Lineer Cebir
Lineer Cebir
(Matris – Determinant)
(Matris – Determinant)
Bu dokümanda kitap dili kullanılmamıştır. Bu dokümanda kitap dili kullanılmamıştır. Tanım
Tanım
F bir cisim, i=1,2,...,m ve j=1,2,…,n için F bir cisim, i=1,2,...,m ve j=1,2,…,n için ijij
a
a
∈
∈
F
F
olmak üzere,olmak üzere,1 111 1122 11nn 2 211 2222 22nn m m11 mm22 mmnn
a
a
a
a
... a
a
a
a
a
a
... a
. a
...
...
...
...
a
a
a
a
... a
. a
şeklindeki dikdörtgensel tabloya mxn tipinde bir şeklindeki dikdörtgensel tabloya mxn tipinde bir matris denir ve bu kısaca A=[a
matris denir ve bu kısaca A=[aijij]]mxnmxnşeklindeşeklinde
gösterilir. i' ye satır indisi, j’ ye sütun indisi, a gösterilir. i' ye satır indisi, j’ ye sütun indisi, aijij’’
ye de matrisin i. satır, j. sütundaki el
ye de matrisin i. satır, j. sütundaki elemanıemanı denir.
denir.
Uyarı Uyarı A
Amxnmxnmatrisinin eleman sayısı n.m tanedir.matrisinin eleman sayısı n.m tanedir.
Bunu çarpım yoluyla sayma metoduyla Bunu çarpım yoluyla sayma metoduyla kolaylıkla bulabilirsiniz. kolaylıkla bulabilirsiniz. Örnek Örnek 2 2 1 1 00 A A 0 0 33 33 − − = =
A matrisi, R cismi üstünde tanımlanmış 2x3 A matrisi, R cismi üstünde tanımlanmış 2x3
tipinde bir matristir. A tipinde bir matristir. A2x32x3 A matrisinin elemanları; A matrisinin elemanları;
a
a1111=1, a=1, a1212=-2, a=-2, a1313=0, a=0, a2121=0, a=0, a2222== 3 , 3 , aa2323=3=3
A matrisinin satır ve sütunları; A matrisinin satır ve sütunları;
1. satırı [1,-2,0] 1. satırı [1,-2,0] 2. 2. satsatırı ırı [0, [0, 33 ,3],3] 1.sütunu 1.sütunu 11 0 0 2. sütunu 2. sütunu 22 3 3 − − 3. sütunu 3. sütunu 00 3 3 Örnek Örnek A=[a
A=[aijij]]4x34x3 matrisi 4x3 tipinde verildiğinden, 4matrisi 4x3 tipinde verildiğinden, 4
tane satırı, 3 tane sütunu vardır. A matrisinin tane satırı, 3 tane sütunu vardır. A matrisinin eleman sayısı 12 tanedir. a
eleman sayısı 12 tanedir. a3x43x4elemanı Aelemanı A
matrisinin elemanı değildir. i=1,2,3,4 ve j=1,2,3 matrisinin elemanı değildir. i=1,2,3,4 ve j=1,2,3 değerlerini alabilir.
değerlerini alabilir. ki matrisin eşitliği ki matrisin eşitliği A=[a
A=[aijij]]mxnmxnve B=[bve B=[bijij]]mxnmxniki matris olsun. Her i ve jiki matris olsun. Her i ve j için a
için aijij=b=bijijise A ve B matrisleri eşittir denir. A=Bise A ve B matrisleri eşittir denir. A=B
şeklinde gösterilir. şeklinde gösterilir.
ki matrisin eşit olabilmesi için aynı tipten ki matrisin eşit olabilmesi için aynı tipten olması gerekir. O halde genel olarak olması gerekir. O halde genel olarak
m
mxxnn nnxxmm
A
A ≠≠ AA dir.dir. Örnek Örnek xx yy aa bb xx yy xx yy 33 77 = = + + −− olduğuna göre a+b kaçtır? olduğuna göre a+b kaçtır? Çözüm:
Çözüm:
a=x, b=y olduğuna göre sorulan x+y dir. x+y=3 a=x, b=y olduğuna göre sorulan x+y dir. x+y=3 olduğu tabloda zaten verilmiştir.
olduğu tabloda zaten verilmiştir. Özel matrisler
Özel matrisler Karesel matris Karesel matris
Bir matriste satır sayısı, sütun sa
Bir matriste satır sayısı, sütun sayısına eşitseyısına eşitse yani m=n ise bu matrise
yani m=n ise bu matrise karesel matris (karekaresel matris (kare matris)
matris) denir.denir. 4
4
matrisi 1x1 tipinde karesel matristir. (Bumatrisi 1x1 tipinde karesel matristir. (Bu
her sayı matristir anlamına gelmez. her sayı matristir anlamına gelmez.))
1 1 22 3 3 44
matrisi 2x2 tipinde karesel matristir.matrisi 2x2 tipinde karesel matristir.
Sıfır matris Sıfır matris Her (i,j)
Her (i,j) ∈∈mxn için amxn için aijij=0 ise bu matrise=0 ise bu matrise sıfır sıfır matrisi
matrisi denir ve O ile gösterilir.denir ve O ile gösterilir.
(Yani, tüm elemanları sıfır olan matrise sıfır (Yani, tüm elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi diyoruz. Sıfır matrisi karesel matris matrisi diyoruz. Sıfır matrisi karesel matris olmak zorunda değildir)
olmak zorunda değildir)
1 111 1122 11nn 2 211 2222 22nn m m11 mm22 mmnn
a
a
a
a
... a
a
a
a
a
a
... a
. a
...
...
...
...
a
a
a
a
... a
. a
1. satır 1. satır 2. satır 2. satır m. satır m. satır 1 1 .. s s ü ü t t u u n n 2 2 .. s s ü ü t t u u n n n n .. s s ü ü t t u u n n 1 1 22 22 3 3 22 55 0 0 00 00 −− köşegen köşegen1. köşegen veya kısaca 1. köşegen veya kısaca köşegende i=j dir. köşegende i=j dir.
0 0 ,, 00 00 0 0 00 ,, 0 0 00 00 0 0 00 00 , …, …
Not: A sıfır matris ise A=0 yazıldığı da olur. Not: A sıfır matris ise A=0 yazıldığı da olur. Birim matris
Birim matris Bi
Bir r nxnxn n kakareresesel l mamatrtrisiste ite i≠≠ jj için aiçin aijij=0 ve i=j=0 ve i=j için a
için aijij=1 ise bu matrise birim matris denir ve I=1 ise bu matrise birim matris denir ve Inn ile gösterilir.
ile gösterilir.
