Case Study 1 – Sean and Alice

Case Studies

4. Case Studies 1 Introduction

4.2 Case studies (4)

4.2.1 Case Study 1 – Sean and Alice

El espectro de emisi´on

En [127] desarrollamos un código capaz de calcular los espectros de emisión térmicos de discos de acreción entorno al espaciotiempo de Kerr en presencia de un campo de inducción magnética externo vistos por un observador lejano. En dicho trabajo se hace uso de expresiones desarrolladas en el Cap´ıtulo 10 para el caso de un campo externo uniforme o dipolar. Este código permite recorrer el espacio de parámetros (a, i,M /M˙ 2_{, λ, f}

col) para estudiar los efectos que producen sobre el espectro de emisi´on cambios en cualquiera

de ellos. Con la adaptaci´on realizada al c´odigo YNOGK tenemos la capacidad de estudiar el caso_|a_|>1 sin problemas.

Para el c´alculo de (11.1), se utilizan las expresiones obtenidas con el esquema perturbativo presentado en

11.3. DISCO DE NOVIKOV-PAGE-THORNE MAGNETIZADO 141 1035 1036 1037 1038 1039 0.1 1 10 100 ν Lν [erg s -1 ] E [keV] a = 0.99, i=0 a = 0.99, i=30 a = 0.99, i=60 a = 0.99, i=80 a = 1.05, i =0 a = 1.05, i=30 a = 1.05, i=60 a = 1.05, i=80

Figura 11.5: Efecto de la inclinaci´on, i, sobre los espectros de energ´ıa. En l´ıneas de trazo continuo, espectro de energ´ıa observado para discos en un agujero negro de Kerr casi extremo (a = 0.99). En l´ıneas de rayas, resultados para una singularidad desnuda casi extrema (a= 1.05). En todos los casos consideramos, M = 14.8 M_⊙, una tasa de acreci´on de ˙M = 0.1_×1018_{g s}−1 _{(valores aceptados para Cygnus X-1) y un}

valorλ= 0.15, debido a la presencia del campo externo.

de acreción se fijó en rext = 11ruoce, utilizando el criterio presentado en [152]. Además, dado que cuando

el campo externo de inducción magnética es uniforme, la corrección de O(λ) a la posición de uoce es nula, utilizamos el valor correspondiente al caso no magnetizado. Hemos realizado algunas pruebas modificando el radio exterior y, como era de esperar, llegamos a la conclusión de que los espectros observados (sin tener en cuenta los efectos producidos por la absorción interestelar) presentan mayor luminosidad a pequeñas energ´ıas. Esto puede interpretarse del siguiente modo: al estudiar discos de tamaño más extendidos, aumenta la región de emisión alejada del objeto central que, por su baja temperatura, realiza aportes en la parte suave del espectro. Hacer un estudio sistemático de los efectos que producen estas modificaciones en el espectro observado es parte del trabajo planeado a futuro (ver elCap´ıtulo 13).

Los espectros de energ´ıa observados (sin absorci´on interestelar) fueron calculados para la siguiente muestra del espacio de par´ametros:

Parámetro de rotación de Kerr:a= 0.00,0.50,0.75,0.90,0.95,0.99,1.05,1.089,1.20,1.50,2.00,3.00, Inclinación del plano del disco respecto al del cielo:i= 0, 30, 60, 80, 90 grados,

Tasa de acreci´on: ˙M = 4.72_×1017_{g s}−1_, _4.72

×1018_{g s}−1_, _4.72

×1019_{g s}−1_,

Valores para el acoplamiento entre el campo magn´etico y la carga efectiva de un elemento de volumen del disco:λ= 0.00, 0.05, 0.10, 0.15,

Factor de color:fcol= 1.00, 1.40,1.80.

Además, se realizó una serie de cálculos puntuales con la idea de ajustar los datos observacionales de Cygnus X-1 (ver laFigura 11.9), cuya tasa de acreción es ˙MCygX−1∼0.1×1018g s−1. Cálculos similares se

142 CAP´ITULO 11. ALIMENTANDO AL MONSTRUO... 1035 1036 1037 1038 1039 0.1 1 10 100 ν Lν [erg s -1 ] E [keV] a = 0.99, λ=0.00 a = 0.99, λ=0.05 a = 0.99, λ=0.10 a = 0.99, λ=0.15 a = 1.05, λ =0.00 a = 1.05, λ=0.05 a = 1.05, λ=0.10 a = 1.05, λ=0.15

Figura 11.6: Espectro de energ´ıa observado para diferentes valores de λ. En l´ıneas de trazo continuo se presentan los resultados para discos formados en torno un agujero negro de Kerr casi extremo, (a= 0.99). Los correspondientes a una singularidad desnuda casi extrema, (a= 1.05), en l´ınea de rayas. Para realizar estos gr´aficos consideramosM = 14.8M_⊙y una tasa de acreci´on de ˙M = 0.1_×1018_{g s}−1_{, (valores aceptados}

para Cygnus X-1) y una inclinaci´oni= 60 grados. La codificaci´on de color todos los casos es la siguiente: a igual color, igual valor deλ.

