cerradas.
Debido al grado de generalidad y la cantidad de condiciones necesarias para su posibilidad, no se efectuará una descripción eminentemente categorial para demostrar el Teorema de Lawvere. No obstante se precisa una descripción grosso modo de lo que
AxA f B B A h
111
son las categorías cartesianamente cerradas (CCC), que son aquellas categorías en donde Lawvere hace intervenir la diagonalización. Una categoría C consta de una colección O de objetos y una colección A de morfismos que cumplen unas ciertas condiciones estructurales8. En general, la teoría de categorías parte de que los objetos y los morfismos son dados sin suponer las partes constitutivas de los objetos9. Es por ello que los diagramas conmutativos (como los que se han presentado en las demostraciones de los teoremas 1c y 2c) son de gran importancia, pues definen, a través de leyes de composición, otros morfismos tales que cumplan una cierta propiedad determinada por medio del diagrama. También es posible definir morfismos entre categorías (que se denominan usualmente como funtores), de modo tal que preserven la estructura de las categorías10. Con estas definiciones, se puede constatar que los conjuntos y funciones (S), los espacios topológicos y funciones continuas (Top), los grupos y homomorfismos (Grp), etc., todos son categorías. Así pues, la teoría de categorías es una teoría muy general que abarca marcos teóricos convencionales como la teoría de conjuntos. Entonces, no es de extrañar que los objetos, relaciones y resultados sobresalientes de la teoría de conjuntos tengan un correlato más generalizado en la teoría de categorías. De este modo, la noción de conjunto unitario y conjunto vacío tienen sus correspondientes:
objeto terminal (que se suele simbolizar por 1) y objeto inicial (simbolizado por 0). La noción de ―elemento‖ también se determina vía morfismos y, por ello se pueden definir objetos que consten de n ―elementos generalizados‖11. Igualmente, dado que en teoría de conjuntos se puede construir un nuevo conjunto por medio del producto cartesiano o por medio de la unión, en teoría de categorías se pretende extender dichas operaciones para cualquier tipo de categoría.
8
(i) Para cada morfismo f, un objeto es el dominio de f, y otro objeto es el codominio de f. (ii) Para cada objeto A existe un morfismo 1A denominado morfismo identidad con a como dominio y codominio. (iii) Para cada par de morfismos f:AB y g:BC (es decir, cod(f)=dom(g)), existe el morfismo compuesto gof:AC.
Además, los morfismos y objetos deben cumplir los siguientes axiomas: () Para cada morfismo f:AB
se tiene que: fo1A=f y 1Bof=f. () Si f:AB, g:BC y h:CD son morfismos, entonces (hog)of=ho(gof). 9
Por ejemplo, las propiedades de la categoría S de los conjuntos se dan por medio de sus morfismos y no por medio de los elementos de los conjuntos.
10
Dadas dos categorías C y D, un funtor (o functor) F es un morfismo entre C y D (es decir F:CD), tal que: (i) si f:AB es un morfismo en C, entonces F(f) (también representado por Ff:FAFB) es un morfismo en D. Es decir, los funtores llevan morfismos en morfismos. (ii) F preserva la identidad:
F(1C)=1D.
11 Es corriente simbolizar un objeto de k ―elementos‖ como K. Por ejemplo, el conjunto {a, bc} se simboliza en el lenguaje de categorías como 3.
112
El concepto de producto fibrado generaliza la noción de producto cartesiano. Un producto fibrado entre A y B (ambos objetos de una categoría C) consiste de un objeto P
(que se denotará por AxB) y dos morfismos 1 y 2 tales que, para cualquier objeto D y cualquier par de morfismos z1:D→A y z2:D→B, existe un único morfismo z1,
z2:DAxB que haga que z1=1oz1, z2 y z2=2oz1, z2. Es decir, que el siguiente diagrama conmuta12:
El concepto de suma amalgamada (o suma, simplemente) generaliza la idea de unión disjunta de conjuntos. Es usual definir la suma como el dual del producto fibrado13. Así, una suma entre dos objetos A y B de una categoría C, consiste en un objeto S (que se denotará por A+B) y dos morfismos i1 e i2 (denominados morfismos inclusión) tales que, para cualquier objeto D y cualquier par de morfismos w1:A→D y w2:B→D, existe un único morfismo [w1,w2]:A+BD que haga que w1=[w1,w2]oi1 y w2=[w1,w2]oi2. Es decir, que el siguiente diagrama conmuta
12 La existencia del producto fibrado depende de de la existencia de los dos morfismos
1 y 2 y no solo de ello, sino también de la existencia y unicidad del morfismo z1, z2. Los morfismos 1 y 2 son los morfismos proyección: 1(AxB)=A y 2(AxB)=B
13 El principio de dualidad permite considerar una nueva propiedad de los objetos de una categoría cuando la dirección de los morfismos se invierten.
