Corrección de tendencias: Es común observar que los datos tienen un promedio que cambia lentamente con el tiempo. Este efecto se puede considerar como una perturbación de baja frecuencia que no tiene media cero, por lo que no se puede promediar y produce un efecto nocivo en la estimación del modelo a frecuencias bajas, por lo que es recomendable remover dichas tendencias. Una forma de remover dichas tendencias es aplicar un filtro pasa altos a las entradas como las salidas del proceso.
Normalización (escalamiento y corrección de“offset”): Este procedimiento se rea- liza para evitar que el algoritmo de identificación se enfoque en encontrar el mejor modelo que describa la dinámica del proceso y no la relación que hay entre los valores medios de las señales, en el caso de la corrección“offset”, y para que las señales con los valores numéricos más grandes no ponderen con mayor importan- cia en la función objetivo que se utiliza para determinar el modelo, en el caso del escalamiento. Este procedimiento consiste en restar el valor de la señal en el punto de operación del proceso, que se puede estimar como el valor medio de las seña- les en durante el periodo del experimento y a escalar las señales con respecto a su contenido en potencia.
4.3.
Estructura para sistemas lineales
Para obtener un modelo, los datos recolectados con el experimento descrito anterior- mente deben procesarse con un algoritmo de identificación. Una parte importante antes de realizar este proceso es determinar la estructura que tendrá el modelo que se desea obtener.
La estructura más general que se le puede dar a un sistema discreto corresponde a:
y(t)=G(z−1)·u(t)+H(z−1)·e(t) (4.7) DondeG(z−1)) yH(z−1) son funciones racionales del operadorz−1,u(t) es la entrada al
sistema,y(t) es la salida ye(t) es una variable aleatoria de ruido blanco. Luego el modelo queda parametrizado por el número de coeficientes (polos y ceros) deG(z−1) yH(z−1).
4.3. ESTRUCTURA PARA SISTEMAS LINEALES TESIS DE GRADO.CAPÍTULO 4. MODELADO
Esta estructura es bastante flexible, permitiendo describir tanto la dinámica del siste- ma como las características estocásticas de la señal medida. El término H(z−1)·e(t) en (4.7) describe las perturbaciones a las que está sometida la salida, que se asumen que son aleatorias y en donde H(z−1) varía dependiendo del punto en donde se asume que entran dichas perturbaciones.
Si se hacen algunas suposiciones en la estructura presentada en (4.7) se obtienen al- gunas estructuras simplificadas, esto facilita el proceso de ajuste de los parámetros del modelo. Algunas de las estructuras simplificadas que se pueden obtener son los modelos: ARX, ARMAX, output error (OE) y Box-Jenkings (BJ) en la tabla 4.1 se presentan las características de cada uno de estos modelos.
Tabla 4.1:Estructuras simplificadas de modelos lineales.
Tipo de modelo Condición Estructura
Modelo ARX G(z−1)= B(z −1) A(z−1) H(z−1)= 1 A(z−1) A(z−1)·y(t)= B(z−1)·u(t)+e(t)
Modelo Output Error G(z
−1)= B(z−1) F(z−1) H(z−1)= 1 y(t)= B(z −1) F(z−1) ·u(t)+e(t) Modelo ARMAX G(z−1)= B(z −1) A(z−1) H(z−1)= C(z −1) A(z−1) A(z−1)·y(t)= B(z−1)·u(t)+C(z−1)·e(t)
Modelo Box Jenkings
G(z−1)= B(z −1) F(z−1) H(z−1)= C(z −1) D(z−1) y(t)= B(z −1) F(z−1) ·u(t)+ C(z−1) D(z−1)·e(t)
Para un problema particular la elección de cuál debe ser la estructura (ARX, ARMAX, OE o BJ) a escoger depende tanto de la dinámica del proceso como de las características del ruido del sistema. No siempre es conveniente utilizar un modelo con estructuras más complejas o con muchos parámetros, ya que esta elección puede llevar a modelos que presentan dinámicas y/o características de ruido inexistentes.
4.3. ESTRUCTURA PARA SISTEMAS LINEALES TESIS DE GRADO.CAPÍTULO 4. MODELADO
Estructura ARX
La estructura ARX, presentada en la figura 4.1, es la estructura más simple que se puede considerar. Esta estructura se utiliza comúnmente ya que para poder encontrar los parámetros de este modelo solo es necesario resolver un conjunto de ecuaciones lineales de forma analítica y además la solución obtenida es única. Por lo mismo el modelo ARX es preferible, sobre todo cuando el orden del modelo es alto. La desventaja es que la estructura asume que la característica estocástica de las perturbaciones tienen los mismos polos que el sistema, lo que puede ser una suposición poco realista. Sin embargo esta desventaja puede ser reducida si se posee una buena relación señal a ruido en los datos utilizados para identificar el sistema.
Cuando la perturbación e(t) no es ruido blanco, el acoplamiento entre las dinámicas determinísticas y estocásticas pueden hacer que aparezca un sesgo en los parámetros ob- tenidos. Para solucionar este problema se puede estimar un modelo de orden alto y luego reducir el orden del modelo mediante un método de reducción de orden.
B(z−1) 1
A(z−1)
u(t) y(t)
e(t)
+ +
Figura 4.1:Estructura ARX.
Estructura ARMAX
Esta estructura considera la dinámica de las perturbaciones. Los modelos ARMAX son útiles cuando se tienen perturbaciones que entran temprano al sistema, como por ejemplo perturbaciones de entrada. Este modelo es más flexible cuando se quiere modelar el efecto de las perturbaciones que el modelo ARX.
4.3. ESTRUCTURA PARA SISTEMAS LINEALES TESIS DE GRADO.CAPÍTULO 4. MODELADO B(z−1) 1 A(z−1) C(z−1) u(t) y(t) e(t) + +
Figura 4.2:Estructura ARMAX.
Estructura Box-Jenkings
Esta estructura provee un modelo completo para el modelamiento de las perturba- ciones, que se considera completamente independiente de la dinámica del sistema. Este modelo es útil cuando las perturbaciones entran tarde en el proceso.
B(z−1) F(z−1) C(z−1) D(z−1) u(t) y(t) e(t) + +
Figura 4.3:Estructura Box-Jenkings.
Estructura Output Error
La estructura Output Error no utiliza ningún parámetro para modelar las características de las perturbaciones. Esta estructura considera que la única perturbación que hay es ruido blanco en la medición de la salida.
4.4. VALIDACIÓN DEL MODELO Y NÚMERO DE PARÁMETROS TESIS DE GRADO.CAPÍTULO 4. MODELADO