbilder von y (unter f).
Bemerkung 2.2.8—F¨ur jede Abbildungf:X→Y giltf−1(Y) =X. Beispiel 2.2.9— Es seif:Z→Z,x7→2x. Dann ist
f({1,2,6}) ={2,4,12} , f−1({5,6,7,8}) ={3,4}. Weiterhin istBild(f) =f(Z) die Menge der geraden Zahlen.
Definition 2.2.10— Sei f:X →Y eine Abbildung.
1) Die Abbildung f:X → Y ist surjektiv, wenn sie eine (und damit alle) der folgenden drei ¨aquivalenten Bedingungen erf¨ullt:
(a) F¨ur jedes y∈Y gibt es einx∈X mitf(x) =y. (b) F¨ur jedes y∈Y giltf−1({y})6=∅.
(c) Das Bild von f ist die ganze Zielmenge: Bild(f) =Y. (Surjektivit¨at bedeutet also
”Alles inY wird getroffen“)
2) Die Abbildungf:X →Y istinjektiv, wenn sie eine (und damit alle) der folgenden drei ¨
aquivalenten Bedingungen erf¨ullt:
(a) F¨ur alle x, x0 ∈X mitf(x) =f(x0) gilt bereitsx=x0. (b) F¨ur alle x, x0 ∈X mitx6=x0 giltf(x)6=f(x0).
(c) F¨ur alle y ∈ Y gilt |f−1(y)| ≤ 1. (Injektivit¨at bedeutet also
”Nichts in Y wird mehrfach getroffen“)
3) Die Abbildung f:X →Y ist bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist.
Beispiel 2.2.11— 1) Die Abbildungf:Z→Z,x7→ 2x ist injektiv, da f¨ur allex, x0∈Z
gilt:
2x=f(x) =f(x0) = 2x0 =⇒ x=x0.
Sie ist allerdings nicht surjektiv. Zum Beispiel ist 1 ∈/ Bild(f). Genauer ist Bild(f) die Menge der geraden Zahlen.
2) Die Abbildungg:R→R,x 7→2x ist injektiv, aus dem gleichen Grund wie die
Abbil-dung f:Z→ Zaus dem letzten Beispiel. Wir sehen wie folgt, dass f surjektiv ist. Sei
y ∈Rbeliebig. Setzex:= 12y. Dann istg(x) =y. Wir haben also f¨ur jedes Element von
R einUrbild unter gkonstruiert, also istg surjektiv. Insgesamt ist g damit bijektiv.
3) Die Abbildungh:R→R,x7→x2ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv,
da zum Beispiel 1 und−1 zwei unterschiedliche Elemente sind, die vonhauf das gleiche Element abgebildet werden:
h(−1) = (−1)2 = 1 = 12 =h(1).
Bemerkung2.2.12— SeienXundY endlich. Dann gibt es eine injektive Abbildungf:X→Y genau dann, wenn |X| ≤ |Y|. Es gibt eine surjektive Abbildungf:X →Y genau dann, wenn
|X| ≥ |Y|. Es gibt eine bijektive Abbildung f:X →Y genau dann, wenn|X|=|Y|.
Seien nunX und Y unendliche Mengen. Gibt es eine bijektive Abbildung f:X →Y, so sehen wirX und Y als gleich stark unendlich an. Gibt es eine injektive Abbildung X →Y, jedoch keine bijektive Abbildung X → Y, so sehen wir Y als noch st¨arker unendlich als X an. Zum Beispiel gibt es bijektive Abbildungen zwischen den Mengen N, N0, Z, Q (einige
davon sind als ¨Ubungsaufgabe zu konstruieren). Damit sind diese vier Mengen gleich stark unendlich (wir sprechen von der Klasse derabz¨ahlbar unendlichen Mengen).
Auf der anderen Seite gibt es die nat¨urliche EinbettungN,→R, aber es gibt keine Bijektion N→R.3Daher istRnoch st¨arker unendlich alsN,N0,ZundQ. Wir sagenRistuberabz¨¨ ahlbar
unendlich.
Proposition 2.2.13— Es seienf:X→Y und g:Y →Z Abbildungen. 1) Es gilt Bild(g◦f)⊆Bild(g).
2) Ist g◦f surjektiv, so ist g ebenfalls surjektiv.
3) Ist g◦f injektiv, so ist f ebenfalls injektiv.
Beweis. Um eine Inklusion von Mengen zu beweisen, m¨ussen wir zeigen, dass jedes Element der kleineren Menge auch in der gr¨oßeren Menge liegt.
Es sei also z ∈Bild(g◦f) ein beliebiges Element der MengeBild(g◦f). Nach Definition der Bildmenge bedeutet dies, dass es einx∈X mitz= (g◦f)(x) =g(f(x)) gibt. Dann gibt es ebenfalls einy∈Y mitz=g(y), n¨amlich y=f(x). Damit giltz∈Bild(g) und wir haben die InklusionBild(g◦f)⊆Bild(g) gezeigt.
Sei jetzt g◦f surjektiv. Dies ist ¨aquivalent zur Gleichheit Bild(g◦f) =Z. Nach Teil 1) gilt dann aber auchBild(g) =Z, was wiederum bedeutet, dass g surjektiv ist.
Proposition 2.2.14— Es seif:X→Y eine Abbildung.
1) Die Abbildungf ist surjektiv genau dann, wenn sie einRechtsinversesbesitzt. Ein Recht-sinverses zu f ist eine Abbildung r:Y →X mitf ◦r=idY.
2) Die Abbildungf ist injektiv genau dann, wenn sie ein Linksinverses besitzt. Ein Links-inverses zu f ist eine Abbildung `:Y →X mit `◦f =idX.
3) Die Abbildungf ist bijektiv genau dann, wenn sie ein (beidseitiges) Inversesbesitzt. Ein (beidseitiges) Inverses zuf ist eine Abbildungg:Y →X mitf◦g=idY undg◦f =idX. In der Aussage der Proposition stehen Gleichheiten von Abbildungen. Zwei Abbildungen f, g: X → Y (mit gleicher Quellmenge X und gleicher Zielmenge Y) sind per Definition gleich, genau dann wennf(x) =g(x) f¨ur alle x∈X gilt. Kurz:
f =g : ⇐⇒ f(x) =g(x) ∀x∈X . 3
Beweis. Es sei zun¨achst f: X → Y surjektiv. F¨ur jedes y ∈ Y w¨ahlen wir ein x ∈ X mit f(x) = y. Solch ein x existiert, da f surjektiv ist. Wir setzen r(y) := x. Dann ist (f◦r)(y) =f(r(y)) =f(x) =y=idY(y), alsof ◦r=idY.
Sei jetzt ein Rechtsinverses r: Y → X zu f gegeben. Da die Identit¨atsabbildung idY surjektiv ist undidY =f◦r gilt, folgt mitProposition 2.2.13(2), dassf surjektiv ist.
Kommen wir zum Beweis von Teil 2). Es sei f injektiv. Wir definieren ein Linksinverses `:Y →X wie folgt. F¨ur y∈Bild(f) besteht, wegen der Injektivit¨at vonf, die Faser f−1(y) aus genau einem Element, welches wir `(y) nennen. F¨ur y ∈ Y \Bild(f) w¨ahlen wir `(y) als ein beliebiges Element inX aus. Dann ist `:Y →X eine wohldefinierte Abbildung und `◦f =idX.
