supF⊂X;ν(F)<∞∑x∈Ff(x)(pues An ⊂X finito, ie, el conjunto so-
bre el que estamos tomando el primer supremo está contenido en el del segundo). En definitiva,∀n, ne≤supF⊂X;ν(F)<∞∑x∈F f(x)
limn ⇒ supF⊂X;ν(F)<∞∑x∈Ff(x) =∞ [≥] ⇒´X f dν=∞, luego se tiene la igualdad.
Caso 2. ∀e>0, #{x; f(x) ≥e} <∞. Entonces:´Xf dν f ≥0= l´ıme→0
´
{ f ≥e}f dν H+(3)
= l´ıme→0∑x∈{ f ≥e} f(x) ≤supF⊂X;ν(F)<∞∑x∈F f(x)(pues{f ≥e} ⊂
X finito, como en el caso anterior, y supF⊂X;ν(F)<∞∑x∈Ff(x)no
depende de e).
En resumen, o bien´X f dν = ∞ (caso 1), o si´X f dν < ∞ (caso 2),34se cumple: {x; f(x) >0} = ∪n∈N
n
x; f(x) ≥ 1no, con nx; f(x) ≥ 1no finito (pues estamos en el caso 2). Es decir,{x∈X; f(x) >0}es numerable y podemos indexarlo por {xn}n ⊂ X, de manera que ´ X f(x)dν(x) (4) = supF⊂{xn} n∈N;ν(F)<∞∑x∈Ff(x) = ∑n∈N f(xn).
EJEMPLO95. Sea f :Z→R≥0; f(n):=anuna sucesión. Entonces
´ Z f(x)dν(x) = ∑n∈Naxn xn∈Z = ∑n∈Zan.35 NOTA96. L1(ν) = {f ;´|f(x)|dν<∞} = {{an}n;∑n|an| <∞} =: `1 el
espacio de las series absolutamente convergentes (para más información, cf.Wiki- pedia).
2.4. Medida producto y Tonelli-Fubini
Idea. La finalidad de esta sección es demostrar los teoremas clásicos de inte- gración de Tonelli y Fubini.36Para ello, dados dos espacios de medida(X,A, α),(Y,B, β), tendremos que construir primero una medida producto en X×Y.
OBSERVACIÓN 97. Consideremos en X×Y la familia de rectángulos R :=
{A×B; A∈ A, B∈ B} y sea E la colección de uniones finitas de elementos de R.37Entonces estas uniones se pueden considerar disjuntas sin restricción, pues Ri = Ai×Bi ∈ R ⇒ R1∪R2 = (A1∩A2) × (B1∪B2) ] (A1r A2) ×B1]
(A2r A1) ×B2(donde cada uno de los tres rectángulos es deR), cf. dibujo. Más
aún, es inmediato ver queE es un álgebra.38
34En el caso 1 vimos que´Xf dν = ∞, luego (por contrareciproco):´Xf dν 6= ∞ ⇒ que no estamos en el caso 1. Y como el caso 1 y el caso 2 son todos los casos posibles (o, más formal- mente, forman partición en tanto que negación uno del otro), esto significa ´X f dν 6= ∞ ⇒ es- tamos en el caso 2. Más aún, los recíprocos son ciertos. En efecto, como f : X → R≥0, te-
nemos que X = {x; f(x) >0} ] {x; f(x) =0}, y como ∑x∈{x; f(x)=0}f(x) = 0, tenemos que supF⊂X;ν(F)<∞∑x∈Ff(x) = supF⊂{x; f(x)>0};ν(F)<∞∑x∈Ff(x). Así, si estamos en el caso 2, ie, si
∀e>0, #{x; f(x) ≥e} <∞, entonces #{x; f(x) >0} <∞ y´X f dν
(4)
=supF⊂X;ν(F)<∞∑x∈Ff(x) =
∑x∈{x; f(x)>0}f(x) <∞ (pues es una suma finita de reales). 35De hecho, podemos cambiar Z por un conjunto X cualquiera.
