Compensation for Attenuation Misalignment

Si queremos aproximar mejor la funci ´on sin tener que hacer demasiados

_Nota

Tangente proviene del lat´ın tangere, que quiere decir ‘tocar’. Osculus en lat´ın quiere decir ‘beso’. Es decir, que la par´abola osculadora besa la curva o el grafo.

c´alculos m´as, podemos utilizar, en lugar de una recta tangente, una par´a-

bola tangente.

Intuitivamente, si la recta tangente se parece a la funci ´on es porque en el

punto donde se tocan tienen la misma pendiente o derivada primera. Si

una par´abola se tiene que parecer a una funci ´on, las derivadas segundas

tambi´en deber´an coincidir. Haremos los c´alculos necesarios para demos-

trarlo.

Queremos una par´abola que se parezca lo m´aximo posible a la gr´afica

de nuestra funci ´on f en el punto x= a. Ser´a m´as f´acil para hacer los c´al-

culos desplazar nuestra funci ´on hacia el eje vertical a unidades, poniendo

f(x + a), y buscar una par´abola que se parezca a la gr´afica de la funci´on

g(x) = f(x + a) en el punto x = 0. Sea y = p(x) = c

₁

x

2

+ c

₂

x+ c

₃

la ecuaci ´on

de la par´abola. Planteamos las ecuaciones para que el polinomio p y la

funci ´on g tengan el mismo valor y derivadas iguales en x= 0.

g(0)

= p(0)

⇒ c

₃

= f(a)

g



(0) = p



(0) ⇒ c

₂

= f



(a)

g



(0) = p



(0) ⇒ 2c

₁

= f



(a)

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

Es decir, nuestro polinomio es:

g(x) ≈ p(x) =f



_(a)

2

x

2

+ f



(a)x + f(a), con x cerca de 0.

Sin embargo, ahora tenemos que volver a mover los elementos hasta el

punto x= a, hacia la derecha; con lo que obtendremos:

f(x) ≈ p(x − a) =f



_(a)

© FUOC • P01/75005/00101 38 Las ideas b´asicas del c´alculo

.

Para una funci ´on derivable f y un punto a, la mejor aproximaci ´on

de segundo orden es la que viene dada por:

f(x) ≈ f(a) + f



(a)(x − a) +f



_(a)

2

(x − a)

2

para los valores de x que est´en cerca de a.

Ejemplo 4.3.

Si volvemos al ejemplo anterior, para calcular de manera aproximada ln 10, 5 ahora har´ıamos:

ln 10, 5 = ln 10 + ln_{(10)(10, 5 − 10) +}ln(10)

2 (10, 5 − 10)2= = 2, 3025 + 0, 05 − 0, 00125 = 2, 35375.

Ejemplo 4.4.

Introducimos la siguiente funci ´on en el programa de gr´aficas:

f(x) = e−x2. Sus derivadas (lo tendr´ıais que comprobar) son:

f(x) = −2xe−x2, f(x) = −2(1 − 2x2)e−x2

y, por lo tanto, el polinomio de segundo grado que mejor se aproxima a la funci ´on x = a ser´a el siguiente: Pa(x) = e−a 2 − 2ae−a2 (x − a) − (1 − 2a2_)e−a2 (x − a)2_.

Tras haber introducido los datos en el programa de gr´aficas, podemos darle

valores a a y solicitar la gr´afica conjunta de f(x) y de la par´abola.

Repetid esta operaci ´on para diferentes valores de a y observad con atenci ´on

c ´omo la par´abola se ajusta a la funci ´on cerca del punto(a, f(a)).

M´as adelante ver´eis que, dada una funci ´on derivable, se puede calcular un

polinomio de grado n que la aproxima cerca de un punto.

.

Dada una funci ´on derivable f(x) y un punto x = a de su dominio, el

polinomio de grado n que mejor aproxima la funci ´on cerca del punto

aes el polinomio de Taylor de gradon, que se calcula seg´un:

P

n

(x) =

n



i=0

f

(i)

(a)

i!

(x − a)

i

₌

= f(a) + f



_{(a)(x − a) +}f



(a)

2!

(x − a)

2

+

f



(a)

3!

(x − a)

3

+

+ . . . +f

(n)

(a)

n!

(x − a)

n

_.

4.5. Ejercicios

4.2. La ecuaci ´on y2x−x3= yx2+2 define una funci ´on impl´ıcita y(x) en el cuadrante x, y > 0. a) Calculad y para x = 2. ¿Pod´eis expresar y en funci ´on de x? ¿La expresi ´on que se obtiene es f´acil de derivar?

b) Derivando de manera impl´ıcita, calculad y(2).

