6.5 Discussion
6.5.5 Concluding Remarks
Un campo aleatorio puede definirse como un conjunto de variables aleatorias que evolucionan en funci´on de un par´ametro. En esta tesis dicho par´ametro es la posici´on dentro de la longitud de los elementos estructurales de madera. Este conjunto de variables aleatorias cumple con una Funci´on de Distribuci´on de Probabilidad (PDF, en ingl´es) multidimensional y con un determinado grado de correlaci´on, aunque tambi´en pueden ser estad´ısticamente independientes. En esta secci´on se presentan las herramientas utilizadas para la simulaci´on de campos aleatorios que ser´an empleadas m´as adelante en la tesis.
3.2.2.1. Transformaci´on de Nataf
Desarrollada por Nataf (1962) e introducida en el campo de la ingenier´ıa estructural por Der Kiureghian y Liu (1986), este m´etodo permite la construcci´on de un campo aleatorio o una PDF multidimensional que se ajusta a las distribuciones marginales fijadas
fXi(xi) y a una matriz de correlaci´on R:
fX(x1, . . . , xM) = M Y i=1 fXi(xi) ϕ(ξi) ϕM(ξ;R0), (3.21)
en donde ϕM(ξ;R0) es una distribuci´on de probabilidad conjunta (o mutidimensional)
normal est´andar. La matriz de correlaci´onR0, se computa t´ermino a t´ermino resolviendo
la siguiente ecuaci´on que establece la compatibilidad entre los coeficientes de correlaci´on
ρij: ρij = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ xi−µXi σXi xj −µXj σXj ϕ2(ξi, ξj;ρ0ij)dξidξj, (3.22)
en donde ρij y ρ0ij son los elementos a-dimensionales de la matriz de correlaci´on.
Una de las ventajas de este m´etodo es que permite la utilizaci´on de distintas distri- buciones marginales lo cual muestra su flexibilidad adem´as de brindar la posibilidad de determinar la distribuci´on de probabilidad conjunta a trav´es de la Ecuaci´on (3.21). Este es el ´unico m´etodo de los presentados en esta tesis que permite estas posibilidades. En el Ap´endice A se presenta en detalle la aplicaci´on de la Transformaci´on de Nataf para la simulaci´on de campos aleatorios.
Simulaci´on de variables aleatorias y campos aleatorios 47
3.2.2.2. Expansi´on de Karhunen-Lo`eve
La Expansi´on Gaussiana de Karhunen-Lo`eve de un proceso estoc´astico que evoluciona en el espacio tiene la siguiente expresi´on:
w(x, θ) =w(x) + ∞ X i=1 p λiξi(θ)ψi(x), (3.23)
en la cualw(x) es el valor medio en funci´on del espacio,λi yψi(x) son respectivamente los
valores propios y funciones propias de la funci´on de covarianza C(x1, x2). Por definici´on,
C(x1, x2) es acotada, sim´etrica y positiva definida. Siguiendo el teorema de Mercer, la
misma presenta la siguiente descomposici´on espectral:
C(x1, x2) = ∞ X
i=1
λiψi(x1)ψi(x2), (3.24)
y sus valores propios y funciones propias son la soluci´on de la ecuaci´on integral de Fred- holm homog´enea de segundo orden dados por:
Z
D
C(x1, x2)ψi(x2)dx2 =λiψi(x1). (3.25)
Las funciones propias forman un conjunto ortogonal completo que satisface la siguiente ecuaci´on:
Z
D
ψi(x)ψj(x)dx=δij, (3.26)
en donde δ es la funci´on delta de Kronecker. El par´ametro ξi constituye un conjunto de
variables aleatorias no correlacionadas las cuales pueden ser expresadas como:
ξi(θ) = 1 √ λi Z D [w(x, θ)−w(x)]ψi(x)dx, (3.27)
con un valor medio y una funci´on de covarianza dados por:
E[ξi(θ)] = 0 E[ξi(θ)ξj(θ)] =δij. (3.28)
Este m´etodo descompone un proceso estoc´astico en una suma infinita de t´erminos (funciones propias fi(x)) y de una secuencia de variables aleatorias (ξi). De esta mane-
ra permite descorrelacionar el campo aleatorio y representarlo como una sumatoria de componentes independientes.
