The case sampling process

Una lente está compuesta por un material óptico denso, normalmente cristal, con un índice de refracción de aproximadamente 1,5, en el cual la velocidad de propagación

de una alteración óptica es menor que la velocidad de la misma en el aire. Se dice que una lente es fina si un rayo penetra en la coordenada (x, y) por una cara y sale por la cara opuesta con las mismas coordenadas, por ejemplo, si hay un transporte insignificante del rayo en el interior de la lente. Así, una lente fina simplemente retrasa el frente de onda incidente una cantidad proporcional al grosor de la lente en dicho punto.

En referencia a la Ilustración 19, siendo el grosor máximo de la lente (en su eje)

∆., y

Estando el grosor en coordenadas (x, y) ∆ 𝑥, 𝑦 . Entonces el retardo de fase total sufrido por la onda en coordenadas (x, y) en atravesar la lente puede ser escrito como:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑛∆ 𝑥, 𝑦 + 𝑘 ∆_.− ∆ 𝑥, 𝑦 . (54)

Ilustración 19: Ejemplo de lente donde se aprecia el retardo de fase.

donde 𝑛 es el índice de refracción del material de la lente, 𝑘𝑛∆ 𝑥, 𝑦 es el retardo de fase introducido por la lente, y 𝑘 ∆_.− ∆ 𝑥, 𝑦 es el retardo de fase introducido por la correspondiente región de espacio libre entra los dos planos. De forma equivalente, la lente puede ser representada por una forma exponencial.

𝑡_´ 𝑥, 𝑦 = exp 𝑗𝑘∆_. exp 𝑗𝑘 𝑛 − 1 ∆ 𝑥, 𝑦 (55)

El campo complejo 𝑈¡_´(𝑥, 𝑦) a través de un plano inmediatamente detrás de la lente es por lo tanto relacionado con el campo complejo 𝑈_´(𝑥, 𝑦) incidente en un plano inmediatamente delante de la lente por:

𝑈¡

´ 𝑥, 𝑦 = 𝑡´ 𝑥, 𝑦 𝑈´ 𝑥, 𝑦 (56)

El problema consiste en encontrar la forma matemática de la función de grosor

∆ 𝑥, 𝑦 para que los efectos de las lentes puedan ser entendidos. (25)

La función de grosor.

Para concretar las formas de un transformador de fase introducido por una variedad de diferentes tipos de lentes, primero debemos tener en cuenta lo siguiente: si un rayo viaja de izquierda a derecha, cada superficie convexa encontrada se toma como si tuviese un radio de curvatura positivo. Así en la Ilustración 19) el radio de curvatura de la superficie que encontramos si penetramos por la izquierda, es un número positivo

𝑅₄, mientras que el radio de curvatura de la superficie de la derecha será un número negativo 𝑅₍.

Para hallar el grosor ∆ 𝑥, 𝑦 , dividimos la lente en tres partes, como vemos en la Ilustración 20, y escribimos la función de grosor total como la suma de las 3 funciones de grosor individuales,

∆ 𝑥, 𝑦 = ∆₄ 𝑥, 𝑦 +∆₍ 𝑥, 𝑦 + ∆_' 𝑥, 𝑦 (57)

debido a la geometría presentada en la Ilustración 19 la función grosor ∆₄ 𝑥, 𝑦 viene dada por:

∆₄ 𝑥, 𝑦 = ∆_.4− 𝑅₄− 𝑅₄( _{− 𝑥}(_{− 𝑦}(

= ∆_.4− 𝑅₄ 1 − 1(−kv7lv

²½v (58)

Ilustración 20: Descomposición de la lente para hallar la función grosor total.

