• No results found

1413.pdf

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "1413.pdf"

Copied!
177
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

A

N

I N

T

E G

I

L \ L C O

N

T I N U U

M

A P P R O A C H T O T H E

F

O R

M

U L A T I O N O F

F L O

W

A N D T R

.

\ N SP O R T E

Q

U A T I O N S I N P O R O U S

M

E

D

L A.

SY ST E

M

S

b

y

P h i l i

p

A

.

W

e e

b

e r

M

a s

t

e r o

f Sc

ie n c e

i

n

E

n

v

i

r o

n

m

e

n

t

a

l Sc

i

e

n

c e s a

n

d E

n

g i

n

e e r

i

n

g

U

n

iv e r s

i

t y

o

f N

o r

t

h C

a r o

l i

n a a

t

C h

a

p

e

l H i l l

P

r o

f

e s s o r

C

a s s

T

.

M

i l l

e r ,

C h

a

i

r

S

t

a n

d

a r

d

a

p p

r o a c

h

e s e x

is

t

i

n

m

a

n

y

fi

e

l d

s o

f

s c

i

e n c e a

n

d

e

n

g i

n

e e r

i

n

g f

o r

t

h

e

d

s c r

i

p t

io

n

o

f

m

u

l

t

i

p

h

a s e

fl

o

w

a n

d

t

r a n s

p

o r

t p

h

e n o

m

e

n

a

i

n

p

o r o

u

s

m

e

d i

a

; w

e

f

o c

u

s o

n

m

u

l

t

i

p

h

a s e s u

b

s u r

f

a c e s

y

s

t

e

m

s

in

t

h i

s

w

o r

k

.

T h

e c o

m m

o

n

a

p p

r o a c

h

t

o

t

h

e

f

o r

m

u

l

a ¬

ti

o

n

o

f b

a

l

a n c e e

q

u

a

t

i

o

n

s

fo r

s

u

c

h

s

y

s

te

m

s

i

s

l im

i

t

e

d b

y

s e

v

e r a

l i

n c o

n

s

i

s

t

e

n

c

i

e s a

n

d

a

p p

r o x

im

a

t

io

n

s

t

h

a

t

a

f f

e c

t t

h

e a c c

u

r a c

j

'

o

f

t

h

e s e

f

o r

m

u

l

a

t

i

o

n

s

i

n

a

m

a

n n

e r a

n

d

t

o a

n

e

x

t

e

n

t

t

h

a

t

i

s n o

t

w

e

l l

u n

d

e r s

t

o o

d

.

T h

e c o

n

s

t

i

t

u

t

iv

e r e

l

a

t

i

o

n

s

t

r a

d i

t

i

o

n

a

l l

y

a

p p

l i

e

d

h

a

v

e e

v

o

l

v e

d

u n

d

e r r e s

t

r

i

c

t

iv

e a s s

u

m

p t

i

o

n

s a

n

d

c o

n

d i

t

i

o

n

s

y

e

t

a r e r o

u

t

i

n

e

l

y

a

p p

l

i

e

d

t

o s

y

s

te

m

s

t

h

a

t

a r e

m

u c

h d i ff

e r e

n

t

.

A d d i

t

io

n

a

l l

y

,

p

a r a

d

o

x

e s e

x

i

s

t

i

n

t

h

e c o

m m

o n

l

y

a

p p

l i

e

d

c o

n

s

t

i

t

u

t

i

v

e

r

e

l

a

t

i

o

n

s.

T h

e

in

t

e

g

r a

l

c o

n

t

i

n u u

m

a

p p

r o a c

h

y

i

e

l d

s a c o

m

p

le

t

e

fo r

m

a

l

a

v

e r a

g

in

g

f

o r

m

u

l

a

t

i

o

n

o

f

m

a s s

,

m

o

m

e

n

t

u

m

, a

n

d

e

n

e r

g

y

b

a

l

a

n

c e

l

a

w

s

f

o r

v

o

l

u

m

e s,

in

t

e r

f

a c e s, a n

d

c o

n

t

a c

t

l in

e s.

T h i

s

f

o r

m

u

l

a

t

i

o n

c

a

n

b

e c o

n

s

t

r a

i

n

e

d b y

e

n

t

r

o

p y b

a

l

a

n

c

e

r e

l

a

t

i

o

n

s

t

o

y i

e

l d

a

m

o r e c o

m

p

l

e

t

e a

n

d

t

h

e r

m

o

d

y

n

a

m

i

c a

l l

y

c o n s

i

s

te

n

t

d

e s c r

i

p t

i

o n o

f

m

u

l

ti

p

h

a s e

fl

o

w

a n

d

t

r a

n

s

p

o r

t p

h

e

n

o

m

e

n

a

t

h

a

n

i

s a v a

i l

a

b l

e

t

h

r o u

g h

s

t

a

n

d

a

r

d

a

p p

r o a c

h

e s.

I

n

t

h is

w

o r

k

,

w

e :

(

1

)

r ev

ie

w

t

h

e s

t

a

n

d

a r

d

a

p p

r o a c

h fo r

m

o

d

e

l i

n

g

m

u

l

t

i

p

h

a s e

fl

o

w

a

n

d

t

r a

n

s

p

o r

t

,

n

o

t

i

n

g i

n

c o

n

s

i

s

te

n

c

i

e s a

n

d l i

m

i

t

a

t

i

o

n

s

;

(

2

)

o

u

t

l in

e

t

h

e

i

n

t

e

g

r a

l

c o

n

¬

t

i

n u u

m

a

p p

r o a c

h

a

t

t

h

e

m

i

c r o s c a

l

e a n

d

m

a c r o s c a

l

e

;

(

4

)

c o

m

p

a r e a

n

d

c o n

t

r a s

t

t

h

e

b

a

la n

c

e e

q

u

a

t

io

n

s r e s

u

l

t

i

n

g f

r o

m

t

h

e a

p p

r o a c

h

e s

;

