• No results found

THE STRUCTURE OF SPATIAL MATRICES FOR THE COMBINED OSCILLATIONS MULTIDIMENSIONAL ROD SYSTEMS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "THE STRUCTURE OF SPATIAL MATRICES FOR THE COMBINED OSCILLATIONS MULTIDIMENSIONAL ROD SYSTEMS"

Copied!
7
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)УДК 624.042.8 А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ). СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ ДЛЯ КОМБИНИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ МНОГОМЕРНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Розглядається динаміка багатокомпонентних стрижневих систем з використанням теорії графів та автоматів. Показано, що структурний склад таких моделей можна задавати за допомогою просторових матриць на основі дослідження топологічних властивостей графа системи. В кожному випадку аналізується можливість реалізації послідовної схеми шляхом сполучень між собою типових логічних елементів. Рассматривается динамика многокомпонентных стержневых систем с использованием теории графов и автоматов. Показано, что структурный состав таких моделей можно задавать с помощью пространственных матриц на основе исследования топологических свойств графа системы. В каждом случае анализируется возможность реализации последовательностной схемы путем соединений между собой типовых логических элементов. Dynamics of multicomponent rod systems with use of the theory of graphs and automatic machines is considered. It is shown that the structure of such models can be set by means of spatial matrices on the basis of research of topological properties of a system graph. In each case the possibility of realisation of the consecutive scheme by connections among themselves of typical logic elements is analyzed.. Согласно существующей классификации [1], к двумерным стержневым системам относятся системы перекрестных балок, стержневых плит, плоских рам и т. д., к трехмерным – рамные пространственные каркасы, стержневые оболочки, пространственные фермы и другие подобные им конструкции. Такие системы находят широкое применение в мосто- и судостроении, промышленном и гражданском строительстве. Однако вопросам динамического расчета пространственных разветвленных конструкций посвящено сравнительно мало научной литературы, что объясняется сложностью задачи и гораздо бóльшими трудностями ее решения, чем для одномерных стержневых систем. Обстоятельные обзоры применяемых методов расчета перекрестно-стержневых систем даны в работах [1, 2]. По существу, эти методы являются развитием известных методов динамического расчета одномерных конструкций с присущими им достоинствами и недостатками, которые особенно отчетливо проявляются при расчетах свободных и вынужденных колебаний пространственных стержневых систем. Применение топологических и автоматных методов [3, 5] допускает точное математическое описание совместных колебаний пространственных стержневых систем, практически не меняя при этом основные алгоритмы расчета, принятые для одномерных конструкций. Такой подход позволяет также осущест-. вить декомпозицию графов на компоненты по видам колебаний с последующим переходом от характеристических функций простых систем к общему матричному уравнению действительной соединенной системы. Целью исследования является получение пространственных ассоциированных матриц для описания состояний многокомпонентных стержневых систем с использованием теории графов и автоматов. Простые стержневые системы (рис. 1) можно рассматривать как составные части более крупных систем в виде пересекающихся балок или пространственных рамных каркасов. Для построения ассоциированных матриц, описывающих колебания каждой такой части, необходимо рассмотреть все возможные состояния аналогов-стержней, входящих в простые системы, из которых затем формируются блоки, подсистемы и система в целом. Вначале исследуем возможные состояния автомата Az 1 , представленного графом Gz [3], при подаче входных последовательностей длиной l для НП стержня 11 и КП стержня 12. Длина последовательности l равна числу символов в последовательности [4] и, в данном случае, формируется из набора кодов на множестве {0, 0, 1, 1} , характеризующих изгибные колебания стержня. Следовательно, в таблице переходов Az (табл. 1 [3]) изменения коснутся только кодов. 139.

