El propósito de este capítulo es introducir la teoría requerida para la obtención del estimador de fase empleado en la estructura del sistema de comunicaciones ópticas digital bifásico propuesto (BPSK). La teoría de la estimación estocástica será utilizada para abordar este caso el cual cae dentro del tipo conocido como “problema del filtraje” [Snyder, 1969] . Este problema existe en una amplia variedad de disciplinas de la ingeniería (incluyendo, por ejemplo, el control óptimo, radar, sonar, y comunicaciones). La figura 14 ilustra este concepto.
Figura 14. Modelo para el problema del filtraje
En la figura 14 se muestra el esquema del modelo del problema del filtraje, en donde una señal estocástica x(t) sufre una transformación no lineal sin memoria obteniéndose una señal h
[
t : x( )t]
la cual es observada con una perturbación aleatoria aditiva n(t) [Snyder, 1969, Van Trees, 1969]. La descripción del modelo de observación de x(t) está dada por la siguiente ecuación::
≥
33) Transformación no lineal sin memoria+
x(t) h[t:x(t)] n(t) r(t)( )
{
rτ :t0≤τ ≤t}
Las observaciones están disponibles sobre un intervalo [t0, t] el cual se extiende
desde un tiempo de inicio arbitrario t0 hasta el fin del intervalo t, que se “mueve” sobre
este intervalo, en tiempo real conforme se acumulan datos adicionales. El “problema del filtraje”consiste en la determinación de un estimado puntual óptimo realizable de x(t) basado en todos los datos disponibles [Baggeroer, 1970]. La teoría de la estimación estocástica consiste en la asignación de un valor a un estado ó parámetro desconocido a partir de observaciones corrompidas por ruido de una función del estado ó parámetro [Snyder, 1969]. Se asume que el ruido tiene propiedades estadísticas conocidas [Van Trees, 1969]. El valor asignado es conocido como estimado y el sistema que lo obtiene a partir de las observaciones es llamado estimador [Van Trees, 1969].
Varios términos empleados en esta descripción del problema de filtraje se definen [Snyder, 1969]:
1.Óptimo: Se asume que el estimado de x(t) satisface algún criterio especificado de optimalidad. En particular, el criterio que emplearemos es el de mínimo error cuadrático medio (m.m.s.e). Este no es un criterio especialmente restrictivo dado que frecuentemente el estimado que minimiza el error cuadrático medio, es óptimo también para otros criterios [Van Trees, 1969]. En términos generales, el estimado es llamado óptimo si la asignación del estimado está en concordancia con la minimización de algún criterio de optimización ó función “costo”. Para muchas aplicaciones, el significado de la asignación de un costo al estimado representa una medición cuantitativa de qué tan bueno es el estimado.
2. Realizable: La propiedad de que el estimado de x(t) sea realizable, se refiere al hecho de que depende solamente de los valores pasados de los datos observados. El estimado, puede ser generado por lo tanto en tiempo real como la respuesta de un sistema físico comúnmente llamado el procesador óptimo, estimador, o filtro.
3.Estimado puntual: El estimado de x(t) es visto solamente en el punto final desplazable del intervalo de observación. No se realiza ningún intento por regresar una actualización o mejorar cualquier estimado previo, conforme llegan nuevos datos.
IV.1.2 Alternativas de solución al problema de filtraje
Existen diferentes alternativas de solución al problema del filtraje. La solución desarrollada por Wiener-Kolmogorov aborda el filtraje lineal, el cual requiere que el estimado x(t) sea una transformación lineal de r(t) [Snyder, 1969] que minimice un criterio de optimización, que usualmente es el error cuadrático medio de la estimación. El filtro obtenido tiene la forma de integral, la cual es conocida como integral Wiener-Hopf [Van Trees, 1968]. En el contexto de la teoría de Wiener-Kolmogorov, todos los procesos aleatorios son caracterizados por funciones de correlación. No se requiere ninguna otra propiedad estadística de los procesos, ni tampoco se utiliza en caso de conocerla. El problema del filtraje fue formulado en primer lugar por Wiener y Kolmogorov, los cuales abordan el problema para sistemas lineales y procesos gaussianos[Van Trees, 1969] .
Parks y Youla propusieron una teoría alternativa que es aplicable a sistemas no lineales, pero requiere que los procesos x(t) y n(t) sean gaussianos y estos sean descritos en forma de funciones de correlación, obteniendo el estimado resultante en términos de una función integral [Snyder, 1969].
Por otro lado, Kalman y Bucy enfocaron el problema representando los procesos aleatorios involucrados mediante ecuaciones de estado o ecuaciones diferenciales en lugar de funciones de correlación, obteniendo el estimado en forma de ecuaciones de estado y enfocándose a procesos Gauss-Markov. Estos trabajos obtienen los mismos resultados que los obtenidos en forma de ecuación de Wiener-Hopf, pero la formulación en ecuaciones de estado son más fáciles de resolver y/o implementar tanto por técnicas analógicas como digitales [Snyder, 1969].
Otra variante de este enfoque para sistemas no lineales se debe a los trabajos de Stratonovich y Kushner. Debido a que no hay restricción en la linealidad, el procesador obtenido puede resultar no lineal y mantiene las ventajas de la representación en variables de estado para los procesos aleatorios en cuanto a implementación. Además, el enfoque de variables de estado es en cierto sentido más general que los otros enfoques ya mencionados; los procesos aleatorios incluidos en su formulación son procesos Markovianos continuos de los cuales los procesos Gaussiano-Markovianos son un caso
particular. El problema de la estimación de parámetros de un sistema no lineal, en el cual la no linealidad es debida al modelo que genera el proceso estocástico ó por el mecanismo de observación es complicado y generalmente no existen expresiones ó metodologías que sean generales [Snyder, 1969, Van Trees, 1969].