Sei nun umgekehrt ein Linksinverses`von f gegeben. Dann ist`◦f =idX injektiv. Damit ist nachProposition 2.2.13(3), die Abbildung f ebenfalls injektiv.
Teil (3) folgt direkt aus (1) und (2).
Kapitel 3
Zahlenbereiche und Algebraische
Strukturen
3.1
Nat¨
urliche Zahlen
3.1.1 Die Peano-Axiome
Wir werden uns bei der Betrachtung der ¨ublichen Zahlenbereichen (N,N0,Z,Q,R) in dieser
Vorlesung weitgehend auf unsere Intuition und unser Schulwissen verlassen und verzichten auf eine exakte Definition. Zumindest f¨ur die nat¨urlichen Zahlen N wollen wir jedoch die Peano-Axiomeerw¨ahnen. Diese Axiome definieren die Menge der nat¨urlichen Zahlen (bis auf m¨ogliche Umbenennung der Elemente).
Definition 3.1.1(Peano) — Die Menge der nat¨urlichen ZahlenNist durch folgende
Eigen-schaften bestimmt:
1) 1 ist eine nat¨urliche Zahl.
2) F¨ur jede nat¨urliche Zahl n ∈ N gibt es eine weitere nat¨urliche Zahl n+ 1 ∈ N mit
16=n+ 1.
3) Seienm, n∈N. Falls m+ 1 =n+ 1 ist, so gilt auchm=n.
4) F¨ur jede Teilmenge M ⊆N mit den beiden Eigenschaften
(a) 1∈M
(b) n∈M =⇒ n+ 1∈M gilt bereits M =N.
Dass dies eine sinnvolle Definition der nat¨urlichen Zahlen ist, l¨asst sich gut an einem Zahlenstrahl sehen.
3.1.2 Rekursive Beschreibung von Folgen
Definition 3.1.2— Eine Folge ist eine Abbildunga:N→X von den nat¨urlichen Zahlen N
Sehr oft ist die Zielmenge einer Folge die Menge der reellen ZahlenX=R.
Beispiel 3.1.3— Wir betrachten einige Folgen:
• b:N→Nsei gegeben durchbn=n(also b=idN).
• c:N→Nsei gegeben durchcn= 2n.
• d:N→Nsei gegeben durchdn=n!.
Anstatt f¨ur eine Folgea:N→X jedes Folgegliedan∈X explizit anzugeben, k¨onnen wir die Folge auchrekursiv definieren. Einerekursive Beschreibung einer Folge besteht aus zwei Angaben, n¨amlich:
1) Die Angabe des ersten Folgegliedsa1 ∈X.
2) Die Angabe einer Regel, wie an+1 aus an hervorgeht.
Es folgt aus dem vierten Peanoaxiom, dass eine rekursive Beschreibung tats¨achlich alle Fol-genglieder festlegt: Es sei
M :={n∈N|der Wertan ist durch die rekursive Beschreibung eindeutig bestimmt}. Dann ist 1∈M, da wir bei der rekursiven Definition der Folgea1explizit angeben. Istn∈M,
alsoaneindeutig festgelegt, so sorgt der zweite Teil der rekursiven Definition daf¨ur, dass auch an+1 eindeutig festgelegt ist, also n+ 1∈M.
Beispiel 3.1.4— Die Folgen ausBeispiel 3.1.3 haben folgende rekursive Beschreibungen: • b:N→Nist gegeben durchb1 = 1 undbn+1=bn+ 1.
• c:N→Nist gegeben durchc1 = 2 undcn+1 = 2cn. • d:N→Nist gegeben durchd1= 1 und dn+1 = (n+ 1)dn.
Das Folgenglied an+1 kann auch von mehreren der fr¨uheren Folgeglieder (nicht bloß an)
abh¨angen. Wir sprechen dann von einermehrfach rekursiven Beschreibung. Genauer besteht eine mehrfach rekursive Beschreibung einer Folge aaus zwei Angaben, n¨amlich:
1) Die Angabe des ersten Folgengliedsa1∈X.
2) Die Angabe einer Regel, wie an+1 aus {a1, . . . , an} hervorgeht.
Beispiel 3.1.5— DieFibunacci-Folge f:N→N ist gegeben durch:
3.1.3 Summen und Produkte
In diesem Unterabschnitt lernen wir zwei wichtige Notations-Konventionen kennen, die au-ßerdem weitere Beispiele von rekursiv beschriebenen Folgen sind. Sei a:N → X eine
Fol-ge mit Werten in einer MenFol-ge X auf der eine Addition
”+“ definiert ist, z.B. X = R. Dann definieren wir den Ausdruck Pni=1ai rekursiv durch P1i=1ai = a1 und Pni=1+1ai = an+1+Pni=1ai. Anschaulicher, aber etwas unpr¨aziser, l¨asst sich das Summensymbol in der
P¨unktchen-Schreibweise erkl¨aren: n X
i=1
ai=a1+a2+· · ·+an.
Beispiel 3.1.6—
5
X
i=1
i2 = 12+ 22+ 32+ 42+ 52= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.
Ist auf der Zielmenge X der Folge a:N→X eine Multiplikation”·“ definiert, so k¨onnen
wir analog das ProduktQni=1ai rekursiv definieren durchQ1
i=1ai =a1 und
Qn+1
i=1 ai =an+1·
Qn
i=1ai. In P¨unktchenschreibweise: n Y
i=1
ai=a1·a2· · ·an.
Beispiel 3.1.7—
5! =
5
Y
i=1
i= 1·2·3·4·5 = 120.
Wir schreiben auch h¨aufig Summenzeichen, bei denen die untere Grenze des Laufindex der zu summierenden Terme nicht 1 sondern eine andere Zahl ist. Zum Beispiel:
3
X
i=−3
i3 = (−3)3+ (−2)3+ (−1)3+ 0 + 13+ 23+ 33 = 0,
3
X
j=0
1
2j = 1 + 1 2 +
1 4+
1 8 =
15 8 ,
4
Y
`=2
(2`+ 1) = 5·7·9 = 315.
Manchmal l¨auft die Summe auch ¨uber eine endliche Menge, genannt dieIndexmenge, die nicht ein Intervall von ganzen Zahlen ist. Zum Beispiel:
Y
x∈{1,3,7,8}
(x−2) = (−1)·1·5·6 =−30.
Manchmal wird die Indexmenge auch gar nicht als Menge angegeben, sondern eine definie-rende Eigenschaft ihrer Elemente unter das Summen- oder Produktzeichen geschrieben. Zum Beispiel:
X
Primzahlen 2≤p≤17
3.1.4 Beweis per Induktion
Proposition 3.1.8— Es sei eine Familie von Aussagen {An}n∈N gegeben so, dass gilt:
1) A1 ist wahr,
2) f¨ur jedes n∈N ist die ImplikationAn =⇒ An+1 wahr. Dann ist An f¨ur jedes n∈Nwahr.