D z2 z1 <z1,z2 > AxB 2 1 B A A+B A B D i1 i2 w1 w2 [w1,w2]
113
Cuando en una categoría C (i) existe el objeto terminal T y (ii) el producto existe para cualquier par de objetos A y B de C, se dice que esta categoría es cartesiana (CC). Las categorías S, Grp y Top son CC.
Es deseable definir en una cierta categoría C, la propiedad que determine la existencia del objeto que corresponda al conjunto de morfismos de B a A (es decir, BA). Esta propiedad es importante, pues como se ha apreciado en el §1 del presente capítulo, la diagonalización (en el caso de ℕ y ℝ) considera el conjunto M={f: f:ℕ→{0,1}}, es
decir, M={0,1}ℕ. De este modo, el exponente de A y B, en una categoría cartesiana C, es el objeto BA junto con un morfismo evalA,B:BAxAA (morfismo evaluación), y para cualquier objeto C, un funtor14 C:HomC(CxA,B)HomC(C,BA) tal que para todos los
morfismos f:CxAB, h:CBA, se mantienen las siguientes relaciones: (i) evalA,Bo[C(f)x1A]=f
(ii) C[evalA,Bo(hx1A)]=h
Es decir, que HomC(CxA,B) HomC(C,BA).
Si una categoría C es CC y existe el exponente BA para cualquier par de objetos A, B en
C, se dice que es cartesianamente cerrada (CCC). Un buen ejemplo de CCC es la categoría de los conjuntos y funciones S. Por tanto, en las CCC es posible hablar del teorema de Cantor en tanto que este apela a la construcción de conjuntos potencia. Es por ello que Lawvere (2006) recurre a las CCC para demostrar la generalización del teorema de Cantor.
Ahora bien, el teorema 1c esbozado arriba es la demostración conjuntista del teorema de Lawvere. Esta versión en teoría de conjuntos ha sido elaborada por Yanofsky (2003, p.366), pues como se mencionó en el capítulo primero (§8), Lawvere no efectúa la demostración de su teorema, aunque afirma que la demostración se efectúa ―aplicando la observación anterior y la demostración en la sección previa‖ (Lawvere, 2006, p. 7). La observación a la que se refiere es la 2.1 en la que se aplica el lema de Yoneda15 y, la demostración a la que hace referencia es la del Corolario 1.2 que afirma que:
14
La colección de todos los morfismos con dominio A y codominio B (ambos objetos de la categoría C) se denota por HomC(A,B). Se puede probar que, en efecto, HomC(A,B) es una categoría.
15 Este afirma que, en lugar de estudiar una categoría pequeña C, se puede estudiar la categoría Fun[C ,Set] de todos los funtores F: CSet. Debido a que Set es una categoría muy conocida, cualquier funtor F
114
Si existe t:YY tal que yt≠y para todo y:1Y entonces para ningún A existe un morfismo sobreyectivo AYA (Lawvere, 2006, p. 5).
Este corolario es el contrarrecíproco de su teorema 1.1 que afirma que si existe un objeto A en una categoría cartesianamente cerrada que cumpla la propiedad de existencia de un morfismo sobreyectivo (g:AYA), entonces el objeto Y tiene la propiedad de punto fijo. La demostración es similar, en líneas generales, a la del teorema 2c, aunque implementa el poder del lenguaje categorial. Y, si bien, se podría apelar a este lenguaje para describir la diagonalización en el presente trabajo, se recurrirá en su lugar al lenguaje de la teoría de conjuntos que es mucho más familiar aunque con muchas limitaciones (por ejemplo, el poder de acceso hacia otro tipo de objetos abstractos que la teoría de categorías sí cumple). Con este propósito se ha acudido al texto de Yanofsky (2003), para explicar cada uno de los teoremas y sus consecuencias. Sin embargo, es menester aclarar que Yanofsky va más allá en lo concerniente a las aplicaciones del argumento diagonal, pues mientras Lawvere expone su aplicación en la paradoja de Russell, el teorema de Gödel y la indefinibilidad de la verdad de Tarski, Yanofsky exhibe un abanico mayor de aplicaciones y posibilidades de aplicación.