36Pesado de hacer pero necesario, dada su importancia/frecuencia de uso.
37Aunque la familia de rectángulosRes una familia de rectángulos muy particular (productos de medibles), por simplicidad llamaremos usualmente a los elementos deRrectángulos, aunque tal vez fuera más formal/preciso llamarlos rectángulos «medibles», «pre-medibles» o algo similar. El proble- ma con estos otros nombres alternativos es que también son equívocos en tanto que no hemos definido aún en X×Y ninguna álgebra respecto a la que llamarlos medibles.
38 ∪n i=1Ri∪ ∪m j=1R0j = ∪n+m k=1R 00 k (reindenxando, con R00k := ( Rk, ∀k∈ {1, . . . , n} Rk−n, ∀k∈ {n+1, . . . , m} ), luego sólo falta ver que(∪Ri)c∈ Eo, lo que es suficiente (pues(∪Ri)c= ∩Rci), que el complementario
2.4. MEDIDA PRODUCTO Y TONELLI-FUBINI 65
DEFINICIÓN98. A ⊗ B:=Σ(R).
OBSERVACIÓN. Σ(R) =Σ(E ).39
DEMOSTRACIÓN. (Trivial)Σ(R) =Σ(A (R))yA (R) = EpuesE ⊂ A (R)
yEes un álgebra.
LEMA99. Se cumple:
1. A×B∈ R; A×B= ]n∈NAn×Bn⇒α(A)β(B) =∑n∈Nα(An)β(Bn)
2. Dado M= ]mj=1Aj×Bj ∈ E, sea τ :E → [0,∞]; τ(M):=∑0jα Ajβ Bj.
Entonces τ está bien definida y, por construcción, es una función elemental sobre Ecumpliendo τ(A×B) =α(A)β(B). 3. Si M= ]nMn, con Mn ∈ E,∀n y M∈ E, entonces τ(M) =∑nτ(Mn). DEMOSTRACIÓN. En efecto, 1. χA(x)χB(y)=H ∑nχAn(x)χBn(y) ´ dα ⇒ α(A)χBn(y) = ´ ∑nχAn(x)χBn(y)dα(x) 85 = ∑nχBn(y) ´ χAn(x)dα(x) =∑nχBn(y)α(An) ´ dβ
⇒ α(A)β(y) =´∑nχBn(y)α(An) =
∑nα(An)β(Bn).
2. Sean]m
j=1Aj×Bjy]nk=1Ek×Fkdos representaciones de M y veamos que
coinciden por τ: Aj×Bj = ]nk=1 Ek∩Aj× Fk∩Bj (1)
⇒α Ajβ Bj=
∑n
k=1α Ek∩Ajβ Fk∩Bj⇒∑0jα Ajβ Bj=∑0j,kα Ek∩Ajβ Fk∩Bj,
que es igual a∑0kα(Ek)β(Fk)por simetría, luego coinciden (ie, τ está bien
definida y podemos denotar ambas sumas unificadamente por τ(M)). Además, τ(∅) =0 (ie, τ elemental) y τ(A×B) =α(A)β(B).
3. M ∈ E ⇒ M = ]Nn=1Rm y Mn ∈ E ⇒ Mn = ]Nj=1n Rn,j,∀n, con Ri ∈ R, luego Rm = Rm∩M =H Rm∩ ]n,jRn,j = ]n,j Rn,j∩Rm (1) ⇒ τ(Rm) = ∑n,jτ Rn,j∩Rm ⇒ τ(M) (2) = ∑0mτ(Rm) (1) = ∑0m∑n,jτ Rn,j∩Rm = ∑n,j∑0mτ Rn,j∩Rm=∑n∑0jτ Rn,j=∑nτ(Mn). TEOREMA100. (Construcción de la medida producto por Carathéodory) Para la me- dida exterior τ∗asociada a la función elemental τ, todo elemento deA ⊗ Bes τ∗-medible y, además, τ∗prolonga τ. Si α y β son σ-finitas, la restricción de τ∗aA ⊗ Bla denotaremos por α×β y es la única medida sobreA ⊗ Btq(α×β) (A×B) =α(A)β(B).