Beweis. Es sei M := {n ∈N |An ist wahr}. Dann gilt nach Voraussetzung 1∈ M und die Implikation n∈M =⇒ n+ 1∈M. Damit ist nach dem vierten Peano-Axiom M =N, was
bedeutet, dassAn f¨ur jedesn∈Nwahr ist.
Wir k¨onnen also eine Aussage f¨ur jede nat¨urliche Zahlnbeweisen, indem wir zeigen, dass sie f¨ur n = 1 wahr ist und, dass sie f¨ur n+ 1 wahr ist unter der Annahme, dass sie schon f¨urnwahr ist. Diese Beweismethode nennen wirBeweis per Induktion. Dabei nennen wir der Beweis der Aussage f¨ur n = 1 der Induktionsanfang und der Beweis, dass die Aussage f¨ur n+ 1 wahr ist, falls sie f¨urnwahr ist, den Induktionsschritt.
Besonders gut sind Induktionsbeweise geeignet um Gleichheiten, von rekursiv definierten Folgen und explizit definierten Folgen1 zu beweisen, wie im folgenden Beispiel.
Behauptung:F¨ur jede nat¨urliche Zahln∈Ngilt: Pni=1i= n(n2+1).
Beweis. Wir beweisen die Aussage per Induktion.
Induktionsanfang:Es gilt P1
i=1i= 1 = 1(1+1)
2 . Die Behauptung ist also f¨urn= 1 wahr. Induktionsschritt: Wir nehmen an die Aussage sei f¨ur ein gegebenesn∈Nwahr. Dann gilt
n+1
X
i=1
i=n+ 1 + n X
i=1
i IV= n+ 1 +n(n+ 1)
2 =
2n+ 2 +n2+n
2 =
n2+ 3n+ 2 2
= (n+ 1)(n+ 2)
2 .
Also ist die Behauptung ebenfalls f¨urn+ 1 wahr. (Das
”IV“ ¨uber dem zweiten Gleichheits-zeichen soll betonen, dass an dieser Stelle dieInduktionsvoraussetzung, dass die Behauptung f¨urn richtig ist, verwendet wird).
Auch bei Teilbarkeitss¨atzen sind Induktionsbeweise oft n¨utzlich. Behauptung:F¨ur jede nat¨urliche Zahln∈Ngilt: 3 teilt 4n3−n. Beweis. Wir beweisen die Aussage per Induktion.
Induktionsanfang: Es gilt 4·13−1 = 3. Die Behauptung ist also f¨urn= 1 wahr.
Induktionsschritt: Wir nehmen an die Aussage sei f¨ur ein gegebenesn∈Nwahr. Es gilt 4(n+ 1)3−(n+ 1) = 4(n3+ 3n2+ 3n+ 1)−n−1 = 4n3−n+ 3(4n2+ 4n−1). Der Ausdruck 4n3−nwird nach Induktionsvoraussetzung von 3 geteilt. Der Ausdruck 3(4n2+ 4n−1) wird, direkt nach Definition von Teilbarkeit, von 3 geteilt. Damit wird die Summe dieser beiden Ausdr¨ucke, also 4(n+ 1)3−(n+ 1) von 3 geteilt.
3.1.5 Binomialkoeffizienten
Es seienn, k∈N0 mit 0≤k≤n. Wir betrachten die Menge
P(n, k) :=nS⊆ {1, . . . , n} |#S=ko⊆ P({1, . . . , n})
derk-elementigen Teilmengen von{1, . . . , n}. Der zugeh¨origeBinomialkoeffizient ist definiert als
n k
:=|P(n, k)|.
Der Vollst¨andigkeit halber setzen wir 00 = 1. In anderen Worten ist nk die Anzahl der M¨oglichkeitenkElemente aus der Menge{1, . . . , n}auszuw¨ahlen (ohne Reihenfolge der Wahl und ohne mehrfache Wahl eines Elements).
Proposition 3.1.9— F¨ur allen, k∈N0 mit 0≤k≤ngilt
n k
=
n−1 k−1
+
n−1 k
.
Hierbei verwenden wir die Konvention, dass ab= 0 sobaldaoderb negativ sind, was im Fall
k= 0 relevant ist.
Beweis. Wir schreibenP(n, k) als disjunkte Vereinigung2zweier TeilmengenAundB, n¨amlich A:={S ∈ P(n, k)|n∈S} , B:={S ∈ P(n, k)|n /∈S}.
Es giltB =P(n−1, k), also insbesondere|B|=|P(n−1, k)|. Weiterhin gibt es eine Bijektion zwischen A und P(n−1, k−1), n¨amlich
f:A→ P(n−1, k−1) , S 7→S∩ {1, . . . , n−1}.
Das f tats¨achlich eine Bijektion ist, sehen wir am besten indem wir die Umkehrabbildung angeben, n¨amlich
g:P(n−1, k−1)→A , T 7→T ] {n}.
Damit gilt |A|=|P(n−1, k−1). Fassen wir diese Erkenntnisse zusammen, erhalten wir die Behauptung:
n k
=|P(n, k)|=|A]B|=|A|+|B|=|P(n−1, k−1)|+|P(n−1, k)|
=
n−1 k−1
+
n−1 k
.
Diese rekursive Formel f¨ur die Binomialkoeffizienten l¨asst sich gut imPascalschen Dreieck
veranschaulichen, in dem jede Zahl die Summe der beiden dar¨uber liegenden Zahlen ist:
n= 0 1
n= 1 1 1
n= 2 1 2 1
n= 3 1 3 3 1
n= 4 1 4 6 4 1
n= 5 1 5 10 10 5 1
n= 6 1 6 15 20 15 6 1
2
Satz 3.1.10— F¨ur alle n, k∈N0 mit 0≤k≤n gilt
n k
= n!
k!(n−k)!.
Beweis. Wir zeigen die Behauptung per Induktion ¨uber n. F¨ur n = 0 gilt per Definition
0 0
= 1 = 0!0!0! .
F¨ur den Induktionsschritt d¨urfen wir Annehmen, dass wir bereits wissen, dass die Be-hauptung f¨ur ein Gegebenesnund alle 0≤k≤nwahr ist. Wir erhalten
n k
3.1.9
=
n−1 k−1
+
n−1 k
IV
= (n−1)! (k−1)!(n−k)!+
(n−1)! k!(n−k−1)! = (n−1)!·k+ (n−1)!·(n−k)
k!(n−k)!
= (n−1)!·n k!(n−k)!
= n!
k!(n−k)!.
3.2
Halbgruppen, Monoide und Gruppen
Definition 3.2.1 (Verkn¨upfungen) — Seien X, Y und Z Mengen. Eine Verkn¨upfung (oder
Paarung) von X und Y nach Z ist eine Abbildung ∗:X×Y →Z. Gegeben zwei Elemente x∈X undy∈Y schreiben wir ¨ublicherweisex∗y anstelle von∗(x, y) f¨ur das Bild von (x, y) unter der Verkn¨upfung. Ist aus dem Kontext klar, welche Verkn¨upfung gemeint ist, lassen wir das Verk¨upfungssymbol manchmal sogar ganz weg und schreiben xy anstelle vonx∗y. Sind alle drei Mengen gleich, also X = Y = Z, so nennen wir ∗:X×X → X auch eine innere Verkn¨upfung aufX.
