3. ALGORITHM
3.2 Problem Space Transformation – Normalized Cylindrical Projection
solución de manera gráfica y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores.
Introducción
Muchas veces el álgebra elemental se visualiza como una materia abstracta, que involucra reglas para manipular expresiones en la que intervienen literales, sin que quede claro el sentido y utilidad que esto tiene. Esta interpretación está provocada por la forma en que se enseña, más que por la naturaleza de esta materia.
El estudio del álgebra no puede restringirse al dominio de las reglas de manipulación algebraicas. De la misma forma en que el uso y sentido de las palabras precede al estudio sistemático de la sintaxis del lenguaje natural, el álgebra requiere la comprensión adecuada del lenguaje algebraico antes de adentrarse en las técnicas de manipulación algebraicas.
El álgebra elemental estudia determinados objetos a través del lenguaje simbólico, las letras son símbolos que admiten distintos usos y significados. Para que el álgebra elemental sea una herramienta útil para describir y resolver problemas de todo tipo, es necesario seas capaz de expresar simbólicamente relaciones y procesos de carácter general.
Es importante señalar que no se puede sostener el estudio de esta materia en abstracto, obviando o postergando la razón de ser del álgebra elemental. El álgebra elemental es una herramienta que permite modelar y resolver problemas de otras áreas de la matemática, o de otros ámbitos en general. Muchos de los problemas que se nos presentan no requieren, ni tampoco se justifica la utilización de álgebra en su solución. Sin embargo, en la medida en que se avanza en el estudio de las matemáticas y sus aplicaciones, los métodos aritméticos ya no son suficientes, la memoria ya no puede procesar toda la información, se requiere un medio para expresarla y trabajar con ella. Se hace necesaria una traducción al lenguaje algebraico, que generaliza, resume y simboliza toda la información y las relaciones contenidas en el problema. Veamos un ejemplo.
Problema 1:
a) Un corredor se encuentra a 10 metros de la partida y avanza 3 metros por segundo. Un segundo corredor que está a 2 metros de la partida recorre 5 metros cada segundo, ¿cuánto tiempo pasa para que ambos corredores se encuentren?
LENGUAJE
b) Supongamos que en el problema anterior el primer corredor se encontraba a 93 metros de la partida y el segundo a 45 metros de la partida, ¿cuánto tiempo pasa para que se encuentren?
Solución:
a) Se debe contar las veces que se suma reiteradamente para que las distancias recorridas sean iguales. La forma de registrar el proceso puede ser diverso: con palabras, una tabla de valores, un dibujo, un esquema, etc., y la precisión en el lenguaje puede no afectar en absoluto el resultado. Por ejemplo: Seg. Distancia Corredor 1 Distancia Corredor 2 0 10 2 1 13 7 2 16 12 3 19 17 4 22 22
Los corredores se encuentran a los 4 segundos
b) En el segundo caso la búsqueda por sumas reiteradas aparece como un método ineficiente, se amerita plantear la situación de forma algebraica.
x tiempo trascurrido en segundos (incógnita).
93 3x distancia recorrida por el primer corredor. 45 5x distancia recorrida por el segundo corredor.
Considerar que ambas distancias son iguales equivale a plantear la ecuación
93 3 x45 5 x
Aplicando las técnicas para resolver este tipo de ecuaciones se tiene
93 3 45 5 93 45 5 3 48 2 24 x x x x x x LENGUAJE ALGEBRAICO
Significados de las letras en álgebra
¿Qué significado puede tener la expresión 3m?
De forma natural, muchos estarán inclinados a pensar que podría representar 3 objetos que comienzan con la letra m, por ejemplo 3 metros, 3 manzanas, 3 minutos, etc. Es decir, la letra m es usada como una etiqueta de los objetos involucrados. Sin embargo, este no es el uso que se les quiere dar a las letras en álgebra.
En álgebra, 3m representa 3 veces el número de objetos o 3 veces su medida, por ejemplo 3 veces la cantidad de metros, 3 veces el peso de las manzanas o 3 veces la cantidad de minutos. En este caso m actúa como una variable, la letra toma el lugar de los números no especificados.
