En esta secci´on extraeremos numerosas consecuencias del teorema siguiente, que es el motivo que nos ha llevado a estudiar los grupos formales en el cap´ıtulo anterior:
Teorema 6.16 SeaE/K una curva el´ıptica dada por una ecuaci´on de Weiers- trass entera, seaGel grupo formal deE (que por5.3es un grupo formal sobre el anilloO) y seaz(T)la serie de Taylor dez=−1/yenO respecto del par´ametro
t=−x/y (que por5.2est´a enO[[T]]). Entonces la aplicaci´onG(P)−→E1(K)
dada por t → (t/z(t),−1/z(t)) (entendiendo que la imagen de 0 es O) es un isomorfismo de grupos.
Demostraci´on: Observemos en primer lugar que
E1(K) ={P ∈E(K)|v(t(P))≥1, v(z(P))≥1}.
En efecto, si ˜P = [0,1,0], entonces P = [a, b, c], dondev(a)≥1,v(b) = 0,
v(c) ≥1, y entonces t(P) =−a/b, z(P) = −c/b son enteros no unitarios. El rec´ıproco se prueba igualmente.
Llamemosφ:G(P)−→P2(K) a la aplicaci´on dada por
φ(t) = [t,−1, z(t)].
La definici´on es correcta, pues la seriez(T) tiene coeficientes enteros, y esto implica que converge en los puntos deG(P).
Sabemos quez(T) =T3(1+· · ·), de donde se sigue quez(T) s´olo se anula en
t= 0. Por lo tanto, en t´erminos de las coordenadas de Weierstrass tenemos que
φ(0) =O y, para los dem´as puntos,φes la aplicaci´on descrita en el enunciado. La seriez(T) cumple la ecuaci´on
z=T3+ (a1T +a2T2)z+ (a3+a4T)z2+a6z3,
donde los coeficientes ai son los de la ecuaci´on de Weierstrass minimal que
estamos considerando. Se aqu´ı se sigue que si t∈G(P), entonces el puntoφ(t) cumple la ecuaci´on de Weierstrass, luego φ:G(P)−→E(K). M´as a´un, como
z(t)∈P3, es obvio queφ(t) se reduce al punto ˜O, luegoφ:G(P)−→E1(K).
Vamos a ver queφtiene por inversa a la aplicaci´ont:E1(K)−→G(P). Es
inmediato que t(φ(t0)) =t0, para todo t0 ∈ G(P). Tomemos ahora un punto P ∈E1(K) y hemos de probar queφ(t(P)) =P. Podemos suponer queP =O,
y entonces P = (x(P), y(P)) = (t(P)/z(P),−1/z(P)), luego basta demostrar quez(t(P)) =z(P). (Notemos que laz del miembro izquierdo es la seriez(T), mientras que la del miembro derecho es la funci´onz∈K(E)).
Si llamamos t0 = t(P) ∈ P, los dos n´umeros z(t0) y z(P) est´an en P y
cumplen la ecuaci´on
Por consiguiente, la diferenciaz(t0)−z(P) es
(a1t0+a2t20)(z(t0)−z(P)) + (a3+a4t0)(z(t0)2−z(P)2) +a6(z(t0)3−z(P)3).
Si fuera z(t0)=z(P) podr´ıamos dividir:
1 =a1t0+a2t20+ (a3+a4t0)(z(t0) +z(P)) +a6(z(t0)2+z(t0)z(P) +z(P)2),
y de aqu´ı se concluye que 1∈P, lo cual es absurdo.
Con esto tenemos probado que φ y t son mutuamente inversas. Vamos a probar, por ´ultimo, quetes un homomorfismo de grupos. Seas:E×E−→K
la composici´on de la suma enEcon la funci´ont. Se trata de una funci´on racional enE×E, luegos=R(t1, z1, t2, z2), para ciertaR∈K[T1, Z1, T2, Z2]. Entonces
su serie de Taylor en (O, O) respecto de los par´ametros t1, t2 es claramente s(T1, T2) =R(T1, z(T1), T2, z(T2)). Por lo tanto, siP,P∈E1(K), se cumple
t(P+P) = R(t(P), z(P), t(P), z(P)) =R(t(P), z(t(P)), t(P), z(t(P))) = s(t(P), t(P)) =t(P) +t(P).
