teorías matemáticas
La práctica matemática suele ser una labor individual y solitaria, pero las ciencias exactas en conjunto constituyen un logro colectivo. Todo matemático habita un paisaje intelectual de definiciones, métodos y resultados, y posee más o menos conocimientos acerca del mis- mo. Gracias a esos conocimientos se crean nuevas realidades mate- máticas, invenciones que alteran de un modo más o menos sustan- cial el panorama de las ciencias exactas. ¿Cómo se lleva a cabo esa creación? ¿Qué estrategias sigue la invención matemática?
Una cosa está clara: nadie trata de obtener sistemáticamente todas las consecuencias válidas de los axiomas del ZFC usando el lenguaje formal y las reglas de deducción aceptadas. Ni trata de conseguir la demostración más corta de un teorema a partir del ZFC y mediante el lenguaje formal. Siempre se trabaja dentro de un contexto, o pai- saje, de resultados ya demostrados. En teoría, uno debería ser capaz de traducir lo que hace a lenguaje formal, pero es preferible usar un lenguaje natural humano como el inglés, el francés o el castellano, que son mejores a la hora de transmitir el significado de las ideas matemáticas y de formular los objetivos de nuestra labor. ¡Significa- do! ¡Objetivos! Qué palabras tan peligrosas. Anteriormente hemos hablado de estructuras matemáticas e ideas matemáticas, conceptos que, pese a no estar contenidos en los axiomas, hemos sido capaces de relacionar con las matemáticas formales. Significado y objetivos, en cambio, ya son otra historia. Pueden resultar importantes al hablar de la estrategia de la invención matemática, pero —al menos en este punto— están totalmente al margen de nuestra disciplina.
Ahora bien, tampoco queremos definir significado y objetivos en general sino únicamente en un contexto específico y razonable- mente controlado como es el de la actividad matemática. Voy a dejar el significado para más adelante y me centraré en los objetivos.
Podría decirse que el objetivo de un matemático en activo siem- pre es el desarrollo de una teoría matemática. En ocasiones se trata de un trabajo guiado: estudiar lo que otros matemáticos han hecho. Otras veces es un trabajo original. En lugar de analizar cuál es el objetivo de un matemático voy a describir lo que realmente hace, esto es, construir una teoría. Una teoría matemática, como ya hemos dicho en un capítulo anterior, es un texto matemático. Más concre- tamente, es una serie de enunciados conectados por nexos lógicos. También podríamos decir que una teoría es una construcción cohe- rente a base de ideas matemáticas. Puede que uno de los teoremas de dicha construcción se considere más importante que los demás, en cuyo caso se dirá que el objetivo de la labor matemática era demos- trar dicho teorema.
El objetivo de la actividad matemática, por tanto, es llevar a cabo una construcción: la construcción de una teoría, esto es, de un con- junto coherente de ideas matemáticas. Lo que se pretende, natu- ralmente, es que la teoría sea interesante. Una teoría es interesan- te cuando contiene resultados desconocidos hasta entonces, preferiblemente con una formulación breve y una demostración no trivial (esto es, que partiendo de resultados conocidos, la demos- tración necesariamente sea o bien larga o no tenga nada de obvio). Para que una teoría sea interesante también es deseable que pueda utilizarse posteriormente para demostrar nuevos resultados. El trabajo matemático interesante se juzga dentro de un determinado contexto. La consideración de interesante en parte viene motivada por la historia y sociología del tema en cuestión. Ahora bien, sería erróneo reducir el interés de una teoría matemática a una cuestión sociológica toda vez que la estructura lógica de la teoría desempe- ña un papel más esencial. En una rama determinada de las mate- máticas suele haber conjeturas que los anteriores estudiosos del tema han dejado sin demostrar y que pueden representar un cauce para llegar a asuntos interesantes. Estoy dando por hecho que el mate- mático en activo al que nos referimos tiene las ideas claras en cuan- to a lo que resulta interesante. (Aunque también hemos de recono-
cer que, en este sentido, algunos matemáticos tienen mejor gusto que otros.)
