Los intercaladores basados en polinomios cuadráticos de permutación han sido propuestos en el proyecto 3 G P P L T E . Hay en total 188 intercaladores para los códigos Turbo en el estándar 3 G P P L T E [41] organizados de la siguiente manera:
1. 40 < N < 512, este conjunto de intercaladores contiene los múltiples de 8.
2. 512 < N < 1024, este conjunto de intercaladores contiene los múltiples de 16.
3. 1024 < N < 2048, este conjunto de intercaladores contiene los múltiples de 32.
4. 2048 < N < 6144, este conjunto de intercaladores contiene los múltiples de 64.
Los intercaladores que conforman el estándar 3G U M T S [1] utilizan una tabla y aritmética simple para generar los índices del intercalador de forma eficiente. Se ha demostrado que los intercaladores basados en Q P P tienen un desempeño equivalente o mejor que los intercaladores del estándar 3 G P P U M T S , con una complejidad igual o menor, comparándolos en términos de la relación señal a ruido necesaria para alcanzar una tasa dada de tramas con errores y suponiendo ruido A W G N [42]. Los intercaladores Q P P tienen ventajas importantes sobre otras construcciones de intercaladores anteriores, ya que proporcionan al mismo tiempo los siguientes beneficios:
1. Excelente desempeño de error con longitudes de código prácticas [20].
2. Estructuras adecuadas para el procesamiento en paralelo [40].
3. Implementación eficiente del intercalador y desintercalador, con bajo consumo de potencia y requerimientos de poca memoria [17].
4. La regularidad [18].
5. Capacidad de extenderse a un intercalador con polinomio de permutación de mayor grado, prácticamente con la misma complejidad [20].
Capítulo 2. Sistema de Comunicación Digital 34
A continuación se presenta la teoría que existe detrás de los polinomios cuadráticos de permutación.
U n Polinomio f(x) = (f0 + f1x + f2x 2
+ . . . + fmxm) mod N, donde N es un número entero N > 2 y f0, f1, f2, ..., fm y m son números enteros no negativos, es un polinomio de permutación sobre N cuando f (x) permuta {0,1,2,..,N — 1}. Para cualquier N, se puede determinar si un polinomio f(x) es un polinomio de permutación mediante el siguiente teorema:
Teorema 1: Sea f(x) = (f0 + f1x + f2x2 +... + fmx m
) mod N, un polinomio con coeficientes enteros. f(x) es un polinomio de permutación sobre el anillo de enteros N = 2n
si y sólo si f1 es impar, si f2+ f4 + f6+ es par, si f3 + f5 + f7 +...es par,
y si cualquiera de estas dos últimas sumas es diferente de 0 [18].
Ya que la función del intercalador es permutar {0,1,2,..,N — 1}, se puede realizar la construcción de un polinomio de permutación para los intercaladores de los códigos Turbo seleccionando adecuadamente N y los coeficientes del polinomio f. El polinomio de primer grado f(x) = (f0 + f1x) mod N es el más sencillo de todos los
polinomios de permutación, generando un intercalador lineal. Sin embargo, este intercalador presenta un desempeño muy pobre en presencia de errores [43].
El siguiente que podemos considerar es el polinomio cuadrático de permutación, el cual puede evitar los defectos del intercalador lineal. Cuando m = 2, se tiene f(x) = (f0 + f1x + f2x
2
) mod N. Se puede observar que el coeficiente f0 sólo
corresponde a una rotación cíclica en la secuencia permutada. No es parte de las condiciones para que f(x) sea un polinomio de permutación y tampoco afecta el desempeño, por lo que se puede ignorar f0 para simplificación. Asimismo, se puede
definir el polinomio de permutación inversa f-1
(x) = f (x)—f0 sin perder
generalidad [17].
Aplicando las condiciones anteriores, se pueden encontrar múltiples coeficientes adecuados f1 y f2 en los intercaladores Q P P mediante una búsqueda por
computadora. Sin embargo, los intercaladores con diferentes coeficientes tienen diferentes desempeños, por lo que se debe escoger el intercalador de una mejor forma basándose en propiedades de los coeficientes.
Una manera de escoger los intercaladores es en base a diferentes métricas como las que se presentan a continuación:
Capítulo 2. Sistema de Comunicación Digital 35
1. Dispersión N
Mide la "aleatoriedad" de un intercalador a través de la variedad de distancias entre los elementos permutados. Primero se obtiene la lista de diferencias de , definida por el conjunto D( ) = {(j — i, (j) — (i)) | 0 < i < j < N}, sin volver a contar los elementos repetidos. Conociendo la cardinalidad de D( ), |D( )|, se obtiene la dispersión N de de la siguiente manera:
5. Takeshita propone una nueva medida para seleccionar los intercaladores basados en Q P P que es simplemente el producto del logaritmo del factor de dispersión por la métrica de no linealidad, es decir, = ln(D) .
2. Esparcimiento s
Sirve para determinar la relación entre un par de entradas y sus valores en la salida. Específicamente ayuda a conocer la distancia de dos salidas si sus entradas están a una distancia conocida. El esparcimiento de un intercalador es el mayor número entero s tal que |i— j| < s | (i) - (j)| > s , para
1 < s < N, donde i,j son valores de entradas tal que i j.
3. Factor de dispersión D(f)
E l factor d e dispersión d e u n intercalador e s e l valor mínimo d (i,j)a
través de todo i>j, tal que donde
|x - y|N = min[(x — y) mod N,(y — x) mod N] es la distancia de Lee entre x y y módulo N.
