3. ALGORITHM
3.3 Combinatorial Complexity
Búsqueda de una sucesión
Problema 1: En la secuencia que se muestra a continuación, ¿Cuántos palitos de fósforos conforman la cuarta figura? ¿Cuántos palitos de fósforos conforman la figura nº50?
Está claro que cada figura se conforma por triángulos, en donde la figura uno está compuesta de 1 triangulo, la segunda figura por 2 triángulos, la tercera figura por tres triángulos. Por lo que la figura que continua, debería estar compuesta por 4 triángulos.
Ahora, el primer triangulo se forma utilizando 3 palitos de fósforos, cada triangulo adicional se forma con 2 palitos, por este motivo, el cuarto triangulo se formara usando 2 palitos más que la figura anterior, como la figura 3 posee 7 palitos, entonces la figura cuatro tendrá 7 + 2 palitos, es decir, la figura 4 tendrá 9 palitos.
Para responder la segunda pregunta, veamos la tabla que sigue.
Figura Figura Palitos
usados Secuencia 1 3 3 = 3 + 0 = 3 + 2 ∙ (0) 2 5 3 + 2 = 3 + 2 ∙ (1) 3 7 3 + 2 + 2 = 3 + 2 ∙ (2) … … … … 50 … N 3 + 2 + 2 + ⋯ + 2 = 3 + 2 ∙ (49) SUCESIONES
Las secuencias ordenadas de objetos, figuras geométricas, números o configuraciones variadas, tienen un gran atractivo lúdico: es divertido averiguar el criterio por el que han sido formadas y, por tanto, saber añadir los elementos. En la evolución de las matemáticas, las sucesiones son tan antiguas como los números naturales y sirven para estudiar, representar y predecir los fenómenos que ocurren en el tiempo de forma intermitente.
Con esto, observamos que la secuencia se va formando mediante una constante, que es el 3, y un número que multiplica al 2, el cual es el antecesor del número de la figura en la que me encuentro.
Por lo que, la cantidad de palitos utilizados para formar la figura 50 es 3 + 2 ∙ (50 − 1) = 3 + 2 ∙ (49) = 3 + 98 = 101 palitos
Sucesión, Construcción del término general.
Como se ve en el ejemplo anterior. En la búsqueda de una figura mayor, es bueno encontrar algún patrón o una regla que predomina la construcción de estas figuras.
Así, vamos a dar la siguiente definición.
Definición: Una sucesión es una función definida de ℕ → ℝ que se acostumbra a denotar por 𝑎𝑛 en lugar de 𝑓(𝑛), así,
𝑎𝑛 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑎𝑛: se llama término n–ésimo o término de lugar n. 𝑎1: es el primer término de la sucesión.
𝑎𝑘: es el k–ésimo término de la sucesión.
Distintas formas de definir una sucesión
Problema 2: Veamos las sucesiones definidas por su término n-ésimo, o bien, en forma recursiva.
𝑎) 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1 𝑏) 𝑎𝑛= (−1)𝑛 𝑐) 𝑎𝑛= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 𝑑) 𝑎1= 1, 𝑎𝑛+1= 2 + 𝑎𝑛 𝑒) 𝑎1= 1, 𝑎2= 2, … , 𝑎𝑛+2= 𝑎𝑛+1+ 𝑎𝑛 𝑓) 𝑎1= √2 , 𝑎2= √2 + √2 , … , 𝑎𝑛+1= √2 + 𝑎𝑛 SUCESIONES
En la escuela pitagórica, tanto el número como las magnitudes pertenecían a la categoría de cantidades. Sin embargo, eran entidades separadas. El número correspondía a colecciones de unidades indivisibles, permitían contar, mientras que las magnitudes surgen de la abstracción de cosas que se pueden medir.
Los griegos no disponían de un sistema métrico como el nuestro, para medir debían comparar las magnitudes mediante sus razones.
