The Aftermath of Therapy

La distribución de probabilidad contiene toda la información sobre las propiedades proba- bilísticas de una variable aleatoria y el examen gráfico de esta distribución puede ser, des- de luego, valioso. Sin embargo, a menudo es deseable disponer de alguna medida sintética de las características de la distribución.

Valor esperado de una variable aleatoria discreta

Para tener una medida del punto central de una distribución de probabilidad, introducimos el concepto de esperanza de una variable aleatoria. En el Capítulo 3 calculamos la media muestral como una medida del punto central de datos muestrales. El valor esperado es la medida correspondiente del punto central de una variable aleatoria. Antes de definirlo, mostramos el error de una medida alternativa que parece atractiva a primera vista.

Consideremos el ejemplo siguiente: en una revisión de los libros de texto de un seg- mento del campo de administración de empresas se observó que el 81 por ciento de todas las páginas no tenía ninguna errata, que el 17 por ciento contenía una errata y que el 2 por ciento restante contenía dos erratas. Utilizamos la variable aleatoria X para representar el número de erratas que hay en una página elegida aleatoriamente en uno de estos libros; sus valores posibles son 0, 1 y 2 y la función de probabilidad es

P(0) % 0,81 P(1) % 0,17 P(2) % 0,02

Podríamos considerar la posibilidad de utilizar la media simple de los valores como medida del punto central de una variable aleatoria. En este ejemplo, el número de erratas que puede haber en una página es 0, 1 y 2. Su media es, pues, una errata. Sin embargo, basta una breve reflexión para convencer al lector de que esta medida del punto central es absurda. Al calcular esta media, no hemos prestado atención al hecho de que el 81 por ciento de todas las páginas no contiene ninguna errata, mientras que sólo el 2 por ciento contiene dos erratas. Para obtener una medida sensata del punto central, ponderamos los distintos resultados posibles por las probabilidades de que ocurran.

Valor esperado

El valor esperado, E (X), de una variable aleatoria discreta X se define de la forma siguiente: E(X) % k % ;

x

xP(x) (5.4)

donde la notación indica que el sumatorio abarca todos los valores posibles de x.

El valor esperado de una variable aleatoria también se llama media y se representa por medio del símbolo k.

El valor esperado puede expresarse por medio de frecuencias relativas a largo plazo. Supongamos que un experimento aleatorio se repite N veces y que el suceso «X % x» ocu- rre en Nxde estas pruebas. La media de los valores que toma la variable aleatoria en las N

pruebas es la suma de los xN_x/N correspondientes a todos los valores posibles de x. Ahora bien, como el número de repeticiones, N, tiende a infinito, el cociente Nx/N tiende a la

probabilidad de que ocurra el suceso «X % x», es decir, a P(x). De ahí que la cantidad

xNx/N tienda a xP(x). Por lo tanto, podemos concebir el valor esperado como el valor me-

dio a largo plazo que toma una variable aleatoria cuando se realiza un gran número de pruebas. Recuérdese que en el Capítulo 3 utilizamos la palabra media para referirnos al promedio de un conjunto de observaciones numéricas. Utilizamos el mismo término para referirnos a la esperanza de una variable aleatoria.

E

JEMPLO

5.3.

Erratas de los libros de texto (valor esperado)

Supongamos que la función de probabilidad del número de erratas, X, que hay en las páginas de los libros de texto de administración de empresas es

P(0) % 0,81 P(1) % 0,17 P(2) % 0,02

Solución

Tenemos que

k %E(X) % ;

x

xP(x) % (0)(0,81) ! (1)(0,17) ! (2)(0,02) % 0,21

De este resultado se deduce que, si se analiza un gran número de páginas, es de esperar que haya una media de 0,21 erratas por página. La Figura 5.2 muestra la función de probabilidad e indica dónde se encuentra la media.

x 0 1 2 0,8 0,4 = 0,21 P(x)

Figura 5.2. Función de probabilidad del número de erratas por página de los libros de texto de administración de empresas; localización de la media poblacional, k, del ejemplo 5.3.