La segunda componente de la función de grosor viene de la región de cristal de grosor constante ∆_.(. La tercera componente viene dada por:

∆_' 𝑥, 𝑦 = ∆_.'− −𝑅₍− 𝑅₍(_{− 𝑥}(_{− 𝑦}(

= ∆_.4+ 𝑅₍ 1 − 1(₋kv7lv

²_vv (59)

(c)

donde hemos factorizado el numero -𝑅( fuera de la raíz cuadrada. Combinando las tres

expresiones de grosor, el grosor total es:

∆ 𝑥, 𝑦 = ∆.− 𝑅4 1 − 1 −k

v_7lv

²½v + 𝑅( 1 − 1 −

kv_7lv

donde ∆_.= ∆_.4+ ∆_.(+ ∆_.'.

La Aproximación Paraxial.

La expresión de la función de grosor puede simplificarse sustancialmente si la atención está restringida a porciones del frente de onda que se encuentran cerca del eje de la lente, o lo que es equivalente, si sólo consideramos los rayos paraxiales. Por lo tanto, consideramos sólo valores de x e y suficientemente pequeños para permitir que las siguientes aproximaciones sean precisas:

1 −𝑥(− 𝑦( 𝑅₄( ≈ 1 − 𝑥(_{− 𝑦}( 𝑅₄( , 1 −kv_²7lv vv ≈ 1 − kv7lv ²_vv (61)

La transformación de fase resultante, por supuesto, representará la lente con precisión en un área limitada, pero esta limitación no es más restrictiva que la habitual aproximación paraxial de la óptica geométrica. obsérvese que esta relación permite aproximaciones de las superficies esféricas de la lente por superficies parabólicas. Con la ayuda de estas aproximaciones, la función grosor resulta:

∆ 𝑥, 𝑦 = ∆_.− kv7lv ( 4 ²½− 4 ²v (62)

La transformación de fase y su significado físico.

Si sustituimos la ecuación (8) en la (1) se produce la siguiente aproximación del transformador de fase:

𝑡_´ 𝑥, 𝑦 = exp 𝑗𝑘𝑛∆_. exp −𝑗𝑘 𝑛 − 1 kv7l₍ v _²4 ½−

4

Las propiedades físicas de la lente (que son n, 𝑅₄ 𝑦 𝑅₍) pueden ser combinados en un único número llamado longitud focal, definido por:

4 Ù= 𝑛 − 1 4 ²½− 4 ²v (64)

Despreciando el factor constante de fase, que eliminaremos próximamente, la transformación de fase puede ser re-escrita como:

𝑡_´ 𝑥, 𝑦 = exp −𝑗_(ÙM (𝑥(_{+ 𝑦}(_{) (65)}

Esta ecuación servirá cómo la representación general de los efectos de una alteración incidente en una lente fina. Esto desprecia la extensión finita de la lente, la cual, tendremos en cuenta después.

Obsérvese que mientras nuestra aproximación de esta expresión supone la forma de lente mostrada en la Ilustración 19, El acuerdo de signos tomado permite que el resultado pueda ser aplicado a otro tipo de lentes. La Ilustración 21 muestra varios tipos diferentes de lentes con varias combinaciones de superficies cóncavas y convexas.

El significado físico de las lentes de transformación de fase puede ser entendido considerando el efecto de la lente con una incidencia normal, onda plana de amplitud unitaria. La distribución de campo 𝑈_´ en frente de la lente es unitaria y las ecuaciones (54) y (64) dan como resultado la expresión de 𝑈_´’ detrás de la lente:

𝑈′_´ 𝑥, 𝑦 = exp −𝑗_(ÙM (𝑥(_{+ 𝑦}(_{) (66)}

Podemos interpretar esta expresión como una aproximación cuadrática de una onda esférica. Si la longitud focal es positiva, entonces la onda esférica converge a través de un punto en el eje de la lente a una distancia f tras la lente. Si es negativo, entonces, la onda esférica diverge del punto del eje de la lente a una distancia f delante de la lente. Los dos casos son mostrados en la Ilustración 22. Así una lente con una longitud focal positiva es llamada lente positiva o convergente, mientras que si tiene una distancia focal negativa es llamada lente negativa o divergente. (25)