(Birim matris karesel matris olmak zorundadır. (Birim matris karesel matris olmak zorundadır. Kare matrisin köşegen üzerindeki elemanlar 1 Kare matrisin köşegen üzerindeki elemanlar 1 diğer elemanlar 0 olmalı, I
diğer elemanlar 0 olmalı, I1x11x1=I=I11))
II11== 1 1 II22== 1 1 00 0 0 11 II33== 1 1 00 00 0 0 11 00 0 0 00 11 Satır matris Satır matris A
A1xn1xntipindeki matrisleretipindeki matrislere satır matrissatır matrisdenir.denir.
1 1 , , 2 2 −−2 52 5,…,… Sütun matris Sütun matris A
Amx1mx1tipindeki matrisleretipindeki matrisleresütun matrissütun matrisdenir.denir.
1 1 ,, 33 2 2 ,, 1 1 1 1 1 1 ,… ,… Alt matris Alt matris
Bir matrisin bazı satır ve sütunları silindiğinde Bir matrisin bazı satır ve sütunları silindiğinde kalan matrise o matrisin
kalan matrise o matrisin alt matrisalt matrisi denir.i denir. 2x3 tipinde verilen 2x3 tipinde verilen 11 22 33 4 4 55 66
matrisin altmatrisin alt matrislerini yazalım, matrislerini yazalım, 1. satır silinirse; 1. satır silinirse; 4 4 55 66 1x3 tipinde1x3 tipinde 2. satır silinirse; 2. satır silinirse; 1 1 22 33 1x3 tipinde1x3 tipinde 1. sütun silinirse; 1. sütun silinirse; 2 2 33 5 5 66 2x22x2 2. sütun silinirse; 2. sütun silinirse; 1 1 33 4 4 66 2x22x2 3. sutun silinirse; 3. sutun silinirse; 1 1 22 2x22x2 1. ve 2. sütun silinirse; 1. ve 2. sütun silinirse; 5 5 6 6 2x12x1 1 ve 3. sütun silinirse; 1 ve 3. sütun silinirse; 2 2 5 5 2x12x1 2 ve 3. sütun silinirse; 2 ve 3. sütun silinirse; 1 1 4 4 2x12x1
Boş matris veya elemanı olmayan matris diye Boş matris veya elemanı olmayan matris diye bir tanımlama yapılmadığını unutmayalım. bir tanımlama yapılmadığını unutmayalım.
Tanım verilmemiş ama her matris kendisinin alt
Tanım verilmemiş ama her matris kendisinin alt
matrisi oluyorsa (şuan bilmiyorum, hatalıysa
matrisi oluyorsa (şuan bilmiyorum, hatalıysa
düzeltiniz) 2x3 tipindeki matrisin 21 tane alt
düzeltiniz) 2x3 tipindeki matrisin 21 tane alt
matrisi vardır bunlardan 9 tanesi verilmiştir.
matrisi vardır bunlardan 9 tanesi verilmiştir.
Güzel bir araştırma sorusu unutmadan
Güzel bir araştırma sorusu unutmadan
yazalım;
yazalım; mxn tipindeki matrisin kaç tane alt mxn tipindeki matrisin kaç tane alt
matrisi vardır
matrisi vardır ? Okuldaysak öğrencilere bunu? Okuldaysak öğrencilere bunu
araştırma ödevi olarak verebilir ve sözlü notu
araştırma ödevi olarak verebilir ve sözlü notu
ile değerlendirebiliriz ile değerlendirebiliriz Matrislerde toplama Matrislerde toplama Tanım Tanım A=[a
A=[aijij]]mxnmxnve B=[bve B=[bijij]]mxnmxnaynı tipten iki matrisaynı tipten iki matris olsun.
olsun.
A ile B nin toplamı A ile B nin toplamı A+B=[a
A+B=[aijij]]mxnmxn+[b+[bijij]]mxnmxn =[a=[aijij+b+bijij]]mxnmxn olarak tanımlanır.
olarak tanımlanır. Yani aynı indisli
Yani aynı indisli elemanlar toplanıp aynı yereelemanlar toplanıp aynı yere yazılır. yazılır. Örnek Örnek 1 1 22 33 22 11 33 33 11 00 0 0 22 44 33 22 22 33 00 66 − − −− + + == −− Örnek Örnek 1 1 22 33 11 22 33 22 44 66 4 5 6 4 5 6 4 5 64 5 6 88 1100 1122 + + == ⇔⇔ 1 1 22 33 22..11 22..22 22..33 2. 2. 4 4 55 66 22..44 22..55 22..66 = =
Matrisin bir skaler ile çarpımı Matrisin bir skaler ile çarpımı
Cisim elemanlarına skaler denir. 2 bir
Cisim elemanlarına skaler denir. 2 bir skalardır.skalardır. 3+5i başka bir skalardır.
3+5i başka bir skalardır. Tanım
Tanım
F bir cisim, A=[a
F bir cisim, A=[aijij]]mxnmxnelemanları F den alınanelemanları F den alınan
bir matris ve k
bir matris ve k∈∈F ise k skaleri ile A matrisininF ise k skaleri ile A matrisinin çarpımı
çarpımı k.A=k.[a
k.A=k.[aijij]]mxnmxn=[k.a=[k.aijij]]mxnmxn
olarak tanımlanır. olarak tanımlanır.
Kısaca şöyle diyelim, bir matrisi bir sayı ile Kısaca şöyle diyelim, bir matrisi bir sayı ile çarpmak demek, matrisin tüm
çarpmak demek, matrisin tüm elemanlarınıelemanlarını çarpmak demektir. çarpmak demektir. Örnek Örnek 1 1 11 11 A A 2 2 22 22 = =
matrisi içinmatrisi için a) -3.A=? a) -3.A=? b) (1+2i)A=? b) (1+2i)A=? -3A= -3A= 33 33 33 6 6 66 66 − − − − −− − − − − −− (1+2i)A=
(1+2i)A= 11 22ii 11 22ii 11 22ii 2
2 44ii 22 44ii 22 44ii + + + + ++ + + + + ++ Örnek Örnek x. x. 11 3 3 +3+3 2 2 yy == 8 8 3 3 olduğuna göre x-y=? olduğuna göre x-y=? Çözüm Çözüm xx 66 88 3 3xx 33yy 33 + + == xx 66 88 3 3xx 33yy 33 + + = = ++ x+6=8 x+6=8 ⇒⇒x=2x=2 3x+3y=3
3x+3y=3 ⇒⇒y=-1y=-1 x-y=3
x-y=3
Toplama işleminin özellikleri Toplama işleminin özellikleri A=[a
A=[aijij]]mxnmxn, B=[b, B=[bijij]]mxnmxn, C=[c, C=[cijij]]mxnmxnaynı tipaynı tip
matrisler, k
matrisler, k11, k, k22, k, k33 skaler olmak üzere;skaler olmak üzere; a) A+B=B+A
a) A+B=B+A
b) (A+B)+C=A+(B+C) b) (A+B)+C=A+(B+C) c) A
c) A+O=O+A=A, +O=O+A=A, O sıfır O sıfır matrismatris d) A+(-A)=(-A)+A=O
d) A+(-A)=(-A)+A=O
Toplama işleminin birim elemanı O, A Toplama işleminin birim elemanı O, A nınnın toplama işlemine göre tersi –A dır. O
toplama işlemine göre tersi –A dır. O haldehalde
aynı tipteki matrislerin kümesi toplama işlemine aynı tipteki matrislerin kümesi toplama işlemine göre bir değişmeli gruptur.