(2) кодами граничных параметров представлены в табл. 1.. НП, КП стержней 11, 12 при тех же состояниях I, II подграфов 1 Gz , 2 Gz . Соотношения между. Рис. 1. Системы из двух и трех ортогональных балок Таблица 1. Таблица переходов Az 1 I. sν xν К НП С. II. 11. 12. 21. 22. 11. 12. 21. 22. a1 b1 c1 d1. a b. 0 1. 0 f. 0 b. 0 1. e f. c d. 0 1. g 1. a1 b1 c1 d1. c 1. 0 1. g h. 0 1. 0 b. e f. 0 1. 0 1. c 1. a2 b2 c2 d2. g h. 0 1. a2 0 f b2 КП c2 g c С d 1 d2 Тогда совокупность характеристических функций автомата Az 1 можно выразить двумерной (квадратной) матрицей Ω z шестого порядка с кодами НП, КП, аналогичными матрице M z [5] для обычного участка балки a b. К. ( ) (. Ω z = V 1Gz V. 2. ). Gz .. v11 = M z11 ; v12 = M z12 .. ′ , v12 ′ опредеСоответственно, выражения v11 ляются кодами НП, КП стержней 11, 12, реализующимися в состоянии II подграфа 1 Gz . Мат′ = M z′11 имеет размеры 6×2 и соответстрица v11 вует первым двум столбцам матрицы M z [5] с кодами 0011 и 0101. Возможные сочетания кодов НП стержня 12 – 0101 и 0011 (табл. 1). Тогда матрица ′ = M z′12 размерами 2×6 определяется двумя v12 строками матрицы M z. (1). ′ , v22 ′ [3] в соЗначения матриц v21 , v22 и v21 ответствии с кодами табл. 1 для вектора V. ( G ) остаются без изменений. 2. z. Матрицы v11 , v12 будут квадратными матрицами шестого порядка с элементами и кодами табл. 2 [5], характеризующими возможные состояния стержней 11, 12 в состоянии I подграфа 1 Gz 0011 0101 M z′12 = 0011. l13 Az1 EJ y1λ 3z1 l14. ( EJ ) y1. 140. 0101. 2. λ 4z1. Gz1. 0110. 1001. l12 Bz1 λ 2z1. l1 C z1 λ z1. l1 C z1 λ z1. l13. l12. l12. EJ y1λ 3z1. Az1. (2). EJ y1λ 2z1. H z1. EJ y1λ 2z1. Fz1. 1010 −. Dz1 l1 EJ y1λ z1. 1100. C z1. EJ y1λ z1 l1 Ez1. Az1 .. (3).