Hay una clara diferencia entre los ejemplos 𝑎, 𝑏 y 𝑐, y los ejemplos 𝑑, 𝑒 y 𝑓. Ya que, en los 3 últimos, la definición depende del término anterior. Es decir, si queremos encontrar el termino 5, necesariamente necesito saber cuál es el termino 4. Es necesario encontrar técnicas para transformar una sucesión escrita de manera recursiva en una sucesión escrita en su forma general.
Términos de una sucesión
Dada la sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , su k–ésimo término es 𝑎𝑘, el siguiente término es 𝑎𝑘+1 también llamado sucesor, el anterior al k–ésimo término es 𝑎𝑘−1 también llamado antecesor.
Problema 3: Dada la sucesión 𝑎𝑛 = 2 𝑛−1
3𝑛+1, determine el k–ésimo término, el anterior y su siguiente término.
De inmediato se tiene que:
𝑎𝑘 =3𝑘+12𝑘−1 es el k–ésimo término. 𝑎𝑘−1 = 2
(𝑘−1)−1 3(𝑘−1)+1=
2𝑘−2
3𝑘−2 es el anterior término al k-ésimo. 𝑎𝑘+1 = 2
(𝑘+1)−1 3(𝑘+1)+1=
2𝑘
3𝑘+4 es el siguiente término al k-ésimo.
Formación de una sucesión
Hemos visto que las sucesiones se pueden representar a través de un término general, o bien de manera recursiva. Ambos conceptos representan de manera clara el comportamiento de la sucesión, pero es mucho mejor solo tener una expresión que dependa de la posición en la que me encuentro, más que de su término anterior.
Problema 4: Encontrar el término general solo en función de n, para la sucesión 𝑎1 = 1 , 𝑎𝑛+1 = 2 + 𝑎𝑛 donde 𝑛 ∈ ℕ
Realizaremos este análisis, creando la siguiente tabla.
Con esto, vemos que la sucesión antes descrita de manera recursiva, se puede escribir de manera general como la sucesión 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1. La cual representa al término general de la sucesión.
Representación gráfica de una sucesión
Las sucesiones se pueden representar de manera gráfica en los reales, ya que son funciones de los naturales a los reales. Por lo que podemos realizar una gráfica de la sucesión. Por ejemplo, sea la sucesión anterior, 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1, entonces su grafica será de la siguiente manera.
Figura 1. Figura 2. En la Figura 1 vemos los puntos de la sucesión. Si se unen los puntos se puede apreciar la Figura 2 forman una recta, y es la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1.
No siempre es fácil encontrar funciones continuas que pasen por esos puntos. Veamos el siguiente ejemplo, sea 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1
Termino Valor Regla de Formación
1 1 1 = 2 − 1 = 2(1) − 1 2 2+1=3 3 = 4 − 1 = 2(2) − 1 3 2+3=5 5 = 6 − 1 = 2(3) − 1 4 2+5=7 7 = 8 − 1 = 2(4) − 1 … … … n 2 + 𝑎𝑛−1= 𝑎𝑛 𝑎𝑛 = 2(𝑛) − 1 SUCESIONES
Entonces su grafica será de la siguiente manera.
Figura 3. Figura 4.
En la figura 3 vemos los puntos de la sucesión. En la figura 4, no es sencillo encontrar una función que sea continúa y pase por esos puntos. Una función que cumple con esto es 𝑓(𝑥) = sin(𝜋𝑥) − cos(𝜋𝑥). Claramente no es la única que cumple con esto.
