Como una bonita consecuencia de los resultados presentados en la secci´on anterior, nos pro- ponemos enunciarlos en t´erminos de grafos enteros en un espacio producto del tipoM2×Rc. Como ya hicimos al principio de este cap´ıtulo, repasaremos brevemente algunos de los detalles ya intro- ducidos en la Secci´on 1.3 del Cap´ıtulo 1 sobre la geometr´ıa de los grafos enteros en espacios producto lorentzianos, a fin de introducirlos tambi´en para grafos enteros en espacios producto riemannianos. Consideremos Ω⊆M2 un dominio conexo. Cualquier funci´on diferenciable u∈ C∞(Ω) determina un grafo sobre Ω dado por Σ(u) ={(x, u(x)) : x∈Ω} ⊂M2×Rc. La m´etrica inducida sobre Ω a partir de la m´etrica del espacio ambiente via el grafo Σ(u) viene dada por
h,i=h,iM+εdu2. (5.17) En particular, y como ya vimos, en el caso en que el espacio ambiente sea lorentziano, Σ(u) ser´a una superficie espacial enM2×R1 si y s´olo si |Du|2 <1 en todo Ω, donde recordemos que Du denota el gradiente deu con respecto a la m´etrica h,iM sobre Ω y |Du|2 =hDu, DuiM. Un grafo se dice que es entero si Ω =M2.
Sea Σ(u) un grafo sobre un dominio Ω ⊆ M, que supondremos espacial en el caso en que el espacio ambiente sea lorentziano, y consideremos que la orientaci´on del grafo viene dada por el campo normal definido por
N = p 1
1 +ε|Du|2(−ε∂t+Du),
y por tanto
Θ = p −1
1 +ε|Du|2 <0.
Obs´ervese que, tanto en el caso riemanniano como en el caso lorentziano, N es un campo glo- balmente definido, por lo que en particular todo grafo sobre un espacio producto riemanniano es
siempre una superficietwo-sided. Calculemos ahora la expresi´on para la curvatura de Gauss de un grafo Σ(u). Por la ecuaci´on de Gauss (5.7) sabemos que
K =KMΘ2+εdetA=
KM
1 +ε|Du|2 +εdetA.
Sea{E1, E2}una base local ortonormal sobre Ω (con respecto a la m´etricah,iM) y observemos que detA= det(hij)
det(gij)
,
siendo gij =hEi, Eji yhij =hAEi, Eji para 1 ≤ i, j ≤ 2. A partir de la expresi´on de la m´etrica (5.17) tenemos que gij =δij+εEi(u)Ej(u), luego
det(gij) = 1 +ε|Du|2. Un c´alculo directo nos permite establecer que
∇EiN = −εhDEiDu, Dui 1 +ε|Du|2 N + 1 p 1 +ε|Du|2DEiDu,
por lo que se tiene
hij =hAEi, Eji=−h∇EiN, Eji=−
D2u(Ei, Ej)
p
1 +ε|Du|2,
siendoD2u el operador hessiano de la funci´onucon respecto a la m´etrica h,iM sobre Ω. Por tanto det(hij) =
det(D2u) 1 +ε|Du|2,
y en consecuencia la ecuaci´on de Gauss de Σ(u) se puede reescribir como
K= KM
1 +ε|Du|2 +ε
det(D2u)
(1 +ε|Du|2)2,
con la restricci´on|Du|2<1 en el caso en queε=−1.
Teniendo esto en cuenta, los Corolarios 5.2.3 y 5.2.5 se pueden formular en t´erminos de grafos enteros de la manera siguiente.
Corolario 5.3.1. SeaM2 la esferaS2 o el plano proyectivo realRP2. Las ´unicas soluciones enteras
sobre M2 a la ecuaci´on
(1 +|Du|2)2K = 1 +|Du|2+ det(D2u),
o a la ecuaci´on
(1− |Du|2)2K= 1− |Du|2−det(D2u), |Du|2<1,
dondeDuyD2udenotan el gradiente y el hessiano de una funci´onusobreM2 respectivamente, son
las funciones constantes, y K = 1 necesariamente. En particular, siK 6= 1, no existen soluciones sobre M2 a ninguna de las ecuaciones anteriores.
Por otro lado, nuestros Teoremas 5.2.2 y 5.2.4 nos permiten dar el siguiente resultado m´as general, donde observemos que no asumimos ni que la curvatura de Gauss deM2ni que la curvatura de Gauss del grafo Σ(u) sean constantes.
Corolario 5.3.2. Sea M2 una superficie riemanniana compacta con curvatura de Gauss no ne-
gativa KM ≥0 (respectivamente, con curvatura de Gauss no positiva K ≤ 0), y supongamos que
KM >0 (respectivamente,KM <0) sobre un subconjunto denso de M2. Entonces,
(i) las ´unicas soluciones enteras sobre M2 a la ecuaci´on
(1 +|Du|2)2K= (1 +|Du|2)KM + det(D2u),
donde K es una funci´on diferenciable sobre M2 verificando K ≥KM (K ≤KM, respectiva-
mente) son las funciones constantes, y K =KM necesariamente.