(3) Таким образом, ассоциированная матрица Ω z для стержневой системы (рис. 1а) примет вид Ω z = M z11M z12 vz 21vz 22 + M z′11M z′12 vz′ 21v′z 22 . (4) Аналогично формируется ассоциированная матрица Ω y для изгибных колебаний пересекающихся балок в плоскости xy (5) ( ) ( G ), V ( G ) и V ( G ) также можно. Ω y = V 1G y V. где матрицы. 1. 2. В этом случае всю систему, представляемую автоматом Az 2 , можно описать трехмерной (кубической) матрицей шестого порядка Ωiz1i2i3 Ωiz1i2i3 = ai1i2i3. 6 1. , ( i1 , i2 , i3 = 1, 2, ..., 6 ).. (11). На рис. 2 схематично обозначены направления изменения индексов и угловые элементы кубической матрицы n -го порядка.. y. 2. z. z. представить в форме V. ( G )= v 1. y. 11v12. ′ v12 ′ ;V v11. (. 2. ). Gy =. v21v22 . (6) ′ v22 ′ v21. Выражения для v11 , v12 будут тождественны матрице M y (табл. 2 [5]) с характеристиками стержней 11, 12 v11 = M y11 ; v12 = M y12 .. (7). ′ зависят от со′ , v12 Элементы матриц v11. стояний НП, КП стержней 11, 12 подграфа 1G y , находящегося в состоянии II и определяются двумя столбцами матрицы M y с кодами 0011 и ′ и двумя строками той же матрицы 1010 для v11 ′ . M y с кодами 1010 и 0011 для v12. Элементы векторов v21 , v22 выразим булевыми функциями v21 = 0101 0011 0101 1010 ; v22 =. 1010 0101 , 0011 0101. (8). или функциями Прагера v21 =. l23 Ay 2 EJ z 2 λ3y 2. Dy 2 Dy 2 ; v22 =. l23 Ay 2. .. (9). EJ z 2 λ 3y 2. ′ , v22 ′ аналогичны выражениям Значения v21 (2), (3) из [3]. В окончательном виде для ассоциированной матрицы Ω y запишем ′ v22 ′ . Ω y = M y11M y12 v21v22 + M ′y11M ′y12 v21. (10). Вновь обратимся к конструкции на рис. 1а и проведем анализ изменения состояний автомата Az 2 при изменении состояний входных переменных НП стержня 21 или КП стержня 22.. Рис. 2. Обозначения элементов кубической матрицы n -го порядка. Характерным для кубических матриц является то, что действия над ними производятся по тем же правилам, как и для двумерных матриц с добавлением последовательных переносов еще по одному направлению [6]. Так, для матрицы (11) все шесть сечений ориентации i1 при фиксированном значении индекса i1 = 1, 2, …, 6 будут обычными двумерными матрицами 6-го порядка Ω1zi2i3 , Ω 2z i2i3 , …, Ω6z i2i3 ( i2 , i3 = 1 , 2, …, 6). В таблице переходов 1 возможность перестановки кодов КП стержня 22 выразим буквенными символами e2 f 2 g 2 h2 . Число перестановок кодов из двух произвольных и двух фиксированных параметров равно шести. Последовательный перебор этих кодов в порядке 0011, 0101, …, 1100 позволяет сформировать ′ в выражеэлементы матриц-столбцов v22 и v22 нии (4). Несложно заметить, что поочередное изменение кодов начальных параметров стержня 22 в состоянии I (табл. 1) подграфа 2Gz будет отвечать изменению двух последних функций столбцов матрицы M z [5]. 141.

(4) 0011 l23 EJ y 2 λ 3z 2. v22 = V220011 =. y2. 2. 0101. Az 2. l24. ( EJ ). λ 4z 2. ; …;. Gz 2 0011. − v22 = V221100 =. l2. 0011 Az 2 0101. v21 = V211100 = Ez 2. v21 = V210011 =. а в состоянии II – полному набору матричных функций столбцов матрицы M z ′ = V22′0011 ; V22′0101 ; … ; V22′1100 . v22. (13). Поэтому для двумерной матрицы Ω1zi2i3 , образованной сечением ориентации i1 = 1 , можно записать ′ V22′0011 . (14) Ω1zi2i3 = M z11M z12 v21V220011 + M z′11M z′12 v21 При i1 = 2 получим ′ V22′0101 , (15) Ω 2z i2i3 = M z11M z12 v21V220101 + M z′11M z′12 v21 или, в другой форме, = M z11M z12. M z′11M z′12. v21V220101 ′ V22′0101 v21. Пользуясь двумерными сечениями [6], выразим кубическую матрицу Ωiz1i2i3 в виде таблицы, в которой сечения отделяются вертикальными линиями a2i2i3. → ( i1 ) → ( i3 ) ... a6i2i3 ↓ ( i2 ). (17). где стрелки обозначают направления возрастания порядковых номеров индексов i1 , i2 , i3 . Следующим шагом является построение пространственной r -мерной матрицы Ωiz1i2i3i4 ( r = 4 ) шестого порядка, получающейся в результате подачи входных символов e1 f1 g1 h1 на множестве (табл. 1). 142. {0, 0,1,1}. l24Gz 2. ( EJ ) y2. для НП стержня 21. (18). EJ y 2 λ z 2 Az 2 l2. 2. λ 4z 2. 1100. ; …;. 0101 l23 Az 2 . (19) 0011 3 EJ y 2 λ z 2. Во втором состоянии подграфа 2Gz получим строки матрицы M z с последовательным изменением кодов НП стержня 21, соответст′ вующие матрице v21 ′ = V21′1100 ; V21′1010 ; … ; V21′0011 . v21. (20). Таким образом, для совокупности элементов двумерной матрицы Ωiz1i2i3i4 ( i1 , i2 , i3 , i4 = 1 , 2 , … , 6), образованной двукратным сечением ориентации ( i1 i2 ) при фиксированных значениях индексов i1i2 , можно записать z 1100 0011 Ω11 + i3i4 = M z11 M z12V21 V21. . (16). Аналогично получаем выражения для остальных матриц Ωiz1i2i3 при i1 = 3, ...,6 .. Ωiz1i2i3 = a1i2i3. −. , (12). 0011. .. 0101. 0011. Ez 2. Ω 2z i2i3. 1. В состоянии I подграфа 2Gz коды НП, КП стержня 21 формируют функции строк, соответствующие вектору v21 и первым двум элементам матрицы M z с кодами КП 0011 и 0101. 1100 EJ y 2 λ z 2. 6. Ωiz1i2i3i4 = ai1i2i3i4. + M z′11M z′12V21′1100V22′0011 . (21) При i1 = 2 , i2 = 1 приходим к выражению для Ω 21i3i4 , которое запишем в форме (16) z Ω 21 i3i4. = M z11M z12. M z′11M z′12. V211010V220011 V21′1010V22′0011. . (22). Далее несложно получить остальные выражения для двумерных матриц при различных сочетаниях i1 i2 ( i1 , i2 = 1, 2,..., 6 ) с изменением элементов векторов в правой части (22). Например, при значениях индексов i1 , i2 = 6 получим z Ω66 i3i4. = M z11M z12. M z′11M z′12. V210011V221100 V21′0011V22′1100. . (23). Аналогично (17), представим двумерные сечения пространственной матрицы Ωiz1i2i3i4 в виде квадратной таблицы с выделением двумерных.