NOTA. (Reescritura) Sean(X,A, α)y(Y,B, β)dos espacios de medida. Sea τ∗ la medida exterior asociada a τ (con τ como en el lema). EntoncesA ⊗ B ⊂Σ(τ∗)
(ie, «A ⊗ B es τ∗-medible») y τ|E∗ = τ(ie, «τ∗ prolonga/extiende τ», de manera
que coinciden enE el dominio de definición de τ). Además, si α, β son σ-finitas, entonces(α×β) := τ|A⊗B∗ es la única medida sobreA ⊗ Btq(α×β) (A×B) = α(A)β(B).40
NOTA. (Esquema/Resumen) Por Carathéodory (cf.38) podemos extender la función elemental τ : E → [0,∞]; τ(A×B) = α(A)β(B)a su medida exterior
de un elemento deRlo es y que la intersección finita de elementos deRlo es (o, lo que es suficiente [por inducción], que la intersección de dos lo es). En efecto, R1∩R2 = (A1∩A2) × (B1∩B2) ∈ Ry
Rc1= Ac1×Y
∪ X×Bc1
∈ R.
39Ejugara un papel técnico más adelante. 40Notar que si α y β son σ-finitos, α×βtambién.
2.4. MEDIDA PRODUCTO Y TONELLI-FUBINI 66
asociada τ∗ :P (X×Y) → [0,∞]; τ∗(E) =´ınf{Mn∈E ;∪nMn⊃E}∑nτ(Mn), que po-
demos restringir aeτ:=τ
∗ |Σ(τ∗).41
DEMOSTRACIÓN. Vayamos por partes:
1. τ∗prolonga τ, ie, τ∗(M) =τ(M),∀M∈ E:
[≤](Trivial) Recubriendo M por M, como M ∈ E, nos queda τ∗(M) ≤
τ(M)por definición de τ∗(pues es el ínfimo de blablabla).42
[≥] Sea M ∈ E y {Mn}n ⊂ E;∪nMn ⊃ M. Sea ahora M∗n := M∩
Mnr
∪n−1j=1Mj
∈ E, de manera que M = ]nMn∗. Además, M∗n ⊂
Mn ⇒ Mn = M∗n] (Mnr M∗n) ↑. Por lo tanto, τ(M) lem3
= ∑nτ(Mn∗) ≤
∑nτ(Mn)(no es por monotonía sino porque crece?! SOS). Tomando ahora
ínfimos, nos queda: τ(M) ≤τ∗(M).
2. A ⊗ B:=Σ(E ) ⊂Σ(τ∗)o, lo que es suficiente,E ⊂Σ(τ∗):43
Fijemos M∈ E. Entonces,∀E⊂X×Y, se tiene:
Caso 1. τ∗(E) =∞⇒τ∗(E) ≥τ∗(E∩M) +τ∗(E∩Mc)trivialmente,
luego M∈Σ(τ∗).
Caso 2. τ∗(E) <∞⇒ ∃ {Mn}n⊂ E;(∪nMn ⊃E) ∧ (∀e>0, τ∗(E) +e≥∑nτ(Mn))
por definición de τ∗(que involucra la def. de ínfimo), con∑nτ(Mn)lema= 44
∑n[τ(Mn∩M) +τ(Mn∩Mc)]τ≥=045∑nτ(Mn∩M) +∑nτ(Mn∩Mc)
∪nMn⊃E
≥
lema
τ∗(E∩M) +τ∗(E∩Mc)SOS ultima desigualdad. Así, hacien-
do tender e→0, hemos terminado.
3. Unicidad: sea γ una segunda medida sobreA ⊗ Btq γ(A×B) =α(A)β(B)
y γ|E =τ.46Sea M∈ A ⊗B⊂Σ(τ∗). Qv: γ(M) =τ(M).