Varianza de una variable aleatoria discreta

En el Capítulo 3 observamos que la varianza muestral era una medida útil de la dispersión de un conjunto de observaciones numéricas. La varianza muestral es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre las observaciones y la media. Nos basamos en esta mis- ma idea para medir la dispersión de la distribución de probabilidad de una variable aleato- ria. La varianza de una variable aleatoria es el promedio ponderado de los cuadrados de sus diferencias posibles con respecto a la media, (x . k); la ponderación correspondiente a (x . k)2_{es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor x. Puede considerarse,}

pues, que la varianza, definida en la ecuación 5.5, es el valor medio que tomará la función (X . k)2_{en un número muy grande de pruebas repetidas.}

Varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta

Sea X una variable aleatoria discreta. La esperanza de los cuadrados de las diferencias con respecto a la media, (X . k)2_{, se llama varianza, se representa por medio del símbolo p}2_{y vie-} ne dada por

p2%E[(X . k)2] % ;

x

(x . k)2_{P(x) (5.5)}

La varianza de una variable aleatoria discreta X también puede expresarse de la forma si- guiente: p2%E(X2) . k2% %; x x2_{P(x) . k}2_k2 x (5.6)

El concepto de varianza puede ser muy útil para comparar las dispersiones de distribu- ciones de probabilidad. Consideremos, por ejemplo, que el rendimiento de una inversión en un año es una variable aleatoria. Aunque dos inversiones tengan los mismos rendimientos esperados, son muy diferentes si las varianzas de estos rendimientos son muy diferentes. Si la varianza es mayor, es más probable que los rendimientos sean considerablemente dife- rentes de la media que si la varianza es pequeña. En este contexto, pues, la varianza del rendimiento puede guardar relación con el concepto de riesgo de una inversión: cuanto mayor es la varianza, mayor es el riesgo.

Como señalamos en el Capítulo 3, tomando la raíz cuadrada de la varianza para hallar la desviación típica se obtiene una cantidad en las unidades originales de medición.

En algunas aplicaciones prácticas, es preferible una fórmula alternativa, pero equiva- lente, de la varianza para efectuar los cálculos. Esa fórmula alternativa se define en la ecuación 5.6, que puede verificarse algebraicamente (véase el apéndice del capítulo).

E

JEMPLO

5.4.

Valor esperado y varianza de las ventas de automóviles (valor esperado y varianza)

En el ejemplo 5.2, Serrano Motor, S.A., averiguó que el número de automóviles Vértigo A vendidos diariamente podía oscilar entre 0 y 5 y que las probabilidades se indicaban en la Tabla 5.1. Halle el valor esperado y la varianza de esta distribución de proba- bilidad.

Solución

Aplicando la ecuación 5.4, el valor esperado es k %E(X) ;

x

xP(x) % 0(0,15) ! 1(0,30) ! ñ ! 5(0,05) % 1,95

Aplicando la ecuación 5.5, la varianza es

p2%(0 . 1,95)2(0,15) ! (1 . 1,95)2(0,3) ! ñ ! (5 . 1,95)2(0,05) % 1,9475 Cuando las distribuciones de probabilidad son más complejas, puede utilizarse el pro- grama Excel para realizar estos cálculos. Las Figuras 5.3 y 5.4 muestran cómo se obtie- nen el valor esperado y la varianza de la distribución de la Tabla 5.1.

INSTRUCCIONES Para hallar el valor esperado

1. Escribir Ventas (de 0 a 5) en la Columna A y las probabilidades correspondientes en la Columna B.

2. Escribir «Media» en C1 y «Varianza» en D1.

3. Selecionar C2; Escribir «=A2*B2» y pulsar Intro. Debe aparecer el valor «0» en C2. De esa forma se obtiene xP(x) para cada fila. 4. Arrastrar hacia abajo el contenido de C2 hasta C7.

5. Seleccionar C8 y pulsar el botón de autosuma (Σ) y pulsar Intro. Debe aparecer el valor esperado «1.95» en C8.

Figura 5.3. Valor esperado de la variable aleatoria discreta de la Tabla 5.1 calculado utilizando el programa Excel de Microsoft.

INSTRUCCIONES Para hallar la varianza

1. Seleccionar D2, Escribir «=(A2-$C$8)^2*B2» y punsar Intro. Este resultado es (x-m_x)2_P(x)

para cada valor de x. Debe aparecer el valor «0.570375» en D2.

2. Arrastrar hacia abajo el contenido de D2 hasta D7.

3. Seleccionar D8, pulsar el botón de autosuma ( ) y pulsar Intro. Debe aparecer la varianza «1.9475» en D8.

Figura 5.4. Varianza de la variable aleatoria discreta de la Tabla 5.1 calculada utilizando el programa Excel de Microsoft.

Supongamos que modificamos la función de probabilidad de la Tabla 5.1 para que sea mayor la probabilidad tanto de que las ventas sean bajas como de que sean altas. La Ta- bla 5.2 muestra las nuevas probabilidades y la Figura 5.5 indica la variación de la media y de la varianza.

