En el capítulo anterior se explicó que para el modelado del canal se requiere de la obtención del observable ó medición. En este caso el observable eléctrico es obtenido a la
salida de del arreglo de foto-detectores balanceado, (Figura 20) En esta figura, se observa que los campos ópticos involucrados en la recepción Er y ELO son descritos por
las siguientes ecuaciones:
, , , (54)
(55)
donde ,ρ y son la amplitud recibida en función del tiempo y la posición , , y del campo óptico generado por el láser local respectivamente, ωr y ωLO son
la frecuencia de la portadora óptica recibida y del oscilador local respectivamente, φ1(t),
φ2(t) representan la variación de fase debido a la inestabilidad del láser transmisor y
oscilador local respectivamente, θ1,θ2 toman en cuenta la ausencia de una fase de
referencia inicial, ψ , es el cambio de fase resultante por la perturbación atmosférica, Ik(t) = (0 ó π) es el símbolo transmitido, representa los valores de fase de
modulación y n(t) es el ruido de foto-detección.
Figura 20. Mezcla de campos ópticos local y recibido y observable eléctrico.
Campo óptica recibido
Láser (Oscilador local)
Fotodetector balanceado
Amplificador
Observable eléctrico
v
oCampo óptico local
E
rPara el caso homodino, es decir cuando ωLO=ωr , la señal eléctrica a la salida del
foto-receptor balanceado (observable eléctrico) es:
( )t
A
( ) ( )t
W
[
( )t
( )t
I
( )t
]d
n( )t
v
o=α
o∫
r,ρ
ρ
cosφ
w+ψ
at,ρ
+θ
0+
kρ
+
(56) donde( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = 2 d , 0 2 , 1 ρ ρ ρ d Wdefine la región de la apertura colectora asumiendo que sea un círculo de diámetro d y
α0 es un factor que considera ganancias y atenuaciones diversas (ganancia de las
antenas, ganancia de los amplificadores ópticos, pérdidas diversas, responsitividad, etc.).
Las variaciones de fase a través de la apertura colectora causan una significativa reducción de la razón señal a ruido de la señal óptica recibida cuando el diámetro es incrementado más allá del denominado diámetro de Fried, r0 [Goodman, 1985] dado por
la ecuación (15). Por lo anterior se utiliza una apertura pequeña con diámetro menor ó comparable con . Si además se considera que ,ρ y ψ son sólo función del tiempo, lo cual es válido para diámetros de aperturas comparables con la distancia de correlación espacial [Wheelon, 2001], y a la amplitud del campo generado por el oscilador local como constante, la expresión anterior se convierte en:
α φ ψ (57)
En donde la constante α1 considera la contribución de la integración de la señal
sobre el área de integración, considerando que las variaciones espaciales de y no son significativas, lo cual es cierto para diametros menores que . Los términos de la ecuación 57 , ψ son realizaciones de procesos aleatorios que representan el
efecto en la corriente generada por la fotodetección, las variaciones de amplitud y fase producidas por la turbulencia atmosférica, respectivamente. Estos procesos son lentos comparados con la tasa de transmisión de bit típicas en los sistemas de comunicaciones ópticas, por lo que pueden considerarse como un proceso pasabajos. Este tipo de procesos pueden representarse en su forma básica como [Van Trees, 1968]:
2
η
(58)En la ecuación (58), x es el proceso aleatorio, k es la constante del proceso pasabajos, P es la covarianza del proceso y dη es un proceso de ruido blanco gaussiano. El término φ representa el ruido de fase combinado del láser transmisor y receptor [Franz, 2000]. El ruido de fase debido a los láseres puede modelarse como un proceso de Wiener [ Kasovsky, 1996]. El proceso de ruido de fase φ puede ser generado por medio de la ecuación:
φ
χ
(59)donde G es la una constante y dχ es un proceso de ruido gaussiano.
Debido a que la información va en la fase y sin considerar de momento las variaciones de amplitud de la señal recibida, el observable puede expresarse:
(60)
donde αr es una constante que agrupa la ganancia del amplificador a la salida del foto-
receptor balanceado, G es la resistencia de carga r, y la responsitividad ℜ de los fotodiodos esto es , αr=4Grℜ. PH es el producto de las potencias del campo de la señal
modulada Pr y del oscilador local Plo. La variable x1 (t)en el argumento modela la
turbulencia atmosférica. Considerando el espectro mostrado en la figura 6, x1 (t) puede
ser representado aproximadamente por:
√2
η
) (61)El proceso x2(t) es un proceso de Wiener [Kazovsky, 1996] que modela el ruido
de fase de los láseres
χ
(62)en donde tc es tiempo de coherencia del oscilador [Georghiades, 1985, Snyder, 1969].