3m
3 metros 3 veces la cantidad de metros Etiqueta Variable
Significado asociado al álgebra
Traducción al lenguaje algebraico
La posibilidad de resolver algunos problemas matemáticos depende de la habilidad para traducir la situación planteada al lenguaje algebraico. Este proceso no es evidente y se cometen varios errores que podemos ir comentando. Consideremos la siguiente situación:
En cierta colectividad indígena, donde no se utiliza dinero para comprar, se establecen las siguientes equivalencias de cambios: por 5 gallinas se obtienen 6 conejos. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?
El primer error sería usar letras como etiquetas para los objetos 5G significaría “5 gallinas” 6C significaría “6 conejos” LENGUAJE ALGEBRAICO
El siguiente error podría ser forzar una “traducción literal” del enunciado, esto es convertir cada una de las palabras claves del enunciado en un símbolo, conservando el orden en que aparecen. Por ejemplo traducir “por cinco gallinas se obtienen 6 conejos” en
5G6C
Lo adecuado sería considerar las letras como variables, esto es
G número de gallinas C número de conejos
La expresión correcta surge al plantear la razón entre las variables. En efecto, el enunciado señala que la razón entre número de gallinas y número de conejos es de 5 es a 6, esto es
5 6
G C
Si multiplicamos cruzado se obtiene la expresión algebraica, que es distinta a la que inicialmente se había propuesto.
6G5C
Considera estas observaciones cuando tengas que escribir un enunciado en lenguaje algebraico.
LENGUAJE
Tipos de variables
Un paso fundamental en la comprensión del álgebra es dejar de considerar a las letras como etiquetas o iniciales de palabras, para interpretarlas como variables. Pero aquí se abre la problemática del abanico de significados que puede adoptar una variable.
Problema 2: La siguiente figura muestra las dimensiones de una pieza metálica.
¿Qué representan las siguientes expresiones? ¿Qué función cumplen los literales en cada una de ellas?
a) 24 2r b) 24 2 r40 c) 24 2r P
Solución:
Ya sabemos que un literal representa a un número, pero ¿a cualquier número?, ¿o solo a algunos números desconocidos? Depende de la situación y de la expresión en que está contenida.
La expresión 24 2r representa el perímetro del contorno de la pieza. En este contexto el literal r simboliza la medida de uno de los lados, es un valor desconocido, que no interesa y ni se puede calcular. La variable r es un número generalizado que puede asumir, en este caso, cualquier valor positivo.
Por otro lado 24 2 r40 es una ecuación, la letra r actúa ahora como incógnita, un valor desconocido que permite que el perímetro de la figura sea 40, podemos determinar el valor numérico de r resolviendo la ecuación.
LENGUAJE
La expresión 24 2r P también representa el perímetro, pero ahora se utiliza una letra para expresarlo, P depende de r, las variables están el contexto de una relación funcional.
Recuerda entonces que los literales tienen varios usos y aparecen en determinados contextos. Aunque la clasificación de variables no es única podemos describir los siguientes tipos:
Incógnitas Ecuación 5a 2 12
Literales Número generalizado Expresión algebraica 5a b 12
Variables Función 5a12b
¿Cómo reconocer si un problema se traduce a una ecuación, una expresión o una función? Se requiere de la habilidad para reconocer la presencia de incógnitas, números generalizados y variables en el problema involucrado. La siguiente tabla muestra los aspectos más relevantes de este análisis:
Uso de la letra Incógnita Número generalizado Variables
Tipo de expresión Ecuación Expresión algebraica Función Se identifica por La existencia de un
valor desconocido que es posible determinar con los datos del problema. La existencia de una cantidad indeterminada que no se puede, ni se quiere especificar. La existencia de dos o más cantidades indeterminadas que son dependientes entre sí.
Condiciones La relación de los datos con la incógnita debe permitir plantear una igualdad.
La relación de los datos con el número generalizado no permite plantear una igualdad.