Esto demuestra que t es un isomorfismo de grupos y, por consiguiente, φ
tambi´en lo es.
El isomorfismo dado por el teorema anterior nos permite definir una cadena de subgrupos deE1(K), correspondientes a los subgrupos G(Pn). Vamos a ver
que ´estos tienen una interpretaci´on natural.
Definici´on 6.17 Sea E/K una curva el´ıptica definida por una ecuaci´on de Weierstrass enteraF(X, Y, Z) = 0, donde
F(X, Y, Z) =Y2Z+a1XY Z+a3Y Z2−X3−a2X2Z−a4XZ2−a6Z3.
Definimos como sigue una aplicaci´onv :E(K)−→N∪ {+∞} (que no hay que confundir con la valoraci´on en K, pese a que usamos la misma notaci´on). Para cada puntoP ∈E(K), fijamos unas coordenadas homog´eneas (x, y, z) que sean enteras y al menos una de ellas unitaria. (As´ı, v(x), v(y), v(z) ≥ 0 no dependen de la elecci´on de la terna.)
• Si v(z) = 0 diremos que el puntoP esentero y definimosv(P) = 0.
• Si v(z)>0, despejandox3en la ecuaci´on vemos que v(x)>0, luego por
la elecci´on de la terna ha de serv(y) = 0 y al despejar x3 el t´erminoy2z
tiene valorP-´adico estrictamente menor que cualquier otro de su miembro, luego 3v(x) =v(z). En este caso definimosv(P) =v(x).
Para comprender el significado dev observamos en primer lugar que
v(P) = +∞ si y s´olo si P=O.
En efecto, O = [0,1,0] est´a en el caso v(z) = +∞>0 y entonces tenemos que v(O) = v(x) = v(0) = +∞. Rec´ıprocamente, si v(P) = +∞ es porque
Para un punto finitoP = (x, y) = [x, y,1], tenemos que
v(P) = 0 si y s´olo si x, y ∈O.
En otras palabras, los puntos enteros son los que tienen coordenadas afines enteras. Finalmente, siv(P)>0, tenemos que P = (x, y) = [x, y, z], donde
x=x/z,y=y/z y
v(x) =v(x)−v(z) =−2v(P), v(y) =v(y)−v(z) =−3v(P).
Podemos decir, pues, que v(P) mide lo que dista P de tener coordenadas afines enteras. Notemos ahora que de la propia definici´on deE1(K) se sigue que
E1(K) ={P ∈E(K)|v(P)≥1}.
Para cada naturalm≥1 definimos
Em(K) ={P ∈E(K)|v(P)≥m}.
No es evidente en absoluto que los conjuntos Em(K) sean subgrupos de
E(K), pero lo cierto es que lo son, como se deduce del teorema siguiente:
Teorema 6.18 SeaE/K una curva el´ıptica dada por una ecuaci´on de Weiers- trass entera, sea G su grupo formal y sea φ : G(P) −→ E1(K) el isomor-
fismo dado por el teorema 6.16. Entonces, para todo t ∈G(P) se cumple que
v(t) =v(φ(t)).
Demostraci´on: Basta observar que
v(φ(t)) =−1
3v(−1/z(t)) = 1
3v(z(t)) =v(t).
Esto prueba que, en efecto los conjuntos Em(K) son las im´agenes por el
isomorfismo de los subgrupos G(Pm) = Pm = {t ∈ K | v(t) ≥ m}, luego tenemos una cadena de subgrupos
E(K)≥E0(K)≥E1(K)≥ · · · ≥Em(K)≥ · · · ≥
∞
m=1
Em(K) = 0.
Otra consecuencia inmediata es que siP,Q∈E(K), entonces
v(P+Q)≥m´ın{v(P), v(Q)},
y se da la igualdad siv(P)=v(Q). (Observemos que esto es trivial si alguno de los puntos es entero o infinito, y en los casos restantes es consecuencia del teorema anterior.)
Otra observaci´on sobre los subgrupos Em(K) es que el cociente de dos con-
secutivos es isomorfo ak+o, en otros t´erminos, que tenemos sucesiones exactas
(param≥1):
0−→Em+1(K)−→Em(K)−→k+.