Este parámetro se relaciona con los anchos de línea del láser transmisor Δv1 y del láser
local Δv2 :
1
2 ∆ ∆
(63)
El término n(t) es el ruido aditivo de amplitud generado por el proceso de foto- detección y en el caso que nos ocupa es considerado como ruido blanco gaussiano con densidad espectral [Viterbi, 1967, Agrawal, 1998]2
(64)
Figura 21. Modelo del canal de comunicaciones óptico atmosférico
El modelo del canal de comunicaciones para el caso bajo estudio se muestra en la figura 21. Este se basa en el modelo de estimación descrito en párrafos anteriores y en él se muestran las diversas perturbaciones que afectan al canal de comunicaciones. El proceso x1(t) modela el ruido de fase inherente a los láseres involucrados y x2(t) y x3(t)
representan las perturbaciones de fase y amplitud que afectan al canal de comunicaciones atmosférico, y los procesos ẇ(t), , , . Estos factores afectan juntos con los datos admitidos afectan el argumento de la señal S(x, t, Ik). El modelo es completado
con ruido aditivo el cual modela el ruido de la fotodetección.
La síntesis del estimador realizada a partir de la metodología de variables de estado para el problema del filtraje para modulaciónes no lineales [Snyder, 1969], introducida en el capítulo IV nos lleva a las ecuaciones para el estimador de los procesos de fase x1 y x2:
, , , , (65)
, , , , (66)
El operador E[.] indica la esperanza con respecto a la densidad del proceso x(t) y considerando que Ij ha sido enviado. Las ecuaciones de la varianza del error de fase
en donde la varianza del error de fase se define como :
(67)
pueden ser obtenidas y son dadas por:
, , , , , , , , , (68) 2 2 , , , , , , 2 , , , (69)
Tanto las ecuaciones del estimador como las de la varianza no pueden ser resueltas analíticamente ni implementadas ya que involucran términos de esperanzas
estadísticas desconocidas [Snyder, 1969]. Existen diversas formas de abordar este problema, pero todas involucran hacer consideraciones que dan como como resultado una solución aproximada. Las esperanzas estadísticas desconocidas pueden expresarse en función del estimado de x(t) y de la función característica del error de fase [Georghiades, 1985]. Escribiendo la ecuación (60) (señal a la salida de los foto-detectores) de la siguiente forma:
, , , (70)
La esperanza del proceso de la señal de entrada S(x, t, Ij) puede expresarse en términos del error cuadrático medio del estimado del error de fase:
, , , , , , | , , (71)
Esta ecuación después de varias manipulaciones y aplicando diversas consideraciones, las cuáles se muestran en el anexo A, nos da como resultado
, , , 2 1 (72)
escrita en notación simplificada la ecuación anterior queda:
, , , , , 1 (73)
la expresión Me(1) es la función característica del error de fase evaluada en ω=1. Se
observa que esta ecuación queda en función del estimado que minimiza el error cuadrático promedio xˆ t( ) y la función característica del error
Las ecuaciones anteriores presentan términos de perturbaciones de fase; tanto las debidas al ruido de fase de los láseres como a la turbulencia atmosférica no son estacionarios. Es conocido en la teoría del filtrado [Snyder, 1969] que estas ecuaciones son óptimas pero no son implementables en forma práctica debido al número infinito de
ecuaciones requerido. Diversas aproximaciones pueden ser hechas para obtener una solución implementable ó subóptima, dependiendo de la naturaleza del problema [Snyder, 1969, Georghiades, 1985]. Una de ellas proviene de estudios de linealización [Snyder, 1969] y consiste en hacer la consideración de que el error de fase obedezca a una densidad de probabilidad condicional gaussiana. Bajo esta aproximación las ecuaciones del estimador y la varianza son:
2
(74)
2
(75)
(la dependencia del tiempo de 1 2 3 4
* 2 *
1
, x
, r, G,G
, G
,G
x
ha sido omitida porconveniencia) en donde x*(t) es el estimado aproximado (vector) MMSE del proceso de variaciones fase de x(t) obtenido al usar la aproximación gaussiana del error de fase y con c1, c2, G1, G2, G3 y G4 definidos como:
2 2 , , ,
1
4 2
2
4 2
(77) Nótese que las ecuaciones de los estimados y de las varianzas están acopladas, es decir la solución de una de ellas involucra el conocimiento de la solución de la otra y viceversa y ambas dependen de la observación de r(t)