göre bir değişmeli gruptur. e) k.(A+B)=k.A+k.B
e) k.(A+B)=k.A+k.B f) (k
f) (k11+k+k22).A=k).A=k11 A+k A+k22 A A g) (k
g) (k11.k.k22).A=k).A=k11.(k.(k22.A).A)
h) e.A=A ,
h) e.A=A , e, F nin çarpmaya göre birim elemanıe, F nin çarpmaya göre birim elemanı
i) A+B=C ise A=C-B i) A+B=C ise A=C-B Örnek Örnek 5 5 33 77 A A 2B2B 0 0 22 11 − − − − == − − −− ,, 4 4 00 11 A A BB 0 0 44 22 + + ==
olduğuna göre B matrisi nedir? olduğuna göre B matrisi nedir? Çözüm Çözüm 5 5 33 77 A A 2B2B 0 0 22 11 − − − − == − − −− ,, 4 4 00 11 A A BB 0 0 44 22 + + == -3B= -3B= 99 33 66 0 0 66 33 − − − − −− 3 3 11 22 B B 0 0 22 11 − − −− = =
1974 yılından itibaren üniversite giriş 1974 yılından itibaren üniversite giriş sınavlarına göz attığımızda çıkmış bütün sınavlarına göz attığımızda çıkmış bütün soruların hepsinin iki matrisin çarpımı ile ilgili soruların hepsinin iki matrisin çarpımı ile ilgili olduğunu görmek şaşırtıcı. Şimdiye kadar olduğunu görmek şaşırtıcı. Şimdiye kadar anlattığımız ve anlatacağımız bilgiler çarpımla anlattığımız ve anlatacağımız bilgiler çarpımla birlikte kullanıldığını görüyoruz.
birlikte kullanıldığını görüyoruz.
Hatırlatma: Hatırlatma:
( (
))
u
u == aa,,bb,,cc satır vektörüsatır vektörü a a u u bb cc = = sütun vektörü sütun vektörü her ikisi de a
her ikisi de aynı vektörü göstermektedynı vektörü göstermektedir.ir.
( (
))
xx u
u aa,,bb,,c ,c , vv yy uu..vv aaxx bbyy cczz zz = = == ⇒⇒ == ++ ++
ki vektörün skaler
ki vektörün skaler çarpımı bir sayıdır.çarpımı bir sayıdır.
--Matrislerin çarpımı Matrislerin çarpımı
Her matrisin çarpımından söz edilemez, Her matrisin çarpımından söz edilemez, matrislerin çarpılabilmesi için;
matrislerin çarpılabilmesi için; (mxp).(pxn)
(mxp).(pxn)(mxn)(mxn)
A=[a
A=[aijij]]mxpmxp, B=[b, B=[bijij]]pxnpxniki matris olsun. A ile B niniki matris olsun. A ile B nin
çarpımı A.B= [a
çarpımı A.B= [aijij]]mxpmxp .[b.[bijij]]pxnpxn=[c=[cijij]]mxnmxn=C gibi=C gibi
başka bir matristir. başka bir matristir.
ccijij ∈∈ A.B ise bu eleman A nın i. satır vektörü ile A.B ise bu eleman A nın i. satır vektörü ile B nin j. sütun vektörünün skaler
B nin j. sütun vektörünün skaler çarpımınaçarpımına eşittir. Elde edilen bu sayı A.B nin sadece b eşittir. Elde edilen bu sayı A.B nin sadece bir ir elemanıdır. m.n tane eleman için bu skaler elemanıdır. m.n tane eleman için bu skaler çarpım tekrarlanır. çarpım tekrarlanır. cc1111=(A1.satırı).(B1.sütunu)=(A1.satırı).(B1.sütunu) cc1212=(A1.satırı).(B2.sütunu)=(A1.satırı).(B2.sütunu) cc3434=(A3.satırı).(B4.sütunu)=(A3.satırı).(B4.sütunu) cc2323=(A2.satırı).(B3.sütunu)=(A2.satırı).(B3.sütunu)
(önce satır sonra sütun) (önce satır sonra sütun) Örnekler
Örnekler (3x3).(3x2)
(3x3).(3x2)(3x2)(3x2)
1.s
1.satıatırx2.srx2.sütuütunn 1212 1.s
1.satıatırx1rx1.süt.sütunun 1111
2.s
2.satıatırx2.srx2.sütuütunn 2222 2.s
2.satıatırx1rx1.süt.sütunun 2121
3.s
3.satıatırx1rx1.sü.sütuntun 3131
a
axx bbyy cczz aatt bbuu ccvv a a bb cc xx tt d d ee ff .. yy uu ddxx eeyy ffzz ddtt eeuu ffvv k l m k l m zz vv kkxx IIyy mmzz kktt = = = = = = = = = = + + + + + + ++ = + = + + + + + ++ + + + + ++ 3.s
3.satıatırx2.srx2.satıratır 3232
lluu mmvv = = ++ (3x2).(2x2) (3x2).(2x2)(3x2)(3x2) a a bb aax bx by ay az bz btt xx zz cc dd .. ccxx ddy cy czz ddtt yy tt e e ff eex fx fyy eezz fftt + + ++ = = + + ++ + + ++ (2x2).(2x2) (2x2).(2x2)(2x2)(2x2) a
a bb xx zz aaxx bbyy aazz bbtt .. cc dd yy tt ccxx ddyy cczz ddtt + + ++ = = + + ++ (1x1).(1x1) (1x1).(1x1)(1x1)(1x1) a a .. xx == aa..xx (1x3).(3x1) (1x3).(3x1)(1x1)(1x1) xx a a bb cc .. yy aaxx bbyy cczz zz = = + + ++ (3x1).(1x2) (3x1).(1x2)(3x2)(3x2) a a aaxx aayy b b .. xx yy bbxx bbyy cc ccxx ccyy == (3x1).(1x1) (3x1).(1x1)(3x1)(3x1) a a axax b b .. xx bbxx cc cxcx == Uyarı Uyarı 2x+3y-z=7 2x+3y-z=7 -3x+y+z=-9 -3x+y+z=-9 x-5y=10 x-5y=10
denklem sistemini matris çarpımı olarak ifade denklem sistemini matris çarpımı olarak ifade etmek mümkündür.