(

5

)

d

e r

i

v e

i

n

t

e

g

r a

l

c o

n

t

i

n u

u

m

b

a

l

¬

(2)

a

t

w

o

fl

u

i

d

-p h

a s e s

u

b

s

u

r

f

a c e s

y

s

t

e

m

;

(

7

)

c o

n

s

t

r a

i

n

th

e a

p p l i

c a

t

i

o

n

t

h

e

rn

i

o

d j

oia i

n

i

-c a

l l

y

u

t

i l i

z

i

n

g

t

h

e

m

e

t

h

o

d

o

lo

g

y

o

f C

o

le

m

a

n

a

n

d

N

o

l l

[

1 9 6 3

]

;

a

n

d

(

8

)

c o

m m

e

n

t

o

n

t

h

e

u

n r e s o

l

v

e

d i

s s

u

e s

f

a c

in

g

t

h

e a

p p

l i

c a

t

io

n

o

f i

n

t

e

g

r a

l

c o

n

t

in u u

m

a

p p

r o a c

h

e s,

n

o

t

in

g

(3)

A

n

O

d

e

t

o

C

o

ff

e e

C

o

ff

e e

i

s

t

h

e

b

e

v

e r a

g

e o

f

t

h

e

p

e o

p

l

e o

f G

o

d

, a

n

d

t

h

e c o r

d i

a

l

o

f h i

s s e r v a n

t

s

w h

o

t

h i

r s

t

f

o r

w i

s

d

o

m

.

W

l

i e

n

c o

ff

e e

i

s

i

n

f

u s e

d i

n

t

o

t

h

e

b

o

w l

,

it

e

x

h

a

l

e s

t

h

e o

d

o r o

f

m

u

s

k

,

a

n

d i

s o

f

t

h

e c o

lo r

o

f i

n

k

.

T h

e

t

r u

t

h i

s

n

o

t

k

n

o

w

n

e

x

c e

p t t

o

t

h

e

w i

s e

,

w h

o

d

r

in

k i

t

f

r o

m

t

h

e

f

o a

m

i

n

g

c o

ff

e e c

u

p

.

G

o

d h

a s

d

e

p

r

i

v

e

d f

o o

ls

o

f

c o

ff

e e

,

w h

o

w i

t

h i

n v

i

n

c

i b le

o

b

s

t

in

a c

y

c o n

d

e

m

n

i

t

a s

in

j

u

r

i

o

u

s.

I

n

it

w i l l w

e

d

r o

w

n

o u r a

d

v

e r s

i

t

i

e s

, a

n

d i

n

i

ts

fi

r e

o

u

r s o r r o

w

s.

J

o u

r

n

a

l

o

f

t

h

e

T

r a

n

s

y

h

'

a n

ia

n

M

e

d i

c a

l S

o

c

i

e

t j

'

(4)

C

o

n

t

e

n

t

s

L i

s

t

o

f F i g

u

r e s

v

i i

L i

s

t

o

f T

a

b l

e s

v

i

i

i

1

I

n

t

r

o

d

u

c

t

i

o n

1

2

B

a

c

k g

r

o

u

n

d

5

2

.

1

M

u

l

t

i

p

h

a s e

F l

o

w

a

n

d S

p

e c

ie s

T

r a

n

s

p

o

r

t

5

2

.

2

M

o

d

e

l in

g

M

u

l

t

i

p

h

a s e

S

y

s

t

e

m

s

7

2

.

2

.

1

Sh

a r

p

-

FY

o n

t

M

o

d

e

l

s

8

2

.

2

.

2

M

u

l

t

i

p

h

a s e

F l

o

w w i

t

h G

a

p

i l l

a r

i

t j

''

M

o

d

e

ls

9

2

.

2

.

3

C

o

m

p

o s

i

t

i

o n a

l

M

e

t

h

o

d

o

l

o

g

j

'

12

2

.

2

.

4

Su

m m

a r

j

'

o

f

M

o

d

e

ls

1 4

3

T h

e

D

i f f

e r e

n

t

i

a

l C

o n

t

i

n u u

m

A

p p

r

o a

c

h

1 7

3

.

1

A

p p

r o a c

h

e s

t

o

M

o

d

e

l i

n

g

M

u

l

t

i

p

h

a s e

S

y

s

t

e

m

s

1 7

3

.

1

.

1

L

e

n

g

t

h S

c a

l

e s

1 7

3

.

1

.

2

T h

e

C

o

n

t

in

u u

m

A

p p

r o a c

h

1 9

3

.

1

.

3

M

a

t

h

e

m

a

t

ic a

l N

o

t

a

t

i

o n

2 6

3

.

2

D i

s c r e

t

e

M

u

l

t

i

p

h

a s e

C

o

n

t

i

n u

i

u n

A

p p

r o a c

h f

o r

M

u

l

t

i

p

h

a s e

F l

o

w

a

n

d

S

p

e c

i

e s

T

r a n s

p

o r

t

.

2 7

3

.

2

.

1

M

a ss

B

a

l

a

n

c e

2 7

3

.

2

.

2

M

o

m

e

n

t

i

u n

B

a

la

n

c e

3 1

3

.

2

.

3

E

n

e r

gy

-

B

a

l

a

n

c e

3 3

3

.

3

A l

t

e

r

n

a

t

e

A

p p

r o a c

h

e s

3 4

4

D

e

v

e

l

o

p

m

e

n

t

o

f

M

a

c

r o

s c a

l

e

I

n

t

e

g

r

a

l C

o

n t

in u u

m

E

q

u a

t

i

o n

s

3 6

4

.

1

O

v e r vde

w

o

f

t

h

e

I

n

t

e

g

r a

l A

p p

r o a c

h

3 6

4

.

2

M

a

t

h

e

m

a

t

i

c a

l N

o

t

a

t

io

n

3 8

4

.

2

.

1

N

o

t

a

t

i

o

n

3 8

4

.

2

.

2

I

n

te

g

r a

t

io

n a

n

d A

v

e r a

g

in

g T h

e o r e

m

s

3 9

4

.

