Calibrated camera pose

Ejemplo 2.1.

(1) Hallar la soluci´on general de

y00+y0−2y= 0.

El polinomio caracter´ıstico es λ2_{+λ−2 y sus ra´ıces son 1 y−2, por lo tanto la}

soluci´on general es

y =C1ex+C2e−2x.

(2) Hallar la soluci´on general de

y00_{+ 2y}0 _{+ 5y= 0.}

El polinomio caracter´ıstico es λ2_{+ 2λ+ 5 y sus ra´ıces son}

−2±√4−20

2 =

−2±4i

2 =−1±2i, por lo tanto la soluci´on general es

y= (C1 sen(2x) +C2 cos(2x) )e−x.

(3) Hallar la soluci´on general de

y00_−4y0_{+ 4y= 0.}

El polinomio caracter´ıstico es λ2_{−4λ−4 = (λ−2)}2 _{y tiene una ra´ız doble en}

λ = 2, por lo tanto la soluci´on general es

y = (C1+C2x)e2x.

2. Soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea.

En esta secci´on vamos a estudiar c´omo resolver la ecuaci´on (2.1) para algunos casos particulares de f, m´as precisamente, vamos a considerar la ecuaci´on

(2.3) a y00_{+b y}0_{+c y=f(x),}

en los casos en que f(x) = k1senx+k2cosx´o f(x) = P(x)eαx, dondeP es un polinomio.

Observaci´on 2.2. Siy1 ey2 son soluciones de la ecuaci´on no homog´enea (2.3) entonces

y1−y2es soluci´on de la ecuaci´on homog´eneaa y00+b y0+c y = 0, por esto tenemos el siguiente

resultado: La soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea es igual a la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea m´as una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea.

Por la observaci´on anterior, para hallar la soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea (2.3) basta hallar una soluci´on particular de la no homog´enea; despu´es a esta soluci´on parti- cular le sumamos la soluci´on general de la homog´enea, que aprendimos a hallar en la secci´on previa.

Vamos a estudiar caso por caso.

Caso 1: f(x) =Pn(x)eαx, dondePn es un polinomio de grado n. Es necesario considerar tres subcasos.

(i) α no es ra´ız de la ecuaci´on aλ2_{+bλ+c= 0.}

Se debe buscar una soluci´on particular de la forma

y=Qn(x)eαx, dondeQn es un polinomio de gradon.

(ii) α es ra´ız simple de la ecuaci´on aλ2 _{+bλ+c = 0. Se debe buscar una soluci´on}

particular de la forma

y=x Qn(x)eαx, dondeQn es un polinomio de gradon.

(iii) αra´ız doble de la ecuaci´onaλ2_{+bλ+c= 0. Se debe buscar una soluci´on particular}

de la forma

y=x2_Q

n(x)eαx, dondeQn es un polinomio de gradon.

Caso 2: f(x) =k1sen(βx) +k2cos(βx), donde k1, k2 y β son constantes.

Es necesario considerar dos subcasos.

(i) β i no es ra´ız de la ecuaci´on aλ2_{+bλ+c= 0.}

Se debe buscar una soluci´on particular de la forma

y=Asen(βx) +Bcos(βx),

dondeA y B son constantes.

(ii) β i es ra´ız de la ecuaci´onaλ2_{+bλ+c= 0.}

Se debe buscar una soluci´on particular de la forma

y=x(Asen(βx) +Bcos(βx) ),

2. SOLUCI ´ON GENERAL DE LA ECUACI ´ON NO HOMOG´ENEA. 39

Observaci´on 2.3. En el Caso 1 est´an contenidos el caso en que f(x) es un polinomio (tomarα = 0) y el caso en que f(x) =ax _{(tomar P}

n(x)≡1, α= lna).

Observaci´on 2.4. Para hallar una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial

a y00_{+b y}0_{+c y =f}

1(x) +f2(x)

basta sumar una soluci´on particular de la ecuaci´ona y00_{+b y}0_{+c y =f}

1(x) con una soluci´on

particular dea y00_{+b y}0_{+c y =f}

2(x). Esta propiedad se conoce con el nombre deprincipio

de superposici´on.

Ejemplo 2.5.

(1) Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on

y00+ 4y0+ 3y =x.

El polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on esλ2_{+ 4λ+ 3 y tiene ra´ıces−1 y −3,}

por lo tanto la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea es C1e−x+C2e−3x.

Debemos buscar una soluci´on particular de la forma

y=A x+B.

En este caso y0 _{=A, y}00 _{= 0, sustituyendo en la ecuaci´on}

4A+ 3(Ax+B) = x,

de donde

3Ax+ 4A+ 3B =x,

igualando los coeficientes y resolviendo el sistema lineal correspondiente, obtenemos

A= 1

3, B =−

4 9, por lo tanto la soluci´on general es

y=C1e−x+C2e−3x+1

3x− 4 9. (2) Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on

y00+ 9y =xe3x.

El polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on es λ2_{+ 9 y tiene ra´ıces 3i y −3i, por}

Debemos buscar una soluci´on particular de la forma y= (A x+B)e3x. Tenemos que y0 _{=A e}3x_{+ (A x+B) 3e}3x _{= (3Ax+A+ 3B)e}3x_, y00_{= 3A e}3x_{+ (3Ax+A+ 3B) 3e}3x _{= (9Ax+ 6A+ 9B)e}3x_, de donde, y00_{+ 9y= (9Ax+ 6A+ 9B + 9Ax+ 9B)e}3x = (18Ax+ 6A+ 18B)e3x_,

por lo tanto, debe cumplirse la igualdad

(18Ax+ 6A+ 18B)e3x _{=x e}3x_, o, lo que es lo mismo

18Ax+ 6A+ 18B =x.

Igualando los coeficientes y resolviendo el sistema lineal correspondiente, obtenemos

A= 1

18, B =−

1 54, por lo tanto la soluci´on general es

y=C1 sen(3x) +C2 cos(3x) + µ 1 18x− 1 54 ¶ e3x.

(3) Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on

y00_{+ 2y}0_{+ 5y= 2 cosx.}

El polinomio caracter´ıstico es λ2_{+ 2λ+ 5 y sus ra´ıces son}

−2±√4−20

2 =

−2±4i

2 =−1±2i,

por lo tanto la soluci´on general de la homog´enea esy = (C1 sen(2x)+C2 cos(2x) )e−x.

Debemos buscar una soluci´on particular de la forma

y =A cosx+Bsenx.

Derivando y sustituyendo en la ecuaci´on obtenemos

A= 2

5, B =

1 5,

3. APLICACIONES 41

por lo tanto la soluci´on general es

y= (C1 sen(2x) +C2 cos(2x) )e−x+ 2 5 cosx+ 1 5senx. 3. Aplicaciones 3.1. Ca´ıda libre en el vac´ıo.

Supongamos que dejamos caer un cuerpo desde cierta altura h, con velocidad inicial 0. Sea m es la masa del cuerpo, g la aceleraci´on de gravedad y x(t) la altura del cuerpo en el instante t. Si despreciamos la resistencia del aire, entoncesx satisface la ecuaci´on

md2x

dt2 =−mg,

con condici´on inicial x(0) =h, dx

dt (0) = 0.

La soluci´on de la ecuaci´on anterior (verificarlo como ejercicio) es

x(t) = h−g 2t

2_.

Se observa que la velocidad del cuerpo es igual a

dx

dt =−g t,

por lo tanto el valor absoluto de la velocidad se mantiene increment´andose de manera lineal, hasta que el cuerpo llega al suelo.

3.2. Ca´ıda libre en un medio resistente.

Nuevamente supongamos que dejamos caer un cuerpo desde cierta alturah, con velocidad inicial 0. Seames la masa del cuerpo,g la aceleraci´on de gravedad yx(t) la altura del cuerpo en el instante t. En muchos casos la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo, por lo tantox satisface la ecuaci´on

md

2_x

dt2 =−mg−k

dx dt,

con condici´on inicial x(0) =h, dx

dt (0) = 0.

Analicemos la ecuaci´on. Si dividimos entre m obtenemos

d2_x

dt2 +K

dx

dt =−g,

donde K = k

La soluci´on que satisface la condici´on inicial es (verificarlo como ejercicio) x(t) =h− g K2 + g K2 e −Kt₋ g K t.

Se observa que la velocidad del cuerpo, que es igual a

dx

dt =−

g K (e

−Kt_{+ 1)}

est´a acotada y tiende a estabilizarse a medida que t se incrementa..

3.3. Oscilaciones de un resorte.

Supongamos que tenemos un resorte suspendido verticalmente de un soporte fijo al que se le sujeta un cuerpo de masa m al extremo inferior. En este caso el peso P = m g de la masa estirar´a el resorte una distancia so. Esto da la posici´on de equilibrio del sistema.

No estirado so x Equilibrio Movimiento _m m Figura 2.1. Resorte

Si la masa se desplaza de su posici´on de equilibrio y despu´es se le suelta, en ciertas condiciones ideales, el desplazamiento x satisface la ecuaci´on diferencial

(2.4) m d2x

3. APLICACIONES 43

donde k es una constante positiva que depende del resorte (este hecho se conoce como ley de Hooke).

Si dividimos la ecuaci´on (2.4) entre m obtenemos

(2.5) d2x

dt2 +ω

2_{x= 0,}

donde ω2 _=k/m.

Las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de esta ecuaci´on son ω i y −ω i, por lo tanto su soluci´on general es de la forma

x(t) = C1 senωt+C2 cosωt.

Las constantes C1 y C2 se pueden calcular en funci´on de la posici´on inicial x(0) y la

velocidad inicial x0_(0).

El gr´afico de la soluci´on luce as´ı.

x

t

Figura 2.2.

