Para responder al objetivo específico “Analizar las habilidades interpretativas que alcanzan los alumnos al usar el MED cuando se evalúan resultados sobre un modelo en
particular“. Con la aplicación de los instrumentos ya indicados, se generan las conclusiones
que enumero a continuación40:
Reiteración de conceptos
“Probablemente uno de los conceptos más útiles y aplicables en la Economía sea la
derivada de una función. Cualquier curso de matemática superior contiene, ineludiblemente, un tema dedicado especialmente a las aplicaciones de la derivada. Generalmente se acostumbra a centrar el estudio, de acuerdo al área específica del
conocimiento desde donde se aborde la temática”. (Cancio Días, 2009).
En este proceso y para aplicar la derivada como lo indica Cancio Días, se ha elegido la marginalidad como tema económico y la aplicación del MED en el curso lo que motiva e impulsa el aprendizaje de la derivada, pero más que el simple cálculo es poder identificar y expresar el resultado en términos económicos que aporten a la marginalidad como concepto económico. Los alumnos identifican los elementos del modelo objeto de análisis, que según la misión de LA FÁBRICA seria el ingreso adicional que genera la contratación del décimo
40 Las conclusiones se obtienen desde el análisis al objetivo 2 el cual se anexa en 7. Análisis de objetivos ver
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empleado, en función del nivel de producción generado por la mano de obra contratada, y por el precio de la demanda, los modelos son del tipo genérico, de uso cotidiano y muy repetitivo (Ingresos, Demanda y Producción) y allí intervienen al juzgar por las respuestas dadas y como conocimientos previos, de los alumnos, la reiteración de las definiciones, las cuales reafirman con el MED, pero estos conceptos no se interiorizan sino que se repiten tal y como se han aprendido.
Argumentación
Buscan argumentar sus respuestas con comentarios de índole inductivo, ya que recogen información general y la particularizan en “LA FÁBRICA” sin que está se les haya proporcionado ni sea una de las realidades a analizar (el modelo del costo de mano de obra sobre la que especulan, pero que de ella no se ha indicado ni se ha dicho nada en LA FÁBRICA, allí no ha sido objeto de análisis en la pregunta problematizadora propuesta en la misión), la hacen suya y de “LA FÁBRICA” y sobre ella especulan para mostrar por qué no se hace prudente la contratación del décimo empleado, esta actitud facilista es copiada de comportamientos en algunos sectores de las comunidades en que los alumnos se desenvuelven y no ha sido parte de la instrucción en lo disciplinar ni mucho menos en nuestra interacción con el programa de matemáticas II.
Alta operatividad
Otra característica identificada es la alta operatividad. Desde el aprendizaje podemos observar que el conocimiento previo, la contextualización y las formulas obtenidas con el uso de las herramientas, todo lo absorbe el cálculo aritmético, todo desemboca en la operatividad, ya que todos al encontrar dificultades con la Interacción de las herramientas, para encontrar los conectores que encadenen las opciones de respuesta, optan por efectuar cálculos aritméticos ya que por la constante reiteración sobre los modelos de ingresos, demandas y producción, encuentran los elementos claros para efectuar remplazos e interactuar y obtener alguna respuesta sobre la que puedan argumentar y dar solución a la misión que se les encomendó:
“Uno de los problemas en la enseñanza de las matemáticas es ejercerla de una
manera rutinaria y descontextualizada, lo cual nos lleva a verla como algo carente de sentido. Este tipo de enseñanza, que induce a conductas imitativas, produce, entre otras cosas, interpretaciones erróneas en conceptos matemáticos. Cuando a los alumnos se les pone a resolver un problema no rutinario o cuya solución no obedece al esquema en que se enseñó, aplican algoritmos de manera mecánica, llegando a soluciones inverosímiles y que, a pesar de la obvia contradicción de la solución con el problema propuesto, no son capaces de enmendar el error, por ejemplo en los resultados ponen de manifiesto una interpretación errónea de los conceptos máximos y mínimos, al aplicar el criterio de la segunda derivada sin reflexionar en la solución
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obtenida y al no considerar como información relevante que el dominio de la función es cerrado, cuestión importante al definir los máximos y mínimos de una función continua acotada y diferenciable en su dominio, respondiendo erróneamente al
problema planteado”. (Moreno Guzmán & Cuevas Vallejo, 2004)
Y realizan los cálculos aritméticos indicando el incremento de producción cuando se ingresa el empleado 10, así como la disminución en el ingreso al manejar la producción generada por ese nuevo integrante del grupo de trabajo. Esta interpretación la hacen únicamente por comparación ya que han efectuado los mismos cálculos para cuando son 9 empleados y según sus resultados se obtienen más ingresos cuando están presentes 9 empleados que cuando están 10, y de allí su conclusión. Los valores numéricos obtenidos luego de efectuar remplazos de variables y aplicando algunos algoritmos simples, generan seguridad en ellos y desde esta les permite inferir y entregar respuestas a lo que matemáticamente se les ha preguntado.