etmek mümkündür.
b
bililininmemeyeyennlelerr sasabibitltler er katsayılar matrisi katsayılar matrisi m maattrriissii mmaattrriissii 2 2 33 11 xx 77 3 3 11 11 .. yy 99 1 5 1 5 00 zz 1100 − − − − = = −− −−
Bu durumu tek matrisle
Bu durumu tek matrisle ifade etmek mümkün:ifade etmek mümkün:
2 3 2 3 11 77 3 3 11 11 99 1 1 5 05 0 1100 − − − − −− −− Uyarı Uyarı f :R f :R22 RR22 f(x,y)=(x+2y,3x-4y) f(x,y)=(x+2y,3x-4y)
fonksiyonunu matrislerle ifade edecek olursak; fonksiyonunu matrislerle ifade edecek olursak;
1 1 22 xx ff((xx,,yy)) .. 3 3 44 yy = = −− Çarpmanın özellikleri Çarpmanın özellikleri
A, B, C çarpılabilir matrisler, k skaler, n A, B, C çarpılabilir matrisler, k skaler, n∈∈NN++
olmak üzere olmak üzere a) A.(B.C)=(A.B).C a) A.(B.C)=(A.B).C b) A.(B+C)=A.B+A.C b) A.(B+C)=A.B+A.C c) (A+B).C=A.C+B.C c) (A+B).C=A.C+B.C d) k.(A.B)=(k.A).B=A.(k.B) d) k.(A.B)=(k.A).B=A.(k.B) e) A.I=I.A=A, I birim matris e) A.I=I.A=A, I birim matris f) A.O=O.A=O, O sıfır matris f) A.O=O.A=O, O sıfır matris g) A herhangi bir
g) A herhangi bir kare matris, olmak üzerekare matris, olmak üzere A
A22=A.A=A.A A
A33=A.A=A.A22 A
Ann=A.A=A.An-1n-1 h) I
Uyarı Uyarı a) A.B
a) A.B≠≠ =B.A çok özel durumlarda eşit olabilir.=B.A çok özel durumlarda eşit olabilir. b) A.B çarpılabilir olabilir ama B.A
b) A.B çarpılabilir olabilir ama B.A çarpılamayabilir.
çarpılamayabilir. c) A.B=O ise A=O ve
c) A.B=O ise A=O veya B=O olması gerekmez.ya B=O olması gerekmez. d) A.B=A.C ise B=C olmak zorunda değildir. d) A.B=A.C ise B=C olmak zorunda değildir. Örnek Örnek 1 1 11 11 11 22 33 1 1 11 11 .. 33 66 99 ?? 2 2 00 11 22 44 66 − − −− −− −− −− −− == − − −− Çözüm Çözüm 1 1 33 22 22 66 44 33 99 66 00 00 00 1 1 33 22 22 66 44 33 99 66 00 00 00 2 2 00 22 44 00 44 66 00 66 00 00 00 − − + + − − + + − − + + −− − − + + − − − − + + − − − − + + == + + − − + + − − − − + + ++ Örnek Örnek 1 1 22 33 11 00 00 4 5 6 4 5 6 .. 0 1 00 1 0 ?? 7 7 88 99 00 0 10 1 == Çözüm Çözüm 1 1 00 0 0 20 0 2 00 00 00 33 11 22 33 4 4 00 00 00 55 00 00 00 66 44 55 66 7 7 00 00 00 88 00 00 00 99 77 88 99 + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + =+ = + + + + + + + + + + ++ Örnek Örnek a) a) 11 22 2 2 11 .. 3 3 44 4 4 33 =?=? b) b) 33 44 4 4 33 .. 1 1 22 2 2 11 =?=? a) a) 33 88 66 44 111 11 100 6 6 44 88 33 1100 1111 + + ++ = = + + ++ b) b) 33 88 66 44 111 11 100 6 6 44 88 33 1100 1111 + + ++ = = + + ++ Not Not a a bb cc dd cc dd aa bb .. .. b b aa dd cc dd cc bb aa = = Örnek Örnek 1 1 11 A A 2 2 11 − − = = −− veve 1 1 11 B B 4 4 11 = = −− veriliyor,veriliyor, a) (A+B) a) (A+B)22=?=? b) A b) A22+B+B22 =?=? Çözüm Çözüm a) a) ((AA BB))22 22 00 .. 22 00 44 00 6 2 6 2 66 22 00 44 + + = = == − − −− =4.I=4.I22 b) b) A A22 11 11 .. 11 11 11 00 II 2 2 11 22 11 00 11 − − − − −− = = == == −− − − − − −− 2 2 11 11 11 11 55 00 B B .. 5..II5 4 4 11 44 11 00 55 = = = = == − − −− A
A22+B+B22 =(-1+5)I=4.I==(-1+5)I=4.I= 44 00 0 0 44 Örnek Örnek 1 1 11 A A 2 2 11 − − = = −−
olduğuna göre Aolduğuna göre A
21 21=?=?
Çözüm Çözüm
Bu tip sorularda I bulunana kadar A
Bu tip sorularda I bulunana kadar A22, A, A33, A, A44,…,… hesaplanmalıdır.