En efecto (ver las observaciones de la p´agina 5.3):
Em(K)/Em+1(K)∼=G(Pm)/G(Pm+1)∼=Pm/Pm+1∼=k+.
El ´ultimo isomorfismo es el inducido por el epimorfismoPm −→ k+ dado porα→[απ−m].
Param= 0 tambi´en tenemos una sucesi´on exacta, pero su ´ultimo grupo no esk+, sino ˜E
r(k), tal y como hemos demostrado en 6.8.
Finalmente, el teorema 5.20 nos da que si carK = 0 entonces, para todo naturalmsuficientemente grande se cumple que
Em(K)∼=G(Pm)∼=Pm∼=O+.
El ´ultimo isomorfismo es el dado porα→απ−m. De hecho, si p= cark y
v(p) = 1, tenemos el isomorfismo param= 2, e incluso param= 1 si p >2. La consecuencia m´as importante que vamos a extraer del teorema 6.16 es la siguiente:
Teorema 6.19 SeaE/K una curva el´ıptica dada por una ecuaci´on de Weiers- trass entera y m ≥ 2 un n´umero natural primo con cark. Entonces E1(K)
no tiene elementos de orden m y, si E/k˜ es regular, entonces la reducci´on
E(K)[m]−→E˜(k)es inyectiva.
Demostraci´on: SeaGel grupo formal deE. Por el teorema 5.16 sabemos queG(P) no tiene elementos de ordenm. Por 6.16 lo mismo vale paraE1(K).
Si ˜E/k es regular entonces E0(K) = E(K) y ˜Er(k) = ˜E(k). La restricci´on a
E(K)[m] de la reducci´on m´oduloPtiene n´ucleo trivial, luego es inyectiva. Este teorema permite en muchos casos determinar los elementos de torsi´on de una curva el´ıptica definida sobreQo, m´as en general, sobre un cuerpo num´erico.
Ejemplo Consideremos la curva el´ıptica E/Qdada por
Y2+Y =X3−X+ 1.
Su discriminante es ∆ =−13·47. Esta ecuaci´on define tambi´en una curva el´ıptica sobreQpcon el mismo determinante, de modo queE(Q) es un subgrupo
de E(Qp). Adem´as v2(∆) = v3(∆) = 0, luego la ecuaci´on es minimal para
Q2 y Q3 y la reducci´on es regular. Una simple comprobaci´on muestra que
˜
E(Z/2Z) = {O˜} y ˜E(Z/3Z) = {O˜} (la ecuaci´on no tiene soluciones en Z/2Z ni en Z/3Z), luego el teorema anterior implica que E(Q)[m] = 0 para todo
mprimo con 2 o con 3. En particular, E(Q) no tiene elementos de torsi´on de orden primo, luego no tiene elementos de torsi´on en absoluto. En otras palabras,
Ejemplo Consideremos ahora la curva E/Q dada por Y2 = X3+ 3, cuyo discriminante es ∆ =−24·35. Esta misma ecuaci´on determina curvas el´ıpticas
sobreQppara todo primopy comovp(∆)<12 es minimal. Adem´as la reducci´on
m´odulopes regular sip≥5.
Se comprueba f´acilmente que |E˜(Z/5Z)| = 6, |E˜(Z/7Z)| = 13. Si pes un primo distinto de 5 y de 7, el teorema anterior implica queE(Q)[p] puede verse como subgrupo de ˜E(Z/5Z) y ˜E(Z/7Z), lo que obliga a queE(Q)[p] = 0. Por otra parte,E(Q)[5] es subgrupo de ˜E(Z/7Z), pero este ´ultimo grupo no puede tener elementos de orden 5, luego E(Q) tampoco tiene elementos de orden 5.
Igualmente se concluye que no hay elementos de orden 7. Concluimos queE(Q)
no tiene elementos de torsi´on.
Puesto que (1,2) ∈E(Q), este punto ha de tener orden infinito, luego po-
demos afirmar que la ecuaci´onY2=X3+ 3 tiene infinitas soluciones en Q2, lo cual no es evidente en absoluto.