Beispiel 3.2.2— 1) Es seiXeiner der ¨ublichen Zahlenbereiche, alsoX∈ {N,N0,Z,Q,R}.
Dann sind durch die Addition + : X×X →X, (x, y)7→x+y und durch die Multipli-kation ·:X×X →X, (x, y)7→x·y zwei innere Verkn¨upfungen aufX gegeben. 2) Die Verkn¨upfung (oder Hintereinanderausf¨uhrung) von Abbildungen ausDefinition 2.2.4
ist eine Verkn¨upfung im Sinn von Definition 3.2.1. F¨ur drei MengenX,Y und Z ist sie gegeben durch die Abbildung
◦: Abb(Y, Z)×Abb(X, Y)→Abb(X, Z) , (g, f)7→g◦f .
Definition 3.2.3 (Assoziativit¨at & Kommutativit¨at) — Gegeben sei eine Menge X zusam-men mit einer inneren Verkn¨upfung∗:X×X →X.
1) Die Verkn¨upfung heißt assoziativ, wenn f¨ur alle x, y, z∈Ggilt: x∗(y∗z) = (x∗y)∗z. 2) Die Verkn¨upfung heißt kommutativ, wenn f¨ur alle x, y∈Ggilt: x∗y=y∗x.
Halb-Beispiel 3.2.5— 1) Die ¨ublichen Zahlenbereiche mit der Addition als Verkn¨upfung, also (N,+), (N0,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), sind allesamt kommutative Halbgruppen.
2) Die ¨ublichen Zahlenbereiche mit der Multiplikation als Verkn¨upfung, also (N,·), (N0,·),
(Z,·), (Q,·), (R,·), sind allesamt kommutative Halbgruppen.
3) F¨ur jede Menge X ist die Menge Abb(X, X) der Selbstabbildungen von X zusammen mit der Verkn¨upfung ◦ von Abbildungen eine Halbgruppe. Besteht X aus mehr als einem Element, ist diese Halbgruppe jedoch nicht kommutativ. Um das zu sehen, seien a, b∈X mita6=b. Wir betrachten die konstanten Abbildungen f, g: X→ X gegeben durch f(x) =aund g(x) =b f¨ur alle x∈X. Dann gilt f¨urx∈X:
(f ◦g)(x) =f(g(x)) =f(b) =a , (g◦f)(x) =g(f(x)) =g(a) =b , also f ◦g6=g◦f.
Definition 3.2.6 (Neutrales Element) — Es sei (H,∗) eine Halbgruppe. Einneutrales Ele-ment ist ein Element e ∈ H mit der Eigenschaft, dass e∗x = x = x∗e f¨ur alle x ∈ H gilt.
Lemma 3.2.7— Eine Halbgruppe (H,∗) kann h¨ochstens ein neutrales Element haben. Beweis. Seien e ∈ H und e0 ∈ H neutrale Elemente. Dann gilt e = e∗e0 = e0. Die erste Gleichheit gilt, weil e ein neutrales Element ist, und die zweite Gleichheit folgt, weil e0 ein neutrales Element ist. Damit stimmen die beiden neutralen Elementee unde0 ¨uberein. Definition 3.2.8 (Monoid) — Ein Monoid ist eine Halbgruppe (M,∗), die ein neutrales Element besitzt.
Beispiel 3.2.9— 1) Die Halbgruppen (N0,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), haben 0 als
neu-trales Element, sind also Monoide. Die Halbgruppe (N,+) hingegen hat kein neutrales
Element, ist also kein Monoid.
2) Die Halbgruppen (N,·), (N0,·), (Z,·), (Q,·), (R,·) haben 1 als neutrales Element, sind
also Monoide.
3) F¨ur jede Menge X hat die Halbgruppe Abb(X, X),◦
die Identit¨atsabbildungidX als neutrales Element, ist also ein Monoid.
Definition 3.2.10 (Inverse Elemente) — Sei (M,∗) ein Monoid mit neutralem Element e. Seix∈M ein Element. EinInverses von x ist ein Elementy∈M mit der Eigenschaft, dass x∗y=e=y∗x.
Lemma 3.2.11— Jedes Element in einem Monoid (M,∗) hat h¨ochstens ein Inverses. Beweis. Seix∈M und seien y∈M und y0∈M Inverse zux. Dann gilt
y=y∗e=y∗(x∗y0) = (y∗x)∗y0=e∗y0 =y0.
Bemerkung 3.2.12 —Das Inverse eines Elements x eines Monoids ist also, im Falle seiner Existenz, eindeutig. Daher d¨urfen wir von dem Inversen von x (anstatt einem Inversen) sprechen. Wir schreiben das Inverse eines Elementsx ¨ublicherweise alsx−1.
Im Fall, dass die innere Verkn¨upfung eines Monoids durch das Symbol
Definition 3.2.13 (Gruppe) — Eine Gruppe ist ein Monoid (G,∗), in dem jedes Element ein Inverses besitzt.
Ausgeschrieben bedeutet das: Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Ver-kn¨upfung∗:G×G→G, die folgende Eigenschaften erf¨ullt:
(i) F¨ur alle x, y, z∈Ggilt: (x∗y)∗z=x∗(y∗z).
(ii) Es existiert (genau) eine∈Gso, dassx∗e=x=e∗x f¨ur alle x∈Ggilt. (iii) F¨ur alle x∈G existiert (genau) einx−1∈Gmitx∗x−1 =e=x−1∗x.
Ist die Verkn¨upfung∗ zus¨atzlich kommutativ, so sprechen wir auch von einer kommutativen
oderabelschen Gruppe.
Beispiel 3.2.14— 1) In den Monoiden (Z,+), (Q,+) und (R,+) hat jedes Elementxein
Inverses, n¨amlich−x. Also handelt es sich um Gruppen. Der Monoid (N0,+) hingegen
ist keine Gruppe.
2) In keinem der Monoide (N,·), (N0,·), (Z,·), (Q,·), (R,·) hat das Element 0 ein Inverses.
F¨ur jedes y ∈ R gilt n¨amlich 0·y = 0 6= 1, aber 1 ist das neutrale Element dieser Monoide. Damit ist keiner der Monoide (N,·), (N0,·), (Z,·), (Q,·), (R,·) eine Gruppe.
Wir k¨onnen jedoch in jedem der Beispiele die Teilmenge derjenigen Elemente, welche ein Inverses besitzen, betrachten. Diese Teilmengen sind, wieder mit der Multiplikation als Verkn¨upfung, Gruppen. Wir erhalten so die Gruppen ({1},·),3 ({−1,1},·), (Q\ {0},·),
(R\ {0},·).
3) Ein Element des Monoids (Abb(X, X),◦) hat genau dann ein Inverses, wenn es sich um eine bijektive Abbildung handelt. Damit ist (Abb(X, X),◦) i.A. keine Gruppe. Allerdings ist f¨ur jede Menge X die Menge
Bij(X) :=
f ∈Abb(X, X)| f ist bijektiv
der Bijektionen von X zusammen mit der Verkn¨upfung ◦: Bij(X)×Bij(X) → Bij(X) von Abbildungen eine Gruppe.
