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C.3.1 Optimización por enumeración [38]
Antes de abarcar el proceso de Programación Dinámica, es útil examinar el procedimiento de enumeración de fuerza bruta. En este método, un conjunto de decisiones admisibles U se discretiza en un número finito de valores. El conjunto U entonces consiste de los elementos:
{
1 2}
, , , m
U = u u K u C.31
donde m es el número de decisiones admisible y uq con q=1,2, …,M, son las variables actuales de las decisiones admisibles y pueden variar con x y k.
El procedimiento de enumeración consiste de los siguientes pasos:
Con un estado dado x(0) se aplica cada una de las decisiones admisibles u U∈ . Para cada una de esas decisiones, se calcula el próximo estado.
( )
1( ) ( )
0 , 0 , 0x = ⎡g x⎣ u ⎤⎦ C.32
Si el estado x(1) es un estado admisible, entonces el costo asociado con este estado se calcula como:
( )
1 ,1( )
0 , 0C x⎡⎣ ⎤⎦=L x⎡⎣ ⎤⎦ C.33
Si el estado x(1) no es admisible, ya no se realiza otra consideración para este estado debido a que este viola la restricción.
Este proceso continúa hasta que se aplican todas las decisiones admisibles para el estado
x(1), encontrándose los estados resultantes de x(2) de la siguiente expresión:
( )
2( ) ( )
1 , 1 ,1x = ⎡g x⎣ u ⎤⎦ C.34
y calculando los costos de los estados admisibles x(2) como:
( )
2 , 2( )
1 ,1( )
1 ,1C x⎡⎣ ⎤⎦=L x⎡⎣ ⎦⎤+C x⎣⎡ ⎤⎦ C.35
en general, cuando un conjunto de estados x(k)∈X ha sido definido por el procedimiento, un nuevo conjunto de estados x(k+1)∈K se define aplicando todas las decisiones u∈U en todos los estados x(k)∈X, calculando los estados de:
(
1)
( )
, ,x k+ = ⎡g x k u k⎣ ⎤⎦ C.36
y evaluando los costos de los estados admisibles x(k+1) de:
(
1 ,)
1( )
, ,( )
,C x k⎣⎡ + k+ =⎦⎤ L x k u k⎣⎡ ⎦⎤+C x k⎡⎣ k⎤⎦ C.37
Este proceso traza todas las trayectorias en el espacio de estado que no violan las restricciones y que inician en el estado x(0) y terminan en k=N. Esas trayectorias forman un árbol iniciando en x(0) y expandiéndose a medida que k aumenta. Tal árbol se ilustra en la figura C.2 para un problema unidimensional, donde M=2, para toda x y k, donde X esta dentro del intervalo 0≤x≤3 para toda k y donde N=4. Se nota que para k=3 una de las trayectorias cae fuera de X, con lo cual es un estado no admisible. Por lo tanto, se pede ver que es posible manejar una amplia variedad de restricciones dentro de este marco. Las restricciones son de gran utilidad para reducir el número de trayectorias que se deben considerar.
El costo mínimo se evalúa comparando C[x(N),N] para los estados admisibles x(k)∈X y seleccionando el valor mínimo. La secuencia óptima de decisiones y la trayectoria óptima en el espacio de estado se traza siguiendo a lo largo de la ruta de árbol que guíe a este valor
de C[x(N),N]. Este procedimiento directo siempre determina un mínimo absoluto mas que
un mínimo o máximo relativo y si el mínimo no es único, las secuencias óptimas de decisión se pueden encontrar.
Desgraciadamente una enumeración directa conlleva a dificultades computacionales. Si se considera un proceso unidimensional con M=10 para toda x(k)∈X y k con n=20. Entonces, si se asume que ninguna decisión viola alguna restricción, el número de trayectorias en
k=N=20 esta dado por:
20 10
N T
N =M = C.37
Con estas posibilidades se calculan sus correspondientes costos, se comparan entre ellos para obtener el mínimo y se localiza la ruta óptima de decisión. El resultado sería una tarea computacional infactible debido a las grandes dimensiones de cálculo.
A pesar que las restricciones reducen este número de posibilidades, el esfuerzo computacional seguirá siendo demasiado grande debido a que el número de cálculos aumenta exponencialmente con el número de estados N. Con esto queda claro que este procedimiento no es factible para aplicaciones prácticas.
c.3.2 Ecuación funcional vs. enumeración [38]
De secciones anteriores se obtuvo una ecuación de recursión definida como.
( )
, min(
[
, ,]
(
, ,)
, 1)
u U I x k L x u k I g x u k k ∈ = + ⎡⎣ + ⎤⎦ 0,1, 2, , 1 k = K N− C.39con las condiciones de iniciación:
(
,)
min(
, ,)
u U
I x N L x u N
∈
= ⎡⎣ ⎤⎦ C.40
El principio de Optimalidad establece que si una secuencia óptima de estados pasa a través de un estado particular x en la etapa K, entonces la porción de la secuencia desde x(k) al final del proceso debe ser una secuencia óptima desde x(k) al final. Por lo tanto, si se trabaja en un proceso hacia atrás desde el fin del proceso, no se necesita generar un árbol completo de decisiones como en la figura C.2 para un estado intermedio x(k), sino solamente llevar la función de costo mínimo I(x,k) y la decisión óptima u*(x,k) asociada con este estado y etapa.
Para definir esta idea, se asume que X, el conjunto de estados admisibles, es discretizado en un número finito de valores. El conjunto X contiene los elementos:
( ) ( ) ( )
{
1 2}
, , J
X = x x Kx C.41
donde tanto como J, es el número de estados admisible y x(j) j=1,2,…,J son los valores actuales de esos estados, pueden variar con la etapa k. También se realiza la discretización de U.
Esta discretización de U sugiere un método directo de ejecutar la minimización en la ecuación C.39, es decir; solo evaluar la cantidad dentro de los corchetes para cada u∈U y comparar esos valores directamente para determinar el valor más pequeño. Así como en el procedimiento de la enumeración, se requiere de dos cálculos básicos: primero, el costo para la etapa presente se debe evaluar como L(x,u,k); segundo, se debe evaluar el próximo estado g(x,u,k). Solamente hay otro cálculo que se necesita realizar que es la evaluación de
I(g(x,u,k),k+1), el costo mínimo en el próximo estado y la comparación de la suma
L(x,u,k)+I(g(x,u,k),k+1) una vez por cada decisión, etapa y estado discretizado. Si el
número de decisiones, estados y etapas discretizado es fijo y definido por M, J y N
el número de cálculo no crece exponencialmente con N, como el caso de enumeración, pero si crece linealmente. Las ventajas computacionales de este último procedimiento con el de enumeración son dramáticas.