En muchas ocasiones, al trazar una perpendicular o una paralela a alg´un seg- mento, obtenemos tri´angulos que poseen propiedades ´utiles en la soluci´on de un problema.
Problema 3.15 Sean E y D puntos sobre la hipotenusa AB de un tri´angulo rect´angulo △ABC, con ´angulo recto en C. Los puntos F y G est´an sobre los lados CB y CA de tal manera que BD = BC, AE = AC, EF ⊥BC, y DG⊥AC. Demuestra que DE = EF + DG.
A B C D H E F G 2α 2β α α β β
Demostraci´on. Se traza la perpendicular a AB desde C y supongamos que ´esta intersecta a AB en H. Sean ∡CAB = 2α y ∡ABC = 2β. Como el tri´angulo △CAE es is´osceles tenemos que ∡CEA = 90◦−α, por lo que ∡HCE = α. Por
suma de ´angulos en el tri´angulo △ABC obtenemos que ∡ECB = α. Adem´as, tenemos que el cuadril´atero CHEF es c´ıclico y como ∡HCE = ∡ECF = α, se sigue que HE = EF . An´alogamente se obtiene que GD = DH, por lo tanto, DE = EF + DG.
Ejemplo 3.2.1 El inc´ırculo del tri´angulo △ABC toca los lados AB, BC y CA en los puntos F , D y E, respectivamente. El di´ametro del inc´ırculo, el cual pasa por el punto D, intersecta al segmento EF en el punto N. Demuestra que la l´ınea AN divide al lado BC por la mitad.
Demostraci´on. Por N trazamos el segmento P Q paralelo a BC, como se mues- tra en la figura. Bastar´a entonces demostrar que el tri´angulo △P IQ es is´osceles. Como ID es perpendicular a BC (I es el incentro del tri´angulo) tenemos que ∡DNP = ∡DNQ = 90◦, adem´as, como los ´angulos ∡IF P e ∡IEQ tam- bi´en son rectos, tenemos que los cuadril´ateros IF P N e INEQ son c´ıclicos. De aqu´ı obtenemos que ∡IP N = ∡IF N = α e ∡IQN = ∡IEN = α, es decir, ∡IP N = ∡IQN = α. Esto implica que el tri´angulo △P IQ es is´osceles. Lo cual quer´ıamos demostrar. b A B D C E F I P N Q M α α α α
Ejemplo 3.2.2 En los lados opuestos BC y DA de un cuadril´atero convexo se toman los puntos M y N, de tal manera que BM : MC = AN : ND = AB : CD. Demuestra que la recta MN es paralela a la bisectriz del ´angulo formado por los lados AB y CD.
Demostraci´on. Por B y D se trazan paralelas a AD y AB, respectivamente, las cuales se intersectan en el punto P . Por M se traza un paralela a BP la cual intersecta a P C en el punto Q. Tenemos que
MQ BP = CM CB = DN DA
y como BP = AD entonces MQ = ND, adem´as MQ es paralelo a ND y con esto tenemos que NMQD es un paralelogramo. Tambi´en tenemos que
P Q QC = BM MC =⇒ P Q QC = AB DC = DP DC.
Por el Teorema de la Bisectriz tenemos que DQ bisecta el ´angulo ∡P DC y como NM es paralela a DQ, concluimos que NM es paralela a la bisectriz del ´angulo formado por las rectas AB y DC.
A B C D N M P Q
3.2.1.
Problemas
Problema 3.16 En un tri´angulo △ABC, la altura CE es extendida hasta G de tal manera que EG = AF , donde AF es la altura trazada hacia BC. Una l´ınea a trav´es de G y paralela a AB intersecta CB en H. Demuestra que HB = AB.
Problema 3.17 Sea ABCD un cuadril´atero convexo. Tomando como di´ame- tros los lados del cuadril´atero y con centro en los puntos medios de ´estos, se construyen cuatro circunferencias. Demuestra que estas cuatro circunferencias cubren completamente al cuadril´atero.
Problema 3.18 Sea △ABC un tri´angulo rect´angulo con ´angulo recto en A. Se construyen los cuadrados ABDE y CAP Q como se muestra en la figura siguiente. Se trazan las perpendiculares DM y QN hacia el lado BC. Demuestra que DM + QN = BC. A B C D E M N P Q
Problema 3.19 En un tri´angulo is´osceles △ABC, con AB = AC, se extiende CB a trav´es de B hasta un punto P . Una l´ınea desde P , paralela a la altura BF , intersecta AC en D. Se dibuja P E perpendicular a AB. Demuestra que BF + P E = P D.
Problema 3.20 Sean AB y CD dos cuerdas perpendiculares en una circunfe- rencia de radio R. Demuestra que AC2
+ BD2
= 4R2
.
Problema 3.21 Un trapecio ABCD, con AB paralelo a CD, tiene sus diago- nales AC y BD mutuamente perpendiculares. Demuestra que
AC2
+ BD2
= (AB + DC)2
.
Problema 3.22 Sea O un punto en el interior de un tri´angulo equil´atero △ABC con lados de longitud a. Las l´ıneas AO, BO y CO intersectan los lados en los puntos A1, B1 y C1. Demuestra que OA1+ OB1+ OC1 < a.
Problema 3.23 Sea P un punto en el interior de un tri´angulo equil´atero △ABC. Desde P se bajan las perpendiculares P D, P E y P F a los lados BC, CA y AB, respectivamente. Encuentra
P D + P E + P F BD + CE + AF.
Problema 3.24 Se toma un punto P en el interior de un rect´angulo ABCD de tal manera que ∡AP D + ∡BP C = 180◦. Encuentra la suma de los ´angulos
∡DAP y ∡BCP .
Problema 3.25 Sean MN, P Q, RS tres segmentos iguales en los lados de un tri´angulo equil´atero. Demuestra que en el tri´angulo formado por las l´ıneas QR, SM y NP , los segmentos QR, SM y NP , son proporcionales a los lados en los que est´an contenidos.
Problema 3.26 En el cuadril´atero convexo ABCD, las diagonales AC y BD son perpendiculares y los lados opuestos AB y DC no son paralelos. El punto P , intersecci´on de las mediatrices de AB y DC, est´a en el interior del cuadril´atero ABCD. Demuestra que los v´ertices de ABCD est´an en una misma circunferen- cia si y s´olo si los tri´angulos △ABP y △CDP tienen ´areas iguales.
Problema 3.27 Sea ABCDEF un hex´agono convexo tal que AB es paralelo a ED, BC es paralelo a F E y CD es paralelo a AF . Sean RA, RC y RE los
radios de las circunferencias circunscritas a los tri´angulos △F AB, △BCD y △DEF , respectivamente; y sea p el per´ımetro del hex´agono. Demuestra que
RA+ RC + RE ≥
p 2.