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Nos interesa desarrollar m´etodos para calcular ´areas que queden bajo las

gr´aficas de funciones por varios motivos. Uno de ´estos ya lo hemos visto en

el ejemplo anterior, y m´as adelante veremos otras aplicaciones del c´alculo

de ´areas o, como se suelen denominar, integrales definidas.

.

Dada la funci ´on continua y positiva f en un segmento

[a, b], defi-

nimos la integral def en [a, b] como el ´area comprendida entre el

grafo de f , el eje horizontal y las rectas x= a y x = b. Este n´umero

lo indicaremos por:



b a

f

o bien



b a

f(x)dx.

Observad que la integral de una funci ´on en un intervalo (o integral de f

desde a hasta b, como tambi´en se conoce) es un n ´umero.

Actividad

1. Mediante el uso de la hoja de c´alculo, calculad el ´area de un semic´ırculo de radio 1. Si consideramos la funci ´on f (x) = √1 − x2 _{definida entre 0 y 1, su gr´afica es un cuarto de}

circunferencia centrada en el punto (0, 0) de radio 1. Sabemos, por lo tanto, que el ´area tiene que ser πr2

4 ≈ 0, 7854. La calcularemos siguiendo las ideas que se han presentado antes.

Sin embargo, aprovecharemos la ocasi ´on para observar que este tipo de c´alculos se puede realizar de dos formas distintas (como m´ınimo). Si se trata de dividir el cuarto de c´ırculo en cortes verticales y aproximar cada corte mediante un rect´angulo, podemos tomar como altura del rect´angulo el mayor o menor de entre los posibles. En el primer caso (figura de la izquierda), decimos que la suma superior, la suma de todos los rect´angulos, aproxima el ´area por encima. En el otro caso (figura de la derecha), la suma inferior aproxima el ´area en cuesti ´on por debajo.

© FUOC • P01/75005/00101 44 Las ideas b´asicas del c´alculo

Los c´alculos num´ericos realizados en la hoja de c´alculo se muestran en

las siguientes figuras, donde se nos presentan tres porciones de hoja de

c´alculo. En el primero, arriba a la izquierda, pod´eis ver los valores de x

que subdividen el segmento

[0, 1] en diez subintervalos; en la columna B

encontramos los valores de la funci ´on (el cuarto de c´ırculo) en cada uno

de los extremos inferiores de los subintervalos.

.

Para calcular las sumas inferiores y superiores, necesitamos las alturas m´a-

xima y m´ınima de cada rect´angulo, que hallamos calculadas en las co-

lumnas C y D. Esto es f´acil de conseguir si las funciones son crecientes o

decrecientes; en este caso se alcanzan en los extremos.

La programaci ´on de la hoja de c´alculo se puede ver en la tercera porci ´on.

Por ejemplo, en la casilla C4 tenemos la f ´ormula =MIN(B4;B5), y as´ı en

el resto. Con esto ya resulta f´acil calcular las ´areas de los rect´angulos (co-

lumnas E, F). Arriba a la derecha se reproduce el tramo inicial y el final del

mismo c ´omputo, que se ha realizado no con 10 subintervalos, sino con 25.

Pod´eis apreciar con claridad que ahora las sumas inferiores y superiores se

aproximan mucho mejor al valor que sabemos que es el exacto: 0,7854.

Sin embargo, todav´ıa nos queda una observaci ´on que os puede ayudar a

comprender totalmente el ejemplo: en la hoja de c´alculo que os presenta-

mos no se aprecia la diferencia entre los rect´angulos inferiores y superiores,

circunstancia que se debe al hecho de que s ´olo se ven dos decimales y en

casi todos los casos la diferencia es de orden superior.

Tras haber completado el ejemplo, generalizamos y fijamos notaciones,

teniendo en cuenta que si colocamos n rect´angulos en el segmento[a, b],

cada uno tendr´a una amplitud

b−a

n

.

.