Ejemplo Consideremos ahora la curva E/Q dada por Y2 = X3+X, cuyo
discriminante es ∆ =−26. Es f´acil ver que (0,0)∈E(Q)[2]. Vamos a ver que
es el ´unico elemento de torsi´on deE(Q) (aparte deO).
Es f´acil comprobar que los grupos ˜E(Z/3Z) y ˜E(Z/5Z) tienen orden 4. Esto
implica queE(Q) todo elemento de torsi´on deE(Q) no trivial ha de tener orden
2 o 4. M´as concretamente, vemos que ˜
E(Z/3Z) ={O,(0,0),(2,1),(2,2)}, E˜(Z/5Z) ={O,(0,0),(2,0),(3,0)}.
En ambas curvas, los elementos de orden 2 son los que cumplenY = 0, luego ˜
E(Z/3Z)∼=Z/4Z, E˜(Z/5Z)∼=Z/2Z×Z/2Z.
El segundo grupo nos muestra que E(Q) no tiene elementos de orden 4 y el primero que a lo sumo hay un elemento de orden 2. As´ı pues, (0,0) es el ´unico elemento de torsi´on (no nulo) deE(Q).
Ejercicio: Probar que si K es un cuerpo num´erico y E/K es una curva el´ıptica, entoncesE(K) tiene un n´umero finito de elementos de torsi´on.
Los puntos de orden finito est´an muy cerca de tener coordenadas enteras. El teorema siguiente describe la situaci´on general:
Teorema 6.20 Supongamos que K tiene caracter´ıstica 0 y que k tiene carac- ter´ıstica prima p. Sea E/K una curva el´ıptica determinada por una ecuaci´on de Weierstrass entera y sea P ∈E(K)un punto de ordenm≥2.
a) Si mno es potencia de p, entoncesv(P) = 0, es decir,x(P),y(P)∈O. b) Si m=pn, entonces v(P)≤v(p)/(pn−pn−1).
Demostraci´on: a) Sea Gel grupo formal de E. El teorema 5.16 implica queG(P) no tiene elementos de torsi´on de ordenm, luegoP /∈E1(K), es decir, v(P) = 0.
b) O bienv(P) = 0 o bienP ∈E1(K), en cuyo caso el teorema 5.17 nos da
la desigualdad del enunciado.
En las condiciones del teorema anterior, siv(p) = 1 el apartado b) implica tambi´env(P) = 0 salvo sip= 2 yn= 1, luego concluimos que todos los puntos de torsi´on de E(K) tienen coordenadas enteras salvo a lo sumo los de orden 2 (cuando cark= 2), que pueden cumplirv(P) = 1, con lo que ser´an de la forma (a/4, b/8), cona,b∈O.
Ejemplo El punto (−1/4,1/8) tiene orden 2 en la curva E/Q2 dada por la
ecuaci´onY2+XY =X3+ 4X+ 1.
Por ´ultimo probamos que curvas is´ogenas tienen reducciones is´ogenas. Con- viene introducir la notaci´on siguiente:
Definici´on 6.21 Si E/K y E/K son dos curvas el´ıpticas definidas sobre K, representaremos por HomK(E, E) al grupo de las isogenias deEenEdefinidas
sobreK. Igualmente, EndK(E) ser´a el anillo de las isogenias deEen s´ı misma
definidas sobreK.
Teorema 6.22 Sean E/K y E/K dos curvas el´ıpticas con buena reducci´on m´odulo P. Entonces la reducci´on de isogenias dada por el teorema 6.11es un monomorfismo de gruposHomK(E, E)−→Homk(E, E)(y tambi´en de anillos
cuandoE=E).
Demostraci´on: Es inmediato que la reducci´on es un homomorfismo. S´olo hemos de probar que es inyectiva. Ahora bien, si φ ∈ HomK(E, E) cumple
˜
φ = 0, fijamos un primo p= cark, y observamos que siP ∈ E[pn], entonces
P ∈E(L)[pn], para cierta extensi´on finitaLdeK, luegoφ(P)∈E(L)[pn] y
φ(P) = ˜φ( ˜P) =O.
Por el teorema 6.19 podemos concluir queφ(P) =O, luegoE[pn] est´a en el
n´ucleo deφpara todon, luego dicho n´ucleo es infinito yφ= 0.