3.3
Ringe und K¨
orper
Definition 3.3.1 (Ringe und K¨orper) — Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei inneren Verkn¨upfungen +,·:R×R→R mit den Eigenschaften:
(a) (R,+) ist eine abelsche Gruppe. Wir schreiben das neutrale Element dieser Gruppe als 0 (und nennen es das Nullelement des Ringes) und die Inversen als−x.
(b) (R,·) ist ein Monoid. Wir schreiben das neutrale Element dieser Gruppe als 1 (und nennen es das Einselement des Ringes).
Der RingR heißt kommutativ, wenn die Verkn¨upfung·zus¨atzlich kommutativ ist.
EinK¨orper ist ein kommutativer Ring (K,+,·), der folgende zwei zus¨atzliche Eigenschaf-ten hat:
(d) 06= 1.
(e) F¨ur jedesx∈K\ {0}gibt es einx−1 ∈K\ {0}(genannt dasmultiplikative Inverse von x) mit x·x−1 = 1 =x−1·x. In anderen Worten: (K\ {0},·) ist eine Gruppe.
Bemerkung 3.3.2—Hier ist nochmal die entpackte Definition von Ringen und K¨orpern. Sei Reine Menge mit zwei inneren Verkn¨upfungen +,·:R×R→R. Wir betrachten die folgenden Bedingungen:
(i) F¨ur alle x, y, z∈R gilt: (x+y) +z=x+ (y+z) (Assoziativit¨at der Addition). (ii) F¨ur alle x, y∈R gilt: x+y=y+x (Kommutativit¨at der Addition).
(iii) Es existiert (genau) ein 0∈R so, dass x+ 0 =x = 0 +x f¨ur alle x ∈R gilt (Existenz des Nullelements als neutrales Element der Addition).
(iv) F¨ur allex∈R existiert (genau) ein−x∈Gmitx+ (−x) = 0 = (−x) +x(Existenz von additiven Inversen, auch genannt Negative).
(v) F¨ur alle x, y, z∈R gilt: (x·y)·z=x·(y·z) (Assoziativit¨at der Multiplikation). (vi) Es existiert (genau) ein 1∈R so, dassx·1 =x= 1·x f¨ur alle x∈R gilt (Existenz des
Einselements als neutrales Element der Multiplikation).
(vii) F¨ur allex, y, z∈Rgiltx·(y+z) =x·y+x·zund (y+z)·x=y·x+z·x(Distributivit¨at). (viii) F¨ur alle x, y∈R gilt: x·y=y·x (Kommutativit¨at der Multiplikation).
(ix) 06= 1.
(x) F¨ur jedesx∈K\ {0} gibt es einx−1 ∈K\ {0} mitx·x−1 = 1 =x−1·x (Existenz von multiplikativen Inversen).
(R,+,·) ist ein Ring, wenn die Bedingungen (i)–(vii) erf¨ullt sind. (R,+,·) ist ein kommuta-tiver Ring, wenn die Bedingungen (i)–(viii) erf¨ullt sind. (R,+,·) ist ein K¨orper, wenn alle Bedingungen(i)–(x) erf¨ullt sind.
Beispiel 3.3.3— 1) Die ganzen Zahlen (Z,+,·) zusammen mit der ¨ublichen Addition und
Multiplikation bilden einen kommutativen Ring. Allerdings ist (Z,+,·) kein K¨orper: Nur
1 und −1 besitzen multiplikative Inverse, alsoZ×={−1,1}.
2) Die rationalen Zahlen (Q,+,·) und die reellen Zahlen (R,+,·) sind K¨orper.
Den weiteren f¨ur uns relevanten Beispielen von Ringen und K¨orpern widmen wir eigene Unterabschnitte.
Bemerkung 3.3.4 —Es sei (R,+,·) ein Ring (oder ein K¨orper). Wenn wir davon ausgehen, dass klar ist, was die Addition und Multiplikation inR sind, sprechen wir auch oft von dem RingR, anstatt (R,+,·). Insbesondere sprechen wir von dem RingZund den K¨orpernQund R und meinen damit selbstverst¨andlich diese Mengen zusammen mit der ¨ublichen Addition
Definition 3.3.5 — Es sei R ein Ring. Die Elemente von R, welche ein multiplikatives Inverses besitzen, nennen wir auchEinheiten des Rings. Die Menge der Einheiten schreiben wir als
R×:={x∈R | ∃x−1∈R : xx−1 = 1 =x−1x}.
Wir nennenR×auch dieEinheitengruppe vonR(es ist, beinahe direkt per Definition, (R×,·) tats¨achlich eine Gruppe).
Bemerkung 3.3.6—Ein RingRmit mehr als einem Element ist genau dann ein K¨orper, wenn R\ {0}=R× gilt.
3.3.1 Der K¨orper mit zwei Elementen: F2
Wir betrachten die zwei-elementige Menge F2 := {0,1}. Auf dieser Menge definieren wir
eine Addition und eine Multiplikation, dieF2 zu einem K¨orper machen. Die Striche ¨uber den
Zahlen dienen dazu Verwechslungen mit den nat¨urlichen Zahlen zu vermeiden. Ist jedoch klar, das eine Rechnung in F2 durchgef¨uhrt wird, so lassen wir die Striche auch h¨aufig weg und
schreiben die beiden Elemente einfach als 0 und 1.
Wir definieren die Verkn¨upfungen +,·:F2×F2 →F2 durch
0 + 0 = 0 , 0 + 1= 1 , 1 + 0 = 1 , 1 + 1= 0, (3.1) 0·0 = 0 , 0·1 = 0 , 1·0 = 0 , 1·1 = 1. (3.2) Proposition 3.3.7— F2 ist ein K¨orper.
Beweis. Es folgt direkt aus den Definitionen der Addition und der Multiplikation, also (3.1) und (3.2), dass 0 das neutrale Element der Addition und 1 das neutrale Element der Multipli-kation ist. Insbesondere gibt es ein neutrales Element der Addition und ein neutrales Element der Multiplikation und diese stimmen nicht ¨uberein: 06= 1.
Die Kommutativit¨at der Addition und Multiplikation lesen wir ebenso direkt aus (3.1) und (3.2) ab: Es gilt 0 + 1 = 1 = 1 + 0 und 0·1 = 0 = 1·0.
Die inversen Elemente bez¨uglich der Addition sind gegeben durch−0 = 0 und−1 = 1. Es gibt nur ein Element inF2\ {0}, n¨amlich 1. Dieses hat sich selbst als multiplikatives Inverses:
1−1= 1.
Um das Assoziativgesetz f¨ur die Addition zu ¨uberpr¨ufen, m¨ussen wir zeigen, dass f¨ur alle a, b, c∈F2 die Gleichheit a+ (b+c) = (a+b) +c gilt. Das m¨ussen wir einfach f¨ur alle acht
m¨oglichen Tripel (a, b, c) ∈ (F2)3 nachrechnen, was eine (vom Aufwand her ¨uberschaubare)
Fleißarbeit ist:4
0 + (0 + 0) = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = (0 + 0) + 0, 0 + (0 + 1) = 0 + 1 = 1 = 0 + 1 = (0 + 0) + 1, 0 + (1 + 0) = 0 + 1 = 1 = 1 + 0 = (0 + 1) + 0, 0 + (1 + 1) = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = (1 + 1) + 0, 1 + (0 + 0) = 1 + 0 = 1 = 1 + 0 = (1 + 0) + 0, 1 + (0 + 1) = 1 + 1 = 0 = 1 + 1 = (1 + 0) + 1, 4
1 + (1 + 0) = 1 + 1 = 0 = 0 + 0 = (1 + 1) + 0, 1 + (1 + 1) = 1 + 0 = 1 = 0 + 1 = (1 + 1) + 1.