La relación de los datos con las variables permite plantear la igualdad de una variable en término de las otras. Ejemplos 2x 5 8 2x 5 8 2x 5 y 2
5
6 0
a
a
a
2 5a
6
b a
25a
6
3 2 3 4 M M 3 2 3 4 M M 3 2 3 4 M F M LENGUAJE ALGEBRAICO Problemas Resueltos
Identificar en cada uno de los siguientes problemas el tipo de variable involucrada (incógnita, número generalizado o variable) y la expresión que las contiene (ecuación, expresión algebraica o relación funcional):
1) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo, pero al ampliarse 1 metro el ancho y 2 metros el largo se necesitaron 48 metros de alambre para cercarlo. ¿Cuáles eran las medidas del terreno inicial?
Solución:
El ancho del terreno es una cantidad desconocida, cuyo valor se quiere y se puede determinar con los datos del problema, es por tanto una incógnita.
x: ancho del terreno (incógnita)
Para determinar la ecuación es necesario relacionar los datos para formar expresiones y establecer algún tipo de equivalencia que permita plantear la igualdad de la ecuación. A través del dibujo podemos analizar la relación de los datos con la incógnita:
El perímetro del rectángulo está dado por la expresión
2(2x 1) 2(x2)
La igualdad surge del hecho que este perímetro debe ser 48, se plantea entonces la ecuación 2(2x 1) 2(x2)48 LENGUAJE ALGEBRAICO
2) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo, luego se amplió 1 metro el ancho y 2 metros el largo. ¿Cuántos metros de alambre se requieren para cercarlo?
Solución:
En este caso el ancho del terreno es una cantidad que podría asumir cualquier valor positivo, cumple con la definición de número generalizado.
x: ancho del terreno (número general)
Dado que el ancho del rectángulo es variable, lo que realmente importa en la situación no es determinar un valor específico para la longitud del alambre, sino su expresión general en términos de
x
.El alambre cubre el perímetro del rectángulo, por tanto su longitud está dada por la expresión algebraica
2(2x 1) 2(x2)
3) Una fábrica produce piezas metálicas rectangulares, cuyo contorno (perímetro) debe ser rodeado por un alambre de 200 mm de longitud. Encuentre la relación entre la altura y la base de las piezas que se pueden construir con esta condición. ¿Cuál es la altura de una pieza de base 64 mm? LENGUAJE ALGEBRAICO h b
Solución:
En el problema, los valores de la altura y la base pueden variar, pero ajustándose a una condición, que permite establecer una dependencia entre ellas. Se trata por tanto de variables y de una relación funcional. Dado que se quiere determinar la altura dado un valor específico de la base, h es la variable dependiente y b la independiente.
h: “medida de la altura” (variable dependiente) b: “medida de la base” (variable independiente)
La condición es que el alambre, que cubre el perímetro del rectángulo, mida 200 mm., lo que permite establecer una expresión
2h2b “perímetro de la pieza rectangular”
Y la igualdad
2h2b200
La función involucrada requiere despejar h en términos de b 2h2b200 h b 100 h 100b
Por tanto la función que relaciona estas variables es 100
h b
Se dice que h está en función de b.
Para determinar la altura cuando la base vale 64 basta reemplazar b = 64 y calcular h.
LENGUAJE
Problemas Propuestos
1. Traducir las siguientes situaciones a lenguaje algebraico y señalar si se trata de ecuaciones, expresiones algebraicas o relaciones funcionales y cuál es el uso de los literales que está involucrado (incógnita, número generalizado o variables):
a) Para evitar los choques se recomienda que la distancia entre dos vehículos sea 0,55 veces la velocidad que llevan.
b) El precio de un repuesto es p, un segundo repuesto es $120 pesos más caro y el precio de un tercer repuesto es el doble del precio de los otros dos repuestos juntos, ¿cuál es el precio total de los tres repuestos?
c) La velocidad promedio de un móvil es igual al cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla.
d) Un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra desde un estanque que contiene 500 litros, si del estanque salen 0,32 litros de agua por minuto, ¿al cabo de cuántos minutos el estanque se reducirá a la mitad?
2. Dada la siguiente figura:
Utiliza el lenguaje algebraico para representar las siguientes situaciones: a) ¿Cuánto vale la altura y la base?
b) ¿Cuál es la expresión para el área? c) Si el área vale 120 cm2, ¿cuánto vale x?
d) Si la medida de x varía entre 0 cm y 10 cm, ¿cuánto varía el área de la figura?
e) Si se desea que el área fluctúe entre 100 cm2 y 150 cm2, ¿cuánto debe varía la medida de x?