4. Factor de no linealidad para los intercaladores Q P P (F)
Esta métrica reemplaza la noción de "aleatoriedad" de un intercalador, y está en función del coeficiente de segundo grado del polinomio de permutación como se muestra enseguida:
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Existen otras métricas que también pretenden estudiar la distancia entre los valores permutados (por ejemplo, los factores de esparcimiento), sin embargo, aquí se han presentado las más comunes y algunas de las cuales serán utilizadas para evaluar los diferentes intercaladores estudiados en los capítulos siguientes.
Como los intercaladores con polinomios cuadráticos de permutación son el tema principal de este estudio, a continuación se enlistan algunas observaciones básicas que describen las propiedades de los polinomios de permutación y sus inversos, y que han sido demostradas por diferentes autores en sus trabajos.
1. Observación 1. U n polinomio de segundo grado f (x) = (f1x + f2x2) mod NI, siendo NI divisible por 4 o no divisible por 2 es un polinomio de permutación (PP) o intercalador válido si y sólo si f2 es divisible por los factores primos de
NI y f1 no lo es [18].
2. Observación 2. Suponga que el inverso de un polinomio de permutación f(x) es r(x). Entonces el polinomio de permutación inversa de (x) es r(x — f0) . De
forma similar, si el inverso del polinomio de permutación f(x) es s(x), entonces el polinomio de permutación inversa de f(x) es s(x + q0)[17].
3. Observación 3. Seap = 2. U n polinomio f(x) = f1x + f2x
2
(mod p) es un polinomio de permutación sobr ep si y sólo si f1 + f2 es impar [44].
4. Observación 4. Sea p 2. U n polinomio f(x) = f1x + f2x2 (mod p) es un
polinomio de permutación sobre p si y sólo si f1 0 (mod p) y f2 = 0 (mod
p), es decir, no hay polinomios cuadráticos de permutación módulo un número primo p 2 [17].
5. Observación 5. Sea p un número primo y n > 2. Un polinomio f (x)= f1x +
f2x2 (mod pn) es un polinomio de permutación sobre p n si y sólo sif1= 0
(mod p) y f2 =0 (mod p) [18].
6. Observación 6. Sea p = 2 y n > 2. U n polinomio f(x) = f1(x) + f2x2 (mod pn)
es un polinomio de permutación si y sólo si f1 es impar y f2 es par [44].
7. Observación 7. Sea N un número compuesto y f(x) = f1x + f2x2 (mod N) un
polinomio cuadrático de permutación. Entonces existe al menos un polinomio cuadrático g(x) = g1x + g2x
2
Capítulo 2. Sistema de Comunicación Digital 37 puntos: x = 0,1,2. Si N es impar, existe exactamente un polinomio cuadrático g(x) y los coeficientes del polinomio se pueden obtener resolviendo las
congruencias lineales.
g2(f1 + f2) (f1 + 2f2) (f1 + 3f2 ) -f2(modN)
g1(f1 + f2) +g2 (f1 + f 2)2 1 (mod N)
Si N es par, existen exactamente 2 polinomios cuadráticosg1(x) = g1,1x+
g1,2x2 (mod N), g2 (x) = g2,1x + g2,2x
2 (mod
N) y los coeficientes del
polinomiog1(x) pueden obtenerse resolviendo las congruencias lineales.
g1, 2(f1 + f2 )(f1 + 2f2)(f1 + 3f2) -f2(mod
)
g1,2
(f1
+ f2 ) + g1,2(f1
+ f2 ) 2(mod N)
Después de resolver (g1,1,g1,2), los polinomios restantes (g2,1 , g2 , 2) se
pueden obtener con una simple relación mediante g2,1= g1,1+ (mod N) y
g2,2= g1, 2 + (modN) [17].
La existencia de polinomios de permutación inversa es también importante, ya que éstos facilitarán la implementación del desintercalador en el lado del receptor con el fin de obtener la secuencia original de los bits transmitidos con la misma complejidad en cuanto a hardware. De los 188 intercaladores del estándar 3GPP L T E , se han encontrado 153 intercaladores que admiten un polinomio cuadrático de permutación inverso [17].
Una pregunta interesante con relevancia práctica es si el mismo intercalador puede ser su propio inverso, ya que el mismo hardware podría ser utilizado tanto para la intercalación como para la desintercalación. Este tipo de restricción se ha demostrado que no afecta el desempeño de la decodificación Turbo usando los intercaladores propuestos para tal caso [35].
Para el caso de los intercaladores propuestos en el estándar 3GPP L T E [41] se han identificado 6 polinomios cuadráticos autoinvertibles, los cuales son los siguientes:
Capitulo 2. Sistema de Comunicación Digital 38
Longitud (N)
Q P P
48
7x + 12x2176
21x + 44x2240
29x + 60x2304
37x + 76x2864
17x + 48x22688
127x + 504x2Tabla 2.1 Polinomios cuadráticos autoinvertibles en los intercaladores de 3GPP L T E
2 . 3 M O D U L A C I Ó N
La modulación en el contexto de las telecomunicaciones consiste básicamente en hacer que un p a r á m e t r o de la onda portadora, típicamente una onda sinusoidal, cambie de valor de acuerdo con las variaciones de la señal moduladora, que es la información que queremos transmitir. Hay diferentes técnicas para transportar información sobre una onda portadora. Estas técnicas permiten un mejor aprovechamiento del canal de comunicación, ya sea transmitiendo más información en forma simultánea, o agregando protección contra posibles interferencias y ruidos
[45].
Existen distintos tipos de modulación dependiendo del parámetro que se varíe en la señal portadora, algunos de estos tipos son:
• Modulación en doble banda lateral
• Modulación de amplitud
• Modulación de fase
• Modulación de frecuencia
• Modulación banda lateral única
La modulación no es el enfoque principal de este estudio. Sin embargo, se utiliza la modulación B P S K en el modelo del sistema de comunicación presentado en el capítulo siguiente, por lo que cabe describir brevemente este tipo de modulación.
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