Sea I un ideal de Lyubeznik bajo un orden total dado ≺. Supongamos queu1 ≺u2 ≺
· · · ≺us sobre G(I). Para todo elemento ui ∈ O(G(I)), si cambiamos el orden, tal que ui es el mas grande y guarda las relaciones de los otros elementos, entonces podemos definir un nuevo orden ⊢ como sigue:
u1⊢u2⊢ · · · ⊢ui−1 ⊢ui+1 ⊢ · · · ⊢us⊢ui.
La resolución de Lyubeznik de I bajo el orden total ⊢, es todavía minimal, de hecho todo conjunto roto en ≺ debe ser roto en ⊢.
Proposición 2.3.1. SiI es un ideal de Lyubeznik, entonces existe un orden total definido por la relación
ui1 ≺ui2 ≺ · · · ≺uia ≺uj1 ≺ · · · ⊢ujb,
donde O(G(I)) ={uj1,· · · , ujb}.
De ahora en adelante, solo necesitaremos comprobar si existe éste tipo de orden que cumple las condiciones del Teorema 1, en otras palabras no es necesario considerar los puntos exteriores de G(I) cuando se juzga si I es un ideal de Lyubeznik, simplemente podemos dejar todos los puntos exteriores más grandes que los otros puntos de G(I).
Cuando aplicamos el Teorema 1, lo mas tedioso es ver si los conjuntos son preservados, pero es más accesible para una cubierta completa M −minimal.
Proposición 2.3.2. Sea I un ideal de Lyubeznik bajo un orden total ≺. Si C es una
cubierta completa M −minimal de G(I), entonces I(C)6=∅ ó bien E(C) 6=∅. Además, exactamente uno de los sigueintes casos ocurre:
1) I(C)6=∅. En este caso, I(C)≺C\ I(C).
2) I(C) =∅ y E(C)6=∅. En este caso E(C)≺C\ E(C).
Demostración. En caso de que I(C)6=∅. Si u es el menor elemento deC que no es punto interior, entonces existe un subconjunto exterior deC, digamos D, tal queu ∈D.
Afirmamos queD∪{v}es preservado para todov ∈ I(C). De hecho, para un subconjunto
E deD∪ {v}, siu∈E,E no es roto. Siu /∈E, entonces m(E)es menor quem(D)ya que
v ∈ I(C).Por definición de cubierta M −minimal, E no es roto y por lo tantoD∪ {v}
cubre a v y además es una cubierta preservada. Por Teorema 1 esto es una contradicción. En el caso que I(C) = ∅ y E(C) 6= ∅, si u es el menor elemento que no es un punto cambiable, entonces existe un conjunto exterior de C, digamos F, tal que u ∈ F. Elijamos un elemento v el cual no se intercambiable con con u, esto me implica que
m(F ∪ {v} \ {u}) ≺ m(F). De manera similar podemos obtener una contradicción. Por otro lado se puede ver que si una cubierta M −minimal puntos interiores ni puntos cambiables, entonces I no es un ideal de Lyubeznik.
Ahora establezcamos un criterio más para juzgar de una manera más sencilla, si un ideal monomial I es un ideal de Lyubeznik. Mientras tanto demos un algoritmo para encontrar un orden total ≺para un ideal de Lyubeznik I.
1.- Encontramos todos los puntos exteriores deG(I)y establecerlos como los más gran- des que los otros.
2.- Listar los demás puntos y sus correspondientes cubiertas y calculamos el multigrado de cada una de ellas.
3.- Damos todas las cubiertas completasM −minimales y vemos todas las relaciones y por la Proposición 2, si las relaciones no satisfacen la transitividad o antisimetría, entonces el idealI no es de Lyubeznik. En caso contrario pasamos al siguiente paso. 4.- Damos todas las cubiertasE−minimales, usamos el Teorema 1, observamos todas las relaciones y juzgamos si existe un orden total coherente con todas las relaciones. Cuando juzgamos si un ideal es de Lyubeznik, podemos llegar a una respuesta errónea, si solo consideramos las cubiertas completasM−minimales, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3.3. El idealI =hx31x33, x32x34x35, x41, x43, x23x24, x23x25, x3x4x5i, tiene dos cubiertas
completas M −minimales, a saber {x2
3x24, x23x25, x3x4x5}, {x31x33, x41, x43}, cada una tiene
solo un punto interior x3x4x5 y x31x33 respectivamente.