hesaplanmalıdır. A
A22== A A22 11 11 .. 11 11 11 00 II
2 2 11 22 11 00 11 − − − − −− = = == == −− − − − − −− A
A2121=(A=(A22))1010.A=(-I).A=(-I)1010.A=I.A=A=.A=I.A=A= 11 11 2 2 11 − − −− Örnek Örnek 0 0 11 00 A A 11 11 11 0 0 00 11 = = − − − − −− olduğuna göre A olduğuna göre A1616=?=? Çözüm Çözüm A A22== 0 0 11 00 00 11 00 11 11 11 1 1 1 1 11 .. 11 11 11 11 00 00 0 0 00 11 00 00 11 00 00 11 − − − − −− − − − − − − − − − − − − == A A33== 0 1 0 1 00 11 11 11 11 00 00 1 1 11 11 .. 11 00 00 00 11 00 II 0 0 0 0 11 00 00 11 00 00 11 − − − − −− −− −− −− == == A
Not Not A= A= aa bb cc dd 2 2 2 2 2 2 a a bbcc bb((aa cc)) A A cc((aa dd)) dd bbcc + + ++ ⇒ ⇒ == + + ++ Not Not A= A= 00 11 1 1 00 2 2 11 11 A A 1 1 11 ⇒ ⇒ == Not Not A= A= 11 11 1 1 11 2 2 22 22 11 11 A A 2.2. 2A2A 2 2 22 11 11 ⇒ ⇒ == == == A
A22=2A=2A A
A33=A=A22.A=2A.A=2.A.A=2A.A=2.A22=2.2A=2=2.2A=222.A.A A
A44=A=A33.A=2.A=222 A.A=2 A.A=222.A.A22=2=222.2A=2.2A=233.A.A A
A55=A=A44.A=2.A=233 A.A=2 A.A=233.A.A22=2=233.2A=2.2A=244.A.A …
… A
Ann=2=2n-1n-1.A.A A
A22=2A=2A Not Not 1 1 1 1 A A a.a. aa 0 0 11 = = n n nn n n 1 1 A A aa .. aa 0 0 11 ⇒ ⇒ == Örnek Örnek 13 13 1 1 11 A A AA ?? 1 1 11 − − = = ⇒ ⇒ == − − Çözüm Çözüm 2 2 22 22 11 11 A A 2.2. 2A2A 2 2 22 11 11 − − −− = = = = == − − −− A
A22=2A=2A A
A1313=2=21212.A.A
Üslü soru tiplerinde karşılaşabileceğimiz bir tip Üslü soru tiplerinde karşılaşabileceğimiz bir tip daha var. Bazı matrislerde sırayla kuvveti daha var. Bazı matrislerde sırayla kuvveti hesaplandığında hiçbir zaman birim matris hesaplandığında hiçbir zaman birim matris elde edilmez fakat matrisin kendisi elde edilir. elde edilmez fakat matrisin kendisi elde edilir. Yani bazı matrisler periyodik olabiliyor,
Yani bazı matrisler periyodik olabiliyor, modüler aritmetikte olduğu gibi.
modüler aritmetikte olduğu gibi. Örnek Örnek 100 100 1 1 22 66 A A 33 22 99 AA ?? 2 2 00 33 − − −− = = −− ⇒⇒ == −− Çözüm Çözüm 2 2 1 1 22 66 11 22 66 A A 33 22 99 .. 33 22 99 2 2 00 33 22 00 33 − − −− −− −− = = − − −− − − −− A A22== 5 5 66 66 9 9 1100 99 4 4 44 33 − − − − −− − − − − −− A
A33=A=A22.A=.A=
1 1 22 66 3 3 22 99 AA 2 2 00 33 − − −− − − == −− A A11=A=A A A22=A=A22 A A33=A=A A
A44=A=A33.A=A.A=A22 A
A55=A=A44.A=A.A=A22.A=A.A=A33=A=A ….
….
periyod 2 olduğundan 100≡0≡2 (mod 2) periyod 2 olduğundan 100≡0≡2 (mod 2) (teklerde A, çiftlerde A
(teklerde A, çiftlerde A22 ye eşit diyebilirdiniz.)ye eşit diyebilirdiniz.)
A A100100=A=A22== 5 5 66 66 9 9 1100 99 4 4 44 33 − − − − −− − − − − −−
Bu ilginç örnekleri yazmadan geçemeyeceğim. Bu ilginç örnekleri yazmadan geçemeyeceğim. Örnek Örnek 2006 2006 1 1 22 33 A A 11 22 33 AA ?? 1 1 22 33 − − −− = = −− ⇒⇒ == − − −− Çözüm Çözüm A A22=O==O=
0 0 00 00 0 0 00 00 0 0 00 00 2006 2006 A A OO ⇒ ⇒ ==
A.B=A olduğunda B=I olması gerekir mi? A.B=A olduğunda B=I olması gerekir mi?
Şimdiki örneğimiz bununla ilgili. Şimdiki örneğimiz bununla ilgili. Örnek Örnek 1 1 22 33 A A 55 00 33 1 1 11 11 − − = = −− ,, 2 2 22 44 B B 11 33 44 1 1 22 33 − − −− = = − − − − −− A. A.BB ?? ⇒ ⇒ == Çözüm Çözüm 1 1 22 33 A. A.BB 55 00 33 .. 1 1 11 11 − − = = −− 2 2 22 44 1 1 33 44 1 1 22 33 − − −− −− − − −−
A.B= A.B= 2 2 33 55 1 1 44 55 AA 1 1 33 44 − − −− − − == − − −−
Tanım (matrisin çarpmaya göre tersi) Tanım (matrisin çarpmaya göre tersi) A karesel bir matris olmak üzere,
A karesel bir matris olmak üzere,
A.B=B.A=I olacak şekilde bir B matrisi varsa, A.B=B.A=I olacak şekilde bir B matrisi varsa,
B ye A nın çarpmaya göre tersi denir
B ye A nın çarpmaya göre tersi denir ve Ave A-1-1 ileile gösterilir. Kısaca ters (invers) matris denildiği gösterilir. Kısaca ters (invers) matris denildiği de olur.
de olur. Özellikleri Özellikleri
a) Bir matrisin tersi varsa tektir. a) Bir matrisin tersi varsa tektir. b) A.A
b) A.A-1-1=A=A-1-1.A=I.A=I c) (A c) (A-1-1))-1-1=A=A d) (A.B) d) (A.B)-1-1=B=B-1-1.A.A-1-1 e) (A.B.C) e) (A.B.C)-1-1=C=C-1-1.B.B-1-1 .A.A-1-1 f) A f) A-n-n=(A=(A-1-1))nn
g) Karesel olmayan matrisin tersinden söz g) Karesel olmayan matrisin tersinden söz edilemez. edilemez. Örnek Örnek a a bb A A cc dd = =
matrisinin (varsa) çarpmaya görematrisinin (varsa) çarpmaya göre tersini bulunuz. tersini bulunuz. Çözüm Çözüm 1 1 xx yy A A zz tt − − = =
olduğunu düşünelim. x,y,z,tolduğunu düşünelim. x,y,z,t değerleri a,b,c,d türünden
değerleri a,b,c,d türünden bulmaya çalışalım.bulmaya çalışalım. A.A
A.A-1-1=A=A-1-1.A=I.A=I
a a bb cc dd .. xx yy zz tt == 1 1 00 0 0 11 ax+bz=1 ay+bt=0 ax+bz=1 ay+bt=0 cx+dz=0 cy+dt=1 cx+dz=0 cy+dt=1
denklem sistemlerini çözelim, denklem sistemlerini çözelim, d / ax+bz=1 d / ax+bz=1 -b -b / / cx+dz=0cx+dz=0 __________ __________ d d xx a add bbcc = = −
− benzer şekilde diğerleribenzer şekilde diğerleri
cc zz a add bbcc − − = = − − b b yy a add bbcc − − = = − − a a tt a add bbcc = = − − xx yy zz tt == d d bb a add bbcc aadd bbcc cc aa a add bbcc aadd bbcc − − − − −− − − − − −− = = 11 .. dd bb cc aa a add bbcc − − −− − −
Şimdi de bulduğumuz matrisi A Şimdi de bulduğumuz matrisi A-1-1.A=I.A=I kontrolünü yapmak gerekir, bunu da siz
kontrolünü yapmak gerekir, bunu da siz yapın.yapın. Sonuç Sonuç a a bb A A cc dd = = 1 1 A A−− ⇒ ⇒ == 11 .. dd bb cc aa a add bbcc − − −− − − ad-bc=0 ise A nın tersi yoktur ad-bc=0 ise A nın tersi yoktur ad-bc
ad-bc≠≠0 ise A nın tersi vardır 0 ise A nın tersi vardır ad-bc değerine A matrisinin
ad-bc değerine A matrisinin determinantıdeterminantı diyeceğiz ve IAI şeklinde göstereceğiz. diyeceğiz ve IAI şeklinde göstereceğiz.
