de desigualdad, tal como
máx. f (x, y)
s.a. x + y ≤ 2.
Aquí, la región factibleF es el triángulo definido por x + y ≤ 2, x ≥ 0 y y ≥ 0. Dependiendo de la posición del máximo no restringido de f con respecto a la
regiónF, la solución óptima P puede ocurrir ya sea en un punto interior o en un
punto frontera deF.
Esto es lo que se conoce como un problema de Kuhn-Tucker, y en las siguientes secciones deduciremos las condiciones de optimalidad correspondientes.
5.3.1
Problemas de maximización
El siguiente ejemplo proporciona una idea intuitiva del problema de Kuhn-Tucker para una función de una variable. Sea f : R → R una función cóncava, representada gráficamente por la curva y = f (x) en R2. Buscamos el máximo
global del problema
máx. f (x)
s.a. x ≥ 0.
La siguiente figura muestra diferentes posibilidades para la funcióny = f (x) en R2. Dependiendo de la ubicación del máximo no restringido def con respecto a la
región factibleF, dada por x ≥ 0, la solución óptima P puede ocurrir en un punto interior o un punto frontera deF.
En la figura de la izquierda, la soluciónP coincide con el máximo no restringido
def , que es el punto x∗ > 0 en donde f′(x∗) = 0. En este caso, P es un punto
interior deF. En la figura central, el máximo no restringido de f cae fuera de la
región factible, de modo que la mejor soluciónP ocurre en x∗ = 0, con f′(x∗) < 0.
Así,P es un punto frontera de F. Por último, en la figura de la derecha el máximo no restringido def ocurre exactamente en x∗ = 0, con f′(x∗) = 0. Nuevamente, P
es un punto frontera deF. Del análisis gráfico podemos concluir que en el óptimo se verifican las siguientes tres condiciones
x∗ ≥ 0, f′(x∗) ≤ 0 y x∗f′(x∗) = 0.
Ahora consideremos el caso de una función de dos variables. Seaf : R2 → R
una función cóncava, representada por la superficiez = f (x, y) en R3, que deberá
maximizarse sujeto a una restricción de desigualdad,g(x, y) ≤ c, con c una constante. Como se justificará más adelante, la restricción correspondiente a un problema de maximización deberá escribirse siempre en el formato dado (≤). De esta manera, considera el problema
máx. f (x, y)
s.a. g(x, y) ≤ c.
La siguiente figura muestra diferentes posibilidades para la funciónz = f (x, y) en R3. Dependiendo de la ubicación del máximo no restringido def con respecto a la
región factibleF, dada por g(x, y) ≤ c, la solución óptima P puede ocurrir en un punto interior o un punto frontera deF.
En la figura de la izquierda, el máximo no restringido def ocurre en el interior
de la región factible,g(x, y) < c; la solución óptima P es un punto interior de F. En la figura central, el máximo no restringido def cae fuera de la región factible
y la mejor opción es el puntoP de la curva g(x, y) = c que se encuentra lo más
cercano posible a ese máximo; la solución óptimaP es un punto frontera de F. En la figura de la derecha, el máximo no restringido def ocurre exactamente sobre la
continuación se muestran las proyecciones en el plano R2 correspondientes a los tres escenarios anteriores. En ellas se puede observar la región factibleF y algunas curvas de nivel de cada una de las funcionesf .
En el primer caso, la existencia de la restricción resulta irrelevante, y el problema puede resolverse a partir de la maximización libre de f. En el segundo caso,
la restricción g(x, y) ≤ c puede reemplazarse por la restricción de igualdad
g(x, y) = c, y la solución del problema puede obtenerse con el método de los
multiplicadores de Lagrange. El último caso es una combinación de los otros dos. Con el fin de desarrollar un método general de solución que abarque los tres casos anteriores, partimos de una descripción basada en el método de los multiplicadores de Lagrange, pero que sea capaz de reducirse a un problema de optimización libre cuando ése sea el caso. Al tratarse de una descripción tipo Lagrange, pediremos que en el óptimo se verifique la condición de tangencia
∇f = λ∇g.
La diferencia con el método original de Lagrange consiste en que ahora el problema de optimización está sujeto a una restricción de desigualdad,g(x, y) ≤ c. Por esa razón, debemos reemplazar la condicióng(x, y) = c de solución frontera por algún
otro criterio que permita la existencia de una solución interior, como se discutió en los ejemplos anteriores. Como se justifica a continuación, este nuevo criterio requiere el cumplimiento de las siguientes tres condiciones,
g(x, y) ≤ c, λ ≥ 0 y λ(g(x, y) − c) = 0.
La condición g(x, y) ≤ c establece que en el óptimo se debe satisfacer la restricción impuesta. Para entender la condición λ ≥ 0, o condición de no
negatividad del multiplicadorλ, es necesario hacer la siguiente consideración.
Primero observa que la restricción de desigualdadg(x, y) ≤ c puede interpretarse como el contorno inferiorCIg(c) de la función z = g(x, y) correspondiente a
g, por lo tanto ∇g debe apuntar hacia afuera de la región factible F, dada por g(x, y) ≤ c, como se ilustra en la siguiente figura.
