matemática
Si el lector está de algún modo vinculado a una universidad tal vez haya estado en la biblioteca de la facultad de ciencias exactas. En caso contrario le sugiero que la visite. Lo que se encontrará allí son mesas con alumnos o profesores trabajando, algunos ordenadores, pilas de libros, más pilas de revistas matemáticas antiguas encua- dernadas en volúmenes y expositores con los números más recien- tes de dichas revistas. Le recomiendo que coja uno de los últimos números del Annals of Mathematics, Inventiones Mathematicae o de cual- quiera de las docenas de publicaciones especializadas. Al hojear la revista se encontrará con artículos de diversa extensión sobre diver- sas cuestiones esotéricas. Todo artículo va encabezado por un títu- lo, el nombre y las credenciales del autor y un breve sumario. A con- tinuación va el texto principal, con sus teoremas, demostraciones y demás, y al final del artículo se incluye un listado de referencias a otros artículos obra de varios autores. La revista que el lector tiene en sus manos probablemente contenga artículos más breves con títu- los basados en términos latinos como errata, addenda o corrigenda. Estas erratas son obra de autores que han publicado algún artículo en un número anterior y que ahora reconocen alguna equivocación en sus escritos y tratan de corregirla. A veces se trata simplemente de añadir alguna referencia que algún colega les ha sugerido «ama- blemente», pero lo más habitual es que el atento colega les haya seña- lado amablemente un error cometido en la demostración. En oca- siones, pues, los autores se ven obligados a admitir que su «teorema principal» sigue sin demostrarse y en su lugar tal vez proponen un
resultado más flojo y menos interesante. No obstante, esta honora- ble derrota no es lo más habitual. En la mayoría de los casos, los auto- res dan las gracias al colega que tuvo la amabilidad de oponer un contraejemplo a uno de los lemas de su artículo, para acto seguido señalar que el resultado principal de su artículo deriva de un lema más débil sobre cuya corrección no hay lugar a dudas.
¿Cómo puede ocurrir con tanta frecuencia que, tras descubrirse un error en un artículo, aquél pueda corregirse con más o menos facilidad? La respuesta es que una cosa es cómo se presentan los resultados de un artículo y otra muy distinta cómo se obtuvieron. Un artículo es la descripción de una teoría matemática (o de un frag- mento de la misma) construida por el autor. La construcción de la teoría conlleva adivinar varias ideas matemáticas y sus relaciones. Las ideas suelen ser problemáticas (algo parece evidente pero habría que verificarlo después, o algo podría ser verdadero —por analogía con un resultado conocido— pero exige indudablemente una demos- tración). La construcción de una teoría matemática consiste, pues, en descubrir un entramado de ideas para a continuación ponerse a reforzarlo y modificarlo de manera gradual hasta volverlo irrefuta- ble. Sólo entonces podrá decirse que la teoría es tal. De hecho, lo normal es que en el momento de iniciar la construcción de la teoría no haya garantías de que pueda completarse según la concepción original (de lo contrario la teoría carecería de interés). Evidente- mente, durante la labor de construcción, los esfuerzos deberían con- centrarse en los nexos más dudosos del razonamiento, pues son la causa más probable del fracaso de la teoría y saberlo de antemano representa un ahorro de tiempo. Los pasos más fáciles y seguros se dejan para después y en la redacción definitiva suelen despacharse con una frase desdeñosa del tipo «salta a la vista que…» o «de sobra es sabido que…». Una vez apuntalado el entramado de ideas que constituyen la teoría todavía queda redactar el texto, elegir un orden de presentación, la terminología y el sistema de notación, y confiar en que al ajustar los últimos detalles no nos encontremos con una sorpresa negativa. Las consideraciones secundarias pueden desem- peñar un papel trascendental a la hora de escribir la versión defi- nitiva del artículo; conviene relacionar nuestro trabajo con el de otros matemáticos o enunciar algún resultado intermedio generalizando más de lo estrictamente necesario, con el fin de que adquiera inte-
rés por sí mismo. Puede darse el caso de que un buen matemático que haya dedicado un tiempo considerable a la labor primaria de elaboración de una teoría se vuelva más despreocupado en la fase secundaria que constituye la redacción definitiva del artículo. Esta actitud despreocupada e informal («quiero terminar este maldito artículo de una vez para que me lo publiquen y olvidarme del tema») es la que da lugar a errores, y lo normal es que dichos errores pue- dan subsanarse sin perjudicar a los resultados principales del ar- tículo. Podría decirse que nuestro matemático, tras pasarse un mon- tón de tiempo explorando un determinado paisaje matemático, escribe un artículo en el que solamente describe una ruta de dicho paisaje. Y si esa ruta incluye un atajo prohibido, lo más probable es que pueda encontrarse otro sendero.
