Case Study 2 – Mary and Peter

Figura B.3: Diagrama de Penrose de la secci´onθ= 0 para la regi´onr < r+.

La m´etrica resulta regular en el horizonte de eventos,r+, sin embargo se podr´a extender el dominio de las

coordenadas ˆuy ˆva todo el plano real. El resultado de este procedimiento es el diagrama que se muestra en laFigura B.2.

Para estudiar la regi´on −∞ < r < r+ introducimos coordenadas definidas de forma similar a las ˆu y

ˆ

v que la cubren completamente y se solapan con las definidas anteriormente en la regi´on KII. Siguiendo un razonamiento completamente similar al que presentamos anteriormente, puede construirse un diagrama como el presentado en laFigura B.3. Al unir los diagramas en la regi´on donde se produce el solapamiento, se obtiene el diagrama de Penrose paraθ = 0. Este espaciotiempo puede, notando que las regiones KIII y KIII′ son equivalentes, ser extendido anal´ıticamente. Realizando este proceso (¡infinitas veces!) se obtendr´a el diagrama de Penrose de la extensi´on anal´ıtica m´axima del espaciotiempo de Kerr (paraθ= 0).

Presentamos el resultado en la Figura B.4 donde puede observarse como se repite, infinitas veces, la estructura de bloques KI, KII y KIII.

Un proceso an´alogo lleva a la construcci´on del diagrama para el casoθ=π/2, que posee caracter´ısticas similares al que presentamos anteriormente.

B.2.

Casos extremo y s´uper extremo

En este caso la superficie r=M corresponde a un horizonte de Killing degenerado (notar que cuando a=M la funci´on ∆ posee una ra´ız doble enr=M). En este caso, el diagrama de Penrose puede obtenerse utilizando un procedimiento como el que presentamos para el caso subextremo. En el mismo la regi´on KII no estar´a presente.

Presentamos el diagrama de Penrose para este caso en laFigura B.5.

En el caso s´uper extremo, en el que a > M, el espaciotiempo se encuentra extendido en forma maximal por lo que ning´un tipo de procedimiento de extensi´on debe realizarse.

En particular presentamos el diagrama asociado a las subvariedad dada porθ=π/2 en laFigura B.6 y el asociado aθ= 0, π en laFigura B.7.

168 AP ´ENDICE B. DIAGRAMA DE PENROSE DEL ESPACIOTIEMPO DE KERR

B.2. CASOS EXTREMO Y S ´UPER EXTREMO 169

170 AP ´ENDICE B. DIAGRAMA DE PENROSE DEL ESPACIOTIEMPO DE KERR

Figura B.6: Diagrama de Penrose del espaciotiempo de Kerr s´uper extremo paraθ=π/2.

Ap´endice C

La ecuaci´on de Raychaudhuri

C.1.

Congruencias de geod´esicas y condiciones de energ´ıa

Una congruencia de geod´esicas designa a un sistema completo de geod´esicas que no se intersecan entre s´ı. Para describir dichas congruencias resulta fundamental definir lascondiciones de energ´ıa, el escalar de expansi´on y los tensores de rotaci´on y cizalladura. Estas definiciones nos ser´an ´utiles para derivar laecuaci´on de Raychaudhurique define como evoluciona el escalar de expansi´on.

Adem´as de ser fundamentales a la hora de estudiar la formaci´on de singularidades, las t´ecnicas y resultados que vamos a presentar se aplican, entre otros campos, en el estudio de la estructura de horizontes de eventos de agujeros negros.

Las condiciones de energ´ıa son diferentes relaciones que satisface el tensor energ´ıa-impulso de un dado fluido. La exigencia de positividad a la densidad de energ´ıa, es una de ellas.

Presentamos un resumen de las condiciones de energ´ıa m´as utilizadas. Denotaremos conTab al tensor de

energ´ıa impulso, con ρ a la densidad de energ´ıa y conpi a las componentes de la presi´on en una tetrada

ortonormal. Adem´as,va _{ser´a un vector tipo tiempo dirigido hacia el futuro y normalizado que representar´a}

la 4-velocidad de un observador arbitrario yka _{un vector nulo arbitrario dirigido hacia el futuro. Con estas}

convenciones, las condiciones de energ´ıa m´as conocidas pueden escribirse como: Condici´ond´ebilde energ´ıa:

Se debe satisfacer: Tabvavb ≥ 0, lo que implica que ρ ≥ 0 y ρ+pi > 0. Es decir, cualquier

observador debe medir una densidad de energ´ıa no negativa. Condici´onnulade energ´ıa:

Se debe satisfacer:Tabkakb ≥0, lo que implica que ρ+pi ≥0. Puede demostrarse que cualquier

fluido que cumpla con la condici´on d´ebil de energ´ıa tambi´en cumplir´a esta condici´on. Condici´onfuertede energ´ıa:

Se debe satisfacer: (Tab−1₂T gab)vavb≥0, por lo queρ+Pipi≥0 yρ+pi >0. Es importante

notar que a partir de esta condici´on de energ´ıa no podemos obtener la condici´on d´ebil pero s´ı la nula. Condici´ondominantede energ´ıa:

−Ta

bvbest´a dirigido al futuro, de modo que se deben cumplir las condicionesρ≥0 yρ≥ |pi|. Esta

condici´on materializa la idea de que cualquier elemento de materia debe fluir a lo largo de trayectorias no espaciales. Si un fluido satisface esta condici´on tambi´en cumple con la d´ebil.

Si bien la mayor´ıa de los fluidos cl´asicos satisfacen alguna de las condiciones de energ´ıa mencionadas, esto no es cierto para campos cu´anticos como el de Casimir, en el que la densidad de energ´ıa de vac´ıo entre dos placas conductoras resulta negativo.

Introduciremos los tensores que mencionamos al inicio de este Ap´endice. A partir del vector temporal, Va, asociado a una cierta congruencia se puede definir un vector transverso a la misma:Bab =Va;b. Dicho