Imponer queλ ≥ 0 en la condición de tangencia ∇f = λ∇g implica que, en el óptimoP, los gradientes ∇f y ∇g deben apuntar en el mismo sentido. Así, un pequeño incremento∆c en c hará que el nuevo óptimo P′ esté en una curva de
nivel con mayor valor def , como se muestra en la figura de la izquierda. Si λ < 0,
entonces∇f apuntaría en el sentido contrario a ∇g, por lo que habría una curva de nivel con un mayor valor def dentro de la región de restricción; en consecuencia, P no podría ser el punto que maximiza a f, ya que habría un mejor punto P′ dentro
de la región, como se muestra en la figura de la derecha.
Nota que la no negatividad deλ en el problema de Kuhn-Tucker contrasta con el
caso de una restricción de igualdad. En ese caso,λ podía tomar cualquier signo,
ya que la optimización se lleva a cabo en la curvag(x, y) = c, sin posibilidad de
desplazamiento hacia las regiones alrededor de la misma.
Para explicar la última condición,λ(g(x, y) − c) = 0, conviene analizar por separado los tres casos anteriores. Cuando el máximo no restringido def ocurre
en el interior de la región de restricción, el óptimoP satisface g(x, y) < c. Ahí ∇f =−→0 y ∇g =−→0 , por lo que la condición ∇f = λ∇g implica que λ = 0 en P.
Por otra parte, cuando el máximo no restringido def cae fuera de la región de
restricción, el óptimoP satisface g(x, y) = c. Ahí ∇f =−→0 y ∇g =−→0 , por lo que
la condición∇f = λ∇g implica que λ > 0 en P .
Por último, cuando el máximo no restringido de f ocurre exactamente en la
frontera de la restricción, el óptimoP satisface g(x, y) = c. Como ahí ∇f =−→0 y ∇g =−→0 , la condición ∇f = λ∇g implica que λ = 0 en P .
Concluimos que en los tres casos se verifica la condiciónλ(g(x, y) − c) = 0, que establece que en el óptimoP debe cumplirse al menos una de las siguientes
igualdades,
λ = 0 o g(x, y) = c.
5.3.1.1 Condiciones de Kuhn-Tucker para problemas de maximización
Los resultados de la discusión anterior para resolver el problema de Kuhn-Tucker máx. f (x, y)
s.a. g(x, y) ≤ c,
se pueden formalizar en términos del método de Lagrange, de la siguiente manera. Primeramente, se plantea la función lagrangeana
L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(c − g(x, y)).
En lugar de pedirLx = Ly = Lλ = 0 como en el método de Lagrange, ahora las
condiciones necesarias de primer orden son
Lx = fx(x, y) − λgx(x, y) = 0
Ly = fy(x, y) − λgy(x, y) = 0,
que representan la tangencia (∇f = λ∇g) en el óptimo. La tercera igualdad,
Lλ = 0, equivalente a g(x, y) = c, debe sustituirse por las llamadas condiciones de
holgura complementaria,
Lλ ≥ 0, λ ≥ 0 y λLλ = 0,
o equivalentemente,
g(x, y) ≤ c, λ ≥ 0 y λ(g(x, y) − c) = 0.
La primera condición impone el cumplimiento de la restricción en el óptimo. La condiciónλ ≥ 0 garantiza que al ampliar la región factible se obtendrá un valor mayor para el óptimo def . La última condición establece que λ = 0 (optimización
libre) og(x, y) = c (problema de Lagrange) en el óptimo.
Por último, como se justificará en la sección 5.3.1.5 sobre condiciones suficientes, la restricción en un problema de maximización siempre deberá estar expresada en el formatog(x, y) ≤ c, con el fin de garantizar de que el óptimo obtenido se trate efectivamente de un máximo (paraλ ≥ 0).
Condiciones de Kuhn-Tucker para el problema de maximización
máx.f (x, y), s.a. g(x, y) ≤ c.
1. Se construye la función lagrangeana correspondiente,
L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(c − g(x, y)).
2. Se establecen las condiciones de primer orden para L, con respecto a las variablesx y y solamente,
Lx = fx− λgx = 0
Ly = fy − λgy = 0.
3. Se establece las condiciones de holgura complementaria
Lλ ≥ 0, λ ≥ 0 y λLλ = 0,
o equivalentemente,
g(x, y) ≤ c, λ ≥ 0 y λ(g(x, y) − c) = 0.
4. Se resuelve, consistentemente, el sistema de ecuaciones y desigualdades. Ejemplos:
1. Encuentra la solución al problema
máx. f(x, y) = x + y
s.a. x2+ y2 ≤ 1.
En este caso, la lagrangeana correspondiente está dada por
L(x, y, λ) = x + y + λ(1 − x2− y2).
Las condiciones de primer orden enx y y son Lx= 1 − 2λx = 0 (1)
Ly = 1 − 2λy = 0, (2)
que deberán resolverse junto con las condiciones de holgura complementaria
x2+ y2 ≤ 1, (3) λ ≥ 0, (4) λ(x2+ y2− 1) = 0. (5)
Para resolver el sistema (1)-(5) conviene comenzar por la igualdad (5), que establece que el óptimo debe cumplir al menos una de las condicionesλ = 0 o x2+ y2 = 1. Analicemos cada caso por separado. i) Si λ = 0, las ecuaciones