La integral definida

Si tomamos valores en a= x

₀

< x

₁

< . . . < x

n

= b que subdividen en

partes iguales el intervalo[a, b] en n tramos y denominamos sumas

inferiores al n ´umero:

SI

_n

(f, a, b) =

b− a

n

n



i=1

min(f(x

i−1

), f(x

i

))

y sumas superiores al n ´umero:

SS

n

(f, a, b) =

b− a

n

n



i=1

max(f(x

i−1

), f(x

i

)),

tendremos, en tal caso, para valores grandes de n, que:

SI

n

(f, a, b) ≤



_b

a

f

≤ SS

n

(f, a, b).

(5.1)

Adem´as, si la funci ´on f es continua, tomando un valor de n su-

ficientemente grande, podemos hacer que estos tres n ´umeros sean

tan parecidos como queramos.

Este ´ultimo hecho es crucial: si en las gr´aficas del cuarto de c´ırculo en

lugar de 10 intervalos tomamos 20, 30 ´o 2.000, la diferencia entre las

“escalerillas” y la circunferencia cada vez ser´a m´as y m´as pequeña. De este

modo, podremos calcular el ´area con tanta precisi ´on como queramos.

Ejercicios

5.1. Repetid sin el ordenador el c ´omputo de las aproximaciones al ´area del c´ırculo, to- mando n = 4 intervalos en [0, 1], y despu´es hacedlo en la hoja de c´alculo tomando 50 intervalos.

Desde el principio de este apartado hemos considerado, exclusivamente, funciones posi- tivas, si bien las definiciones anteriores se pueden generalizar sin demasiados problemas a funciones que cambien de signo o que sean negativas.

© FUOC • P01/75005/00101 46 Las ideas b´asicas del c´alculo

5.2. Considerad la funci ´on f (x) = (x− 2)2_{− 2 en el intervalo [0, 3].}

a) Haced una subdivisi ´on del intervalo en tres subintervalos y calculad el valor de la funci ´on en cada uno de los puntos que hab´eis obtenido.

b) Calculad los valores m´aximo y m´ınimo de la funci ´on en los extremos del subintervalo para cada intervalo de la subdivisi ´on.

c) Con la informaci ´on anterior, calculad la suma inferior y la superior de f entre 0 y 3. d) Mediante el uso de la hoja de c´alculo, repetid este c´alculo para n = 25.

Ahora ya estamos en condiciones de precisar un poco m´as la definici ´on

anterior, aplic´andola a funciones que no sean por necesidad positivas y

continuas.

.

Dada una funci ´on cualquiera f definida en el intervalo[a, b], decimos

que f es integrable en[a, b] si cuando n → ∞ las sumas inferiores y las

sumas superiores tienden a un mismo n ´umero. Este n ´umero recibe

el nombre de integral def entre a y b.

Ejemplo 5.1.

La funci ´on f (x) = x

|x|, f(0) = 0 no es continua (lo hab´eis visto en el ejercicio 1.2); pero es

integrable y su integral en el intervalo [–1, 1] vale cero. Esta afirmaci ´on se puede obtener directamente de la definici ´on de la funci ´on as´ı como tambi´en se puede deducir de algunas de las propiedades que veremos a continuaci ´on.

Tal y como se han definido las sumas superiores e inferiores m´as arriba,

queda claro que para calcular la integral de una funci ´on en un intervalo

[a, b] podemos hacerlo dividiendo primero el intervalo en dos partes o m´as,

calculando la integral en cada una de las partes y, por ´ultimo, sumando

los resultados parciales que se hayan obtenido. Podemos expresarlo de la

siguiente forma:

.

Si f es integrable en el intervalo[a, b] y m es un punto cualquiera del

intervalo, a < m < b:



_b a

f

=



_m a

f+



_b m

f.

In document Improving the Accuracy of CT-derived Attenuation Correction in Respiratory-Gated PET/CT Imaging (Page 92-94)