2

.

3

I

n

t

r

i

n

s

i

c

P h

a s e

-a

n

d

M

a s s-

A

v

e r a

(5)

g

q

4

.

3

.

1

M

i

c r o s c a

l

e

I

n t

e

g

r a

l P

o

i

n

t

F

o

r

m

u

l

a

t

i

o

n

6 1

4

.

3

.

2

M

a c r o s c a

l

e

P

o

i

n

t

F

o r

m

u

l

a

t

i

o

n

6 3

4

.

4

M

a c r o s c a

l

e

I

n

t

e

g

r a

l C

o n

t

in u u

m

A

p p

r o a c

h

6 5

4

.

5

M

a c r o s c o

p

ic

G

o

n

s e r x '

a

t

io

n

E

q

u a

t

i

o n s a

p p

l i

e

d

t

o

M

a s s,

M

o

m

e

n

t

u

m

,

E

n

-g

e r

j

-, a

n

d E

n

t

r o

p y

7 1

4

.

5

.

1

C

o

n

s e r v

a

t

io

n

o

f

M

a s s

7 1

4

.

5

.

2

C

o

n

s e r v a

t

i

o

n

o

f

M

o

m

e

n

t

u

m

7 2

4

.

5

.

3

C

o

n

s e r v

'

a

t

i

o

n

o

f E

n

e r

g

y

7 4

4

.

5

.

4

B

a

l

a

n

c e

E

q

u

a

t

i

o

n

f

o r

E

n

t

r o

p y

7 7

4

.

5

.

5

Su

m m

a r

y

o

f C

o n

s e r v a

t

io

n

E

q

u

a

t

i

o n

s

7 9

4

.

6

I

n

t

e r

f

a c e

E

q

u

a

t

i

o n s

7

9

4

.

6

.

1

C

o n

s e r v a

t

io

n

o

f

M

a s s

8 4

4

.

6

.

2

C

o

n

s e r v a

t

io

n

o

f

M

o

m

e

n

t

u

m

8 4

4

.

6

.

3

C

o

n

s e r v a

t

i

o

n

o

f E

n

e r

g

j

-8 6

4

.

6

.

4

B

a

l

a

n

c e o

f E

n

t

r o

p y

8 9

4

.

6

.

5

Su

m m

a

r

j

'

o

f I

n

t

e r

f

a c e

E

q

u

a

t

io

n

s

9 0

4

.

7

C

o

n

t

a c

t

L i

n

e s

9 1

4

.

7

.

1

C

o

n

s e r v a

t

i

o

n

o

f

M

a s s

9 4

4

.

7

.

2

C

o

n

s e r v a

ti

o n o

f

M

o

m

e

n

t

u

m

9 5

4

.

7

.

3

C

o

n

s e r v a

t

i

o n o

f E

n

e r

gy

9 7

4

.

7

.

4

B

a

l

a

n

c e o

f E

n

tr o

p y

9 9

4

.

7

.

5

Sm

n

m

a r

y

o

f

C

o

n

t

a c

t

L i

n

e

E

q

u a

ti

o

n

s

10 0

4

.

8

A

p

p

l i

c a

t

i

o

n

o

f I

n

t

e

g

r a

l E

q

u a

t

i

o n s

10 0

A

p p

l i

c

a

t

i

o n

o

f I

n t

e

g

r a

l E

q u

a

t

i

o n

s

t

o

T

w

o

-

P h

a

s e

F l

o

w

T h

r

o u

g h P

o r

o u

s

M

e

d i

a

1 0

2

5

.

1

A

p p

l ic a

t

i

o

n

s o

f

t

h

e

I

n

t

e

g

r

a

l A

p p

r o

a

c

h

10 2

5

.

2

T h

e

I

n

t

e

g

r a

l A

p p

r o

a

c

h A

p p

l i

e

d

t

o

T w

o-

P h

a s e

F l

o

w

10 3

5

.

2

.

1

N

o

t

a

t

io

n

10 5

5

.

2

.

2

B

a

l

a

n

c e

E

q

u a

t

i

o n

s a

b

o u

t

V

o

lu

m

e s

10 7

5

.

2

.

3

Se c o

n

d

a r

y

V

a r

i

a

b l

e s

f

o r

V

o

l

u

m

e s

1 0 7

5

.

2

.

4

B

a

l

a n c e

E

q

u

a

t

i

o n s a

b

o

u

t

I

n

t

e

r

f

a c

ia

l A

r e a s

1 1 0

5

.

2

.

5

Se c o

n

d

a r

y

V

a r

i

a

b l

e s

f

o r

I

n

t

e r

f

a c

ia

l A

r e a s

1 1 0

5

.

2

.

6

B

a

l

a

n

c e

E

q

u

a

t

i

o

n

s a

b

o

u

t

C

o

n

t

a c

t

L i

n

e s

I l l

5

.

3

C

o

n

s

t

i

t

u

t

iv

e

R

e

la

t

i

o

n

s

h i

p

s

1 12

5

.

4

E

n

t

r o

p y

I

n

e

q

u a

l i

t y

Co

n s

t

r a

i

n

t

s

1 1 3

5

.

4

.

1

E

n

t

r

o

p y

C

o

n

s

t

r a

in

ts

1 1

8

5

.

4

.

2

N

o

n

-

e

q

u

i l i b

r

i

u

m Si

m

p

l i

fi

c a

t

io n s o

f

C

o

n s

t

i

t

u

t

iv

e

R

e

la

t

i

o

n s

h i

p

s .

13 1

5

.

4

.

3

Ei

q

u

i l i b

r

iu

m

Si

m

p

l i fi

c a

t

io

n

s o

f C

o

n

s

t

i

t

u

t

i

v

e

R

e

l

a

t

i

o

n

s

h i

p

s . . .

13 2

(6)

5

.