Tabla 5.2. Reconsideración de la función de probabilidad de las ventas de automóviles.

Ventas P(X) 0 0,30 1 0,20 2 0,10 3 0,05 4 0,15 5 0,20 COMENTARIOS Valor esperado Varianza 1.95 2.15 1.9475 3.8275 Afirmación

Una pequeña variación de las medias Mayor variación de las varianzas Dado que la varianza utiliza los cuadrados de las desviaciones con respecto a las medias, los valores extremos de la variable aleatoria producen un efecto mayor que los valores más cercanos a la media.

Tabla 5.1 Tabla 5.2

Figura 5.5. Comparación de las medias y las varianzas de la variable aleatoria discreta de la Tabla 5.2 calculadas utilizando el programa Excel de Microsoft.

Comentarios

En la Tabla 5.2, la probabilidad de que las ventas sean 0 es mayor (0,30 en lugar de 0,15 de la Tabla 5.1). La probabilidad de que se vendan 5 automóviles también es mayor (0,20 en lugar de 0,05 de la Tabla 5.1).

La varianza debería aumentar ya que la probabilidad de los valores extremos 0 y 5 aumenta.

Media y varianza de funciones lineales

de una variable aleatoria

El concepto de esperanza no se limita a la propia variable aleatoria sino que puede aplicar- se a cualquier función de la variable aleatoria. Por ejemplo, un contratista puede no saber cuánto tiempo tardará en realizar el trabajo estipulado en un contrato. Esta incertidumbre puede representarse por medio de una variable aleatoria cuyos valores posibles son el nú- mero de días que transcurren desde el inicio del trabajo estipulado en el contrato hasta su terminación. Sin embargo, lo que preocupa principalmente al contratista no es el tiempo que tardará sino, más bien, el coste de cumplir el contrato. Este coste es una función del tiempo que tardará, por lo que para hallar el valor esperado de la variable aleatoria «coste» es necesario hallar la esperanza de una función de la variable aleatoria «tiempo que se tar- dará».

Valor esperado de las funciones de variables aleatorias

Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad es P(x) y sea g(X ) una función de X. El valor esperado, E [ g (X )], de esa función se define de la forma siguiente:

E [g(X)] % ;

x

g(x)P(x) (5.7)

La ecuación 5.7 define la esperanza de una función de una variable aleatoria X. Es decir, la esperanza puede concebirse como el valor promedio que tomaría g(X ) en un nú- mero muy grande de repeticiones de un experimento. A continuación, desarrollamos el va- lor esperado y la varianza de funciones lineales de una variable aleatoria. Consideremos, en primer lugar, la función lineal a ! bX, donde a y b son números fijos constantes. Sea X una variable aleatoria que toma el valor x con una probabilidad P(x) y consideremos una nueva variable aleatoria Y, definida por

Y % a ! bX

Cuando la variable aleatoria X toma el valor específico x, Y debe tomar el valor a ! bx. A menudo se necesita la media y la varianza de esas variables. En el apéndice de este capítu- lo se desarrolla la media, la varianza y la desviación típica de una función lineal de una variable aleatoria. Los resultados se resumen en las ecuaciones 5.8 y 5.9.

Resumen de las propiedades de las funciones lineales

de una variable aleatoria

Sea X una variable aleatoria de media kxy varianza px2y sean a y b unos números fijos cons- tantes cualesquiera. Definamos la variable aleatoria Y como a ! bX. Entonces, la media y la

varianza deYson

y

p2Y%Var (a ! bX) % b2p2X (5.9)

por lo que la desviación típica de Y es

py%8b8px (5.10)

E

JEMPLO

5.5.

Coste total de un proyecto (cálculos de las funciones de variables aleatorias)

Un contratista está interesado en saber cuál es el coste total de un proyecto para el que pretende presentar una oferta. Estima que los materiales costarán 25.000 $ y su trabajo 900 $ al día. Si el proyecto tarda en realizarse X días, el coste laboral total será de 900X $ y el coste total del proyecto (en dólares) será

C % 25.000 ! 900X

El contratista estima unas probabilidades subjetivas (Tabla 5.3) de la duración probable del proyecto.

a) Halle la media y la varianza de la duración X.

b) Halle la media, la varianza y la desviación típica del coste total C. Tabla 5.3. Distribución de probabilidad de la duración.

