Estas son algunas de las definiciones expuestas en el libro VII de Elementos. Presentamos nuestras interpretaciones de manera similar a como lo hicimos en el estudio del libro V.
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Libro VII, definición 1: Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una. (Puertas, 1994, p. 111)
Libro VII, definición 2: Un número es una pluralidad compuesta de unidades. (Puertas, 1994, p. 112)
Libro VII, definición 3: Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor. (Puertas, 1994, p. 113) Libro VII, definición 4: Pero partes cuando no lo mide. (Puertas, 1994, p. 113)
Consideramos que las definiciones 1 y 2 no han sido añadidas en Elementos para ser utilizadas en alguna demostración, en vez de ello, pareciera que se pretende dar un contexto enmarcado por la unidad y la pluralidad de unidades, que son el objeto de estudio del libro VII de Elementos. Por otra parte, las definiciones 3 y 4 mencionan el proceso de “medir” un número, algo que interpretamos de la siguiente manera: un número mide a otro cuando es su submúltiplo, a lo cual se denomina “parte”. Por ejemplo 3 mide a 9 por que 3 es la tercera parte de 9. De igual forma 2 mide a 10 por que 2 es la quinta parte de 10. El término “partes” se aplica a “múltiplos de un submúltiplo”. Consideremos los números 4 y 6. Sabemos que 4 no es un submúltiplo de 6, es decir, 4 no es una parte de 6. Sin embargo, 4 es dos veces la tercera parte de 6, por lo cual se dice que 4 es “partes” de 6, pues se han tomado varias partes de 6 para constituir el número 4. En otras palabras, se puede constituir el número 4 con un “múltiplo de un submúltiplo” de 6, que es el número 2. De igual forma, al considerar los números 15 y 20 podemos afirmar que 15 es “partes” de 20 por que 15 es el triplo de la cuarta parte de 20. En otras palabras se puede constituir el número 15 con un “múltiplo de un submúltiplo” de 20, que es el número 5.
Consideremos ahora las definiciones 17 y 18, en las que se menciona el concepto de “lado”, el cual resulta involucrado en la definición 21 que es la definición de números proporcionales:
Libro VII, definición 17: Cuando dos números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado se llama número
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plano y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí. (Puertas, 1994, p. 117)
Libro VII, definición 18: Cuando tres números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado es un número sólido y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí. (Puertas, 1994, p. 118)
Estas dos definiciones son bastante sencillas, pues únicamente le asigna la palabra “lados” a lo que actualmente conocemos como “factores”, y por otra parte asigna el nombre “número plano” o “número sólido” al producto de dichos números dependiendo si son dos o tres factores respectivamente. Por ejemplo el número 42 es un número plano y sus lados podrían ser los números 7 y 6 o los números 21 y 2 entre otros. El número 30 es un número sólido y sus lados podrán ser 2, 3 y 5.
Deseamos enfatizar que en este contexto se consideran únicamente números naturales mayores que 1. Por otra, a pesar de expresiones como “número plano” y “número sólido” el estudio de este libro no hace referencia a objetos geométricos. Estudiemos ahora la definición 21 correspondiente a números proporcionales:
Libro VII, definición 21. Unos números son proporcionales cuando el primero es el mismo múltiplo o la misma parte o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto. (Puertas, 1994, p. 118)
A continuación mostramos algunos ejemplos de números proporcionales atendiendo a las tres sub-definiciones de la definición 21.
Unos números son proporcionales cuando el primero es el mismo múltiplo del segundo que el tercero del cuarto, luego por ejemplo 6, 3, 20 y 10 son números proporcionales porque 6 es el segundo múltiplo de 3 y 20 es el segundo múltiplo de 10.
También unos números son proporcionales cuando el primero es la misma parte del segundo que el tercero de cuarto, así por ejemplo los números: 12, 4, 15 y 5
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son proporcionales, porque la parte que 4 es de 12 es la misma parte que 5 es de 15.
Finalmente, la proposición afirma que unos números son proporcionales cuando el primero es las mismas “partes” del segundo, que el tercero del cuarto. Por ejemplo, los números 8, 12, 4 y 6 son proporcionales por que las “partes” que 8 es de 12 son las mismas “partes” que 4 de 6.
Ahora estudiamos la definición 22 que se relaciona también con la proporcionalidad:
Libro VII, definición 22: Números planos y sólidos semejantes son los que tienen los lados proporcionales. (Puertas, 1994, p. 118)
La definición de números planos y de números sólidos son las definiciones 17 y 18 del libro VII respectivamente, De igual forma el significado de la palabra “lados” se encuentra en las definiciones 17 y 18 del libro VII, y podemos relacionarla con el concepto de “múltiplo”.
A manera de ejemplo consideremos los números 12 y 108. Sabemos que ambos números pueden descomponerse en varios factores, sin embargo, debemos considerar aquellos factores con los cuales se pueda establecer una proporción. Es por ello que seleccionamos como lados del número 12 los números 3 y 4, mientras que los lados del número 108 son 9 y 12. Como:
Se puede afirmar que los números 12 y 108 son planos semejantes.
Un ejemplo de números sólidos semejantes son 729 y 3375, pues los lados del número 729 son 3, 9 y 27. Los lados del número 3375 son 5, 15 y 45. Como los números 3,9, 27 y 5,15, 45 son proporcionales, entonces los números 729 y 3375 son sólidos semejantes.
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A continuación estudiamos algunas proposiciones planteadas en el libro VII que se relacionan directamente con el concepto de proporción, de tal forma que podamos comprender cómo se relacionan los números llamados proporcionales.