5

C

o

n

t

in

u

in

g

I

s s

u

e s o

f I

n

t

e

g

r a

l A

p p

r o a c

h A

p p

l i

c a

t

i

o n

1 3 9

(7)

L i

s

t

o

f

F

i

g

u

r e s

2

.

1

D

e

p

i

c

t

i

o

n

o

f S

p

i l l

o

f

a

T

y p

ic a

l N

o

n

-

A

q

u

e o

u

s

P h

a s e

L i

q

u

i d

a

t

Se v e r a

l

Sc a

l

e s

6

3

.

1

H

j T

) o

t

h

e

t

i

c a

l P

o r o s

i

t

i

e s

w i

t

h I

n

c r e a s

i

n

g L

e

n

g

t

h Sc a

l

e

2 0

3

.

2

H

y p

o

t

h

e

t

i

c a

l H

y

d

r a

u

l i

c

C

o

n

d

u

c

t

iv

i

t

i

e s

w i

t

h I

n

c r e a s

i

n

g L

e

n

g

t

h Sc a

le

.

2 1

3

.

3

A

v

e r a

g

e

S

a

t

u

r a

t

io

n

in

U

n

s a

tu

r a

t

e

d So

i l

2 4

3

.

4

A

v e r a

g

e

Sa

t

u

r a

t

io

n

a

f

t

e r

I

n

fi l

t

r a

t

i

o

n

i

n

Sa

m

e

P

o r o

u

s

M

e

d i

a

2 4

3

.

5

M

a c r o s c a

l

e

R

e

p

r e s e

n

t

a

t

iv

e

E le

m

e

n

t

a r

j

'

V

o

lu

m

e

2 8

4

.

1

N

o

t

a

t

i

o

n

fo r

O

r

t

h

o

g

o

n

a

l U

n

i

t

V

e c

t

o r s

4 0

4

.

2

D

e

fi

n

i

t

io n

o

f N

o r

m

a

l V

e c

t

o r

N

o

t

a

t

i

o n

f

o r

V

o

l

u

m

e s,

I

n

t

e r

f

a c e s, a n

d C

o

n

¬

t

a c

t

L i

n e s

4 2

4

.

3

D

e

fi

n

i

t

i

o

n

o

f V

e c

to r

F

u n

c

t

io n

N

o

t

a

t

i

o

n

f

o r

V

o

l

u

m

e s,

I

n

t

e r

f

a c e s, a

n

d

C

o

n

t

a c

t

L i

n

e s

4 3

4

.

4

R

a

t

e o

f C h

a

n

g

e o

f

a

F

u

n c

t

i

o

n

fo r

F l

o

w T h

r o

u

g h

a

F ix

e

d V

o

l

u

m

e . . .

4 4

4

.

5

R

a

t

e o

f C h

a

n

g

e o

f

a

F

u n

c

t i

o

n

fo

r

F l

o

w T h

r o u

g h

a

F ix

e

d V

o

lu

m

e a s

C h

a

n

g

e

i

n

T i

m

e

D

e c r e a s e s

4 5

4

.

6

A Sim

p

l i fi

e

d

M

u

l

t

i

p

h

a s e

V

o

lu

m

e

Sh

o

w i

n

g P h

a s e s a

n

d I

n

t

e r

f

a

c e s . . .

4 9

4

.

7

H i g h l i g h

t

i

n

g

t

h

e

a

-

p h

a s e a n

d A

s s o c

i

a

t

e

d In

t

e r

f

a c e s

4 9

4

.

8

T h

r e e

P h

a s e

R

e

p

r e s e

n

t

a

t

i

v e

F i g

u r e

5 0

4

.

9

T h

e

a

/

?

-

i

n

t

e r

f

a c e

5 0

4

.

10 A C

o n

t

a c

t

L i

n

e

Sh

o

w i

n

g I

n

t

e r n a

l

a n

d E

x

t

e r

n

a

l E

n

d

p

o

i

n

t

s

5 3

4

.

1 1 A V

o

l

u

m

e a

t t

h

e

M

a c r o s c a

le

5 6

4

.

12 H i g h l i g h

t

e

d V

o

lu

m

e s

,

Su

r

f

a c e s, a

n

d

a

C

o

n

t

a c

t

L i

n

e

5 6

4

.

13 A

n

o

t

h

e r

P

e r s

p

e c

t

iv

e o

f A T h

r e e

P h

a s e

S

y

s

t

e

m

5 6

4

.

14

M

ic r o s c a

l

e

P

o

in

t

V

o

lu

m

e

fo r

a

Sin

g l

e

P h

a s e

6 1

4

.

15

M

a c r o s c a

l

e

P

o

i

n

t

V

o

l

u

m

e

Sh

o

w i

n

g

T h

r e e

P h

a s e s

6 3

4

.

16 Si

m

p

l i fi

e

d

M

a c r o s c a

l

e

R E V

6 8

4

.

17 T h

e

a

/

?

-

i

n

t

e r

f

a c e

8 0

(8)

L

i

s

t

o

f T

a

b l

e s

2

.

1

S

h

a r

p

-

f

r o n

t

m

o

d

e

l

s

10

2

.

2

M

u

l

t

i

p

h

a s e

fl

o

w w i

t

h

c a

p

i l l

a r

i

t y

m

o

d

e

l

s

1 1

2

.

3

M

u

l

t

i

p

h

a s e

fl

o

w

a

n

d

t

r a

n

s

p

o r

t

m

o

d

e

l

s

f

r o

m

t

h

e

p

e

t

r

o

l

e

u

m

l i

t

e r a

t

u

r e .

1 3

2

.

4

M

u

l

t

ip

h

a s e

fl

o

w

a

n

d

t

r a

n

s

p

o r

t

m

o

d

e

l

s

f

r o

m

t

h

e e

n v

i

r o

n

m

e

n

t

a

l l i

t

e r a

t

u

r e

1 6

4

.

1

M

o

d

e

l i

n

g

a

p p

r o a c

h

e s

f

o r

m

u

l

t

i

p

h

a s e

fl

o

w

a

n

d

t

r a

n

s

p

o r

t

i

n

p

o r o

u

s

m

e

d i

a

6 6

4

.