Después de un montón de consideraciones preliminares por fin hemos llegado al problema cardinal de las matemáticas creativas: ¿cómo se construye una teoría interesante? En la práctica, la pre- gunta es más bien: ¿cómo se escribe un artículo de veinte páginas que salga publicado en Annals of Mathematics y garantice una plaza permanente en una buena universidad? (El Annals es una buena revis- ta, bastante exigente a la hora de aceptar artículos, y en general publi- ca cosas interesantes.) El número de artículos interesantes de vein- te páginas que cabe concebir es enorme y el número de artículos de veinte páginas sin el menor interés, erróneos o absurdos, más enor- me todavía. La confección de un artículo interesante nos plantea ese problema que en páginas anteriores hemos comparado con la bús- queda a través de un laberinto de dimensiones infinitas.
Olvidémonos de momento de los artículos matemáticos de veinte páginas y echemos un vistazo más general a las secuencias de símbo- los (matemáticos o de otro tipo) de una cierta longitud. Supongamos que cada secuencia tiene un cierto «interés» y que queremos plantear preguntas tales como: ¿cuál es, por término medio, el interés de una secuencia? ¿Cómo se hace para encontrar una secuencia de gran inte- rés? ¿En qué consiste una secuencia de máximo interés? Son proble- mas que se suscitan en física, ingeniería y matemáticas financieras, y que se intentan resolver con la ayuda de un ordenador. Ahora bien, ¿cuál es el procedimiento a seguir? Existen muchos métodos depen- diendo del problema concreto en cuestión pero digamos que hay dos ideas básicas que tener en cuenta: elegir al azar y tantear.
Empecemos por las elecciones al azar. El número de secuencias de símbolos a considerar suele ser tan enorme que resulta imposi- ble revisarlas todas una por una. En consecuencia, lo que se hace para evaluar el interés medio de una secuencia no es mirarlas todas sino coger una muestra. Esto significa que se cogen al azar un millar o un millón de secuencias y se calcula su interés medio. Es el fun- damento de lo que los físicos llaman el «método Monte Carlo» (en alusión al carácter aleatorio de los juegos del casino de la localidad monegasca). A veces se consigue mejorar a base de muestreos pura- mente aleatorios, pero convertir este método en práctica regular sue- le ser un error.
En condiciones normales, la tarea de encontrar una secuencia con el máximo de interés es imposible, pero podemos conformarnos con buscar una secuencia de gran interés: se examina una serie de secuen- cias escogidas al azar y se elige la mejor. Este método puede mejorar- se aprovechando un rasgo característico de muchos problemas, a saber: que las secuencias próximas a una de gran interés tienen un interés superior a la media. Esta particularidad da pie a nuevas estrategias en las que se recorren secuencias de símbolos al azar, avanzando a pequeños pasos y mostrando preferencia por las más interesantes1.
La idea de llevar a cabo un recorrido aleatorio pero mostrando inclinación por el interés creciente nos lleva al concepto de «brico- laje», según la acepción acuñada por el biólogo francés François Jacob2 en relación con la evolución biológica. Jacob estudió, entre otras cosas, la evolución de las proteínas, un asunto del que vamos a hablar brevemente. (Quede advertido el lector de que el estudio de la evolución de las proteínas, como tantas otras cuestiones en el campo de la biología, ha experimentado enormes variaciones des- de 1977, año en que Jacob publicó su influyente artículo.) Una pro- teína de tamaño medio está codificada por una secuencia de unos mil símbolos, cada uno de los cuales puede presentar cuatro valores diferentes (las cuatro bases representadas por las letras A, T, G y C). El número de secuencias es astronómico: más de 10600. Una secuen- cia interesante es aquella que codifica una proteína útil (en una espe- cie determinada). ¿Hay que revisar 10600secuencias para encontrar una interesante? No, lo que se hace es buscar por tanteo entre las ya existentes. Hay muchas secuencias proteínicas cuya historia evo- lutiva ha dejado un rastro que puede seguirse hasta mil o dos mil millones de años atrás (antes de eso lo que hubo fue una evolución química y sistemas de réplica primitivos que de momento están fuera de nuestro alcance). Se conocen unas cuentas familias proteí- nicas que poseen una secuencia ancestral común a partir de la cual evolucionaron mediante mutaciones localizadas. Es un ejemplo de la estrategia que hemos descrito más arriba consistente en hacer un recorrido al azar (una mutación cada vez) entre secuencias de sím- bolos, con una tendencia hacia las secuencias de interés creciente. Las proteínas de una familia determinada presentan la misma for- ma general y pueden darse en diversas especies, o varias proteínas diferentes de la misma familia pueden darse en la misma especie.