Para realizar los cálculos numéricos se utilizó el compiladorgfortrancon la opción -fdefault -real -8que habilita la representación de números con 64-bits. Esta precisión fue necesaria para que en nuestros resultados no se introduzca ruido numérico.

A continuaci´on, definimos elfactor de endurecimiento espectral,fcol. Dado que suponemos que el disco se

encuentra en equilibrio termodin´amico, puede asumirse que el mismo emite como un cuerpo negro con una temperatura efectiva, Tef(r), determinada por el flujo de energ´ıa por ´el emitido. Como la temperatura en

las regiones m´as internas del disco pueden alcanzar (para agujeros negros de masas estelares) temperaturas Tef(r)∼107K, efectos no t´ermicos no pueden ser despreciados. Una forma de tener en cuenta dichos efectos

es introducir el factor de color o de endurecimiento espectral con el que se define la temperatura de color, Tcol(r) = fcolTef(r), que se utiliza en la ley de Planck (11.3) para modelar la intensidad local de energ´ıa

emitida por el disco.

Pasamos a analizar el significado del parámetroλ, de modo que nos permita comprender lo que entende- remos como régimen de acoplamiento débil. A tal fin, lo presentamos en unidades adaptadas a la f´ısica de discos de acreción formados alrededor de objetos compactos de masas estelares:

λ_∼90 _e/m 0 (e/m0)elec M M⊙ B[ G],

as´ı, para un objeto con una masaM = 15M⊙ con un disco de acreción que en su superficie posea un campo de inducción magnética uniforme cuya magnitud es B ∼107G se tiene que, si en un elemento de volumen que contenga una masa equivalente a la de_∼7_×107_{protones proponemos una carga efectiva correspondiente}

a la de un electr´on, el valor deλ_∼0.1.

Dado que el gas en las zonas m´as internas de los discos de acreci´on se encuentra a temperaturas que pueden alcanzar T _∼107_{K, el mismo se encuentra ionizado (se vuelve un plasma). Por este motivo, es de}

11.3. DISCO DE NOVIKOV-PAGE-THORNE MAGNETIZADO 143 inducción magnética externo. Sin una gran cantidad de plasma ionizado, el campo magnético no se acoplar´ıa en las ecuaciones de movimiento del material, haciendo que sea complicado para modelar en forma teórica la formación de chorros relativistas de part´ıculas. Una forma de modelar esta interacción es la que utilizamos en este trabajo.

En la Figura 11.1 presentamos los perfiles de temperatura superficial,kT[ keV], como función del radio (expresado en radios gravitacionales) para diferentes modelos de discos de acreción. En dichos modelos se dejan fijos los parámetros: ˙M /M2_{, tomando el aceptado para Cygnus X-1,}_λ_{= 0.1, el ángulo de inclinación}

del plano del disco respecto al del cielo se considera de i= 30 grados y el factor de color,fcol = 1.60. Se

muestran los efectos sobre dichos perfiles cuando se var´ıa el valor del par´ametro de rotaci´on.

En el panel izquierdo de la Figura 11.2, podemos ver la silueta de un disco de acreci´on cuyo par´ametro ˙

M /M2 _{coincide con el de Cygnus X-1, formado alrededor de un agujero negro con par´ametro de rotaci´on}

a = 0.99, cuyo plano ecuatorial forma un ´angulo de 60 grados respecto al plano del cielo y para un valor deλ= 0.10. La escala de color representa (en escala logar´ıtmica) la temperatura de color,gTcol. Para cada

punto del disco,gcondensa las correcciones relativistas calculadas utilizando nuestra modificación del código YNOGK. Dicha silueta puede compararse con la presentada en el panel derecho de laFigura 11.2donde se modificó el valor del parámetro de rotación, en este caso fijado ena= 1.05. Dado que se mantienen fija, tanto la escala de color como la utilizada en los ejes cartesianos, podemos ver que el disco de acreción formado alrededor de la singularidad desnuda resulta más pequeño y caliente que el formado alrededor del agujero negro. 1035 1036 1037 1038 1039 0.1 1 10 100 ν Lν [erg s -1 ] E [keV] a = 0.99, f_col=1.00 a = 0.99, f_col=1.40 a = 0.99, f_col=1.80 a = 1.05, f_col=1.00 a = 1.05, f_col=1.40 a = 1.05, f_col=1.80