2

Q

u

a n

t

i

t

i

e s

f

o r

m

a c r o s c

o

p

i

c v o

l

u

m

e

b

a

l

a n c e e

q

u

a

t

i

o

n

s

8 0

4

.

3

Q

u

a

n

t

i

t

i

e

s

f

o r

i

n

t

e r

f

a c e e

q

u

a

t

i

o

n

s

9 1

4

.

4

Q

u

a

n

t

i

t

i

e s

f

o r c o n

t

a c

t

l i

n

e e

q

u

a

t

i

o

n

s

1 0 1

5

.

1

I

n

t

e

g

r a

l

c o

n

t

i

n u u

m

a

p p

r o a c

h

e s

1

0

4

5

.

2

P

r

i

m

a r

y

v a r

i

a

b l

e s

f

o r

i

n

t

e

g

r a

l

e

q

u

a

t

i

o n s a

b

o u

t

v

o

l

u

m

e s

1 0 8

5

.

3

S

e c

o n

d

a r

j

' v a r

i

a

b l

e s

f

o r

i

n

t

e

g

r a

l

e

q

u a

t

i

o n s a

b

o u

t

v

o

l

u

m

e s

1

0 9

5

.

4

P

r

i

m

a r

j

'

v a r

i

a

b l

e s

f

o r

i

n

t

e

g

r a

l

e

q

u

a

t

i

o n s a

b

o

u

t

i

n

t

e r

f

a c e s

1 1 0

5

.

5

S

e c o n

d

a r

j

'

^'a ^

i

a

b l

e s

f

o r

i

n

t

e

(9)

A

c

k

n

o

w

l

e

d g

e

m

e

n

t

s

I

t

h

a

n

k C

a s s

T

.

M

i l l

e r

f

o r

h is

c

h

a

l l

e

n

g i

n

g i

n

s

t

r

u

c

t

i

o

n

a

n

d

r e v

i

e

w

o

f

t

h

e

m

a

n

y

d

r a

f

t

s o

f

t

h i

s r e

p

o r

t

.

I

a

l

s o

t

h

a

n

k

M

i

c

h

a e

l R

.

F l

y

n n

a

n

d P

a

u

l T

.

I

m

h

o

ff f

o r

t

a

k in

g

t

h

e

t

i

m

e o u

t

o

f

t

h

e

i

r

b

u

s

y

s c

h

e

d

u

l

e s

t

o s e r v e o n

m

y

c o

m m

i t t

e e .

I

e s

p

e c

i

a

l l

y

t

h

a

n

k

m

y

m

a n

y

f

r

i

e

n

d

s

in

Y

o i

m

g l i f

e

w h

o

p

r o v

i d

e

d

e n c o

u

r a

g

e

m

e n

t

t

h

r o

u

g

h

o

u

t t

h

e

h i g h

s a

n

d l

o

w

s o

f w

r

it

i

n

g t

h i

s r e

p

o r

t

, r e

m

i

n

d i

n

g

m

e

to

k

e e

p

m

y

f

o c u s

o n

t

h

e

v

e r

t

i

c a

l w h i l

e

l i

v

i

n

g i

n

t

h

e

h

o r

i

z o

n

t

a

l

.

A

n

d

, o

f

c o u r s e,

I

t

h

a n

k

m

y

d

o

g S

u

t t

o n

f

o r

w

a

g g i

n

g h i

s

t

a

i l

e

v

e r

y

n

i g h

t

w h

e n e

v

e r

I

c

a

m

e

h

o

m

e, r e

m

i

n

d i

n

g

m

e

t

h

a

t

j

o

y

i

s a

q

u

a

l i

t y t

h

a

t

i

s c

h

o s e

n

.

T h i

s

w

o r

k w

a s s u

p p

o r

t

e

d b

y t

h

e

C

o

m

p

u

t

a

t

i

o n a

l S

c

ie

n

c e

G

r a

d

u a

t

e

F

e

l l

o

w

s

h i

p

P

r

o

¬

g

r a

m

o

f

t

h

e

O

ffi

c e o

f Sc

i

e n

t

i fi

c

C

o

m

p

u

t

in

g

o

f

t

h

e

D

e

p

a r

t

m

e

n

t

o

f E

n

e r

g }

(10)

R

o

m

a

n

L

e

t t

e r s

o* *

^

s

p

e c

i fi

c s

u

r

f

a c e a r e a, a

m

o u n

t

o

f

a /

?

-

i

n

t

e r

f

a c e

p

e r

u n

i

t

v o

l

u

m

e

[

L

~ ^

]

A

p

h

y

s

i

c a

l

s

u

r

f

a c e o

f

t

h

e

i

n

t

e r

f

a c e

[

L

^

]

A

"

H

e

l

m

h

o

l

t

z

f

r e e e

n

e r

©

^ o

f

t

h

e

a

-p

h

a s e,

A

"

= E

^

-

T

^^

r

j

"

[

L

^

T

'

^

A

°

^

H

e

l

m

h

o

l

t

z

f

r e e e n e r

g

}

' o

f

t

h

e

Q

/

?

-

i

n

t

e r

f

a c e ,

A

"

^

= E

f

-

T

°

^

r

)

' ^

^

[

L

'

^

T

- ^

]

A

c

l

o s e

d

s

u

r

f

a c e o

f i

n

t

e

g

r a

t

i

o n

[

L

^

]

A

aa s u r

f

a c e a

t t

h

e e

x

t

e r

n

a

l b

o u

n

d

a

r

j

'

o

f V

a

t

h

a

t

c o

i

n c

i d

e s

w i

t

h

t

h

e

a

-p

h

a s e

[

L

^

]

A

a

^

s

u

r

f

a c e a

t t

h

e

i

n

t

e r

f

a c e

b

e

tw

e e

n

t

h

e

a

- a

n

d

/

^

-

p

h

a s e s

[

L

^

]

b

"

e

x

t

e r

n

a

l

e

n

t

r o

p y

s o

u

r c e

t

e r

m

f

o r

t

h

e

a

-p

h

a s e

[

L

'

^

T

~ '^

K

~ ^

]

fr

"

^

e

x

t

e r n a

l

e

n

t

r o

p j

' s o

u

r c e

t

e r

m

f

o r

t

h

e

a

/

?