Duración X (días) 10 11 12 13 14

Probabilidad 0,1 0,3 0,3 0,2 0,1

Solución

a) La media y la varianza de la duración X pueden hallarse mediante las ecuacio-

nes 5.4 y 5.5. k %E(X ) % ; x x P(x) % %(10)(0,1) ! (11)(0,3) ! (12)(0,3) ! (13)(0,2) ! (14)(0,1) % 11,9 días y p2_x%E[(X . k)2] % ; x (x . k)2_{P(x) %} %(10 . 11,9)2(0,1) ! (11 . 11,9)2(0,3) ! ñ ! (14 . 11,9)2(0,1) % 1,29 días

b) La media, la varianza y la desviación típica del coste total, C, se hallan mediante

las ecuaciones 5.8, 5.9 y 5.10. La media es kC%E(25.000 ! 900X) % (25.000 ! 900kX) %25.000 ! (900)(11,9) % 35.710 $ La varianza es p2C%Var (25.000 ! 900X) % (900)2p2X %(810.000)(1,29) % 1.044,900 La desviación típica es pC% ∂p2C%1.022,20 $

a) Trace la función de probabilidad.

b) Calcule y trace la función de probabilidad acumulada.

c) Halle la media de la variable aleatoria X. d) Halle la varianza de X.

5.16. Dada la función de probabilidad

a) Trace la función de probabilidad.

b) Calcule y trace la función de probabilidad acumulada.

c) Halle la media de la variable aleatoria X. d) Halle la varianza de X.

Hay tres ejemplos especiales de la función lineal W % a ! bX que son importantes. El primero considera una función constante, W % a, para cualquier constante a. En esta situa- ción, el coeficiente b % 0. En el segundo ejemplo, a % 0, de donde W % bX. Las ecuacio- nes 5.11 y 5.12 definen el valor esperado y la varianza de estas funciones. El tercer ejem- plo es importante en capítulos posteriores. Las ecuaciones 5.13 y 5.14 definen la media y la varianza de esta función lineal especial. Por lo tanto, restando de una variable aleatoria su media y dividiendo por su desviación típica se obtiene una variable aleatoria de media 0 y desviación típica 1.

Resultados sintéticos de la media y la varianza

de funciones lineales especiales

a) Sea b % 0 en la función lineal W % a ! bX. Entonces, W % a (para cualquier constante a).

E(a) % a y Var (a) % 0 (5.11)

Si una variable aleatoria siempre toma el valor a, tendrá una media a y una varianza 0.

b) Sea a % 0 en la función lineal W % a ! bX. Entonces, W % bX.

E(bX ) % bkX y Var (bX ) % b2p2X (5.12)

La media y la varianza deZ%X .kk

X

pp

X

Sea a %.kX/ pXy b % 1/pXen la función lineal Z % a ! bX. Entonces,

Z % a ! bX %X . kX pX de manera que E

A

X . kX pX

B

%. kX pX ! 1 pX kX%0 (5.13) y Var

A

X . kX pX

B

% 1 p2_Xp 2 X%1 (5.14) EJERCICIOS Ejercicios básicos

5.15. Considere la función de probabilidad

x 0 1

Probabilidad 0,40 0,60

x 0 1 2

5.17. Considere la función de probabilidad

a) Trace la función de probabilidad.

b) Calcule y trace la función de probabilidad acumulada.

c) Halle la media de la variable aleatoria X. d) Halle la varianza de X.

5.18. Un concesionario de automóviles calcula la pro- porción de automóviles nuevos vendidos que se han devuelto varias veces para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía. La tabla adjunta muestra los resultados.

a) Trace la función de probabilidad.

b) Calcule y trace la función de probabilidad acumulada.

c) Halle la media del número de devoluciones de un automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.

d) Halle la varianza del número de devoluciones de un automóvil para que se corrijan los de- fectos durante el periodo de garantía. 5.19. Una empresa está especializada en la instalación

y el mantenimiento de calefacciones centrales. Antes de que empiece el invierno, las llamadas al servicio de mantenimiento pueden dar como re- sultado el pedido de una nueva caldera. La tabla adjunta muestra las probabilidades estimadas del número de pedidos de calderas nuevas generados de esta forma en las 2 últimas semanas de sep- tiembre.

a) Trace la función de probabilidad.

b) Calcule y trace la función de probabilidad acumulada.

c) Halle la probabilidad de que se hagan al me- nos tres pedidos en este periodo.

d) Halle la media del número de pedidos de una nueva caldera en este periodo de 2 semanas.

e) Halle la desviación típica del número de pedi- dos de una nueva caldera en este periodo de 2 semanas.