LENGUAJE
(Recuerda que el propósito del problema es escribir en lenguaje algebraico, no resolver)
3. Los siguientes son números consecutivos 7, 8 y 9. Dado un número su consecutivo se le suma 1:
a) ¿Cómo se representaría de manera general la suma de tres números consecutivos? Intenta reducir la expresión.
b) Si el primero es n, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos? c) Si el segundo es m, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos? 4. ¿Cuál es el área de un rectángulo de lados 4 y 5?, ¿5 y 6?, ¿10 y 11? Generaliza en una expresión para el área de este tipo de rectángulos.
5. Los siguientes dibujos representan los modelos de baldosas para habitaciones rectangulares, con baldosas negras y blancas colocadas siempre de la misma manera:
a) ¿Cuántas baldosas blancas tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura ubicada en un lugar n?
b) ¿Cuántas baldosas negras tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura ubicada en un lugar n?
c) Expresa algebraicamente la relación entre baldosas blancas y negras. d) ¿Cuántas baldosas negras tiene una figura con 110 baldosas blancas? LENGUAJE ALGEBRAICO LENGUAJE ALGEBRAICO
Valorizar expresiones algebraicas
En la sección anterior se señaló que el primer objetivo en el estudio del álgebra elemental es ser capaz de expresar simbólicamente las relaciones y procesos involucrados en una situación problema, teniendo en cuenta que los símbolos literales, con su diversidad de significados, representan números.
Algunas veces el propósito que se persigue es solo representar la situación en lenguaje algebraico. Sin embargo, es común que a partir de esa generalización se quiera obtener valores específicos de la expresión, reemplazando las letras por números particulares.
Problema 3: Determine una expresión algebraica para la longitud de la banda que une dos poleas de igual diámetro. Determine luego la longitud de la banda cuando las poleas están a 80 cm. de distancia y su diámetro es de 10 cm.
Solución:
La banda cubre 2 veces la distancia L, es decir 2L, más las dos mitades de las poleas respectivas, lo que equivale al perímetro de una sola de ellas, esto es D . Por tanto la longitud de la banda que pasa por las poleas es
2LD
Ya tenemos la expresión algebraica que representa a la longitud de la banda, ahora queremos determinar su valor específico cuando L80 y D10. Reemplazando se tiene 2 80 10191, 4cm. VALORIZAR EXPRESIONES L
Otra razón para evaluar expresiones algebraicas es determinar la validez de ciertas proposiciones. A través del lenguaje algebraico intentamos abstraer y generalizar ciertas propiedades matemáticas. Por ejemplo, a partir de las siguientes igualdades
2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 7 9 7 9 Es lógico inducir una propiedad, válida para cualquier par de números reales, que se puede expresar de forma general como
a b
2 a2b2Para que esta igualdad constituya una identidad, debemos asegurarnos que es cierta para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, no solo para algunos valores. En efecto, para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ se cumple que
a b
2 a b
a b
a a
b b
a2b2La generalización es un proceso que se realiza constantemente en la práctica matemática, sin embargo, muchas veces se cometen errores al realizar algunas generalizaciones abusivas, que consiste en extender ciertas identidades válidas a otras que no lo son, por ejemplo:
Como
a b
2 a2b2se cree que
ab
2 a2b2 Comoa b
a
b
se cree quea b
a
b
Como 2
a b
2a2b se cree que 2a b 2a2b Como a b a bc c c
se cree que a a a bc b c
Evalúa esas igualdades y podrás comprobar que no son ciertas para todos los valores de sus variables.