Figura 11.7: Espectro de energ´ıa observado para diferentes valores del factor de color,fcol. en l´ıneas de trazo

continuo presentamos los resultados obtenidos para discos formados alrededor de un agujero negro de Kerr casi extremo (a= 0.99) y con l´ınea de rayas los correspondientes a una singularidad desnuda casi extrema (a= 1.05). En estos modelos estamos considerando para la masa del objeto central y la tasa de acreci´on los valores aceptados para Cygnus X-1,i= 30 grados yλ= 0. La codificaci´on de color es la misma en todos los casos: a igual color, igual valor defcol.

Para obtener los espectros de energ´ıa observados, se hace uso de que la cantidadI(ν)/ν3_{es invariante a lo}

144 CAP´ITULO 11. ALIMENTANDO AL MONSTRUO...

una integral (en coordenadasαyβ) sobre la placa fotogr´aficaque puede calcularse por medio de la f´ormula: Fobs(νobs) = Z placa hν3 obs exp hνobs gkBfcolTef −1dαdβ, (11.4)

luego de haber realizado este cálculo, la densidad de fotones se calcula dividiendo esta función por la energ´ıa de cada fotón,Nobs=F(νobs)/Eobs.

Presentamos, a continuación, una serie de resultados cualitativos que se desprenden del análisis de los espectros teóricos calculados. Resulta importante remarcar que los mismos concuerdan con los presentados en otros trabajos cient´ıficos (ver, por ejemplo, [149,154]).

En laFigura 11.3se presentan los espectros de energ´ıa emitidos por el disco de acreción como función de la energ´ıa,E[ keV], y el parámetro de rotación. Se presenta la luminosidad,νLνerg s−1, y la escala de colores

sirve para identificar la posici´on del m´aximo en dicha cantidad. Se muestran separadas las dos familias de espectros de energ´ıa, una correspondiente a los casos en los que el objeto central es un agujero negro y otra para el caso en el que el mismo es una singularidad desnuda.

Como función del parámetro de rotación (dejando los otros parámetros fijos), el máximo en la luminosidad observada, ocurre para un valor de la energ´ıa,Emax, que crecen conaen el intervalo de valores 0≤a≤1.05. A

partir de ese valor el comportamiento es opuesto, mostrando que discos formados alrededor de singularidades desnudas con parámetro de rotación a &2, presentan espectros de energ´ıas con caracter´ısticas similares a los de discos formados en torno de agujeros negros. Un efecto similar se observa al analizar la luminosidad en ese valor de la energ´ıa, νLν(Emax). Este resultado está asociado con el comportamiento del radio de

la ´ultima ´orbita circular estable, ruoce, que estudiamos en el Cap´ıtulo 10. Por este motivo, vemos que no

podemos considerar ´unicamente estas cantidades como observables capaces de diferenciar entre discos de acreci´on formados alrededor de agujeros negros y singularidades desnudas.

En la Figura 11.4puede verse que, para una inclinaci´on dada y en ausencia de campo de inducci´on, los espectros observados para discos formados en torno a agujeros negros casi extremos (a= 0.99) y singularidades desnudas casi extremas (a= 1.05) son diferentes desde varios puntos de vista. Esto sugiere que los mismo deber´ıan poder distinguirse en forma observacional sin mayores dificultades. Pasemos a analizar las principales diferencias que detectamos:

La energ´ıa,Emax, donde se encuentra el m´aximo del espectro, es mayor para discos de acreci´on formados

en torno a singularidades desnudas que para aquellos formados en torno a agujeros negros.

La luminosidad m´axima,νLν(Emax), es mayor para discos de acreci´on formados en torno de singula-

ridades desnudas que para los formados alrededor de agujeros negros.

La energ´ıa de corte6_{donde la luminosidad decae 2 ordenes de magnitud respecto a la m´axima,}_E

C, es

mayor para discos formados en torno de singularidades desnudas que para los formados alrededor de agujeros negros.

El máximo en los espectros de emisión térmica para discos de acreción formados alrededor de singularidades desnudas se encuentra ubicado, en forma sistemática, en una energ´ıaEmax>1 keV (verFigura 11.4).