Así pues, el teorema de Lawvere es una conjugación de los teoremas 1c y 2c en un solo enunciado. Como se aprecia, además, hay un elemento sin el cual las demostraciones de estos teoremas no sería posible: la existencia de la función :AAxA que hace que
(x)=(x,x). Esta función es denominada función (o morfismo) diagonal y las demostraciones donde interviene se denominan frecuentemente argumentos diagonales
(Yanofsky, 2003, p. 367). Asimismo, la representación de funciones como supuesto es necesaria en la demostración. En el supuesto de que toda g:AB se pueda representar como alguna f:AxAB ¿qué papel juega el otro conjunto A en el producto AxA? Si se ha observado con detenimiento las consideraciones expuestas en el presente capítulo y, en las demostraciones de Cantor (1891), Gödel y Turing, se observa que se esperaría que las funciones g:AB pudiesen ser indizadas por A para que en efecto haya una biyección (en realidad, una función sobre) entre A y el conjunto entre todas las
de Fun[C ,Set] se puede ver como una representación de C en términos de una categoría conocida (y cómoda).
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funciones de A en algún otro conjunto. Dicha hipotética indización es la que efectuaría el otro conjunto A.
Por ejemplo, si A=ℕ y B={a,b}, entonces el suponer que toda función g:ℕ{a,b} sea representable como alguna f:ℕxℕ{a,b} significa que se pueden indizar todas las funciones g. Así, si g, h, j:ℕ{a,b}, entonces existen ,,ℕ (no necesariamente iguales) talles que:
g(x)=f(x,); h(x)=f(x,); y j(x)=f(x,) Pero ello se puede ver asimismo de la forma:
g(x)=f(x); h(x)=f(x); y j(x)=f(x)
Es decir, se puede ver a g como la -sima función f, h como la -sima función f y, en general, cualquier función :ℕ{a,b} se puede ver como la -sima función f, para algún ℕ. Es decir, se ha supuesto que se pueden indizar todas las funciones del tipo
g:ℕ{a,b}.
Por lo anterior, las funciones del tipo f:AxAB que intervienen en los teoremas 1c y 2c se denominan ―funciones de indización‖. Pero, en las demostraciones de estos teoremas se aprecia qué pasa cuando los dos argumentos toman el mismo valor (es decir, cuando la variable libre de g toma el mismo valor que el índice de f): ¿qué ocurre si se hace
g()=f(,)=f()? Entonces ello es lo que conlleva la contradicción. Como esto se
hace cuando se itera el índice, es decir, cuando la función f se evalúa sobre el índice que la representa, entonces, se suele llamar a esta evaluación en las funciones f:AxAB como una ―autorreferencia‖ (Yanofsky, 2003, p. 3).
Ahora bien, la demostración de los teoremas 1c y 2c (y por consiguiente, del teorema de Lawvere) no es válida para cualquier B en las funciones g:AB, pues si se diese el caso que B=1={}, es decir, un conjunto unitario, entonces el teorema 1c es imposible, pues toda función :{}{} tiene un único punto fijo. Es por ello que el teorema 1c es válido solamente si B no es un conjunto ―degenerado‖. Por otro lado, el teorema 2c afirma que si g:AB es representable por f:AxAB entonces B tiene que ser “degenerado”. Ello traducido en el lenguaje del teorema 1.1 de Lawvere (2006, p. 5) es lo mismo que afirmar que si existe un morfismo sobreyectivo ABA, entonces B debe ser ―degenerado‖, que en términos de funciones características significa que BA es el mismo A.
116
Como el teorema de Lawvere observa la relación que hay entre los conjuntos A, AxA y
B, cabría preguntar si es posible extender dicho teorema de modo tal que se obtenga el mismo resultado, pero en lugar de apelar al morfismo diagonal :AAxA, se podría utilizar otro morfismo diagonal más general :AAxS para un S elegido convenientemente. Ello en virtud de la caracterización general de lo que es una ―diagonal‖ geométrica16
.