4.3. Demostrad, utilizando la derivaci ´on impl´ıcita, que las ´unicas funciones derivables y(x) que pueden cumplir y + ln(1 + y) = 1 son funciones constantes.

4.4.

a) Encontrad la ecuaci ´on de la recta tangente a la curva 3(x2+ y2)2 = 100xy en el punto (3, 1). (Esta curva se conoce como lemniscata; tratad de hacer su gr´afica con el ordenador.) b) Encontrad la ecuaci ´on de la recta tangente a la curva x3+ y3_{− 6xy = 0 en el punto (}4

3,83).

(Esta curva se llama folio de Descartes; intentad hacer la gr´afica con el ordenador.)

4.5. Calculad la aproximaci ´on lineal y la de segundo orden de las siguientes funciones en los puntos dados:

a) f (x) = x+1_x−1 en el punto x = 3. b) f (x) = xex_{en el punto x = 0.}

c) f (x) = 3ln xen el punto x = 1.

4.6. Dada la funci ´on f (x) = ex_{+ e}−x_{, consideramos el punto de abscisa 1.}

a) Encontrad la ecuaci ´on de la recta tangente a la gr´afica de la funci ´on en el punto con- siderado. Dibujad en el programa de gr´aficas la funci ´on y la recta para x entre 0,5 y 1,5. ¿Consider´ais que la recta aporta una buena aproximaci ´on a la funci ´on cerca del punto? Haced una comparaci ´on de los valores de la funci ´on y de la recta en 1,1, 1,2, 0,9, 0,8, etc. Pedid al programa de gr´aficas la gr´afica conjunta de la funci ´on f (x) y de la recta tangente r(x) para x sobre 0,8 y 1,2; despu´es, para x entre 0,9 y 1,1.

b) Calculad la aproximaci ´on de segundo orden a f en el punto x = 1. Dibujad en el programa de gr´aficas las tres funciones para x entre−2 y 2: la funci´on f(x), la recta tangente r(x) y la par´abola que hab´eis obtenido p(x). Haced el mismo proceso de zoom, como antes: pedid la gr´afica conjunta para x entre 0,5 y 1,5, entre 0,8 y 1,2 y entre 0,9 y 1,1. . .

4.6. Solucionario

4.1. Si derivamos el lado de la izquierda de la igualdad respecto de x, sin olvidar que y es funci ´on de x:

d dx(x

α_yβ_{) = αx}α−1_yβ_{+ x}α_{· βy}β−1_{· y}_,

mientras que por la derecha obtenemos:

d

dx(xy) = 1 · y + xy

_.

Igualmente, aislando yobtenemos:

dy dx= y− αxα−1_yβ βxα_yβ−1_{− x} = y(1 − α) x(β − 1). 4.2.

a) Sustituimos x = 2 en la ecuaci ´on dada y encontramos el valor de y. Es decir, tenemos que resolver la ecuaci ´on: y2− 2y − 5 = 0. Se trata de la ´unica soluci´on v´alida, teniendo en cuenta que x, y > 0, es y = 3, 45.

En general, para una x dada, y2x− x3= yx2+ 2 ⇐⇒ y2x− yx2− (2 + x3) = 0, que es un polinomio de segundo grado para y. As´ı, la soluci ´on en funci ´on de x ser´a:

y= x

2_±√_5x4+ 8x

2x ,

© FUOC • P01/75005/00101 40 Las ideas b´asicas del c´alculo

b) Derivando impl´ıcitamente, tenemos que 2yyx+ y2− 3x2= yx2+ 2xy, de donde: y=2xy − y

2_{+ 3x}2

2xy − x2 .

Ahora, sustituyendo por x = 2, obtenemos y= 1, 42. 4.3. Derivando a ambos lados de la igualdad, tenemos:

y+ 1 (1 + y)y= 0 ⇒ y



1 + 1 1 + y

= 0, para y > −1

de donde, dado que y= −2, tenemos que y= 0, lo que implica que y tiene que ser constante. 4.4.

a) Sustituimos y por y(x) y derivamos impl´ıcitamente con respecto a x para encontrar la pendiente y(3) de la recta tangente:

3 · 2(x2+ y2(x))(2x + 2y(x)y(x)) = 100(y + xy(x)). Evaluamos en x = 3 e y = 1:

60(6 + 2y(3)) = 100(1 + 3y(3))

y despejamos la pendiente y(3) =13₉. La ecuaci ´on de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1) es:

Y − 1 =13 9(X − 3).

b) Sustituimos y por y(x) y derivamos impl´ıcitamente respecto de x para encontrar la pen- diente y(4₃) de la recta tangente:

3x2+ 3y2(x)y(x) − 6y(x) − 6xy(x) = 0. Evaluamos en x = 4₃ e y =8₃: 16 3 + 64 3 y( 4 3) − 48 3 − 24 3y( 4 3) = 0

y despejamos la pendiente y(4₃) = 4₅. La ecuaci ´on de la recta tangente a la curva en el punto (4 3,83) es: Y −8 3= 4 5(X − 4 3). 4.5.

a) De entrada, calcularemos las derivadas primera y segunda de la funci ´on:

f(x) = −2 (x − 1)2,

f(x) = 4 (x − 1)3.