El manejo operativo también nos puede llevar a engaños al aparecer falsos positivos41, ya que la respuesta de contratación se presenta en dos alumnos pero no con argumentos que lo avalen sino por seguir con esas teorías simplistas a las que están acostumbrados. No se encontraron bases claras y sólidas para soportar estás respuestas.
“Los investigadores coinciden en que, cantidades significativas de estudiantes sólo
pueden obtener derivadas de funciones algebraicas mediante fórmulas, pero difícilmente comprenden el para qué de esos algoritmos que realizan y el significado de los conceptos. Inclusive, difícilmente logran asociar las ideas claves del cálculo en la resolución de problemas elementales sobre la variación, a pesar de que históricamente del estudio de estos últimos se originaron las ideas claves del Cálculo
Diferencial.” (Dolores, 2000)
También debemos tener en cuenta que la respuesta aunque fue contundente mantenía internamente la desconfianza ya que en su interior pensaban que no correspondería a un resultado valido, que les falto análisis, que ese eslabón de integridad que no lograron encontrar se convertía en el escollo que no pudieron superar y llegar a una respuesta mejor de la presentada, por eso se proponen conclusiones a partir de errores y sobre esas se presentan los argumentos en que basan sus respuesta final.
“La importancia de los errores en la adquisición del conocimiento matemático nos
permite considerar el error positivamente en el proceso de aprendizaje, apreciando el error como una parte del conocimiento humano. Además, se asume que cuando el alumno comete un error, él está expresando el carácter incompleto de su
conocimiento.” (López, 2009)
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Bitácora
En “LA FÁBRICA” los espacios destinados para recibir las conclusiones y aportes que les brindaban cada una de las herramientas para cumplir con la misión, sólo sirvió para que registrarán las definiciones de la herramienta que les fue suministrada y no indicaban aportes adicionales, este espacio se convertía en una bitácora de observación en la que debería registrar el avance que alcanzaban luego de interactuar con la herramienta y mirar los aportes que esta puede entregar a la misión, para que al final se tuviesen argumentos importantes para soportar la respuesta que se entregaba en el Informe gerencial, pero por la observación realizada a esta información, estas bitácoras no lograron su objetivo42 , se convierten sólo en repositorio de información que la misma herramienta proporciona, sin novedades ni aportes importantes hacia la misión.
“varios autores, han documentado que incluso los estudiantes que pueden resolver
problemas rutinarios de cálculo tienen dificultades para resolver problemas no rutinarios. Algunos creen que estas dificultades son debidas a la débil visión conceptual que tienen del concepto función; además, de que el aprendizaje ordinario y la reorganización del conocimiento algunas veces incorporan construcciones
matemáticas incorrectas que se arrastran durante un largo periodo de tiempo.”
(Badillo Jimenez, 2003)
Para algunos de los alumnos este repositorio sirvió para almacenar valores calculados a partir del modelo que se representaba en la herramienta, pero no fue constante, ya que no presento conclusiones en algunas herramientas ni en el espacio generado parea la respuesta final, mientras que otro efectúa comentarios generales, sin particularizar sobre el aporte de la herramienta a la misión. Es curioso que en este repositorio no se observen comentarios y usos que se indicaron en las entrevistas ya que alguno de ellos indica la importancia de la regla de la cadena, pero para esta herramienta no se hacen comentario de su uso e importancia, así como en la función de ingresos objeto de la misión, lo consignado allí no descubre como hallarla y como hacer uso del misma para solucionar la misión.
Este instrumento nos aporta al análisis, características de cada uno de llos alumnos y la dificultad que para ellos representa el registro de sus ideas en forma ordenada y concreta para expresar como usar lo que en la herramienta aprendió.
Informe gerencial
Otro elemento importante en este análisis fue la forma como se presentó la respuesta, ya que el resultado de la misión debió ser presentarlo en un Informe gerencial, que “LA FÁBRICA” les proporcionó y que deberían entregar vía correo al docente. Pero el desconocimiento completo de lo que comprende un informe gerencial, el no saber cómo se usa, ni tener la iniciativa de investigar cómo llenar este tipo de documentos o formularios para dar respuesta a la misión propuesta en “LA FÁBRICA” generó dificultades en la construcción y registro de la información, también en este informe se presenta otra dificultad
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que se conocía y no se tuvo presente y fue la de redacción, los alumnos no tienen la competencia de presentar informes escritos y menos del tipo matemático en el que deben representar ecuaciones y operaciones algebraicas, y no lograron regístralas en forma coherente y clara y menos sus explicaciones sobre los resultados encontrados.