Podemos extender mucho más la lista de errores producidos por generalizaciones abusivas, pero estos ejemplos pueden bastar para mostrar el fenómeno. Ten cuidado, comprueba tus afirmaciones matemáticas. VALORIZAR EXPRESIONES
Por ejemplo,
2 2 2ab a b no es una propiedad matemática, porque
solo es cierta para algunos valores particulares, por ejemplo cuando a0 y 0
b , pero es falsa en otros casos. Basta comprobar que la igualdad no se
cumple para un caso, como cuando a1 y b1, para descartarla como propiedad matemática, en efecto
1 1
2 22 42 2
1 1 1 1 2 Luego
1 1
2 12 12Respecto del mismo ejemplo, la propiedad válida para todo a b, es
ab
2 a22abb2Lo que puede cobrar sentido al considerar que el área de un cuadrado de lado
a b
es la suma de las áreas de las partes que las compone: VALORIZAR EXPRESIONES
Problemas Resueltos
1. El rebaje del cabezal móvil para elaborar un perfil cónico es igual a la mitad de la diferencia entre el diámetro mayor y el diámetro menor.
a) Expresar la medida del rebaje de forma algebraica.
b) determinar la medida del rebaje del cabezal si los diámetros son 12 cm. y 4,6 cm.
Solución:
a) Rebaje igual a la mitad de la diferencia entre los diámetros, esto es
2
Dd
b) Evaluando en D12y d4, 6 se tiene que la medida del rebaje es
12 4,6 7, 4 3,7
2 2
2. Mostrar que las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas: a) a b c
a b a c b) ab cb a c Solución:a) En efecto, esta forma de operar es una extensión inadecuada de la propiedad distributiva, esto es
Como a b c
a b a cse asume que a b c
a b a c VALORIZAR EXPRESIONES d D
Basta evaluar en algunos valores, por ejemplo a2, b3 y c4para verificar que la igualdad no se cumple para todos los valores de a b c, , :
2 3 4
2 12 24a b c
a b a c 2 3 2 4 6 8 48Se verifica que 2 3 4
2 3 2 4 , por tanto
a b c a b a c no es una propiedad cierta.
b) Este error se produce al extender la propiedad de simplificación de factores a la suma.
Como a b
c b a c
se piensa que también vale ab
cb a c
Veamos que no es cierto para todo a b c, , evaluando en a2, b4 y
6 c , en efecto 2 4 6 2 6 4 10 6 a b a c b c
Aunque la igualdad puede ser cierta para algunos valores, no lo es para todo a b c, , , por tanto no es una propiedad matemática válida.
Problemas Propuestos
1. Construye las expresiones algebraicas que representan cada situación y evalúalas para encontrar el valor específico que se solicita:
a) En una fábrica de automóviles se comprobó que el rendimiento de combustible de un automóvil (km/litro) depende de su velocidad (km/hr), siendo igual a 180 menos la velocidad por 0,002 veces la velocidad. ¿Cuál es el rendimiento de un automóvil que se desplaza a velocidad constante de 50 km/hr?
b) La resistencia total de un circuito en paralelo es igual al cociente entre las resistencias parciales y su suma. ¿Cuál es la resistencia total de un circuito en paralelo con resistencias parciales 𝑟1= 4 ohm y 𝑟2= 6 ohm.
VALORIZAR
c) La deflexión de una viga está dada por la fórmula 3 3 PL Y EI , donde
𝑃: peso de la viga; 𝐿: longitud de la viga 𝐸; 𝐼: constante de la viga. ¿Cuál es la deflexión de una viga si el peso es de 2,5 kg., su longitud es de 1,20 metros y la constante E=0,5?
2. Determina cuales de las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas válidas para todos los valores de sus variables:
a) a2b2
a b
2 b) x2y2 x y c) 3 3 a a b b d)a b
a
b
e)a
n m a
na
m3. Encuentre una expresión para el número de líneas que se necesitan para formar la figura del lugar n. Use esta expresión para determinar el número de líneas de la figura del lugar 125.
4. Se construye una escalera apilando adoquines, como se muestra en la figura. Determina una expresión para el número de adoquines que se necesitan para formar una escalera con x peldaños. ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 25 peldaños?
VALORIZAR
Manipulación algebraica
El estudio del álgebra elemental considera dos objetivos fundamentales: 1. Ser capaz de expresar a través de símbolos las relaciones y procesos involucrados en una situación.
2. Alcanzar una destreza que permita manipular las expresiones simbólicas, transformarlas en otras equivalentes, que resulten más útiles para resolver el problema planteado.
El primer punto permite tener control sobre el significado de las expresiones algebraicas que construimos, sin embargo, si la habilidad para