48 Cap´ıtulo 3. Enfoque estoc´astico
Si el proceso estoc´astico es Gaussiano, entonces ξi(θ) son variables aleatorias Gaus-
sianas no correlacionadas con media cero. Las variables aleatorias Normales est´andar no correlacionadas son tambi´en independientes, por lo tanto la necesidad de independencia no se plantea en la Expansi´on de Karhunen-Lo`eve de un proceso aleatorio Gaussiano. En el caso de variables aleatorias no Gaussianas, la no correlaci´on de las variables no implica independencia de las mismas. Para obtener las variables aleatorias que forman las bases de la Expansi´on de Karhunen-Lo`eve de un proceso estoc´astico no Gaussiano ξi(θ), se debe
partir de las distribuciones marginales. Siguiendo el trabajo de Mulani et al. (2007) se utiliza para tal prop´osito el m´etodo de la transformaci´on no lineal de variables aleato- rias. En Mulani (2006) se presentan varios ejemplos de la Expansi´on no Gaussiana de Karhunen-Lo`eve aplicados a distintas distribuciones marginales. En Ghanem y Spanos (1991) se presentan los valores propios y funciones propias para las funciones de covarian- za exponencial y triangular de un campo aleatorio homog´eneo y de una ´unica dimensi´on. Adem´as, se describe un m´etodo num´erico de aproximaci´on para hallarlos en caso de utili- zar otro tipo de funci´on la cual no presente una soluci´on cerrada de la Ecuaci´on (3.25). En Sudret y Der Kiureghian (2000), se reporta la expansi´on para el caso en el cual las distri- buciones marginales son Lognormales. En Phoonet al.(2002), se presenta un m´etodo que combina la expansi´on cl´asica de Karhunen-Lo`eve con un m´etodo iterativo que permite simular campos aleatorios estacionarios, no estacionarios, Gaussianos y no Gaussianos. Luego, en Phoon et al. (2005) sugieren una mejora del m´etodo presentado en el trabajo anterior que permite simular campos aleatorios cuya distribuci´on marginal difiere mucho de una distribuci´on normal (fuertemente no-Gaussiano). En esta tesis, se utiliza el m´etodo presentado en Mulani (2006) dado que las distribuciones marginales difieren de la distri- buci´on normal en una forma suave o ligera. Igualmente, el mismo se verificar´a utilizando el m´etodo iterativo presentado en Phoon et al. (2002). Ambas metodolog´ıas empleadas para la aplicaci´on de la Expansi´on no Gaussiana de Karhunen-Lo`eve son presentadas en detalle en el Ap´endice A.
3.2.2.3. M´etodo de Representaci´on Espectral, Spectral Representation Met- hod (SRM)
Este m´etodo permite obtener una simulaci´on de un proceso estoc´astico partiendo de su espectro de frecuencias. Esto ´ultimo se logra como una superposici´on de funciones arm´onicas con ´angulos de fase aleatorios. Estas funciones se encuentran ponderadas por
Simulaci´on de variables aleatorias y campos aleatorios 49
coeficientes que representan la importancia de la frecuencia asociada a cada funci´on dentro del espectro. La versi´on del M´etodo de Representaci´on Espectral utilizada en esta tesis est´a basada en el trabajo de Shinozuka y Deodatis (1991) en el cual la realizaci´on del campo aleatorio esta acotada a un periodo T de simulaci´on. Una versi´on mas general puede encontrarse en Shinozuka y Jan (1972), la cual no est´a limitada a un periodo de simulaci´on.
De acuerdo al SRM, un proceso estoc´astico estacionario w(t) con valor medio igual a cero E[w(t)] = 0, funci´on de autocorrelaci´on R(τ) y una funci´on de densidad espectral
S(w) puede ser simulado a trav´es de:
w(t) =√2 N−1 X n=0 p 2S(wn)∆wcos (wnt+ Φn) n= 0,1,2, . . . , N −1 (3.29) wn=n∆w, ∆w=wu/N y ∆t ≤2π/2wu, (3.30)
en dondewu es la frecuencia de corte a partir de la cual la funci´on de densidad espectral
S(w) se asume igual a cero y Φn son ´angulos de fase aleatorios e independientes unifor-
memente distribuidos entre [0,2π]. Bajo las condiciones descritas previamente, el proceso estoc´asticof(t) resulta peri´odico con un periodoT = 2π/∆wy asint´oticamente Gaussiano en la medida en que N → ∞. Al igual que la Expansi´on de Karhunen-Lo`eve, estos m´eto- dos fueron desarrollados en primer lugar para simular procesos Gaussianos. En Yamazaki y Shinozuka (1988), se presenta un m´etodo para simular procesos estoc´asticos no gaus- sianos a trav´es del SRM. En forma similar al m´etodo de Phoon et al. (2002), presentado anteriormente, se utiliza un proceso iterativo que actualiza constantemente la funci´on de densidad espectralS(w). En este ´ultimo trabajo, se ha demostrado que el m´etodo presen- tado en Yamazaki y Shinozuka (1988) resulta en un tiempo computacional mayor dado que son necesarias m´as iteraciones que en el m´etodo utilizado en manera conjunta con la Expansi´on de Karhunen-Lo`eve para generar procesos no Gaussianos reportado en Phoon
50 Cap´ıtulo 3. Enfoque estoc´astico