Por lo tanto, la aproximaci ´on lineal en el punto x = 3 ser´a:

f(x) ≈ f(3) + f(3)(x − 3) = 2 + (−1 2)(x − 3), y la de segundo orden: f(x) ≈ f(3) + f(3)(x − 3) +f(3) 2 (x − 3)2= 2 + (− 1 2)(x − 3) + 1 4(x − 3)2. b) Las derivadas primera y segunda de la funci ´on vienen determinadas por:

f(x) = ex+ xex, f(x) = 2ex+ xex. Por lo tanto, la aproximaci ´on lineal en el punto x = 0 ser´a:

f(x) ≈ f(0) + f(0)x = x, y la de segundo orden:

f(x) ≈ f(0) + f(0)x +f

₍₀₎

c) Las derivadas primera y segunda de la funci ´on vienen dadas por: f(x) = 3ln xln 3 x , f(x) = 3ln x



_{ln 3} x

2 − 3ln xln 3 x2 . Por lo tanto, la aproximaci ´on lineal en el punto x = 1 ser´a:

f(x) ≈ f(1) + f(1)(x − 1) = 1 + ln 3(x − 1), y la de segundo orden: f(x) ≈ f(1) + f(1)(x − 1) +f ₍₁₎ 2 (x − 1)2= 1 + ln 3(x − 1) + (ln 3)2_{− ln 3} 2 (x − 1)2. 4.6.

a) A partir de la definici ´on, la recta tangente a la funci ´on f (x) = ex_{+ e}−x_{en x = 1 vendr´a}

dada por la ecuaci ´on y− f(1) = f_{(1)(x − 1), que se puede reescribir como:}

y= 2 e+ (e −

1 e)x.

b) Calculamos la ecuaci ´on de la par´abola tangente a f en el punto x = 1, que vendr´a dada por: y= f(1) + f(1)(x − 1) +f(1) 2 (x − 1)2 y, por lo tanto: y= e +1 e+



e−1 e

(x − 1) +1₂



e+1 e

(x − 1)2_.

© FUOC • P01/75005/00101 42 Las ideas b´asicas del c´alculo

5.

La integral

.

Chema, un estudiante de la diplomatura de Empresariales, hace pr´acticas

en la empresa Pujante, S.A., donde ha conseguido un modelo muy bueno

para representar la evoluci ´on de los beneficios mensuales. Ha comprobado,

y adem´as ha convencido al director general de ello, que la funci ´on con-

tinua:

B(t) = (t − 12)

3

+ 1.728

representa muy bien la evoluci ´on de los beneficios a lo largo de los dos

´ultimos años. Si ponemos el tiempo (t) en meses, se obtiene B(t), los

beneficios en miles de pesetas del mes t. Sin embargo, ahora tiene un

problema: el director general le dice que calcule el total de los beneficios

de estos dos años seg ´un su modelo y no sabe c ´omo hacerlo. El director

le comenta que lo que tiene que hacer es calcular los beneficios de cada

mes y sumarlos. Sin embargo, Chema no lo ve claro, ya que su modelo es

continuo, y se encuentra con que el nivel de beneficios var´ıa a lo largo del

mes y el c´alculo propuesto por el director general no tiene en cuenta este

detalle. Por ejemplo, el primer mes, t

= 0, dar´ıa 0, cuando de hecho, al

final del primer mes el modelo est´a dando beneficios.

Beneficios mensuales Beneficios mensuales

Tiempo 0 5 10 15 20 25 Tiempo 0 5 10 15 20 25 3.500 3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 500 0 3.500 3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 500 0 3.500 3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 500 0

A Chema se le ocurre una soluci ´on: en lugar de sumar los beneficios de

todos los meses, calcula los beneficios de cada semana y los suma. En la

figura de la izquierda se muestra de forma gr´afica el resultado de haber

sumado los beneficios de los meses, donde cada mes queda representado

por una columna de altura igual a sus beneficios y de amplitud igual a

1. En la figura de la derecha, cada semana es una pequeña columna de

amplitud

1₄

, y el total de beneficios ser´a la suma de estas columnas.

In document Improving the Accuracy of CT-derived Attenuation Correction in Respiratory-Gated PET/CT Imaging (Page 68-71)