[≤] Sea {Mn}n ⊂ E; M ⊂ ∪nMn. Entonces: γ(M) ≤ ∑nγ(Mn)
γ|E=τ
= ∑nτ(Mn). Tomando ahora ínfimos, nos queda: γ(M) ≤τ∗(M) =τ(M).47
[≥](Por casos) Caso 1. τ(M) <∞.
(Preliminar) Si E= ∪nEncon En∈ E, entonces γ(E)26=l´ımNγ ∪n=1N En
γ|E=τ
=
E alg.
l´ımNτ ∪Nn=1En=26τ(E).48
τ(M) <∞⇒ ∃ {En}n⊂ E;(E := ∪nEn ⊃M) ∧ ∀e>0, τ∗(M) + e ≥ ∑nτ(En) lema= τ(E) por definición de τ∗ (que involucra
41Denotaremos también por τ a τ∗
|Σ(τ∗)(pues es una extensión natural de τ). Así, cuando estemos
pensando a τ como τ|∗Σ(τ∗)diremos que es una medida, mientras que cuando la pensemos como τ ∗ |E, diremos que es una función elemental.
42El sumatorio de la derecha se reduce a τ(M)pues estamos recubriendo M por un solo elemento, M, deE.
43Recordamos que M∈Σ(τ∗) ⇔τ∗(E) ≥τ∗(E∩M) +τ∗(E∩Mc), cf.39. 44Mn= (Mn∩M) ] (Mn∩Mc) ∈ E, pues Mn, M∈ Eálgebra.
45La condición τ≥0 es necesaria para evitar indeterminaciones del tipo∞−∞. 46Se sobreentiende que aquí estamos pensando τ como la media τ∗
|Σ(τ∗)pues la estamos comparan-
do con otra medida, γ.
47τ∗(M) = τ(M)porque, recordamos/insistimos, estamos pensando τ como la media τ∗ |Σ(τ∗), y
M∈ A ⊗B⊂Σ(τ∗).
2.4. MEDIDA PRODUCTO Y TONELLI-FUBINI 67
la def. de ínfimo).49 Así, γ(E r M)
[≤]
≤ τ(E r M) = τ(E) − τ(M) ≤ e ⇒ τ(M)
M⊂E
≤ τ(E) Preliminar= γ(E) 26= γ(M) + γ(E r M) ≤γ(M) +e. Haciendo e→0, hemos terminado.
Caso 2. τ(M) = ∞. Como τ es σ-finita, tenemos que M = ]nMn con
τ(Mn) <∞,50luego τ(M) =∑nτ(Mn) =∑nγ(Mn) =γ(M).
DEFINICIÓN101. Llamaremos medida producto de α y β a la51medida α×β
sobreA ⊗ B.
NOTA. Visto para dos, visto para n<∞.
Idea. Construido el espacio producto, ya estamos en condiciones de probar los teoremas de T-F. Para ello, no veremos directamente que´[´ f(x, y)dα(x)]dβ(y) = ´
[´ f(x, y)dβ(y)]dα(x), sino que ambas integrales son iguales a´ f(x, y)d(α×β).52
NOTACIÓN102. Dado x∈ X, y∈Y y E⊂X×Y, se define:
Sección vertical (de x): Ex:={y∈Y;(x, y) ∈E}
Sección horizontal (de y): Ey:={x∈X;(x, y) ∈E}
NOTA. Veremos las demostraciones sólo para Ex(el otro caso es análogo).
OBSERVACIÓN. f =χE(x, y) ⇒ f(x,·) =χEx(y).
53
LEMA103. Se cumple:
1. Si f es α×β-medible sobre X×Y y x∈X, entonces f(x,·)es β-medible.
2. ∀E∈ A ⊗ B, sea βE: X→ [0,∞]; βE(x):=β(Ex). Entonces βEes α-medible
y´ βE(x)dα(x) = (α×β) (E).