En estos informes se nota que han efectuado diferentes operaciones haciendo uso de los modelos dispuestos en el MED, el manejo algorítmico se convierte en la herramienta más usada, y de los resultados obtenidos llegan a sus conclusiones, se observa en algunos de estos informes que al encontrar dificultades con la Interacción de las herramientas, para encontrar los conectores que encadenen las opciones de respuesta, optan por efectuar cálculos aritméticos ya que por la constante reiteración sobre los modelos de ingresos, demandas y producción, encuentran los elementos claros para efectuar remplazos e interactuar y obtener alguna respuesta sobre la que puedan argumentar y dar solución. Pero estos cálculos no se observan en el contenido del informe, y se antojan en alguna medida con errores de operación e interpretación, pero contundente al momento de argumentar la respuesta.
Habilidades Interpretativas
Con lo escrito en este documento se puede indicar que ellos mantienen activas sus capacidades interpretativas y que estas son usadas reconociendo o no sus errores, que la interpretación la efectúan sobre valores definidos y que les brindan seguridad, luego de efectuar cálculos aritméticos, los que pueden estar errados, y que los elementos evaluados por estos cálculos pueden tener errores de concepto, ese análisis lo desechan y sólo con las respuestas toman las decisiones, el contexto en que se está sucediendo los diferentes eventos no se tiene en cuenta al buscar caminos que desemboquen en respuestas y si estas son numéricas que puedan comparar para ellos es lo mejor.
El MED “LA FÁBRICA” se convierte en una herramienta didáctica e interesante ya que en una forma agradable invita a resolver un problema desde sus propios conocimientos y decisiones, a realizar un papel relevante en una empresa, a organizar información y conocimientos para dar respuesta a una pregunta que es válida, además las herramientas que se proponen para darles otra mirada y ver como se encaminan a la solución son las que se conocen en el curso de cálculo diferencial y son las que se tienen a la mano para resolver cualquier problema aplicativo que se les coloque, eso permite revisar conceptos teóricos, reforzarlos y mirar la utilidad del mismo frente al problema presentado.
Valor agregado de “LA FÁBRICA”
“Trabajar en el aula con materiales distintos a los tradicionales, motiva el interés de
los alumnos y estimula la actividad intelectual, dado que el proceso por el cual las personas construyen representaciones mentales es beneficiado si se le presentan imágenes que puedan interpretar, manipular, experimentar y extraer conclusiones de las mismas. Además, la incorporación de tecnología en el aula, favorece la
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participación activa de los estudiantes, la reflexión crítica, el trabajo grupal, la interacción con los docentes, en definitiva, redunda en el proceso de enseñanza y
aprendizaje”. (Costa, Domenicantonio, & Vacchino, 2010).
Lo que estos autores indican es válido y se convierte en un elemento motivante, no sólo por el material y el contenido de cada una de las herramientas, sino por el impacto que tuvo en cada uno de ellos, cada uno de los cuales interpreta, experimenta y extrae conclusiones con las que animan el proceso de aprendizaje. En las entrevistas obtenidas cuatro meses después de aplicado el MED, las alumnas entrevistadas nos informan sobre los grandes cambios, que han experimentado, la oportunidad que brindó “LA FÁBRICA”, al participar desde un rol de analistas y buscar una respuesta administrativa, aplicando lo que conocían y sabían, para entender que son capaces de entregar un resultado, unas conclusiones, argumentando su respuesta, así no sean las correctas.
Al verse obligadas43 a trabajar y dar una respuesta, sobre el MED, se dieron cuenta que poseen capacidades para enfrentar problemas de este índole, que al atreverse pueden obtener resultados favorables que enriquecen la practica disciplinar, y al enfrentar nuevas materias o nuevos retos, sus acciones son diferentes a como venían trabajando. Las vivencias de hoy en día las aplican a la carga educativa y a la práctica empresarial, frente a la primera enfrentan las nuevas materias que tiene que ver con su parte disciplinar con una actitud crítica y analítica, no sólo aceptan lo que el docente les entrega sino que buscan evidencias que aseguren que lo dicho tiene sentido y aplicabilidad. Frente al segundo, buscan tener alguna participación en discusiones o en la toma de decisiones a quienes se lo permiten, pero en esta ocasión lo hacen con mayor énfasis y seguridad.