Formas de expresar una sucesión:
Describiendo los términos, una sucesión queda bien determinada siempre que sean conocidos los primeros términos y la ley por la cual pueden obtenerse nuevos términos, o bien, a través de la propiedad que caracteriza a cada uno de sus términos, por ejemplo:
Ejemplo 1: Los números naturales acabados en siete: 7; 17; 27; 37; … Ejemplo 2: Los múltiplos de siete: 7; 14; 21; 28; 35; …
Ejemplo 3: Reproducir “literalmente”, pero utilizando cifras, lo que está escrito en el término justo anterior:
1
11 “El primero es un uno” 21 “El segundo son dos unos” 1211 “El tercero es un dos y un uno”
111221 “El cuarto es un uno, un dos y dos unos”
Otra forma de expresar una sucesión es mediante una expresión analítica, o fórmula del término general, ya que en estos casos basta con ir dando valores al contador del término general para ir obteniendo todos y cada uno de los términos de la sucesión.
Ejemplo 1: 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 2, vamos dando a 𝑛 valores naturales empezando por 1, Así 𝑎1 = 2 ∙ 1 + 2 = 4 , 𝑎2 = 2 ∙ 2 + 2 = 6 , 𝑎3 = 2 ∙ 3 + 2 = 8, etc, quedando la sucesión 4; 6; 8; 10; 12; …
Ejemplo 2: 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 1, vamos dando a 𝑛 valores naturales empezando
por 1, Así 𝑎1 = 12− 1 = 0 , 𝑎2 = 22− 1 = 3 , 𝑎3 = 32− 1 = 8, etc, quedando la sucesión 0; 3; 8; 15; 24; …
Ejemplo 3: 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 3, vamos dando a 𝑛 valores naturales empezando
por 1, Así 𝑎1 = 21 − 3 = −1 , 𝑎2 = 22− 3 = 1 , 𝑎3 = 23− 3 = 5, etc, quedando la sucesión −1; 1; 5; 13; 29; …
También se puede expresar una sucesión mediante una ley de recurrencia, es decir, una relación entre un término cualquiera y los anteriores, o entre un término, los anteriores y el lugar que éste ocupa.
Ejemplo 1: Un término cualquiera es igual a la suma de los dos que le preceden, es decir 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1+ 𝑎𝑛−2, si partimos de 𝑎1= 1, y 𝑎2 = 1, obtenemos la sucesión 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; …, conocida como sucesión de Fibonacci.
Ejemplo 2: Para la expresión que se representa con la Ley 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1+ 𝑛,
con 𝑎1 = 1, obtenemos la siguiente sucesión 1; 3; 6; 10; 15; 21; … , A esta sucesión se le conoce como los números Triangulares. Ya que su forma de construcción es con triángulos. Como se muestra a continuación.
SUCESIONES
Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, es conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:
1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89.... que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría: "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."
Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo.
Φ =1 + √5
Ejemplo 3: Para la expresión que se representa con 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1+ 2, y 𝑎1 = 1, obtenemos la siguiente sucesión 1; 3; 5; 7; 9; 11; …
Esta sucesión es la forma recursiva de escribir los números Impares.
Monotonía de una sucesión
Una sucesión {𝑎𝑛} es monótona creciente si 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛 y es estrictamente creciente si
𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛
Obsérvese que la única diferencia entre sucesión creciente y estrictamente creciente es que en la segunda la desigualdad debe cumplirse necesariamente mientras que en las crecientes puede haber igualdad entre términos sucesivos.
Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1 es una sucesión estrictamente
creciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = 2(𝑛 + 1) + 1 = 2𝑛 + 3 y si observamos
𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 3 − (2𝑛 + 1) = 2 > 0 ∀ 𝑛 ⇒ 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 ∀ 𝑛
Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = 3𝑛+ 1 es una sucesión estrictamente
creciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = 3𝑛+1+ 1 = 3𝑛∙ 3 + 1 y si observamos
𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛 = 3𝑛∙ 3 + 1 − (3𝑛+ 1) = 2 ∙ 3𝑛 > 0 ∀ 𝑛 ⇒ 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 ∀ 𝑛
Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 = log 𝑛 es una sucesión estrictamente
creciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = log (𝑛 + 1) y si observamos 𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛 = log(𝑛 + 1) − log(𝑛) = log (
𝑛 + 1 𝑛 ) > log(1) = 0 ∀ 𝑛 ⇒ 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 ∀ 𝑛 SUCESIONES
Una sucesión es monótona decreciente si 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛 y es estrictamente decreciente si
𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛
Vale en este caso la misma observación que para las monótonas crecientes.
Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = 5 − 2𝑛 es una sucesión estrictamente
decreciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1= 5 − 2(𝑛 + 1) = 3 − 2𝑛 y si observamos
𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛 = 3 − 2𝑛 − (5 − 2𝑛) = −2 < 0 ∀ 𝑛 ⇒ 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 ∀ 𝑛
Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = −2𝑛 es una sucesión estrictamente
decreciente, ya que vemos que 𝑎𝑛+1 = −2𝑛+1 = −2𝑛 ∙ 2 y si observamos 𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛 = −2𝑛 ∙ 2 − (−2𝑛) = −2𝑛 < 0 ∀ 𝑛
⇒ 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 ∀ 𝑛
Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 =𝑛1 es una sucesión estrictamente decreciente,
ya que vemos que 𝑎𝑛+1 =𝑛+11 y si observamos 𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛 = 1 𝑛 + 1− 1 𝑛= −1 𝑛 ∙ (𝑛 + 1)< 0 ∀ 𝑛 ⇒ 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 ∀ 𝑛
Demostrar en crecimiento o decrecimiento de una sucesión suele requerir el uso de inducción completa o de reducción al absurdo. Sin embargo, en ocasiones puede tomarse una función de variable real 𝑓 tal que 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 y estudiar el signo de la derivada primera de esta función para determinar crecimiento o decrecimiento. Si 𝑓 es monótona creciente (decreciente) la sucesión {𝑎𝑛} también lo será.
SUCESIONES
Hay sucesiones que no son
monótonas, por ejemplo la sucesión 𝑎𝑛= sen(𝑛)
Vemos que esta sucesión no es creciente ni decreciente.
Ya que al ver su gráfica, se observa que crece y decrece todo el tiempo.
Acotación
La sucesión {𝑎𝑛} está acotada superiormente si existe un número 𝑀 tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 para todo 𝑛.
Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = −1𝑛 es una sucesión que esta acotada
superiormente por 𝑀 = 0. Ya que 𝑎𝑛 = −1𝑛≤ 0 = 𝑀 ∀ 𝑛
Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = 2−𝑛 es una sucesión que esta acotada
superiormente por 𝑀 =12. Ya que 𝑎𝑛 = 2−𝑛≤ 12= 𝑀 ∀ 𝑛
Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 = 2 − 3𝑛 es una sucesión que esta acotada
superiormente por 𝑀 = −1. Ya que 𝑎𝑛 = 2 − 3𝑛 ≤ −1 = 𝑀 ∀ 𝑛
La sucesión {𝑎𝑛} está acotada inferiormente si existe un número 𝑀 tal que 𝑀 ≤ 𝑎𝑛 para todo 𝑛.
Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = 𝑛2 es una sucesión que esta acotada
inferiormente por 𝑀 = 0. Ya que 𝑎𝑛 = 𝑛2 ≥ 0 = 𝑀 ∀ 𝑛
Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = 3𝑛+ 2 es una sucesión que está acotada
inferiormente por 𝑀 = 5. Ya que 𝑎𝑛 = 3𝑛+ 2 ≥ 5 = 𝑀 ∀ 𝑛
Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 =𝑛1 es una sucesión que esta acotada
inferiormente por 𝑀 = 0. Ya que 𝑎𝑛 =𝑛1 ≥ 0 = 𝑀 ∀ 𝑛
La sucesión {𝑎𝑛} está acotada si está acotada superior e inferiormente es decir si
|𝑎𝑛| ≤ 𝑀 ∀ 𝑛 o bien 𝑚 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 ∀ 𝑛
Donde 𝑚 es cota inferior y 𝑀 es cota superior.
Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 es una sucesión acotada por 𝑀 = 1.
Ya que |𝑎𝑛| = |(−1)𝑛| = |−1|𝑛 = 1𝑛 = 1 ≤ 1 = 𝑀 ∀ 𝑛
Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 =𝑛+1𝑛 es una sucesión acotada. Pues esta
acotada inferiormente por 𝑚 = 0, y acotada superiormente por 𝑀 = 1. Es decir,
𝑚 = 0 ≤ 𝑛
𝑛 + 1≤ 1 = 𝑀 ∀ 𝑛
Ejemplo 3: La sucesión 𝑎𝑛 = cos(𝑛) es una sucesión acotada por 𝑀 = 1.
Ya que
|𝑎𝑛| = |cos(𝑛)| ≤ |1| = 1 = 𝑀 ∀ 𝑛
Convergencia de una sucesión
A continuación se agregan gráficos de algunas sucesiones en los que se representan los términos de estas.
1. {𝑎𝑛} =(−1) 𝑛 𝑛 SUCESIONES
Hay sucesiones que no son acotadas por ejemplo la sucesión
𝑎𝑛= 𝑛 ∙ sen(𝑛)
Vemos que esta sucesión no es acotada ni inferior, ni
superiormente.
Su grafica se ilustra cómo sigue.
Se puede apreciar que crece en Ambas direcciones. Por lo que no puede ser acotada.
2. {𝑎𝑛} = 𝑛2 𝑛2+ 1
3. {𝑎𝑛} = (−1)𝑛
4. {𝑎𝑛} = 𝑛2
En la primera y en forma absolutamente intuitiva puede inferirse que, al crecer 𝑛, los términos de la sucesión (los puntitos) tienden a cero (0); en la segunda, tienden a uno (1); en la tercera tienden a (+1) o a (−1) y, en la cuarta parece que crecen más allá de todo límite.
Estudiar la convergencia de una sucesión consiste precisamente en investigar a qué valor tiende el término genérico de la misma cuando 𝑛 → ∞.
Si tiende a un número finito 𝑙 la sucesión se dice convergente, si tiende al "∞" o no existe el número 𝑙, la sucesión se dice divergente.
Los gráficos anteriores parecen indicar que las dos primeras son convergentes mientras que las otras son divergentes.
Daremos una definición de este concepto.
Definición: Si los valores de 𝑎𝑛 se pueden hacer tan cerca como queramos
a 𝐿 tomando valores de 𝑛 suficientemente cerca de ∞ (tan grandes como queramos), entonces escribimos
lim
𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿
que leeremos "el límite de 𝑎𝑛 cuando 𝑛 tiende a ∞ es 𝐿 Entonces diremos que la sucesión es convergente. Se dirá divergente si 𝐿 no se puede determinar.
Ejemplo 1: La sucesión 𝑎𝑛 =𝑛+1𝑛 es convergente a 1, pues, a medida que
𝑛 crece, vemos que sus valores se aproximan cada vez más a uno. 𝑎1 = 1 1 + 1 = 1 2= 0,5 𝑎10= 10 10 + 1= 10 11= 0,909090 … 𝑎100= 100 100 + 1= 100 101= 0,99009900 … 𝑎10000= 10000 10000 + 1= 10000 10001= 0,999900009 … Así, lim 𝑛→∞𝑎𝑛 = 1 Por lo que la sucesión es convergente.
Ejemplo 2: La sucesión 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 es divergente, puesto que, a medida
que 𝑛 crece, vemos que sus valores no se aproximan a un número en particular, es más, siempre vale 1 y −1.
𝑎1000= (−1)1000= 1 𝑎1001= (−1)1001= −1 𝑎100000 = (−1)100000 = 1 SUCESIONES