Así como el modelo ADZ puede ser asociado con la hidráulica del cauce, el modelo ADE cuenta con dos parámetros (i.e. área y coeficiente de dispersión longitudinal) que pueden ser calibrados y analizados con respecto a las características hidráulicas del cauce (ver Sección 2). En este orden de ideas, es de interés estudiar el comportamiento del coeficiente de dispersión longitudinal pues su variabilidad ha sido investigada ampliamente para diferentes tipos de ríos y para el cual no ha sido posible unificar una ecuación que permita describir esta variable.
Para el caso de cauces de montaña, se usan aproximaciones empíricas derivadas de ecuaciones de fricción y de la ley de Fick (ver Sección 2). Así pues, se estudia el comportamiento del coeficiente de dispersión longitudinal con respecto al caudal para los datos calibrados del modelo ADE. Las Figuras 42 a 44 muestran el resultado de graficar el coeficiente de dispersión longitudinal (𝐷)
versus el caudal (𝑄). • La Calera
77 • Aguas abajo Quebrada Simayá
Figura 43. Comportamiento del coeficiente de dispersión longitudinal AA. Q. Simayá. • La Cabaña
78 Como se ha mencionado anteriormente, el coeficiente de dispersión longitudinal es un parámetro altamente variable y necesita de calibración particular para cada río. Es importante resaltar que la primera figura corresponde el resultado para todos los tramos del mismo sitio y la segunda figura corresponde al resultado tramo a tramo.
Las Figuras 43 y 44, correspondientes a los sitios aguas abajo de la Quebrada Simayá y La Cabaña, sugieren linealidad para la totalidad de los datos. Sin embargo, no es correcto afirmar que esta tendencia sea representativa de todos los ríos o que el comportamiento de 𝐷 sea lineal. Por el contrario, la Figura 42 para el sitio La Calera demuestra que no existe una tendencia clara para la totalidad de los datos, lo que confirma que no es posible asociar una tendencia especifica al comportamiento del coeficiente de dispersión longitudinal con respecto al caudal.
Por otro lado, al realizar un análisis de manera individual para cada uno de los tramos, es posible asociar tendencias de tipo lineal como en el caso de los resultados obtenidos en La Cabaña. Aunque lo anterior fue descrito en trabajos como el de Camacho (2000) donde se pueden observar tendencias para cada río en particular, resultados como los obtenidos para La Calera y aguas abajo de la Quebrada Simayá muestran que parece no existir una tendencia clara para todos los tramos y que la linealidad observada se presenta para tramos y condiciones hidrológicas variables. Ahora bien, es interés conocer el comportamiento de 𝐷 cuando se calcula a partir de ecuaciones empíricas. Como se mencionó en la Sección 2, el coeficiente de dispersión longitudinal ha sido estudiado ampliamente y, como en este caso, no ha sido posible unificar una ecuación que permita calcular el valor de este parámetro de manera consistente ya que depende de una gran cantidad de variables que cambian de cauce a cauce (i.e. ancho, profundidad, velocidad de corte, velocidad). Autores como Fischer (1975), Kashefipour y Falconer (2002) y McQuivey y Keefer (1974) han propuesto ecuaciones para el cálculo del coeficiente de dispersión longitudinal.
𝐷 = 0.011𝑈 2𝐵2 𝐻𝑈∗ (65) 𝐷 = 10.612𝐻𝑈 𝑈 𝑈∗ (66) 𝐷 = 0.05937 𝑄 𝑆𝐵 (67) Las Ecuaciones 65 a 67 corresponden a las desarrolladas por Fischer (1975), Kashefipour y Falconer (2002) y McQuivey y Keefer (1974) respectivamente, donde 𝑈 es la velocidad media; 𝐵 el ancho; 𝑈∗ la velocidad de corte; 𝑆 la pendiente longitudinal y 𝑄 el caudal. Sin embargo, estas ecuaciones difieren en varios ordenes de magnitud entre sí como explican Fischer et al (1979). De igual manera, autores como Liu (1977), Iwasa y Aya (1991) o Deng et al (2001) proponen diversas ecuaciones cuya forma es similar a las Ecuaciones 65 a 67 y donde se observa una dependencia clara de los parámetros hidráulicos y geomorfológicos del cauce. Abderrezzak, Ata y Zaoui (2015) evaluaron la capacidad predictiva de diversas ecuaciones empíricas donde encontraron que la ecuación de Fischer (1979) explica de manera más precisa datos experimentales.