-

i

n

t

e r

f

a c e

[

L

'

^

T

~'^

K

~

^

b

"

^

e

x

t

e r n a

l

e n

t

r o

p y

s o

u

r c e

t

e r

m

f

o r

t

h

e

a

d

j

c o

n

t

a

c

t

l i

n e

[

L

^

T

~

'^

K

~

^

]

C

i

n

d i

c a

ti

n

g l

e

n

g

t

h

o

f

c

u

r

v

e

f

o r

m

e

d

a

t t

h

e

i

n

t

e r s e c

ti

o

n

o

f

t

h

r e e

p

h

a s e s

[

L

]

C

a

p

c

u

r v

'

e

f

o r

m

e

d b

e

t

w

e e

n

t

h

e

a

/

?

-

i

n

t

e r

f

a c e a n

d

t

h

e

b

o u n

d

a r

j

'

o

f V

[

L

\

C

a

^

-, c

u

r v

'

e

f

o r

m

e

d

a

t t

h

e

i

n

t

e r s e c

t

i

o n o

f

t

h

r e e

p

h

a s e s

[

L

]

d

i

n

d i

c a

ti

n

g

t

h

e

m

i

c r o s c a

l

e, o

n

t

h

e o r

d

e r o

f 10

" "*

t

o

10

~ ®

m

e

t

e r s

[

L

\

D

°

d

e

f

o r

m

a

t

i

o

n

r a

t

e

t

e

n

s o r

f

o r

t

h

e

a

-p

h

a s e

[

T

~ ^

]

D

"

^

d

e

f

o r

m

a

t

i

o

n

r a

t

e

t

e n s o r

f

o r

t

h

e

a

,

i

?

-

i

n

t

e r

f

a c e

[

T

"" ^

]

D

" ''"

^

d

e

f

or

m

a

t i

o

n

r a

t

e

t

e

n

s o r

f

o r

t

h

e

a

(11)

^

t

r a

n

s

f

e r o

f

m

a s s

f

r o

m

t

h

e

a

-

p

h

a s e

t

o

t

h

e

a

/

?

-

i

n

t

e r

f

a c e

[

M

L

~ ^

T

^

]

^

^

t

r a

n

s

f

e r o

f

m

a s s

fr o

m

t

h

e

Q

,

3

-

i

n t

e r

f

a c e

t

o

t

h

e

a

9 ^

c o

n t

a c

t

l i

n

e

[

M

L

~^

T

~^

]

^

o

$

^

x

t

r a n s

f

e r o

f

m

a s s

f

r o

m

t

h

e

q

,;

?

7

c o

n

t

a c

t

l i

n

e

t

o

t

h

e

i

n

t

e r

n

a

l

e

n

d

-p

o

in

t

[

M

L

~

^

~ ^

]

E

^

t

o

t

a

l

p

o

t

e

n

t

i

a

l

a

n

d k i

n

e

t

i

c e n e r

gj

'

i

n

V

[

L

^

T

~

^

E

°

f

t

o

t

a

l

p

o

t

e

n

t

i

a

l

a n

d k i

n

e

t

i

c e

n

e r

g y

i

n

A

[

L

^

T

" "

^

E

^

^

t

o

t

a

l

p

o

t

e

n

t

i

a

l

a

n

d k i

n

e

t

i

c e

n

e r

g

y

i

n

C

[

L

^

T

~ ^

]

E

'

L

a

g

r a

n

g i

a

n

s

t

r a

i

n

t

e n s o r o

f

t

h

e s o

li d

p

h

a s e

[

]

f

v

e c

t

o r

f

u

n c

t

i

o

n

o

f i

n

t

e r e s

t

u

s

e

d f

o r e

x

a

m

p

l

e s

[

]

f

**

' '

v e c

t

o r

fu

n

c

t

io

n

o n a s

u

r

f

a c e

[

]

f

o

^

v

e c

t

o r

f

u

n

c

t

io

n

o

f

a c u r v e

[

]

g

s c a

l

a r

f

u

n

c

t

io

n o

f i

n

t

e r e s

t

u

s e

d f

o r e

x

a

m

p

l

e s

[

]

g

g

r a v

i t

a

t

i

o

n

a

l

a

c c e

l

e r

a

t

i

o

n

[

L T

" ^

]

5

* *

m

a s s

w

e

i g h

t

e

d

a v e r a

g

e o

f

t

h

e

a

-p

h

a s e

f

o r

t

h

e

f

u n

c

t

io

n

g

[

]

^

fl

u c

t

u a

t

i

o

n

o

f

t

h

e

a

-p

h

a s e

f

o r

t

h

e

f

u

n

c

t

i

o

n

g

a

b

o

u

t

s o

m

e

m

e a

n v

a

l

u e

[

]

{

g

)

°

v

o

l

u

m

e a

v

e r a

g

e o

f

t

h

e

a

-p

h

a s e

f

o r

t

h

e

f

u n

c

t

i

o

n

g

[

]

h

s c a

l

a r

f

u

n

c

t

io

n

o

f i

n

t

e r e s

t

u

s e

d f

o r e

x

a

m

p

l

e s

[

]

/

i v i r e

p

r e s e

n

t

a n e

x

t

e

n

s

i

v

e

fl

u

i d

p

r o

p

e r

t y

s

u

c

h

a s

m

a s s,

m

o

m

e

n

t

u

m

, e

n

e r

g y

, o r

e

n

t

r o

p y

w i

t

h in

t

h

e

v

o

l

u

m

e s

V I

/

i* e

x

t

e r n a

l

s

u

p p

l

y

o

f

e

n

e r

gy

f

o r

t

h

e

a

-p

h

a s e

[

L

^

T

"

"^

]

}f

^

e

x

t

e r

n a

l

s

u

p

p l

y

o

f

e

n

e r

gj

-f

o r

t

h

e

a

/

?