(ii) las ´unicas soluciones enteras sobre M2 a la ecuaci´on
(1− |Du|2)2K= (1− |Du|2)KM −det(D2u), |Du|2<1,
donde K es una funci´on diferenciable sobre M2 verificando K ≤K
M (K ≥KM, respectiva-
mente) son las funciones constantes, y K =KM necesariamente.
Es interesante destacar que el Corolario 5.3.1 no es v´alido cuandoM2 =H2es el plano hiperb´oli- co, puesto que existen soluciones enteras no triviales a la correspondiente ecuaci´on de las superficies con curvatura de Gauss constante,
K = −1
1 +ε|Du|2 +ε
det(D2u)
(1 +ε|Du|2)2, (5.18)
con la restricci´on|Du|2<1 cuandoε=−1. Para obtener soluciones particulares de esta ecuaci´on es
conveniente considerar el modelo de Minkowski del plano hiperb´olico. SeaR3
1el espacio de Lorentz-
Minkowski, es decir el espacio vectorial R3 con coordenadas can´onicas x = (x0, x1, x2) dotado de la m´etrica lorentziana
h,i=−dx20+dx21+dx22. (5.19) El plano hiperb´olicoH2 es la superficie riemanniana completa, simplemente conexa, con curvatura seccional constante−1 que admite una realizaci´on como el hiperboloide de R31 formado por todos los vectores unitarios temporales apuntando hacia el futuro,
H2 ={x∈R31 :hx, xi=−1, x0 ≥1} ⊂R31, (5.20) dotado de la m´etrica riemanniana inducida de la m´etrica llana deR3
Ejemplo 5.3.3. Vamos a buscar soluciones no triviales de la ecuaci´on (5.18) sobre H2 del tipo
u(x) =f(x0) para una cierta funci´on diferenciable f(x0) con x0 ≥1. Dada una funci´onu definida
de ese modo, es inmediato comprobar que su gradiente viene dado por Du(x) =−f0(x0)e>0, siendo
e>
0 la parte tangente dee0 = (1,0,0) a lo largo del plano hiperb´olico H2, es decir,
e0 =e>0 +x0x. (5.21)
En particular, se tiene
|Du(x)|2=f0(x0)2(x20−1).
Por otro lado, multiplicando ambos t´erminos de la expresi´on (5.21) porf0(x0) y tomando derivadas
covariantes se tiene
DXDu=f00(x0)hX, e>0ie>0 +x0f0(x0)X
para cualquier campo vectorial X tangente aH2. Se sigue de aqu´ı que det(D2u) =x0f0(x0)f00(x0)(x20−1) +x02f0(x0)2.
Por tanto, la ecuaci´on diferencial de un grafo con curvatura de Gauss constante determinado por una funci´on del tipo u(x) =f(x0) se expresa finalmente como
(1 +εf0(x0)2(x20−1))2K =−1−εf0(x0)2(x20−1) +ε x0f0(x0)f00(x0)(x02−1) +x20f0(x0)2. (5.22)
Se puede comprobar f´acilmente que
f(x0) = r ε(1 +K) −K log q 1−K(x20−1) +√−Kx0 ,
conK <0 yε(1 +K)>0, es soluci´on de la ecuaci´on diferencial (5.22). En particular, tenemos que si ε= 1, entonces−1< K <0, y
si ε=−1, entoncesK <−1.
Es bien conocido que en el caso riemanniano,ε= 1, todo grafo entero enH2×Res completo. En particular, los grafos enteros construidos en el Ejemplo 5.3.3 son completos para el caso ε= 1. Sin embargo, cuando el espacio ambiente es lorentziano un grafo entero espacial en H2×R1 no es necesariamente completo, como ya hemos visto, por ejemplo, en los Ejemplos 2.3.4, 2.4.1 y 2.4.3 del Cap´ıtulo 2. M´as a´un, con un c´alculo directo podemos comprobar que en el Ejemplo 2.4.1 hemos construido grafos enteros espaciales con curvatura de Gauss constante −1 en el espacio producto lorentziano H2 ×R1 que no son completos. Veamos que los grafos obtenidos en el Ejemplo 5.3.3 tambi´en son completos en el caso ε=−1. Para cadax∈H2 se tiene que
|Du(x)|2 =f0(x0)2(x20−1) = − (1 +K)(x20−1) 1−K(x20−1) , con K <−1, luego sup x∈H2| Du(x)|2= sup x0≥1 f0(x0)2(x20−1) = 1− 1 |K| <1.