IAI=ad-bc veya detA=ad-bc olarak yazıldığı da IAI=ad-bc veya detA=ad-bc olarak yazıldığı da olur. olur. Sonuç Sonuç
( (
))
a a bb dd bb .. aadd bbcc ..II cc dd cc aa − − = = −− −− Örnek Örnek 1 1 1 1 22 11 44 22 .. 3 3 44 22 33 11 − − − − = = −− −− 1 1 1 1 00 11 11 00 .. 0 0 11 11 00 11 − − = = 1 1 0 0 11 11 00 11 00 11 .. 1 1 00 11 11 00 11 00 − − − − = = == −− −− 1 1 0 0 00 11 .. 0 0 00 00 − − = = yani tersi yokyani tersi yok
a a aa aa bb aa bb ,, ,, b b bb aa bb kkaa kkbb
tersleri yoktur.tersleri yoktur.
Diğer karesel matrislerin tersini determinant Diğer karesel matrislerin tersini determinant işlendikten sonra göstereceğiz. Yalnız bu işin işlendikten sonra göstereceğiz. Yalnız bu işin mantığını anlamak açısı
mantığını anlamak açısından bir basit ndan bir basit ödevödev verelim; verelim; Ödev Ödev A= A= 1 1 0 0 11 00 1 1 00 00 ?? 0 0 00 11 − − ==
Bir matrisin transpozu Bir matrisin transpozu
Bir matrisin satırları sütun, sütunları satır Bir matrisin satırları sütun, sütunları satır yapılarak elde edilen matrise transpoz (devrik) yapılarak elde edilen matrise transpoz (devrik) matris denir.
matris denir. A=[a
A=[aijij]]mxnmxnise AT=[aise AT=[a ji ji]]nxmnxm
T T 1 1 44 1 1 22 33 A A AA 22 55 4 4 55 66 3 3 66 = = ⇔ ⇔ == T T 1 1 22 33 11 44 77 A A 44 55 66 AA 22 55 88 7 7 88 99 33 66 99 = = ⇔ ⇔ == Özellikleri Özellikleri a) (k.A)
a) (k.A)TT=k.A=k.ATT b) (A+B)
b) (A+B)TT=A=ATT+B+BTTA, B aynı tip matrisler A, B aynı tip matrisler c) (A.B) c) (A.B)TT=B=BTT.A.ATT d) (A d) (ATT))TT=A=A e) (A e) (ATT))-1-1=(A=(A-1-1))TT
A karesel matris olmak üzere, A karesel matris olmak üzere, f) A
f) ATT=A ise A simetrik matris=A ise A simetrik matris g) A
g) ATT=-A ise A antisimetrik matris=-A ise A antisimetrik matris h) A
h) ATT=A=A-1-1 ise A ortogonal matrisise A ortogonal matris
T T a a 11 22 aa 11 22 1 1 bb 33 11 bb 33 2 2 33 cc 22 33 cc == simetrik matris simetrik matris T T 0 0 11 22 00 11 22 1 1 00 33 11 00 33 2 2 33 00 22 33 00 − − −− −− −− − − −− == −− antisimetrik antisimetrik T T 11 1 1 00 00 11 00 00 0 0 11 00 00 11 00 0 0 00 11 00 00 11 − − == ortogonal ortogonal Örnek Örnek
A ve B matrisleri için A
A ve B matrisleri için ATT=A=A-1-1, B, BTT=B ve A.B=B.A=B ve A.B=B.A olduğuna göre
olduğuna göre [(A.B
[(A.B-1-1))-1-1+(B+(B-1-1.A).A)-1-1]]TT matrisi A.B matrisinin kaçmatrisi A.B matrisinin kaç katıdır?
katıdır? Çözüm Çözüm [(A.B
[(A.B-1-1))-1-1+(B+(B-1-1.A).A)-1-1]]TT=[(B.A=[(B.A-1-1)+(A)+(A-1-1.B)].B)]TT =[(B.A
=[(B.ATT)+(A)+(ATT.B)].B)]TT =(B.A=(B.ATT))TT+(A+(ATT.B).B)TT =A.B
=A.BTT+B+BTT.A=A.B+B.A=2A.B.A=A.B+B.A=2A.B 2 katı olduğu görülüyor. 2 katı olduğu görülüyor.
Ödevler Ödevler 1. A
1. A22=A=ATTolmak üzere, A.(Aolmak üzere, A.(A-1-1.A.ATT))TT işlemin enişlemin en sade eşitini bulunuz. (I)
sade eşitini bulunuz. (I)
2. A mxn tipinde bir matris olduğuna göre 2. A mxn tipinde bir matris olduğuna göre A.AA.ATT matrisinin tipini bulunuz. (mxm tipinde)
matrisinin tipini bulunuz. (mxm tipinde) 3. A=B+B
3. A=B+BTT olduğuna göre Aolduğuna göre ATT matrisi Amatrisi A matrisinin kaç katıdır? (1)
matrisinin kaç katıdır? (1)
4. Tüm özelliklerin doğruluğunu kanıtlayınız. 4. Tüm özelliklerin doğruluğunu kanıtlayınız. ÖYS SORULARI ÖYS SORULARI 1976 1976
( (
))
A A == mm,n,n ,, BB 11 nn nn m m 11 mm − − = = −− olduğuna göreolduğuna göre A.B aşağıdakilerden hangisidir?