F¨ur das Assoziativgesetz f¨ur die Multiplikation k¨onnten wir genauso vorgehen und die Gleich-heita·(b·c) = (a·b)·c einfach in allen acht F¨allen nachrechnen. Wir k¨onnen uns das aber mit folgendem Argument ersparen: Aus (3.2) sehen wir das 0·x= 0 =x·0 f¨ur jedes x∈F2
(alsox= 0 oder x= 1) gilt. Damit gilt, sobald eines der drei Elementea, b, c gleich null ist, a·(b·c) = 0 = (a·b)·0. Also ist nur noch der Fall a = b = c = 1 zu testen und es gilt tats¨achlich 1·(1·1) = 1·1 = (1·1)·1.
F¨ur den ersten Teil des Distributivgesetzes,a(b+c) =ab+ack¨onnen wir erneut 8 F¨alle per Hand ¨uberpr¨ufen oder stattdessen wie folgt argumentieren: Wegen 0·x= 0 f¨ur allex∈F2, gilt 0·(b+c) = 0 = 0 + 0 = 0·b+ 0·c. Da 1 das neutrale Element der Multiplikation ist, gilt 1·(b+c) =b+c= 1·b+ 1·c. Also haben wir die Distributivit¨ata·(b+c) =a·b+a·c sowohl im Fall a = 0 als auch im Fall a = 1 (jeweils mit beliebigem b und c gezeigt). Der zweite Teil des Distributivgesetzes, (b+c)a= ba+ac, folgt aus dem ersten, da wir bereits die Kommutativgesetze gezeigt haben.
Falls wir keines der zehn K¨orper-Axiome (siehe Bemerkung nach Definition 3.3.1) verges-sen haben, ist der Beweis damit abgeschlosverges-sen.
In Kapitel 5 werden wir sp¨ater noch sehen, dass F2 Teil einer Serie von K¨orpernFp, ein K¨orper zu jeder Primzahl p, ist.
3.3.2 Der Polynomring
Es sei (R,+,·) ein Ring. Wir fassen zun¨achst die wichtigsten grundlegenden Fakten ¨uber Polynome informell zusammen. Ein Polynom in der Variablen x mit Koeffizienten in R ist ein Ausdruck der Form
f =a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn mitn∈N0 und a1, . . . , an∈R .
Wir k¨onnen die Multiplikation und Addition vonR auf die Polynome mit Koeffizienten fort-setzen, indem wir so tun als sei x ein unbekanntes, aber festes, Element von R. Ist zum Beispiel R=Z,f =x3+ 2x−1 undg=x2−3x so ist
f+g=x3+x2−x−1 und f·g=x5−3x4+ 2x3−7x2+ 3x .
Die Menge der Polynome R[x] wird dadurch zu einem Ring. Ist R kommutativ, so ist R[x] ebenfalls kommutativ.
Eigentlich ist hiermit alles gesagt, was wir zun¨achst ¨uber Polynome wissen m¨ussen. Der Vollst¨andigkeit halber geben wir aber gleich noch mathematisch pr¨azise Definition von Po-lynomen und ihren Rechenoperationen. Eine Ungenauigkeit in obigem Absatz besteht darin, dass wir folgende zwei Polynome eigentlich als gleich ansehen m¨ochten:
x3+ 2x−1 =x3+ 0x2+ 2x−1.
Als rein formale Ausdr¨ucke unterscheiden sich jedoch beide Seiten um den Term 0x2. Au-ßerdem ist die Formulierung
Die L¨osung f¨ur diese Probleme liegt darin ein Polynom mit der Folge seiner Koeffizienten zu identifizieren. Bevor wir dies tun, machen wir noch folgende, auch ansonsten n¨utzliche, Definition.
Definition 3.3.8— Es sei∅ 6=M ⊆Reine endliche Teilmenge.
1) Das kleinste Element der Menge M heißt Minimum von M und wir schrieben es als min(M). Es gilt alsomin(M)∈M und min(M)≤x f¨ur alle x∈M.
2) Das gr¨oßte Element der Menge M heißt Maximum von M und wir schrieben es als max(M). Es gilt alsomax(M)∈M und max(M)≥x f¨ur alle x∈M.
Definition 3.3.9— Ein Polynom mit Koeffizienten in dem RingRist eine Folgea:N0 →R
bei der nur endlich viele Folgeglieder ungleich null sind. Ist zumindest ein Folgeglied ungleich null, so nennen wir n := deg(a) := max{n ∈ N0 | an 6= 0} den Grad des Polynoms und schreiben das Polynom{an}n∈N meist (eigentlich immer) in einer der Formen
n X
i=0
aixi oder a0+a1x+· · ·+anxn.
Wir nennen die Folgegliederai dieKoeffizienten des Polynoms. Ist ein Koeffizient gleich null, ai = 0, so lassen wir den Ausdruck aixi in der Summenschreibweise oft einfach weg. Wir schreiben die Menge aller Polynome mit Koeffizienten inR als R[x].
Beispiel 3.3.10— Das Polynom x3+ 2x−1 ist also bloß eine andere Schreibweise f¨ur die Folgea:N0→Z gegeben durch
a0=−1 , a1 = 2 , a2 = 0 , a3= 1 , am = 0 f¨urm >3.
Sind {ai}i∈N und {bi}i∈N zwei Polynome mit Koeffizienten in R, so definieren wir deren Summe als die Folge a+b gegeben durch (a+b)i :=ai+bi und deren Produkt als die Folge a·b gegeben durch (a·b)i :=Pik=0ak·bi−k. Diese Definition wird deutlich intuitiver, wenn wir die Polynome in der FormPni=0aixi und Pmi=0bixi schreiben. Dann gilt n¨amlich
n X
i=0
aixi
+ m X
i=0
bixi
:=
max{n,m}
X
i=0
(ai+bi)xi, n
X
i=0
aixi
·
m X
i=0
bixi
:= n+m
X
i=0
i X
k=0
ak·bi−k
xi.
Proposition 3.3.11 — Ist R ein Ring, so ist die Menge der Polynome R[x] mit der oben definierten Addition und Multiplikation erneut ein Ring. Der RingR[x]ist kommutativ genau dann wennR kommutativ ist.
Wir k¨onnen jedem Polynom f = Pni=1aixi ∈ R[x] eine Abbildung R → R zuordnen. Diese nennen wir die zu f geh¨orige Polynomfunktion und wir bezeichnen diese Abbildung ¨
ublicherweise mit dem selben Buchstabenf:R→R. Sie ist gegeben durchf(β) =Pn i=1aiβi f¨ur jedes β ∈R. In den meisten F¨allen (zum Beispiel R∈ {Z,Q,R}), l¨asst sich das Polynom
f ∈R[x] aus der Polynomfunktionf:R→Rzur¨uckgewinnen, so dass man gefahrlos das Po-lynom mit seiner zugeh¨origen Polynomfunktion identifizieren kann. Das ist aber nicht immer der Fall. Sei zum Beispielf :=x2+x∈F2[x]. Dann ist
f(0) = 02+ 0 = 0 und f(1) = 12+ 1 = 1 + 1 = 0.