-

in

t

e r

f

a c e

[

L

^

T

~ ^

]

}f ^

e

x

t

e r

n

a

l

s

u

p p

l

y

o

f

e

n

e r

gy

f

o r

t

h

e

a

/

?

7

c o

n

t

a c

t

l i

n

e

[

L

^

T

"

"

*

]

ij,

^

n

o

n

- a

d

v e c

t

i

v

e

fl

u

x

o

f

m

a s s

f

r o

m

t

h

e a

-

p

h

a s e

t

o

t

h

e

a

,

5

-

i

n

te r

f

a c e

[

M

L

^

T

^

]

Jq

^

^

n

o

n

-a

d

v e c

t

i

v e

fl

u

x

o

f

m

a s s

f

r o

m

t

h

e

a

/

?

-

i

n

t

e r

f

a c e

t

o

t

h

e

a

3

^

'

c o

n

t

a

c

t

l i

n

e

^

a

^

A

n

o

n

-a

d

v

e c

t

i

v e

fl

u

x

f

r o

m

t

h

e

Q

,i

?

7

c

o n

t

a c

t

l i

n

e

t

o

t

h

e

i

n

t

e r

n

a

l

e n

d

-p

o

i

n

t

(12)

I

u

n

i t i

s o

t

r o

p

i

c

t

e n s o r

[

]

X

q

i

n

t

e r

p

h

a s e

m

a s s

t

r a j i s

f

e r r a

t

e o

f

s

p

e c

i

e s i

t

o

t

h

e

a

-p

h

a s e

[

M

L

~'^

T

~ ^

\

T

^

i

n

t

e r

p

h

a s e e

x c

h

a

n

g

e o

f

m

o

m

e n

t

u

m

[

Af L

~ ^

r

~ ^

]

1

^0

n

o

n

-c o

n v

e c

t

i

v

e

i

n

t

e r a < :

t

i

o

n

b

e

tw

e e n

t

h

e

a

-p

h

a s e a

n

d

t

h

e

a

/

?

-

in

t

e r

f

a c e

[

]

I

^

^

n o n-c o

n

v e c

t

iv

e

i

n

t

e r a c

t

i

o

n

b

e

t

w

e e

n

t

h

e

Q

^

-

i

n

t

e r

f

a c e a

n

d

t

h

e

a

d

'

)

'

c o n

t

a c

t

l i

n

e

[

-

]

j

n

o

n

- a

d

v

e c

t

i

v

e

fl

u

x

[M

L

~ ^

T

~ ^

\

j

j

,

n

o n

-a

d

v e c

t

i

v

e

fl

u

x

v e c

t

o r

f

o r s

p

e c

i

e s i

in

t

h

e

a

-p

h

a s e

[

M

L

~

^

~ ^

]

j

v

n

o

n

-a

d

v

e c

t

i

v

e

fl

u

x

o

f

x

j

) a c r o s s

v

o

l

u

m

e

b

o u

n

d

a

r

j

'

[

T

~ ^

L

~

2

]

j

^

^

n

o

n

-a

d

v

e c

t

i

v e

fl

u

x

o

f

^

a

c r o s

s a

,

5

-

i

n

t

e r

f

a c e

b

o i

m d

a r

j

'

[

T

~ ^

L

~

2

]

j

^

'

^

n

o

n

-a

d

v

e c

t

i

v

e

fl

u

x

o

f

^

a c r o s s

q

/

?

7

c o

n

t

a c

t

l i

n

e

b

o u n

d

a

r

y

[

T

~ ^

L

~

2

]

A

;

i

n

t

r

in

s

i

c

p

e r

m

e a

b i l i

t j

'

o

f

p

o r o

u

s

m

e

d i

a

[

L

^

]

fc

*

s c a

l

e

d i

n

t

r

in

s

i

c

p

e r

m

e a

b i l i

t y

o

f

p

o r o

u

s

m

e

d i

a

[

L

^

]

fc

*

e

ff

e c

t

i

v e

p

e r

m

e a

b i l i

t y

o

f

p

o r o

u

s

m

e

d i

a

t

o

a

p

h

a s e

[

L

^

]

A

r'

""

r e

l

a

t

i

v e

p

e r

m

e a

b i l i

t y

o

f

p

o r o

u

s

m

e

d i

a

t

o

a

p

h

a s e

[

]

K

' '

e

ff

e c

t

i

v

e

h

y

d

r a

u

l i

c c o

n

d

u

c

ti

v

i

t y

[

L T

~ ^

]

K

^

g

e

o

m

e

t

r

i

c

m

e a

n

h

y

d

r a

u

l i

c c o

n

d

u

c

t

i

v

i

t y

[

L T

~ ^

]

k

p

e r

m

e a

b i l i

t y t

e n s o r

[

L T

~ ^

]

K

m

u

l

t

i

p

h

a s e r e

l

a

t

iv

e

p

e r

m

e a

b i l i

t y t

e n s o r

[

L T

~ ^

]

/

i

n

d i

c a

t

i

n

g t

h

e

m

a c r o s c a

l

e, o

n

t

h

e o r

d

e r o

f 1 0

" ^

t

o

10

~ ^

m

e

t

e r s

[

L

\

P

^

u n

i

t

v

e c

t

o r

t

a n

g

e

n

t t

o

t

h

e s u r

f

a c e a n

d

t

a n

g

e n

t t

o a c u r v e,

t

h

e r e

f

o r e

b

e

i

n

g

o r

t

h

o

g

o

n

a

l

t

o

n

"

^

[

L

\

1

*

u n

i

t

v e c

t

o r

t

a

n

g

e

n

t t

o

t

h

e c u r v e

C

a

^

^ a

t

i

t

s e

n

d

p

o

i

n

t

s

w i

t

h i

n

V

,

p

o s

i

t

i

v

e

i

n

t

h

e

d i

r e c

t

i

o

n

o u

t

f

r o

m

t

h

e c

u

r v e s

u

c

h

t

h

a

t

1

-

1

*

=

± 1

[

L

\

l

"

^

s

p

e c

i fi

c

l

e

n

g

t

h

o

f

t

h

e

a

/

?