OBSERVACIÓN. Esta última igualdad nos da el teorema de Tonelli para fun-
ciones características. En efecto,
1. ´ βE(x)dα(x) = (α×β) (E):=´Ed(α×β):=´X×YχE(x, y)d(α×β) (x, y).
2. ´ βE(x)dα(x):= ´ β(Ex)dα(x):= ´ [´χEx(y)dβ(y)]dα(x):= ´ X ´ YχE(x, y)dβ(y) dα(x) DEMOSTRACIÓN. En efecto, 1. Dado x∈X, seaF = {E∈ A ⊗ B; Ex∈ B} ⊂ A ⊗ B. a) F = A ⊗ B.54 1) R ⊂ F, pues A×B∈ R ⇒ (A×B)x:={y∈Y;(x, y) ∈A×B} = ( B, x∈ A ∅, x /∈ A ⇒ (A×B)x∈ B
2) F es una σ-álgebra, pues(∪En)x= ∪ (En)xy(Ec)x= (Ex)c.
3) En resumen,R ⊂ F ⊂ A ⊗ B := Σ(R), conF σ-álgebra, luego
comoΣ(R)es la mínima σ-álgebra conteniendoR, necesariamen- te tiene que coincidir conF.
49Ídem que en 2.2 cambiando E por M, ya que, reitero: τ=τ|∗Σ(
τ∗). Recordamos también τ ∗=∞ ssi no existían tales recubrimientos, de ahí la distinción de casos.
50Stricto sensu, la σ-finitud nos dice que X×Y= ∪n(An×Bn), con τ(An×Bn) <∞.
51Nosotros supondremos siempre que(X,A, α),(Y,B, β)son espacios de medida σ-finitos, de ahí la unicidad y, por ende, el «la».
52En realidad veremos sólo que´[´f(x, y)dβ(y)]dα(x) = ´ f(x, y)d(α×β). El otro caso es
análogo.
53Notación alternativa quizá más clara: f(x,·) =fx(y), ie, fijamos x y hacemos variar y.
54Idea: Sabemos que f−1boreliano2∈ A ⊗ B, luego siF = A ⊗ B, entonces todos losA ⊗ B-
2.4. MEDIDA PRODUCTO Y TONELLI-FUBINI 68
b) Notemos que fx−1(G):={y∈Y; f(x, y) ∈G} =y;(x, y) ∈ f−1(G)
=: f−1(G)
x. Así, si f es α×β-medible y G es medible, se tiene: f−1(G) ∈
A ⊗ B(a)⇒ f−1(G)x ∈ B ⇒ fxes β-medible.
2. SeaG = {E∈ A ⊗ B; βE∈α,´ βEdα= (α×β) (E)}y veamos que G =
A ⊗ B.55
a) R ⊂ G, pues ya vimos en 1.a.1 que β((A×B)x) = β(B)χA(x),
que es α-medible en tanto que A ∈ A, de manera que´ βA×Bdα =
β(A)´ χAdα=β(A)α(A) =:(α×β) (A×B).
b) E ⊂ G: Sea E ∈ E ⇒ ∃ {Rn}n ⊂ R; E = ]n=1N Rn ⇒ βE(x) =
β(Ex) = β ]Nn=1Rnx = β ]n=1N (Rn)x = ∑Nn=1β((Rn)x), que es
α-medible por (a), de manera que´ βEdα = ∑Nn=1
´ β((Rn)x)dα (a) = ∑N n=1(α×β) (Rn) = (α×β) (E). c) Ges clase monótona.
1) (Creciente) Sea{En}n ⊂ G; En↑E y veamos que E∈ G.
En ↑E⇒ (En)x ↑Ex⇒βE(x):=β(Ex)26=l´ımnβ((En)x), que es
α-medible por (b) y32, luego´ βEdα TCM= l´ımn
´
β((En)x)dα (b)
= l´ımn(α×β) (En)= (26 α×β) (E).