Para dar cuenta de la cuestión anterior, considérese, por ejemplo que A={1, 2, 3, 4} y B={m,w} el morfismo diagonal :AAxA describe los elementos que hay en la diagonal usual (en el sentido de la definición 2a), mientras que el morfismo f:AxAB le asigna un valor a cada celda de la diagonal (en el sentido de la definición 3a). Entonces la composición de estos morfismos [f((x))], se puede apreciar en el siguiente diagrama:
Que geométricamente representaría la región sombreada del siguiente arreglo:
1 2 3 4
1 m w m w
2 w w m w
3 m m m w
4 w w w m
Luego, cualquier arreglo geométrico queda determinado por el anterior diagrama. Es decir, que los diagramas de categorías permiten un nivel muy grande de generalidad,
16 Ver el §2 (página 103) del presente capítulo. AxA f B fo A
117
pues el anterior diagrama también da cuenta de los arreglos geométricos n- dimensionales.
Queda claro entonces cuál es el papel de la función :BB: cambia el valor de la diagonal, es decir, en términos de la definición 4a, es el contravalor o el generador de la sucesión antidiagonal. Pero retomando nuevamente la discusión efectuada alrededor de lo que es una ―diagonal‖, se apreció que otro tipo de arreglos que no son intuitivamente diagonales, pueden servir para construir un argumento diagonal, siempre y cuando todos
los elementos del lado ( en este caso, el conjunto A={1, 2, 3, 4}) estén relacionados. Por ejemplo se puede tener el siguiente arreglo, en donde las celdas sombreadas representan la diagonal: 1 2 3 4 1 m w m w 2 w w m w 3 m m m w 4 w w w m
Entonces es claro que en este arreglo la función diagonal debe ser de un tipo más general que la implementada hasta ahora (es decir, el morfismo :AAxA), pues se hace necesario un morfismo :AS (con SA) que cambie el lugar de la segunda componente en la función :AAxA. Pues se ha efectuado el siguiente cambio en el anterior arreglo:
(1)=(1,1) ’(1)=(1,4)= (1,(1))
(2)=(2, 2) ’(2)=(2, 1)= (1, (2))
(3)=(3,3) ’(3)=(3,3)= (1,(3))
(4)=(4,4) ’(4)=(1,2)= (1,(4))
Así, es claro cuál es el morfismo . Sin embargo, como se aprecia arriba :AA, pero puede darse el caso que, por ejemplo (4)=3, por lo que el arreglo que se tendría sería el siguiente:
118 1 2 3 4 1 m w m w 2 w w m w 3 m m m w 4 w w w m
Y en este caso :AS donde S={1, 3, 4}. Pues como se de recordar, no es necesario
que todas las columnas del arreglo estén relacionadas, pero sí lo es el que lo estén todas las filas.
Toda la reflexión anterior permite enunciar la versión más general del Teorema 1c (Yanofsky, 2003, p. 367):
Teorema 3c (Teorema de Cantor-Lawvere forma generalizada): Sea B un conjunto,
:BB un morfismo sin la propiedad de punto fijo, A y S conjuntos, :AS una función sobreyectiva (es decir, tiene inversa derecha ’:SA) y :AAxS tal que
(x)=(x,(x)). Entonces para todas las funciones f:AxSB, la función g determinada por el siguiente diagrama conmutativo
No es representable por f.
Demostración: Sean A, B, y dados. Sea ’:SA la inversa derecha de . Por definición se tiene que
g(x)= (f(x,(x))) AxS f B B A g
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Entonces, xAsS tal que g(x)≠f(x,s). Pues si fuera lo opuesto, es decir, que
existiera s0S tal que g(x)=f(x,s), entonces la evaluación en ’(s0)A daría f(’(s0),s0)=g(’(s0)) (por representabilidad de g por f)
=(f(’(s0),( ’(s0)))) (por definición de g)
=(f(’(s0),s0)) (por definición de inversa derecha de ) Pero ello entra en contradicción con el hecho de que no tiene puntos fijos■
Como se puede apreciar este teorema es más general que el teorema 1c y, de hecho no está supeditado a lo considerado arriba de que SA, pues puede ser un conjunto arbitrario que efectúe una posible indización de todas las funciones g:AB. Además, como en los teoremas 1c-3c no ha habido una restricción sobre cómo debe ser el conjunto A: este se puede pensar como un producto cartesiano y el resultado aún se sigue manteniendo, es decir, sigue siendo válido para 𝐴 =×𝑖=1𝑛 𝐴𝑖, por lo que el Teorema 1c es un modo más elegante de describir el Teorema 1b.