7

-c o

n

t

a c

t

l i

n e

(13)

L

i

n

d i

c a

t

i

n

g t

h

e

m

e

g

a s c a

l

e, o

n

t

h

e o r

d

e r o

f

t

e n s o

f

m

e

t

e r s

[

L

]

m

e

m

p

ir

ic a

l

p

a r a

m

e

t

e r

i

n

v a

n

G

e

n u

c

h

t

e

n

p

-

S

m

o

d

e

l

[

]

Af

°

m

a s s o

f

t

h

e

a

-p

h

a s e

[

M

]

M

"

^

m

a s s o

f

t

h

e

Q

.;3

-

i

n

t

e r

f

a c e

[

M ]

n

e

m

p

ir

ic a

l

p

a r a

m

e

t

e r

i

n

v a

n

G

e n u c

h

t

e

n

p

-

S

m

o

d

e

l

[

]

r i

d

n u

m

b

e r o

f

s

p

a

t

ia

l d i

m

e n s

io n s

[

]

U

p

n u

m

b

e r o

f p h

a s e s

[

]

n,

n u

m

b

e r o

f

s

p

e c

i

e s

[

]

n

° i

m

i

t

v

e c

t

o r

n

o r

m

a

l

t

o

t

h

e s

u

r

f

a c e

p

o

in

t

in

g

o u

t

w

a r

d

[

L

]

n

g

"

u n

i

t

v

e c

t

o r

n

o r

m

a

l

t

o

t

h

e

a

-p

h

a s e

v

o

l

u

m

e, o c c

u

r r

i

n

g

a

t t

h

e

R E V b

o

u n

d

a r

j

-(

A

aa

)

p

o

i

n

t

i

n

g

o u

t

w

a

r

d f

r o

m

t

h

e

Q

-p

h

a s e

[

L

]

n

°

^

i

m i

t

v

e c

t

o r

t

a n

g

e

n

t t

o

t

h

e s

u

r

f

a c e a n

d

n

o r

m

a

l

t

o

t

h

e

a

/

?

7

- c o

n

t

a c

t

l i

n

e

[

L

]

n

^

^

u n

i

t

v e

c

t

o r

t

a

n

g

e

n

t t

o

t

h

e s

u

r

f

a c e a

n

d

n

o r

m

a

l

t

o

t

h

e s u r

f

a c e

b

o

u n

d

a r

y

'

l i

n

e

(

C

a

^

)

p

o

i

n

t

i

n

g

o

u

t

w

a r

d

[

L

]

n

"

^

"

^

u n

i

t

v e

c

t

o r

t

a n

g

e

n

t t

o

t

h

e

c u

r

v

e

C

a

^

a

t

i

t

s e

n

d

p

o

i

n

t

s

w i

t

h i

n

t

h

e

R E V

U j

"

*

u n

i

t

v

e c

t

o r

t

a n

g

e

n

t t

o

t

h

e c

u

r v e

C

a

^

^ a

t

i

t

s e

n

d

p

o

in

t

s a

t t

h

e

b

o u

n

d

a r

j

'

o

f

t

h

e

R E V

h

°

^

e

n

t

r o

p y t

r a

n

s

f

e r

f

r o

m

t

h

e

a

-

p

h

a s e

t

o

t

h

e

a

,

;^-

i

n

t

e r

fa c e

[

M

L

~

^

T

~ ^

]

n

°

|

^ e

n

t

r o

p y t

r a n s

fe r

f

r

o

m

t

h

e

a

/

?

-

i

n

t

e r

f

a

c «

t

o

t

h

e

a

3

j

c o

n

t

a c

t

l i

n

e

[

M

L

' ^

T

' "

^

]

^

o

$

l

x e

n

t

r o

p y t

r a n s

f

e r

f

r o

m

t

h

e

a

d

j

c o

n

t

a c

t

l i

n e

t

o

t

h

e

i

n

t

e r

n

a

l

e

n

d

-p

o

i

n

t

[

M

L

~ ^

T

~ ^

]

N

n

e

w

t

o n ,

m

e a s

u

r e o

f f

o r c e

[

M

L T

~ ^

]

N

p

a

r

t

i

c

le

n

i

m

i

b

e r

[

]

m

u n

i

t

v

e c

t

o r

t

a n

g

e n

t t

o

t

h

e s

u

r

f

a c e a

n

d d i

r e c

t

e

d

o

u

t

w

a r

d

n

o r

m

a

l

t

o a c u r v e

o

f i

n

t

e r e s

t

[

L

]

p

p

r e s s

u

r e

[

M

L

~

^

References

Related documents

every drive more enjoyable.. Prius c Four shown in Sparkling Sea Metallic with available 16-in. 8-spoke alloy wheels... See numbered footnotes in Disclosures section.

One of the most novel feedback design aspects in CrossTrainer is the different audio and tactile textures used in the crossmodal

A wireless 6LoWPAN/CoAP/802.15.4-based solution, also conforming to the OMA Light- weight M2M protocol - like Connode 4 - is the prime candidate for large-scale local

This unit memorizes the last played Internet Radio station. If you press INTERNET RADIO to switch to the Internet Radio function from another input source, the last Internet

And honestly, I believe we don't see them, not because there are no good people on the police force, I think there are many people who are good on the police force, that's why

• We hold the No 2 position in cement and clinker supply to the Australian construction and resource sectors with efficient production in the growth states of Western

[r]

Однако для целей управления жизненным циклом сооружения в системе эксплуатации, предлагаемая процедура определения параметра интенсивности отказов λ достаточно достоверна и