(5) сечений вертикальными и горизонтальными линиями. Последовательный перебор граничных условий НП стержня 21 и КП стержня 22 позволяет перейти к трех- и четырехмерным матрицам восьмого порядка Ωiϕ1i2zi3 и Ωiϕ1i2zi3i4 . В отличие. (24). от элементов пространственных матриц, характеризующих совместные изгибные колебания стержневой системы, элементы матриц Ωϕ z будут содержать упорядоченные произведения матричных функций M ϕ и M z [5, 7]. Алгоритм. Другие двумерные простые сечения также можно представить в форме (24) для матрицы Ωiz1i2 i3i4 с фиксированными значениями индексов i3 i4 . Кроме этого, следуя [6] для r -мерной пространственной матрицы возможно получение r −2 ( n!) двумерных трансверсальных сечений, состоящих из n трансверсальных строк, каждая пара которых не принадлежит одному и тому же простому сечению. Пространственные матрицы Ωiy1i2i3 и Ωiy1i2i3i4 для изгибных колебаний пересекающихся балок в плоскости xy также можно представить в форме (11), (18) с последующим выделением двумерных сечений (17), (24). Для построения ассоциированной матрицы Ωϕ z , описывающей совместные изгибнокрутильные колебания системы пересекающихся балок, необходимо воспользоваться таблицей переходов автомата AT (табл. 1 [7]) с возможными состояниями промежуточного блока плоской рамы (рис. 2, 3 [7]). Количество возможных состояний граничных параметров подсистемы определяется входными последовательностями длиной l = 6 для НП стержня 11 и КП стержня 12. Характеристические функции автомата AT 1 в соответствии с кодами табл. 1 [7] можно представить ассоциированной матрицей Ωϕ z восьмого порядка. Ωϕ z =. M 11 M 21. M12 , M 22. построения пространственных матриц Ωixy1i2i3 и. Ωixy1i2i3i4 будет аналогичным. Для построения уравнений частот в ортогональной форме трехмерной стержневой системы необходимо разделить ее плоскими сечениями на подсистемы, в которых какие-либо две балки всегда окажутся в плоскости сечения, а третья будет перпендикулярна этой плоскости. Как уже отмечалось [3], изгибные колебания балок в образованной ими плоскости будут вызывать крутильные, а из этой плоскости – продольные колебания ортогональной для них балки. Поэтому достаточно построить ассоциированные матрицы для одной какой-либо подсистемы, которые будут действительны также для описания других аналогичных подсистем. Например, при изгибных колебаниях стержней 11, 12 и 21, 22 в плоскости xy стержни 31, 32 (рис. 1б) будут испытывать крутильные колебания. В этом случае подграфы системы могут находиться только в двух состояниях I, II (рис. 9 [3]). Соответственно, таблица переходов 2 автомата ART1 при условии подачи входных последовательностей длиной l = 4 на НП, КП изгибаемых стержней примет следующий вид (см. табл. 2). Учитывая только «входы» НП стержня 11 и КП стержня 12 получим двумерную матрицу Ωϕ yz шестого порядка в следующей форме. (. ) ( GT )V ( GT ) ,. (25). Ωϕ yz = V 1GT V. где подматрицы M ij определяются выраже-. или в развернутом виде. ниями (15)–(21) [7]. Подобным образом, для исследования состояний автомата AL1 , учитывающего совместные изгибно-продольные колебания пересекающихся балок, следует воспользоваться таблицей переходов AL1 , аналогичной табл. 1 [7], и набором матричных функций (23)–(28) [7], из которых формируются подматрицы M ij (25). Ωϕ yz = v11v12. ′ v12 ′ v11. 2. v21v22 0. 3. (26). ω31ω32 0 (27) ′ v22 ′ ω′31ω′32 v21. Несложно заметить, что элементы матриц, входящих в выражение (27) в соответствии с кодами табл. 2 приводятся к элементам ассоциированной матрицы Ω y (10) с последовательным их умножением на матрицы ω31ω32 и. для ассоциированной матрицы Ω xy .. 143.