Also ist f:F2 →F2 die konstante Nullfunktion. Allerdings ist f =x2+x nicht das
Nullpo-lynom.
3.3.3 Die komplexen Zahlen C
Die komplexen Zahlen C ist ein Erweiterungsk¨orper von R, der dadurch entsteht, dass wir
k¨unstlich eine Quadratwurzel i:= √−1, genannt die imagin¨are Einheit, der negativen Zahl
−1 hinzuf¨ugen. Hier ist die formale Definition.
Definition 3.3.12 — Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form a+bi, wobei i eine formale Variable ist. Komplexe Zahlen sind also Polynome vom Grad 1 inR[i]. Die Addition
zweier komplexer Zahlen ist gegeben durch
(a+bi) + (c+di) := (a+c) + (b+d)i .
Die Multiplikation komplexer Zahlen unterscheidet sich jedoch von der Multiplikation von Polynomen. Sie ist gegeben durch
(a+bi)·(c+di) := (ac−bd) + (ad+bc)i . Wir schrieben die Menge der komplexen Zahlen als C={a+bi|a, b∈R}
Istb= 0, so schreiben wir auch einfach aanstelle vona+ 0i. Damit ist insbesondere jede reelle Zahl eine komplexe Zahl, alsoR⊆C. Ista= 0, so schreiben wir auch einfachbianstelle
von 0 +bi. Ist a= 0 und b = 1 so schreiben wir auch einfach ianstelle von 1i oder 0 + 1i. Nach der Definition der Multiplikation gilt
i2 = (0 + 1i)·(0 + 1i) = (0·0−1·1) + (0·1 + 0·1)i=−1 + 0i=−1. Also k¨onnen wiri tats¨achlich als Quadratwurzel von−1 ansehen:i=√−1.
Proposition 3.3.13— Die komplexen Zahlen C sind mit der oben definierten Addition und Multiplikation ein K¨orper.
Beweis. Man muss nacheinander alle zehn K¨orper-Axiome nachpr¨ufen. Das ist nicht schwer, aber aufw¨andig, und wir lassen den gr¨oßten Teil weg und erw¨ahnen bloß, wie die neutralen Elemente und Inverse gegeben sind.
Die wohl wichtigste Eigenschaft der komplexen Zahlen ist, dass sie nicht bloß die Wurzel von −1 sondern sogar alle Nullstellen von reellen Polynomen enthalten, was (eine Variante des) Fundamentalsatzes der Algebra ist.
Satz 3.3.14 — Jedes reelle Polynom f ∈ R[x] vom Grad deg(f) = n l¨asst sich in C[x] in der Form f = Qni=1(x−αi) f¨ur geeignete αi ∈ C schreiben. Insbesondere hat f komplexe Nullstellen, also αi ∈C mitf(αi) = 0.
Beweis. Der Beweis ist recht schwer und wir lassen ihn weg. Beispiel 3.3.15—
x2+ 1 = (x+i)(x−i) , x2+ 5 = (x+√5i)(x−√5i) x3−1 = (x−1)(x2+x+ 1) = (x−1)(x−1
2 −
√
3 2 i)(x−
1 2+
√
Kapitel 4
Lineare Algebra
4.1
Matrizen
4.1.1 Addition und Multiplikation von Matrizen
F¨ur jede nat¨urliche Zahln∈Nsetzen wir
[n] :={1, . . . , n}:={k∈N|k≤n}.
Definition 4.1.1 (Matrizen) — Es seiR ein Ring (¨ublicherweise einer der Ringe Z,Q oder R) und m, n∈N. Eine (m×n)-Matrix mit Werten in R ist eine Abbildung
A: [m]×[n]→R .
Wir schreiben, f¨ur 1≤ i≤ m und 1≤ j ≤ n, h¨aufig aij anstelle von A(i, j). Die Matrix A stellen wir meist in einer der folgenden Formen dar:
A= (aij)1≤i≤m
1≤j≤n =
a11 · · · a1n ..
. ...
am1 · · · amn
Wir schreibenMatm×n(R) f¨ur die Menge aller (m×n)-Matrizen mit Werten inR.
Beispiel 4.1.2 — Die Matrix A =
1 0 3
−2 5 7
∈ Mat2×3(Z) ist also eine andere
Schreib-weise f¨ur die Abbildung A:{1,2} × {1,2,3} →Zgegeben durch
A(1,1) = 1, A(1,2) = 0, A(1,3) = 3, A(2,1) =−2, A(2,2) = 5, A(2,3) =−7.
Bemerkung 4.1.3—Wenn wir von einer Matrix sprechen, denken wir eher an eine Liste der Form
A=
a11 · · · a1n ..
. ...
am1 · · · amn
hat jedoch zwei Vorz¨uge. Sie ist mathematisch pr¨azise (wir m¨ussten uns ansonsten zun¨achst dar¨uber einigen was genau wir mit einer Liste meinen) und die Darstellung einer Matrix als Abbildung ist praktischer f¨ur die Definition von Addition und Multiplikation von Matrizen, wie wir gleich sehen werden.
Definition 4.1.4(Addition und Multiplikation von Matrizen) — Es seiR ein Ring.
1) Seien A, B ∈ Matm×n(R). Dann ist die Summe von A und B definiert als die Matrix
A+B∈Matm×n(R) gegeben durch (A+B)(i, j) :=aij +bij f¨ur alle (i, j)∈[m]×[n]. 2) SeienA∈Mat`×m(R) undB ∈Matm×n(R). Dann ist dasProduktvonAundBdefiniert als die Matrix A·B ∈Mat`×n(R) gegeben durch (A·B)(i, j) := Pmt=1ait·btj f¨ur alle (i, j)∈[`]×[n].
Bemerkung 4.1.5—SeienA∈Matk,`(R),B ∈Matm,n(R) Matrizen verschiedener Gr¨oße, also (k, l)6= (m, n). Dann ist die SummeA+B nicht definiert.
Ebenso wenig sind Produkte A·B von Matrizen definiert, wenn die Breite von A nicht mit der H¨ohe von B ¨ubereinstimmt, also falls A ∈Mat`,m0(R), B ∈ Matm,n(R) mit m0 6=m ist.
Beispiel 4.1.6— Hier sind einige Summen und Produkte von Matrizen:
1 0 3
−2 5 7
+
0 2 −1
4 4 3
=
1 2 2 2 9 10
,
1 2 3·
1 2
−1
= (2),
1 2
−1
· 1 2 3
=
1 2 3
2 4 6
−1 −2 −3
,
1 0 3
−2 5 7
·
0 2
−1 4 4 3
=
12 11 23 37
.
Proposition 4.1.7— Es sei R ein Ring.
1) Die Addition von Matrizen ist assoziativ: F¨urA, B, C ∈Matm×n(R)gilt stets(A+B) + C =A+ (B+C).