En este rango de energ´ıas, la absorción de fotones producida por el material presente en el medio interestelar es despreciable. Por estos motivos, entendemos que no existen riesgos de confusión y dicho pico deber´ıa ser claramente observable. Lo mismo ocurre para la energ´ıa de corte, que se encuentra, en todos los casos estudiados, dentro del rango de energ´ıas en los que operan satélites comoChandrao XMM-Newton.

En laFigura 11.5presentamos los casos estudiados en laFigura 11.4pero considerando un acoplamiento entre el campo de inducci´on externo y la materia, parametrizado por λ = 0.15. Un an´alisis cualitativo de ambas figuras muestra que las mismas son, desde este punto de vista, iguales.

El análisis de la Figura 11.5 muestra que la forma de los espectros de discos formados alrededor de singularidades desnudas es mucho más sensible a cambios en el ángulo de inclinación que los casos en los que el objeto central es modelado con un agujero negro. El efecto observado es el siguiente: al aumentar la inclinación los espectros observados se vuelven más duros, puede verse como la posición del máximo pasa de ∼3 keV a_∼13 keV cuando la inclinación var´ıa dei= 0 a i= 90 grados. Además, la luminosidad máxima

11.3. DISCO DE NOVIKOV-PAGE-THORNE MAGNETIZADO 145 1035 1036 1037 1038 1039 0.1 1 10 100 ν Lν [erg s -1 ] E [keV] a = 0.99, M. = 0.1 M._CygX-1 a = 0.99, M. = 1.0 M._CygX-1 a = 0.99, M. = 10. M._CygX-1 a = 1.05, M. = 0.1 M._CygX-1 a = 1.05, M. = 1.0 M._CygX-1 a = 1.05, M. = 10. M._CygX-1

Figura 11.8: Espectro de energ´ıa observado para diferentes tasas de acreción. En l´ınea continua se presentan discos de acreción formados en torno a un agujero negro de Kerr casi extremo (a = 0.99) y en l´ınea a rayas para aquellos formados alrededor de una singularidad desnuda casi extrema (a= 1.05). Se considera, M = 14.8M_⊙, valor aceptado para Cygnus X-1),i= 30 grados,λ= 0 y fcol= 1.40. Las tasas de acreción

consideradas son: ˙M = 0.1 ˙MCygX−1, M˙CygX−1 y 10 ˙MCygX−1. Las l´ıneas de igual color corresponden a un

mismo valor para la tasa de acreci´on.

de los mismos aumenta considerablemente, para el caso de la singularidad desnuda este cambio es de algo m´as de un orden de magnitud (de_∼5_×1037_{erg s}−1_a

∼9_×1038_{erg s}−1_{) entre el caso de inclinaci´on}_i_{= 0}

grados y el de i= 90 grados. Para el caso de discos formados en torno a agujeros negros las modificaciones no son tan considerables.

En laFigura 11.6se puede ver, para discos con una inclinación fija de 60 grados respecto al plano del cielo, el efecto que produce la presencia de campos magnéticos de diferente intensidad en los espectros de emisión de discos formados entorno de un agujero negro con a = 0.99 y una singularidad desnuda con a = 1.05. Vemos que el mismo tiene consecuencias potencialmente observables, en especial cuando se analiza el caso de discos de acreción formados alrededor de agujeros negros.

En la Figura 11.7se puede ver, para discos con una inclinaci´on fija de 30 grados respecto al plano del cielo y no magnetizados, el efecto que produce a modificaci´on del factor de color,fcol, sobre los espectros

de emisi´on de discos formados entorno de un agujero negro con a= 0.99 y una singularidad desnuda con a = 1.05. Vemos que, tanto para el caso en que el objeto central es un agujero negro o una singularidad desnuda, el efecto producido es el mismo: los espectros se vuelven m´as duros y luminosos.

En el marco de la teor´ıa de Page-Thorne, los espectros de emisión térmica de discos de acreción están degenerados en el parámetro ˙M M−2_{. Por este motivo, del an´}_{alisis de la forma de dichos espectros de emisión}

no es posible obtener estimaciones individuales paraM y ˙M. Para lograr esto hacen falta estimaciones inde- pendientes de alguna de ellas. Para analizar las modificaciones que introduce modificaciones en el par´ametro

M M−2_{sobre los espectros de emisi´on t´ermica, dejaremos fija la masa del objeto central (tomando para las}

representaciones gr´aficas la aceptada para Cygnus X-1) y variaremos la tasa de acreci´on, haciendo que tome los valores: 0.1 ˙MCygX−1, ˙MCygX−1 y 10 ˙MCygX−1. Los resultados, presentados en laFigura 11.8, muestran

que cuanto mayor es la tasa de acreción los espectros de emisión se vuelven más brillantes y más duros. El trabajo y resultados presentados anteriormente pueden resumirse en los siguientes puntos centrales:

146 CAP´ITULO 11. ALIMENTANDO AL MONSTRUO... 1 10 1 10 Nfot [cm -2 s -1 ] E [keV] a=0.998, λ=0.00 a=0.998, λ=0.10 a=1.05, λ=0.00

Figura 11.9: En puntos azules se presentan datos observacionales para el número de fotones observados en el rango de energ´ıas 1 keV . E < 10 keV provenientes de Cygnus X-1 [155]. A modo de comparación presentamos el ajuste a los datos obtenidos con nuestro modelo para un agujero negro con a= 0.998 para λ= 0.00,λ= 0.10 y los correspondientes a una singularidad desnudaa= 1.05 no magnetizada. En todos los casos utilizamos la masa, tasa de acreción, inclinación del plano del disco respecto al del cielo y distancia aceptada para Cygnus X-1 [155]. Además supusimos un valor estándar para el factor de color,fcol= 1.80 y

una absorción modelada a través de (11.5) con un valor para la columna de hidrógeno,NH = 0.25×1022cm−2.

Presentamos en l´ınea punteada el espectro de energ´ıa no absorbido para el caso con el que logramos el mejor ajuste, manteniendo la codificaci´on de color.

Estudiamos el efecto que tiene la presencia de campos magnéticos externos sobre las propiedades de los espectros de energ´ıa de discos de acreción formados en un espaciotiempo de Kerr, admitiendo que el parámetro de rotación también tome valores mayores a 1. Este desarrollo puede ser utilizado como una herramienta para obtener estimaciones del campo de inducción magnética en el entorno de objetos compactos.

Vimos que existen diferencias entre los espectros de energ´ıa cuando el espaciotiempo que se considera es el asociado a un agujero negro de Kerr casi extremo o el correspondiente a una singularidad desnuda casi extrema. Estas diferencias hacen que los espectros de energ´ıa se vuelvan una herramienta útil a la hora de distinguir, desde un punto de vista observacional, entre este tipo de objetos y, por lo tanto, una herramienta capaz de aportar información a la pregunta de validez o no de la conjetura de censura cósmica débil, al menos, en ambientes astronómicos.

En la Figura 11.9 presentamos, con cruces azules, el n´umero de fotones observados,Nfot, para Cygnus

X-1 en el rango de energ´ıas 0.3 keV. E < 10 keV tomados de [98]. Junto con los datos observacionales, superponemos espectros de emisión térmicos obtenidos con nuestro modelo. El mejor ajuste a estos datos, se logró con un valor para el parámetro de rotación dado pora= 0.998. Mostramos, para este espaciotiempo, los efectos de considerar el caso no magnetizado y el correspondiente a λ = 0.1. Además, mostramos los resultados obtenidos para el caso en el que el objeto central es una singularidad desnuda (a = 1.05 y λ= 0.1). Puede verse como los datos observacionales excluyen ese tipo de modelos para objeto central. El ajuste a la emisión no es completo ya que, además de la componente térmica que modelamos, existe la no térmica, no incluida en nuestro modelo (ver por ejemplo [155]).

11.3. DISCO DE NOVIKOV-PAGE-THORNE MAGNETIZADO 147 0.001 0.01 0.1 0.1 1 10 E f(E) [keV cm -2 s -1 ] E [keV] a=0.60, λ=0.00 a=0.60, λ=0.05

Figura 11.10: En cruces azules se presentan datos observacionales para el espectro desplegado de LMC X-3 en el rango de energ´ıas 0.1 keV.E <10 keV [157]. Presentamos los resultados de nuestro modelo para un agujeros negro cona= 0.60. Los otros par´ametros usados para el ajuste son:fcol= 1.60, una inclinaci´on del

plano del disco respecto al del cielo dei= 45 grados y una tasa de acreci´on dada por ˙M = 9.36_×1018_{g s}−1_.

Con l´ınea negra se presenta el casoλ= 0.00 y con l´ınea roja el correspondiente aλ= 0.05. En ambos casos utilizamos la masa y distancia aceptada para LMC X-3 y una absorción modelada a través de (11.5) con un valor para la columna de hidrógeno,NH = 0.2×1022cm−2.

Para realizar el ajuste, utilizamos la expresión anal´ıtica para la sección eficaz de absorción interestelar de fotones de rayos X en el rango de energ´ıas 0.532 keV< E <7.111 keV presentada en [156]. La misma está dada por:

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