Además tenemos las relaciones
x3x4x5 <{x23x24, x23x52} y x31x33 <{x41x43}.
Si consideramos las cubiertas E−minimales, podemos definir un orden total ≺
x31x33 ≺x3x4x5 ≺x23x24 ≺x23x25 ≺x32x34x35 ≺x41 ≺x43
bajo el cual la resolución de Lyubeznik de I no es minimal, pues {x3
1x33, x32x34x35, x3x4x5}
es una cubierta E−minimal dex3x4x5, pero{x31x33, x32x34x53, x3x4x5} es preservado, así la
resolución de Lyubeznik deI bajo ≺ no es minimal. Por otro lado si consideramos otro orden total ⊢
x3x4x5 ⊢x31x33 ⊢x23x24 ⊢x23x25 ⊢x32x34x35 ⊢x41 ≺x43
el cual es obtenido después de considerar las cubierta E−minimal x3
1x33, x32x43x35, x3x4x5
dex3x4x5, la correspondiente resolución de Lyubeznik deI bajo éste orden si es minimal.
Consideraremos nuevamente el ejemplo 4 de la sección anterior y veamos porque defi- nimos así el orden total dado.
Ejemplo 2.3.4. Sea I =hx3, x2y, y3, y2z, z3i.
* x3: no tiene cubiertas.
* x2y: tiene dos cubiertasE−minimales,A ={x2y, x3, y3}, yB ={x2y, x3, y2z}con
multigrados m(A) =x3y3, m(B) =x3y2z respectivamente. * y3: no tiene cubiertas.
Por lo tanto, hay tres cubiertas E −minimales, A, B, C, que además son completas
M−minimales, luegoO(A) ={x3, y3},O(B) ={x3, y2z},O(C) = {y3, z3}yO(G(I)) =
{x3, y3, z3}, de donde
x2y≺ {x3, y3}, x2y≺ {x3, y2z} y2z ≺ {y3, z3},
así un posible orden debe cumplir x2y≺y2z. Luego un orden total es
x2y≺y2z ≺x3 ≺y3 ≺z3
ó por Proposición 1x2y⊢y2z⊢ y3 ⊢z3 ⊢x3. Así el idealI es de Lyubeznik bajo el orden
total ≺ ó bajo el orden total⊢.
La Proposición 2 es una herramienta poderosa para encontrar contraejemplos de ideales de Lyubeznik, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3.5. Sea I =hx3, x2y, y3, yz2, z3i.
x3,y3yz3no tienen cubiertas.{x2y, x3, y3},{x2y, x3, yz2},{yz2, y3, z3},{yz2, x2y, z3}son
las cubiertas completasM−minimales dex2yyyz2 respectivamente. Asíx2y≺ {x3, y3},
x2y ≺ {x3, yz2}, yz2 ≺ {y3, z3}, yz2 ≺ {x2y, z3}. Luego por la Proposición 2, si I es un
ideal de Lyubeznik bajo el orden total ≺ sobre G(I), se debe cumplir que x2y ≺ yz2
y yz2 ≺ x2z, es decir x2y ≺ x2y lo cual es una contradicción. Por lo tanto I no es de
Lyubeznik.
Observación 2.3.6. El ideal I = hx3, x2y, y3, z3i, tiene solo una cubierta E −minimal,
la cual también es completa M − minimal, a saber C = {x2y, x3, y3} con multigrado
m(C) =x3y3.
C no es una cubierta preservada, pues si lo fuera, existiríaw∈G(I)\C tal quew |m(C)
y w ≺ C, pero w = z3, de donde wm(C) ni w ≺ C. Por lo tanto C es una cubierta
preservada y por el Teorema 1, I no es de Lyubeznik, es decir x2y ≺x3 ≺y3 ≺z3 es un
orden total, tal que la resolución de Lyubeznik es minimal.
Si agregamos un elemento al conjunto generador, por ejemploJ =hx3, x2y, y3, yz2, z3i,
como se vio en el ejemplo anterior,J no es de Lyubeznik, por lo tanto la extensión de un ideal de Lyubeznik no necesariamente es un ideal de Lyubeznik.
Por otro lado notemos que el idealI =hx2, y2, z2t2, x2z2, y2t2i, no es un ideal de Lybez- nik, pero si agregamosxyzt, el nuevo conjunto generadorJ =hx2, y2, z2t2, x2z2, y2t2, xyzti
es un idea de Lyubeznik.