(6) ′ v22 ′ ω′31ω′32 . (28) + M y′ 11M ′y12 v21. ω′31ω′32 [3], характеризующие крутильные колебания стержней 31 и 32. Ωϕ yz = M y11M y12 v21v22 ω31ω32 +. Таблица 2. Таблица переходов автомата ART1 I. sν. II. 11. 12. 21. 22. 31. 32. 11. 12. 21. 22. 31. 32. К. a1 b1. a b. e1 f1. e 0. 0. k. a1 b1. a 0. e1 f1. e f. 0. 0. С. c1 d1. c d. g1 h1. 1 h. 1. l. c1 d1. 1 d. g1 h1. g h. 1. 1. К. a b. a2 b2. e 0. e2 f2. k. 0. a 0. a2 b2. e f. e2 f2. 0. 0. С. c d. c2 d2. 1 h. g2 h2. l. 1. 1 d. c2 d2. g h. g2 h2. 1. 1. xν. НП. КП. Соответственно, для ассоциированной матрицы Ω xyz , описывающей изгибные колебания балок 1-го и 2-го направлений из плоскости xy и продольные колебания балки направления 3 (рис. 1б), можно записать Ω xyz = M z11M z12 v21v22u31u32 +. ′ v22 ′ u31 ′ u32 ′ . (29) + M z′11M z′12 v21 Далее, построение пространственных матриц Ωixyz и Ωixyz будет точно таким же, как и 1i2 i3 1i2 i3i4 пространственных матриц Ωiz1i2i3 и Ωiz1i2i3i4 (11), (18). Отличие заключается лишь в дополни′ u32 ′ в выражетельных множителях u31u32 и u31 ниях для двумерных матриц (14), (15), (21) и др., образованных соответствующими сечениями ориентации. Такую же аналогию можно провести между пространственными матрицами Ωiϕ1i2yzi3 , Ωiϕ1i2yzi3i4 и Ωiy1i2i3 , Ωiy1i2i3i4 с учетом дополнительных множителей ω31ω32 и ω′31ω′32 . В общем случае, для трехмерной стержневой системы можно составить r -мерную пространственную матрицу ( r = 5 , 6 ) с индексами i1 , i2 , … , i6 , где i5 , i6 = 1 , 2 . Как видим, число измерений r пространственной матрицы Ω зависит от числа «входов» автомата А, описывающего колебания стержневой системы, а ее порядок n – от числа перестановок кодов соответствующих входных переменных. Каждое сечение ориентации ассо-. 144. циированной пространственной матрицы кодируется точно так же, как и матрица обычного участка балки. Таким образом, с помощью кодированных ассоциированных матриц характеристические уравнения получаются как в общем функциональном, так и в цифровом виде. В отличие от простых конструкций, ассоциированные матрицы относятся не к отдельным стержням, а к отдельным блокам или подблокам системы. Элементами матриц для структуры более высокого уровня будут аналогичные одномерным системам произведения матриц для других «вложенных» структур. Степень «вложенности» матриц определяется количеством входных последовательностей из наборов состояний граничных параметров в сечениях системы. На самом низком уровне элементами ассоциированных матриц являются функции Прагера для стержня. Задачей последующего исследования является вывод уравнения состояния сложной системы по уравнениям отдельных ее частей, полученных с помощью обыкновенных (одномерных, двумерных) и пространственных ассоциированных матриц. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1.. 2.. Галишникова, В. В. Регулярные стержневые системы. Теория и методы расчета [Текст] / В. В. Галишникова, В. А. Игнатьев / Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. – Волгоград: ВолгГАСУ, 2006. – 552 с. Nayfeh, A. H. Dynamic characteristics of large repetitive framelike structures [Текст] /.