2) (Decreciente) Ídem que antes con la siguiente salvedad: como α, β son σ-finitos, entonces X×Y= ∪mRmcon(α×β) (Rm) <∞. Sea
ahora En,m :=En∩Rm ∈ G ⇒En,m↓n E∩Rm, con(α×β) (En,m) ≤
(α×β) (Rm) <∞. Entonces26-4 y TCM↓aplican y llegamos, por
analogía con el anterior, a E∩Rm∈ G
d) En resumen, E ⊂ G ⊂ A ⊗ B, con G clase monótona. Así, comoG es una clase monótona conteniendoE, necesariamente contendrá a la mínima clase monótona conteniendoE,M (E )=6 Σ(E ). En definitiva, Σ(E ) ⊂ G ⊂ A ⊗ B:=Σ(E ) ⇒ G = A ⊗ B.
TEOREMA104. Sean(X,A, α),(Y,B, β)espacios de medida σ-finitos. Se cumple:
1. (Tonelli) 0´ ≤ f ∈α×β⇒´ fx(y)dβ(y) ∈α y´[´ f(x, y)dβ(y)]dα(x) =
f(x, y)d(α×β) (x, y)
2. (Fubini) Si f ∈α×β y f ∈L1α×β, entonces fx∈ L1βα-a.e. y g(x) =´ f(x, y)dβ(y) ∈
L1αy´[´ f(x, y)dβ(y)]dα(x) =´ f(x, y)d(α×β) (x, y).
NOTACIÓN. Algunos autores escriben´ ´ f (x, y)d(α×β) (x, y)en lugar de
´
f(x, y)d(α×β) (x, y), pero esto es confuso e incorrecto, pues no estamos inte-
grando dos veces, sino una sobre la medida producto.
DEMOSTRACIÓN. En efecto,
1. Si f = χEes el lema anterior. Por linealidad se cumple para toda función
simple. Aplicando el TCM tres veces (para α, β, α×β), se extiende a toda
función medible.
2. Aplicando Tonelli a f+y f−, que son integrables por hipótesis.56
55Notación personal: diremos que una función pertenece a una medida, f ∈α, ssi es medible res-
pecto a esa medida.
56Más explícitamente,´f±d(α×β) = ´[´ f±dβ]dα, donde las tres integrales son finitas (en el caso de´ f±dβ, a.e.). Así, como f∈L1
α×β, se tiene: ´
[´f±dβ]dα<∞⇒´ f±dβ<∞ a.e.⇒´ f dβ∈
2.5. EJERCICIOS 69
COROLARIO. (α×β) (E) =0⇒β(Ex) =0 a.e.
DEMOSTRACIÓN. 0= (α×β) (E) =´ β(Ex)dα(x)
EJEMPLO. Las rectas tienen medida cero enR2y, en particular, un segmento
vertical en el punto x tiene medida cero. No obstante, en la sección x su medida vale la medida del segmento/intervalo.
OBSERVACIÓN 105. El teorema de Tonelli (y, análogamente, el de Fubini) no
es cierto en general si una de las dos medidas no es σ-finita.
DEMOSTRACIÓN. (Por contraejemplo) Sea X = [0, 1] con α = m la medida
de Lebesgue y Y = [0, 1]con β = νla medida de contar, que no es σ-finita pues
[0, 1]no es numerable. Sea también la diagonal∆={(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]; x=y}, que es α×β-medible, y consideremos Ij,n = (j−1n ,nj], con j∈ {1, . . . , n}. Entonces
∆= ∩n≥1∪n j=1Ij,n∈ A ⊗ B. Sin embargo, ´1 0 χ∆(x, y)dx=0⇒ ´1 0 h´1 0 χ∆(x, y)dx i dν(y) =0 ´1 0 χ∆(x, y)dν(y) =∑y∈[0,1]χ∆(x, y)dα(x) =1⇒ ´1 0 h´1 0 χ∆(x, y)dν(y) i dx= ∞ 2.5. Ejercicios