Hemos quedado en que la construcción de una teoría matemá- tica es la actividad esencial de las ciencias exactas. A continuación voy a esbozar algunos principios estratégicos para acometer dicha construcción. El enfoque adoptado será necesariamente informal; téngase en cuenta que los principios que conocemos no equivalen a un programa informático que podamos introducir en un orde- nador.
Un principio básico es el de la planificación. La construcción de una teoría matemática comienza con un plan, una trama de ideas más o menos problemáticas que más adelante tal vez haya que modi- ficar a fondo. Recordará el lector que, en el capítulo 20, al hablar de la evolución de las proteínas mediante mutaciones localizadas, la hemos descrito como un proceso de bricolaje eficaz pero poco inte- ligente. En cambio, la planificación de la construcción de una teo- ría matemática puede calificarse de proceso inteligente. Con esto estamos reconociendo una diferencia entre la construcción planifi- cada y el bricolaje, y asignando a dicha diferencia un nombre toma- do del habla común. (Podemos usar la palabra «inteligente» sin haber resuelto primero el problema metafísico de definir qué es inteli- gencia, pero que conste que este uso del término carece de valor explicativo.)
Obviamente, ahora tenemos que explicar cómo se planifica la construcción de una teoría matemática, esto es, cómo se organiza una trama de ideas matemáticas que resulte coherente desde el pun- to de vista lógico. Empezaré hablando de algunos principios gene- LA ESTRATEGIA DE LA INVENCIÓN MATEMÁTICA
rales —uso de verdades conocidas e ideas estructurales, uso de la analogía— y después haré algunas observaciones sobre la intuición. El «uso de verdades matemáticas conocidas» comprende la apli- cación de teoremas conocidos de un modo que puede resultar fácil y obvio. Por ejemplo, si queremos saber cuáles son los números com- plejos z tales que z2– 3z + 1 = 0, el teorema fundamental del álge- bra nos dice que son dos, concretamente, según una fórmula bien conocida, (3 − ) / 2 y (3 + ) / 2 (ambos reales). Otras veces, la aplicación de los teoremas y fórmulas conocidos puede resultar difícil y tortuosa, y exigir el uso de un ordenador1. Determinados problemas (como la simplificación de expresiones algebraicas) requie- ren una obstinada labor de tanteo que puede llevarse a cabo median- te un programa informático y arrojar resultados no triviales. Permí- taseme citar unos comentarios a propósito del paquete de software Mathematica:
La noción de reglas de transformación es muy general. De hecho, podemos considerar todo Mathematica un simple sis- tema para aplicar un conjunto de reglas de transformación a muchos tipos de expresión diferentes.
El principio general por el que se rige Mathematica es muy simple. El programa toma cualquier expresión que se le intro- duzca y obtiene resultados a base de aplicar una serie de reglas de transformación. Cuando ya no sabe qué más reglas de trans- formación aplicar, se detiene.2
El «uso de ideas estructurales» está presente en todas las mate- máticas contemporáneas. Por poner un ejemplo sencillo, suponga- mos que nos encontramos con un conjunto S tal que los elementos a, b ∈ S llevan asociado un elemento a b ∈ S. En ese caso hemos de preguntarnos si la operación es «asociativa» (esto es, si [a b] c = a [b c]) y si S con esta operación es un grupo. Si S no es un grupo, ¿es posible extenderlo de algún modo para que lo sea? (Permítaseme mencionar, sin entrar en detalles, que el afán de introducir una estruc- tura de grupo ha dado pie a una importante área de estudio llama- da «teoría K», desarrollada por una serie de matemáticos a partir de una idea original de Grothendieck.) Remontándonos a una dis- cusión anterior, recordemos que las estructuras matemáticas son una
√—5
invención humana y que, en algunos casos (como en teoría de la medida), los matemáticos no se ponen de acuerdo en cuanto a qué estructura resulta más natural usar. Así y todo, las consideraciones estructurales (incluido el uso de categorías y funtores) constituyen un elemento esencial de varias ramas de las matemáticas contem- poráneas y, aunque en otras ramas no parezcan desempeñar un papel tan destacado, lo cierto es que todos los matemáticos suelen tener- las presentes aun cuando no lo manifiesten de forma explícita. Habrá quien considere el enfoque estructural como un prejuicio ideológi- co pero no cabe duda de que ha resultado extraordinariamente fruc- tífero, y no es exagerado afirmar que capta una importante parcela de la realidad matemática, ese oscuro objeto de la investigación pro- pia de nuestra disciplina.