(7) 3.. 4. 5.. A. H. Nayfeh, M. S. Hartle // Trans. ASME: J. Appl. Mech. – 1984. – 51, N 3. – P. 510-518. Распопов, А. С. Применение топологических методов к расчету пространственных колебаний двух- и трехмерных стержневых систем [Текст] / А. С. Распопов // Вестник Днепроп. нац. ун-та жел.-дор. трансп. им. акад. В. Лазаряна. – 2008. – Вып. 22. – Д.: Изд-во ДНУЖТ, 2008. – С. 117-124. Гилл, А. Введение в теорию автоматов [Текст] / А. Гилл. – М.: Наука, 1966. – 272 с. Распопов, А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и балочных конструкций [Текст] / А. С. Распопов // Вестник Днепроп. нац. ун-та жел.-дор. трансп. им. акад. В. Лазаряна. –. 6. 7.. 2007. – Вып. 19. – Д.: Изд-во ДНУЖТ, 2007. – С. 125-133. Соколов, Н. П. Пространственные матрицы и их приложения [Текст] / Н. П. Соколов. – М.: Гос. издат. физ.-мат. лит., 1960. – 300 с. Распопов, А. С. Применение конечных автоматов к расчету пространственных колебаний рамных мостов [Текст] / А. С. Распопов // Баштові споруди: матеріали, конструкції, технології // Вісник Донбаської нац. акад. будівн. та архітект. – Вип. 2007-6 (68). – Макіївка, 2007. – С. 73-79.. Поступила в редколлегию 26.08.2008.. 145.

(8)

References

Related documents

8; 9;] та звіти діяльності конкретних підприємств, які експлуатують інженерні мережі, показує, що не останнє місце в статистиці нещасних випадків

Our prior hypotheses are that a higher concentration or market share of hospitals increases price markup, while insurer concentration or market share decreases the markup on prices

When data published by OECD and UNWTO were examined together, it was observed that income inequality influenced both the demand for and intermediaries of domestic tourism,

Yukl and Falbe (1990) removed the sanctions and blocking sizes in Kipnis, Schmidt and Wilkinson’s (1980) organizational influence strategies profile, and they created an

Membrane condenser is an innovative technology that was recently investigated for the recovery of water vapor for waste gaseous streams, such as flue gas, biogas, cooling tower

In addition, we will note that in the law (Federal Law from December 28, 2013 No. 442-FL “On the basis of social services for citizens in Russian

He has published over 140 scholarly articles, books, and book chapters, including in such outlets as Academy of Management Journal, Annual Review of Psychology,

В язык Julia встроены средства для написания программ, предназначенных для выполнения на кластере, а также на одном компьютере с многоядерным процессором..