2) Die Addition von Matrizen ist kommutativ: F¨urA, B ∈Matm×n(R) gilt stets A+B = B+A.
3) Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ: F¨ur A ∈ Matk×`(R), B ∈ Mat`×m(R), C ∈Matm×n(R) gilt stets (A·B)·C=A·(B·C).
4) Die Addition und Multiplikation von Matrizen erf¨ullen das Distributivgesetz: F¨ur A ∈
Matk×`(R),B, C ∈Mat`×m(R), D∈Matm×n(R) gilt stetsA·(B+C) =A·B+A·C
Beweis. Wir zeigen nur den vermutlich schwersten Teil (3), der Rest ist eine ¨Ubungsaufgabe. Wir m¨ussen zeigen, dass f¨ur alle (i, j)∈[k]×[n] gilt (A·B)·C(i, j) = A·(B·C)(i, j), das heißt, dass s¨amtliche Eintr¨age der beiden (k×n)-Matrizen A·(B ·C) und (A·B)·C ¨
ubereinstimmen. Tats¨achlich gilt f¨ur jedes (i, j)∈[k]×[n]: (A·B)·C
(i, j) =
m X
t=1
(A·B)(i, t)·ctj (Definition der Matrizenmultiplikation)
= m X
t=1
` X
s=1
ais·bst·ctj (Definition der Matrizenmultiplikation)
= m X
t=1
` X
s=1
(ais·bst)·ctj (Distributivgesetz inR)
= m X
t=1
` X
s=1
ais·(bst·ctj) (Assoziativit¨at der Multiplikation in R)
= ` X
s=1
m X
t=1
ais·(bst·ctj) (Kommutativit¨at der Addition inR)
= ` X
s=1
ais·
m X
t=1
bst·ctj (Distributivgesetz inR)
= ` X
s=1
ais·(B·C)(s, j) (Definition der Matrizenmultiplikation) = A·(B·C)
(i, j). (Definition der Matrizenmultiplikation)
Bemerkung 4.1.8—An dieser Proposition l¨asst sich gut erkennen wie n¨utzlich es in der Ma-thematik ist Objekte in Kategorien wie Gruppen, Ringe oder K¨orper einzuteilen. Wir wissen jetzt, dass die wichtige Rechenregel Assoziativit¨at f¨ur die Matrizenmultiplikation immer gilt, unabh¨angig davon, ob wir ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen oder auch Polynome (sieheUnterabschnitt 3.3.2) als Eintr¨age haben. Anstatt die Assoziativit¨at der Matrizenmul-tiplikation f¨ur jeden der Zahlenbereiche einzeln zu beweisen, mussten wir nur einen Beweis, f¨ur einen beliebigen Ring, durchf¨uhren.
4.1.2 Der Ring der quadratischen Matrizen
Wir nennen Matrizen inMatn×n(R)quadratischeMatrizen, da sie die gleiche H¨ohe und Breite nhaben.
Proposition 4.1.9— SeiRein Ring. Dann ist f¨ur jedesn∈Ndie Menge der quadratischen Matrizen Matn×n(R) zusammen mit der in Definition 4.1.4 definierten Multiplikation und
Addition wieder ein Ring.
Wir geben die neutralen Elemente und additiven Inversen nur an und ¨uberlassen das ¨
Uberpr¨ufen der geforderten Eigenschaften der Leserin oder dem Leser. Das Nullelement ist gegeben durch die Nullmatrix
0n:=
0 · · · 0 ..
. ... 0 · · · 0
.
Das additive Inverse −A einer Matrix A ist gegeben durch (−A)(i, j) := −A(i, j) f¨ur alle i, j ∈[n], wir nehmen also eintragsweise das additive Inverse in R. In anderen Worten:
−A=
−a11 · · · −a1n ..
. ...
−am1 · · · −amn
Das Einselement inMatn×n(R) ist dieEinheitsmatrix 1n, gegeben durch
1n:=
1 0 . . . 0 0 . .. ... ...
..
. . .. ... 0 0 · · · 0 1
oder genauer: 1n(i, j) :=δij := (
1 fallsi=j 0 fallsi6=j .
Bemerkung 4.1.10— Selbst wenn der RingR kommutativ ist, istMatn×n(R) im Allgemeinen
nicht kommutativ. Selbst wenn R ein K¨orper ist, hat nicht jede quadratische Matrix ein multiplikatives Inverses.
4.1.3 Vektoren und Transposition einer Matrix
Definition 4.1.11— Sei R ein Ring und n∈ N. Wir nennen eine Matrix w ∈ Mat1×n(R) der H¨ohe 1 einen Zeilenvektor. Eine Matrix v ∈ Matn×1(R) der Breite 1 nennen wir einen Spaltenvektor. Wir schreiben auch kurz
Rn:=Matn×1(R) =
n
x1
.. . xn
|x1, . . . , xn∈R o
f¨ur die Menge der Spaltenvektoren.
Bemerkung 4.1.12 —Streng genommen ist Rn damit jetzt doppelt belegt, da wir in Unter-abschnitt 2.1.7 das kartesische Produkt Rn als die Menge der Tupel (x1, . . . , xn) mitxi ∈R
definiert hatten. Das ist allerdings nicht so gravierend: Es handelt sich bloß um zwei unter-schiedliche graphische Darstellung der Wahl von n Elementen von R (einmal werden diese nebeneinander, einmal untereinander geschrieben). Ab jetzt steht, sobaldR ein Ring ist,Rn f¨ur die Menge der Spaltenvektoren.
Beispiel 4.1.14— 1 2 3 4 5 6 T =
1 3 5 2 4 6
.
Bemerkung 4.1.15 —Merkregel: Beim Transponieren wird die erste Spalte zu ersten Zeile, die zweite Spalte zur zweiten Zeile, usw.
Bemerkung 4.1.16 —Im Skript werden wir h¨aufig Spaltenvektoren als Transponierte von Zeilenvektoren schreiben, da dies oft besser aussieht. An der Tafel bleiben wir eigentlich fast immer bei Spaltenvektoren.
Beispiel 4.1.17 — Es sieht nicht gut aus den Spaltenvektor v = 1 0 −3 7
so im Text
dar-zustellen, da er zu ¨ubergroßen Abst¨anden f¨uhrt. Die Darstellung des gleichen Vektors als Transponierter eines Zeilenvektors v= 1 0 −3 7T hingegen macht keine Probleme.
4.1.4 Matrizen codieren Lineare Gleichungssysteme
Proposition 4.1.18— Es seiR ein Ring,m, n∈N und
A:=
a11 · · · a1n
..
. ...
am1 · · · amn
∈Matm×n(R) , x= x1 .. . xn ∈R
n , b= b1 .. . bm ∈R
m.
Dann ist die Gleichung von Spaltenvektoren
Ax=b (4.1)
genau dann erf¨ullt, wenn alle der folgenden m Gleichungen erf¨ullt sind
a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn=b2, ..
. (4.2)
am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm.
Beweis. Nach Definition der Matrixmultiplikation ist Axein Spaltenvektor der H¨ohem, ge-geben durch Ax=
a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn
.. .
am1x1+am2x2+· · ·+amnxn
.
Die Gleichung (4.1) ist also von der Form
a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn
.. .