A.B aşağıdakilerden hangisidir? A) B.A A) B.A B)B) nn m m C) C) B B D)D) 1 1 00 0 0 11 E) AE) A 1981/II 1981/II a a bb M M cc dd = =
matrisinde her satırın terimlerimatrisinde her satırın terimleri toplamı 3 olduğuna göre, M
toplamı 3 olduğuna göre, M22 matrisinin 1. satır matrisinin 1. satır terimleri toplamı kaçtır?
terimleri toplamı kaçtır? A) 6 A) 6 B) 9 B) 9 C) 12 C) 12 D) 15 D) 15 E) 18E) 18 1982 /II 1982 /II 1 1 11 A A 3 3 11 − − = =
olduğuna göre Aolduğuna göre A
15 15matrisimatrisi aşağıdakilerden hangisidir? aşağıdakilerden hangisidir? A) (-2) A) (-2)1515 11 00 0 0 11 B) (-2)B) (-2) 15 15 11 11 0 0 11 − − C) 4 C) 41515 11 11 3 3 11 − − D) 4D) 4 15 15 11 00 0 0 11 E) 2 E) 21515 11 11 1 1 00 − −
1986/II 1986/II 1986 1986 3 3 22 0 0 33 −−
matrisinin eşiti aşağıdakilerdenmatrisinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) 0 A) 0 B)B) 1 1998866 11998866 1986 1986 3 3 22 0 0 33 C) C) 9 99933 999933 993 993 3 3 22 0 0 33 − − D) 3D) 3 1986 1986 33 00 0 0 33 E) 3 E) 3993993 11 00 0 0 11 1978 1978 Elemanları (Z/3, +,
Elemanları (Z/3, +, ..) cisminin elemanları olan,) cisminin elemanları olan, 2 2 11 11 22 A A ,, BB 1 1 00 00 22 −− = = == − −
Matrisleri için de çarpım kuralı geçerli olduğuna Matrisleri için de çarpım kuralı geçerli olduğuna göre AB
göre AB çarpımı (negatif eleman kullanmadan)çarpımı (negatif eleman kullanmadan) aşağıdakilerden hangisidir? aşağıdakilerden hangisidir? A) A) 11 11 1 1 00 B) B) 00 22 2 2 00 C) C) 22 11 1 1 22 D) D) 22 11 2 2 22 E) E) 11 11 1 1 22 1984/II 1984/II a a bb A A cc dd = =
biçiminde bir matrisinin tersibiçiminde bir matrisinin tersi A A-1-1== 11 .. dd bb cc aa detA detA − − −− dır.dır. 1 1 11 A A 0 0 11 = = ,, 1 1 11 B B 1 1 22 = =
olduğuna göre,olduğuna göre, A.X=B eşitliğini sağlayan X matrisinin tüm A.X=B eşitliğini sağlayan X matrisinin tüm
elemanlarının toplamı kaçtır? elemanlarının toplamı kaçtır? A) 0 A) 0 B) 1 B) 1 C) 2 C) 2 D) 3 D) 3 E) 4E) 4 1985/II 1985/II 1 1 a a 3 3 1 1 b b 12 12
matrisinin tersi kendisine eşit matrisinin tersi kendisine eşit
olduğuna göre a aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre a aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 A) 0 B) 1/12 B) 1/12 C) 1/3 C) 1/3 D) D) 1717 /6 /6 E) E) 3535 /6/6 1987/II 1987/II 1 1 33 A A 2 2 55 = = ,, 1 1 aa bb A A cc dd − − = =
olduğuna göre colduğuna göre c kaçtır? kaçtır? A) 5 A) 5 B) 4 B) 4 C) 3 C) 3 D) 2 D) 2 E) 1E) 1 1983/II 1983/II 1 1 xx 1 1 22 66 11 00 .. 3 3 66 11 00 11 yy 4 4 − − = = olduğuna göre xy olduğuna göre xy çarpımı kaçtır? çarpımı kaçtır? A) -1/24 A) -1/24 B) -1/18 B) -1/18 C) -1/16 C) -1/16 D) -1/12 D) -1/12 E) -1/6E) -1/6 1979 1979 a a bb M M cc dd = =
(a,b,c,d(a,b,c,d∈∈Z) matrisinin tersiZ) matrisinin tersi
1 1 xx yy M M zz tt − − = =
gibi bir matristir.gibi bir matristir. x,y,z,t
x,y,z,t∈∈Z olması için a,b,c,d aşağıdakiZ olması için a,b,c,d aşağıdaki bağıntılardan hangisini sağlamalı? bağıntılardan hangisini sağlamalı? A) ab-dc=1
A) ab-dc=1 B) ad+bc=1 B) ad+bc=1 C) ad-bc=1C) ad-bc=1 D)
1980 1980 2 2 11 11 00 A A ,, II 9 9 22 00 11 = = ==
olduğuna göreolduğuna göre
det(A-det(A-λλI)=0I)=0 eşitliğini sağlayan
eşitliğini sağlayan λλdeğerlerideğerleri λ λ λ11,,λ22dir.dir. Bu
Bu λλdeğerlerinden oluşan A-değerlerinden oluşan A-λλI matrislerininI matrislerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
çarpımı aşağıdakilerden hangisidir? A) A) 00 00 0 0 00 B)B) 1 1 11 1 1 11 −− C)C) 3 3 22 2 2 33 D) D) 22 11 3 3 22 E)E) 2 2 11 3 3 22 − − 1988/II 1988/II A
Amxmmxmmatrisi ve B=Amatrisi ve B=ATT+A verildiğine göre B+A verildiğine göre BTT aşağıdakilerden hangisine eşittir?
aşağıdakilerden hangisine eşittir? [A
[ATT, A matrisinin transpozesidir (devriğidir)], A matrisinin transpozesidir (devriğidir)] A) B
A) B-1-1 B) B) B B C) C) AA-1-1 D) AD) ATT E) AE) A 1990/II
1990/II
K, 2x2 türünden bir
K, 2x2 türünden bir matris olmak üzere,matris olmak üzere, 3 3 00 11 22 K K vvee KK 2 2 11 00 11 − − = = == olduğuna göre olduğuna göre 2 2 K K 1 1 −−
aşağıdakilerden hangisidir?aşağıdakilerden hangisidir?