Ejercicios aplicados

5.20. Una empresa produce paquetes de clips. El nú- mero de clips por paquete varía, como indica la tabla adjunta.

a) Trace la función de probabilidad.

b) Calcule y trace la función de probabilidad acumulada.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clips (inclusive)?

d) Se seleccionan dos paquetes aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos contenga como mínimo 50 clips? e) Utilice el programa Excel de Microsoft para

hallar la media y la desviación típica del nú- mero de clips por paquete.

f) El coste (en centavos) de producir un paquete de clips es 16 ! 2X, donde X es el número de clips que hay en el paquete. Los ingresos ge- nerados por la venta del paquete, cualquiera que sea el número de clips que contenga, son de 1,50 $. Si los beneficios son la diferencia entre los ingresos y el coste, halle la media y la desviación típica de los beneficios por pa- quete.

5.21. Una empresa municipal de autobuses ha comen- zado a dar servicio en un nuevo barrio. Se ha re- gistrado el número de usuarios que hay en este barrio en el servicio de primera hora de la maña- na. La tabla adjunta muestra la proporción de ca- da uno de los días de la semana.

a) Trace la función de probabilidad.

b) Calcule y trace la función de probabilidad acumulada.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se- leccionado aleatoriamente haya al menos cua- tro usuarios del barrio en este servicio?

x 0 1 Probabilidad 0,50 0,50 Número de devoluciones 0 1 2 3 4 Proporción 0,28 0,36 0,23 0,09 0,04 Número de pedidos 0 1 2 3 4 5 Probabilidad 0,10 0,14 0,26 0,28 0,15 0,07 Número de clips 47 48 49 50 51 52 53 Proporción de paquetes 0,04 0,13 0,21 0,29 0,20 0,10 0,03 Número de usuarios 0 1 2 3 4 5 6 7 Proporción 0,02 0,12 0,23 0,31 0,19 0,08 0,03 0,02

d) Se seleccionan dos días aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que en estos dos días haya menos de tres usuarios del barrio en este servicio?

e) Halle la media y la desviación típica del nú- mero de usuarios de este barrio en este servi- cio en un día de la semana.

f) Suponiendo que el coste de un viaje es de 50 centavos, halle la media y la desviación típica del total de pagos de los usuarios de este ba- rrio en este servicio un día de la semana. 5.22. a) Un gran envío de piezas contiene un 10 por

ciento de piezas defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente dos y se prueban. Sea la varia- ble aleatoria X el número de defectos encon- trados. Halle la función de probabilidad de esta variable aleatoria.

b) Un envío de 20 piezas contiene dos defectuo- sas. Se seleccionan aleatoriamente dos y se prueban. Sea la variable aleatoria Y el núme- ro de defectos encontrados. Halle la función de probabilidad de esta variable aleatoria. Ex- plique por qué su respuesta es diferente de la respuesta del apartado (a).

c) Halle la media y la varianza de la variable aleatoria X del apartado (a).

d) Halle la media y la varianza de la variable aleatoria Y del apartado (b).

5.23. Un estudiante necesita saber qué tareas ha puesto el profesor para el próximo día y decide llamar a algunos compañeros para obtener esa informa- ción. Cree que la probabilidad de obtener la in- formación necesaria en una llamada cualquiera es 0,40. Decide continuar llamando a los compa- ñeros hasta obtener la información. Sea la varia- ble aleatoria X el número de llamadas necesarias para obtener la información.

a) Halle la función de probabilidad de X. b) Halle la función de probabilidad acumulada

de X.

c) Halle la probabilidad de que sean necesarias tres llamadas como mínimo.

5.24. Un jugador universitario de baloncesto que tiene un porcentaje de aciertos del 75 por ciento en sus tiros libres se sitúa en la línea de lanzamiento de «uno más uno» (si encesta a la primera, puede ti- rar otra vez, pero no en caso contrario; se anota un punto por cada enceste). Suponga que el re- sultado del segundo lanzamiento, si lo hay, es in- dependiente del resultado del primero. Halle el número esperado de puntos resultantes del «uno más uno». Compárelo con el número esperado de puntos de una «falta de dos tiros libres», en la

que se permite lanzar una segunda vez, cualquie- ra que sea el resultado del primer lanzamiento. 5.25. Un profesor tiene un numeroso grupo de alum-

nos y ha previsto un examen a las 7 de la tarde en un aula diferente. Estime en la tabla las pro-

In document "I'm the same as you" : the experiences of CBT for problem gambling in South Asian men : an interpretative phenomenological analysis (Page 65-75)