La «analogía» es una poderosa herramienta para la actividad mate- mática, sobre todo durante la fase de planificación de la teoría. Sin embargo, a diferencia de los hechos conocidos y las ideas estructu- rales, no constituye una referencia fiable. El método analógico con- siste en presumir que si una cosa es verdadera en una determinada situación, otra cosa relacionada con aquella también lo será en una situación que juzgamos similar en algún sentido. Por ejemplo, sabien- do que hay un algoritmo (Euclides) para dividir un número entero por otro (con un resto), podemos suponer que cabe hacer algo pare- cido con polinomios en lugar de números enteros. Esta clase de con- jeturas exige amplios conocimientos matemáticos y cierta sensibili- dad para saber ver lo que es similar y lo que no. La gran virtud de la analogía es que puede darnos el primer empujón para construir una teoría, pero no hay ninguna garantía de que vaya a llevarnos a buen término. El uso de la analogía no es un proceso completamente lógico, lo cual hace las delicias de algunos matemáticos y saca de qui- cio a otros. Los segundos tratarán de entender por qué dos teorías son similares, tal vez buscando una teoría más general que las englo- be a las dos como casos especiales.
¿Y qué decir de la «intuición matemática»? Siempre que estudia- mos un asunto matemático se nos desarrolla una intuición específi- ca para el mismo. Colocamos en la memoria un gran número de datos a los que podemos acceder con facilidad y hasta de manera inconsciente. Dado que una parte del pensamiento matemático es inconsciente y otra parte no verbal, resulta práctico afirmar que pro- LA ESTRATEGIA DE LA INVENCIÓN MATEMÁTICA
cedemos por intuición. Esto significa que los procesos del pensa- miento matemático son difíciles de analizar pero no, a mi modo de ver, que la intuición matemática tenga nada de sobrenatural.
La alusión a lo sobrenatural me recuerda un hecho curioso: los matemáticos son más religiosos que la mayoría de los demás cientí- ficos. En efecto, el porcentaje de matemáticos que creen en Dios y en la vida ultraterrena es dos veces mayor que el de los físicos3. A mi modo de ver, lo que nos dice este dato es que la relación de los matemáticos con la realidad es diferente —en términos estadísti- cos— de la de los físicos. (Quizá debería aportar mi opinión perso- nal sobre el asunto: soy una persona no religiosa, de un modo más o menos liberal. Me dan tanto miedo los fanáticos religiosos como los fanáticos antirreligiosos.)
Tal vez sea hora de decir algo sobre el sentido en las matemáticas. Hemos visto que la presentación de una teoría matemática en un artículo técnico dista un tanto de lo que el autor tenía en mente en un principio. El motivo es que se ha visto obligado a disfrazar las ide- as intuitivas y los conceptos no verbales para expresarlos en jerga pro- fesional. Esto puede llevar a pensar que las verdaderas matemáticas se ocultan detrás de la jerga y las fórmulas impresas en las revistas especializadas, y que su auténtica naturaleza no es formal. De hecho, en las conferencias (que son menos formales que los artículos), los ponentes suelen explicar qué «significa realmente» un teorema. Enton- ces, ¿por qué no abandonar el artificioso lenguaje formal de las mate- máticas impresas y explicar el verdadero significado de lo que uno hace? Lo que en realidad ocurre es que las ciencias exactas, como recor- dará el lector, son un conocimiento objetivo, no una cuestión opina- ble. Esto es así porque, desde los griegos, las matemáticas se han cimen- tado sobre una sólida base de axiomas y reglas de deducción, a partir de la cual se han ido desarrollando teorías. Y a partir de las teorías, una intuición que va más allá de éstas identifica analogías y formula conjeturas. Los nuevos resultados dan pie a nuevas intuiciones que a su vez pueden propiciar cambios en la estructura lógica de las teorí- as, con sus axiomas y definiciones, pero el significado intuitivo de las matemáticas hunde sus raíces en el formalismo. Si abandonásemos el formalismo y nos quedásemos solamente con el significado intuiti- vo, las matemáticas enseguida dejarían de ser conocimiento para con- vertirse en opinión, y su progreso no tardaría en estancarse.
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