A) A) 99 7 7 − − B)B) 7 7 4 4 − − −− C)C) 3 3 2 2 − − D)D) 0 0 7 7 E)E) 2 2 0 0 1991/II 1991/II a a 2 2 1 1 22 aa 55 .. 00 3 3 4 4 ==
olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, a kaçtır? A) -6 A) -6 B) -4 B) -4 C) 3 C) 3 D) 4 D) 4 E) 5E) 5 1992/II 1992/II 1 1 11 aa .. .. 1 1 22 44 2 2 11 .. .. bb .. 2 2 11 55 1 1 22 .. .. cc − − == −−
olduğuna göre a+b+c
olduğuna göre a+b+c toplamı kaçtır?toplamı kaçtır? A) 11 A) 11 B) 10 B) 10 C) 2 C) 2 D) -1 D) -1 E) -2E) -2 1993/II 1993/II 2 2 1 1 22 11 22 11 00 2. 2. 3 3 44 33 44 00 11 − − ++ − − −−
toplamı aşağıdaki matrislerden hangisine toplamı aşağıdaki matrislerden hangisine eşittir? eşittir? A) A) 66 66 9 9 33 − − −− B)B) 6 6 66 9 9 33 − − −− C) C) 66 66 9 9 33 − − −− D)D) 6 6 66 9 9 33 − − −− E) E) 66 66 9 9 33 1994/II 1994/II
I, 2x2 türünde birim matris ve A=
I, 2x2 türünde birim matris ve A= 11 22 2 2 44 olduğuna göre, A
olduğuna göre, A22-4A+4I işleminin sonucu-4A+4I işleminin sonucu aşağıdaki matrislerden hangisidir?
aşağıdaki matrislerden hangisidir? A) A) 33 66 8 8 88 B)B) 3 3 66 6 6 99 C)C) 5 5 33 3 3 88 D) D) 55 22 2 2 88 E)E) 6 6 22 3 3 22
1995/II 1995/II 1 1 11 xx yy A A veve BB 1 1 00 zz tt − − = = ==
olmak üzere,olmak üzere, A+B=A-B olduğuna göre B matrisi
A+B=A-B olduğuna göre B matrisi aşağıdakilerden hangisidir? aşağıdakilerden hangisidir? A) A) 33 22 6 6 33 − − B)B) 5 5 00 1 1 77 − − C)C) 2 2 11 1 1 11 −− D) D) 11 00 7 7 88 E)E) 4 4 33 1 1 22 −− 1996/II 1996/II xx 22 A A yy 22 = = −− matrisi için A
matrisi için A-1-1.A=A.A=A22 olduğuna göre, x.yolduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır? çarpımı kaçtır? A) -5 A) -5 B) -4 B) -4 C) -3 C) -3 D) -2 D) -2 E) -1E) -1 1998/II 1998/II 1 1 44 22 33 44 A A veve BB 5 5 22 00 22 11 = = == − − −−
olduğuna göre, (AB)
olduğuna göre, (AB)ttaşağıdakilerdenaşağıdakilerden hangisidir?
hangisidir? (A
(Att: A matrisinin devriği (transpozesi)): A matrisinin devriği (transpozesi))
A) A) 2 2 11 0 0 1919 8 8 1818 −− −− B) B) 2 2 1010 5 5 1919 8 8 1818 − − − − −− −− C) C) 3 3 1010 5 5 1919 7 7 1818 − − − − −− −− D) D) 22 55 00 1 100 1177 33 − − − − −− E) E) 33 88 55 1 100 1199 1188 − − 1996/II determinant 1996/II determinant 1 1 33 55 3 3 00 77 1 3 a 9 1 3 a 9 −−
matrisinin, ters matrisinin olmaması için a kaç matrisinin, ters matrisinin olmaması için a kaç olmalıdır? olmalıdır? A) 15 A) 15 B) 14 B) 14 C) 11 C) 11 D) 6 D) 6 E) 5E) 5 www.geometri.ogretmeni.com www.geometri.ogretmeni.com eky - 2005 eky - 2005
Determinant
Determinant
Determinant, elemanları reel sayılar olan
Determinant, elemanları reel sayılar olan
karesel matrisleri reel sayılara dönüştüren özel
karesel matrisleri reel sayılara dönüştüren özel
bir fonksiyondur. A
bir fonksiyondur. A matrisinin determinantı det
matrisinin determinantı det
A veya IAI şeklinde gös
A veya IAI şeklinde gösterilir. A matrisi n
terilir. A matrisi nxn
xn
tipinde ise IAI
tipinde ise IAI determinantı n. mertebedend
determinantı n. mertebedendir
ir
denir.
denir.
nxn tipindeki bütün karesel matrisler için
nxn tipindeki bütün karesel matrisler için
determinan
determinant fonksiyonunun genel olarak bir
t fonksiyonunun genel olarak bir tek
tek
tanımı vardır, ancak bu tanım üst
tanımı vardır, ancak bu tanım üst sınıflarda
sınıflarda
verilecektir. Müfred
verilecektir. Müfredat gereği 1x1,
at gereği 1x1, 2x2, 3x3
2x2, 3x3
tipindeki matrislerin determinantı verilecektir.
tipindeki matrislerin determinantı verilecektir.
Bu nedenle 1x1, 2x2, 3x3
Bu nedenle 1x1, 2x2, 3x3 determinantlar
determinantlarıyla
ıyla
ilgili özel
ilgili özel tanım yapıldığını görüyoruz.
tanım yapıldığını görüyoruz.
Üniversite giriş sınavlarında çıkmış
Üniversite giriş sınavlarında çıkmış sorulara
sorulara
baktığımızda da en çok 3. mertebe
baktığımızda da en çok 3. mertebe
determinan
determinantla
tla muhatap edildiğimizi
muhatap edildiğimizi görüyoruz.
görüyoruz.
Tanım (1. mertebeden determinant)
Tanım (1. mertebeden determinant)
A 1x1 tipinde kares
A 1x1 tipinde karesel matrislerin kümesi M
el matrislerin kümesi M
11olsun. a
olsun. a
∈∈R ve [a]
R ve [a]
∈∈M
M
11olmak üzere,
olmak üzere,
det:M
det:M
11R
R
det [a] =a
det [a] =a
olarak tanımlanır.
olarak tanımlanır.
det [3]=3, det [-5]=-5 gibi
det [3]=3, det [-5]=-5 gibi
det(1+2i)=1+2i olan karmaşık
det(1+2i)=1+2i olan karmaşık sayılar üzerinde
sayılar üzerinde
determinan
determinantlarla karşılaşmak bizi
tlarla karşılaşmak bizi şaşırtmamalı.
şaşırtmamalı.
Tanım (2. mertebeden determinant)
Tanım (2. mertebeden determinant)
2x2 tipindeki karesel matrislerin kümesi M
2x2 tipindeki karesel matrislerin kümesi M
22olsun. A=
olsun. A=
a
a b
b
cc d
d
∈∈M
M
22için
için
det:M
det:M
22R
R
det A = det
det A = det
a
a b
b
cc d
d
=a.d – b.c
=a.d – b.c
olarak tanımlanır.
olarak tanımlanır.
Örnek
Örnek
1
1 2
2
d
de
ett
4
4 6
6
2
2
3
3 4
4
= = − − = = −− a
a 2
2
A
A
2
2 a
a
= =