Dos proteínas de la misma familia pueden tener funciones relacio- nadas o no. Lo que ocurre es que, debido a la duplicación génica, una secuencia que codifica cierta proteína puede adquirir nuevas funciones. La presión evolutiva puede eliminar el gen duplicado por- que no sirve para nada, o también puede ocurrir que dicho gen, en virtud de una mutación, «cambie de vida» y pase a codificar una pro- teína que sirva para otra cosa, lo cual significa que se habrá obteni- do una nueva proteína útil a base de retocar una vieja. Este bricola- je en la evolución de las proteínas no se limita a cambios puntuales en secuencias existentes. A veces se unen segmentos de dos genes que codifican proteínas diferentes y pasan a codificar otra proteína nueva. Si el mosaico proteico así obtenido resulta de alguna utilidad, se convertirá en el miembro fundador de una nueva familia y pre- sentará una forma diferente a la de las proteínas progenitoras.
Según François Jacob, la evolución biológica es un proceso de bri- colaje general. Este proceso puede generar nuevas proteínas útiles a partir de proteínas ya existentes, o fabricar un ala a partir de una pata, una porción de oído a partir de un trozo de mandíbula, etcé- tera. El proceso de bricolaje de la evolución biológica podrá califi- carse de poco inteligente pero ha cosechado un éxito extraordina- rio. Ningún inventor humano habría sido capaz de diseñar productos evolutivos tan maravillosos como un mosquito o un cerebro huma- no. Nótese, sin embargo, que un inventor humano seguramente evi- taría algunos productos de la evolución que se antojan estúpidos (como que el paso de nuestros alimentos desde la boca al estómago se cruce con el paso del aire desde la nariz a los pulmones)3.
Es lógico pensar (y así lo hizo Aharon Kantorovich4, el promotor de la idea) que el bricolaje no sólo desempeña un papel en la evo- lución biológica sino también en el descubrimiento científico. Es el caso, en concreto, de la construcción de teorías matemáticas, don- de uno de los procedimientos es introducir cambios aleatorios en los conceptos existentes con la esperanza de encontrar algo de interés. O combinar de diversas formas los hechos conocidos hasta obtener un resultado valioso. Se trata de la «conexión de ideas», un fenómeno que puede darse de manera inconsciente y que conocemos gracias a la descripción de Henri Poincaré y Jacques Hadamard.
Ahora bien, ni que decir tiene que la combinación de ideas al azar no lo es todo ni mucho menos. Todo matemático que se dedique a EL BRICOLAJE Y LA CONSTRUCCIÓN DE TEORÍAS MATEMÁTICAS
una determinada rama de las matemáticas tiene unas cuantas ideas claras en cuanto a las estructuras fundamentales de su especialidad y, en gran medida, procederá de un modo sistemático basándose en dichas ideas estructurales. Dicho de otro modo, para un mate- mático en activo las ciencias exactas son una disciplina coherente y dotada de sentido; de lo que se trata es de descubrirlo. El sentido no salta a la vista pero existir, existe. Lo cual nos plantea un pro- blema muy serio: ¿cuál es la acepción matemática de la palabra «sen- tido»?
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