79 Ahora bien, es posible calcular el valor del coeficiente de dispersión longitudinal haciendo uso de los datos obtenidos con experimentos con trazadores como (Fischer, 1968),
𝐷 =𝑈 2(𝑠
𝑡22 − 𝑠𝑡12 )
2(𝑡̅2 − 𝑡̅1) (68)
Donde 𝑈 es la velocidad media en el tramo; 𝑠 la varianza central y 𝑡̅ el tiempo medio de viaje en el tramo. La Ecuación 68 es una forma alternativa de calcular el coeficiente de dispersión longitudinal y depende de la varianza de las curvas concentración versus tiempo que se obtienen al realizar experimentos con trazadores. Es de interés comparar el resultado de la Ecuación 68 respecto al resultado de la calibración y respecto a las Ecuaciones 65 a 67 recordando que son formas empíricas de calcular 𝐷. Las Figuras 45 a 47 muestran los resultados de graficar 𝐷 a partir de diferentes fórmulas empíricas y a partir de los datos con trazadores.
• La Calera
Figura 45. Comportamiento del coeficiente de dispersión longitudinal para el sitio La Calera, tramos S1-S2, S1-S3 y S2-S3. • Aguas abajo Quebrada Simayá
80 Figura 46. Comportamiento del coeficiente de dispersión longitudinal para el sitio AA. Q. Simayá, tramos S1-S2, S1-S3 y S2-S3.
• La Cabaña
81 Cada una de las figuras observadas corresponde a un tramo diferente en los distintos sitios de interés. Como se explicó anteriormente, el comportamiento del coeficiente de dispersión longitudinal sugiere linealidad para cada tramo de forma particular y estas tendencias se mantienen al usar las diferentes ecuaciones (ver Ecuaciones 65 a 67). Si bien no se emplean más formas para calcular 𝐷, queda claro que la alta variabilidad del parámetro y la dependencia de variables hidráulicas y geomorfológicas, que también cambian con el caudal o las formas de fondo, no han permitido consolidar una ecuación que represente el comportamiento de este parámetro en todos los escenarios.
Por otro lado, es de interés conocer si la Ecuación 68 difiere de forma significativa con respecto al valor calibrado para cada trazador. Debido a que la Ecuación 68 parte de la información recolectada en los experimentos con trazadores, en principio, garantiza una mejor aproximación que las Ecuaciones 65 a 67. En este orden de ideas, se grafican los valores calibrados para el coeficiente de dispersión longitudinal versus los valores obtenidos a partir de la Ecuación 68. La Figura 48 muestra el resultado de comparar los valores calibrados para el coeficiente de dispersión longitudinal versus los valores para 𝐷 de forma empírica.
Figura 48. Comparación para valores de D calibrado y valores de D a partir de la Ecuación 68.
Se observa que al realizar un ajuste lineal se obtiene un valor de 𝑅2 = 0.468. Este valor de coeficiente de determinación nos indica que aproximadamente el 46.8% de los datos calibrados se puede representar de manera adecuada por la Ecuación 68 en el río Teusacá.
El resultado observado en la Figura 48 muestra la alta variabilidad del coeficiente de dispersión longitudinal y como, a pesar de existir diferentes aproximaciones a su cálculo, se requiere una calibración particular para cada tramo y para cada río. De igual forma, se evidencian tendencias de tipo lineal que han sido descritas por diferentes autores como se ha mencionado.
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