El modelo anterior es un tanto irreal, ya que seg´un el mismo el resorte no se detiene jam´as, obteni´endose un movimiento peri´odico perpetuo. Por la experiencia pr´actica sabemos que esto no puede ser.

Una forma simple de mejorar el modelo es suponer que sobre el resorte act´ua una fuerza que se opone al movimiento y que es proporcional adx/dt. En este caso debemos modificar la ecuaci´on (2.4) de la siguiente manera

(2.6) md2x

dt2 =−k x−β

dx dt.

Dividiendo entre m obtenemos (2.7) d2x dt2 + 2λ dx dt +ω 2_{x= 0,}

donde 2λ=β/my ω2 _{=k/m (se escoge 2λ para simplificar las operaciones).}

Por supuesto existen otros tipos de modelo, en los que se supone que la resistencia proporcional al cuadrado de dx/dt y que nos lleva a ecuaciones m´as complicadas.

Las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on (2.7) son

α1 =−λ+ √ λ2_−ω2 _α 2 =−λ− √ λ2_−ω2_.

Dependiendo del signo de λ2_−ω2 _{podemos distinguir tres casos.}

Caso 1: λ2_−ω2 _{>0. En este caso la soluci´on tiene la forma}

x(t) = e−λt_(C 1e √ λ2_−ω2_t +C2e− √ λ2_−ω2_t ).

En este caso se produce un movimiento suave no oscilatorio y se dice que el sistema est´a

sobreamortiguado.

Caso 2: λ2_−ω2 _{= 0. En este caso la soluci´on tiene la forma}

x(t) =e−λt(C1+C2t).

En este caso se produce un movimiento similar al del caso sobreamortiguado y se dice que el sistema est´a cr´ıticamente amortiguado.

Caso 3: λ2_−ω2 _{<0. En este caso la soluci´on tiene la forma}

x(t) = e−λt_(C 1 cos √ λ2_−ω2_t+C 2 sen √ λ2_−ω2_t).

En este caso se produce un movimiento oscilatorio, cuyas amplitudes de oscilaci´on tienden a 0 cuando t tiende a ∞. En esta caso se dice que el sistema est´a subamortiguado.

Las constantes C1 y C2 se pueden calcular en funci´on de las condiciones iniciales del

3. APLICACIONES 45

Las siguientes tres gr´aficas corresponden con los casos 1, 2 y 3 respectivamente

x t _t x t x Figura 2.3.

Ejercicios.

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes.

(1) Hallar la soluci´on general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a) y00_=y. (b) y00_{−4y= 0.} (c) y00_{+ 4y= 0.} (d) 4y00_{+y= 0.} (e) y00_−y0 _{= 0.} (f) y00_+y0 _{= 0.} (g) y00_{+ 3y}0_{−10y= 0.} (h) 2y00_−7y0_{+ 3y = 0.} (i) y00_{+ 6y}0_{+ 9y= 0.} (j) y00_−6y0_{+ 13y = 0.} (k) 4y00_−12y0_{+ 9y= 0.} (l) y00_{+ 8y}0_{+ 25y= 0.} (m) 3y00_{+ 2y}0 _{+y= 0.} (n) 2y00_{+ 2y}0 _{+y= 0.}

(2) Para cada una de las siguientes funciones, encontrar una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, tal que la funci´on dada es soluci´on de la ecuaci´on.

(a) f(x) = 3e2x_.

(b) f(x) = cosx+ 3 senx.

(c) f(x) =C1ex+C2x ex.

(d) f(x) = 3e2x_{+ 5e}−x_.

(3) Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, hallar la soluci´on que sa- tisface la condici´on inicial dada.

EJERCICIOS. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 47

(b) 9y00_{+ 6y}0 _{+ 4y= 0; y(0) = 3, y}0_{(0) = 7.}

(c) y00_−4y0_{+ 3y = 0; y(0) = 7, y}0_{(0) = 11.}

(d) y00_−6y0_{+ 25y= 0; y(0) = 3, y}0_{(0) = 1.}

(4) Hallar la soluci´on general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a) y00 _=y+ex_. (b) y00_−4y=ex_+e2x_{+ sen 2x.} (c) y00_{+ 4y =x}3_{+ 5.} (d) 4y00_{+y = coshx.} (e) y00_−y0 _=x2_ex_. (f) y00_{+ 16y=e}3x_. (g) y00_−y0_{−2y= 3x+ 4.} (h) y00_−y0_{−6y= 2 sen 3x+ cos 5x.} (i) 4y00_{+ 4y}0_+y=xe3x_. (j) y00_+y0_{+y = sen}2_x. (k) 2y00_{+ 4y}0_{+ 7y=x}2_. (l) y00_{−4y = cosh 2x.}

(5) Resuelva e interprete (en t´erminos del movimiento de un resorte) el problema a valor inicial d2_x dt2 + 16x= 0 x(0) = 10 dx dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 = 0.

CAP´ITULO 3

In document Semidefinite Programming for Geometric Problems in Computer Vision (Page 72-77)