Chapter 7 : CONCLUSION AND RECOMMENDATIONS
7.3 CONCLUSIONS AND DIVIDEND POLICY IMPLICATIONS
Tal y como se ha desarrollado en la secci´on 7.4 la mejor forma de solucionar matem´aticamente la ecuaci´on del calor para el caso planteado (ecuaciones 9.1, 9.2 y
9.3) es mediante la transformada de Laplace. De este procedimiento se obtiene T (z, s) en el espacio de Laplace cuya transformada inversa se corresponde con la evoluci´on de la temperatura con el tiempo en un punto del interior de la placa T (z, t).
Analizando la placa plana en cualquier punto z como un sistema lineal, T (z, t) pue- de ser considerada como la salida de un sistema que se obtiene mediante la convoluci´on de la entrada φ0(t) con una respuesta a impulso F RIz(t) dada por la transformada inversa de Laplace de la funci´on de transferencia T (z, s) (que expresaremos como F Tz).
T (z, t) = L−1{Q
0ϕ0·F Tz} = φ0(t) ∗ L−1{F Tz} ≡ φ0(t) ∗ F RIz(t) (9.4) Por lo tanto, mediante la convoluci´on de la F RI adecuada con una funci´on de excitaci´on se obtiene, para esa excitaci´on, la temperatura en cualquier punto de la placa y en cualquier instante. La temperatura de nuestro caso se puede obtener convolucionando la FRI con una funci´on escal´on. Podemos construir esa funci´on a partir de la funci´on de Heaviside, θ, haciendo
ϕesc.(tmax, t) ≡ 1
tmaxθ(t)·θ(tmax − t) (9.5) de manera que ϕesc.(tmax, t) es diferente de cero para 0 < t < tmax, e igual a 0 para los dem´as valores. Adem´as, ϕesc.(tmax, t) est´a normalizado tal que la integral φ0(t) ≡ Q0ϕesc.(tmax, t)
La evoluci´on de temperatura de una muestra sometida a la excitaci´on ϕesc.(tmax, t) se obtendr´ıa mediante:
Texcit.esc.(z, t) = ϕesc.(tmax, t) ∗ L−1{F T
z} ≡ ϕesc.(tmax, t)·F RIz (9.6) Para obtener la respuesta en la cara trasera (Texc.esc.(L, t)) o delantera (Texc.esc.(0, t)) se utilizar´ıan las como F T las ecuaciones7.15y7.16respectivamente (apartado7.4.1). De igual forma, utilizando las ecuaciones 7.23 y 7.24 (apartado 7.4.2), se podr´ıan obtener las repuestas adimensionales en funci´on de Bi en la cara trasera y delantera respectivamente: T∗ exc.esc.(z∗ = 1, t∗) = L−1 î T∗(1, s)ï= ϕ 0∗ L−1{F T1} ≡ ϕ0·F RI1 (9.7)
9.2. Respuesta a excitaci´on escal´on T∗ exc.esc.(z∗ = 0, t∗) = L−1 î T∗(0, s)ï= ϕ 0∗ L−1{F T0} ≡ ϕ0·F RI0 (9.8)
Se debe tener en cuenta que este es un modelo que no considera algunos fen´omenos importantes t´ıpicamente tenidos en cuenta [6]; en particular, la liberaci´on y la absorci´on de calor por las reacciones qu´ımicas de descomposici´on, el flujo de calor por el movimiento de los gases de pir´olisis, y la variaci´on de las propiedades t´ermicas con la temperatura. Todos estos efectos, sin embargo, reducen su influencia cuando el ensayo a fuego se extiende por varios minutos y se alcanza el estado estacionario, y nuestra aplicaci´on del modelo se restringir´a a una vez alcanzado este r´egimen. Adem´as, el material se trata como homog´eneo en la direcci´on z, y por lo tanto todos los par´ametros t´ermicos deben ser entendidos como efectivos a trav´es del espesor.
En la Figura9.2se presenta el resultado del modelo de respuesta a escal´on para la cara delantera y trasera frente a t∗ para varios casos con distinto valor del n´umero de
Biot, en los que se diferencian diferentes reg´ımenes en funci´on de ´este. Para Bi = 0 (caso sin p´erdidas de calor) un incremento lineal se establece r´apidamente, con un salto t´ermico entre caras constante. Cuando aumenta Bi la tendencia de los estados transitorios cambia: el incremento de temperatura es sublineal y tiende hacia un estado estacionario. El tiempo adimensional para alcanzar el estado estacionario es menor cuando aumenta Bi (como regla practica se observa que el estacionario en T∗
se establece cuando Bi·t∗ ≈ 2,5).
Las dos gr´aficas de abajo en la Figura 9.2, donde se alcanza de manera clara el estado estacionario, son las formas t´ıpicas de los perfiles medidos en las caras delantera y trasera durante la quema (esta relaci´on con los resultados experimentales se mostrar´a en detalle en la secci´on 9.3). Adem´as del efecto de alcanzar el estado estacionario, se observa que para Bi m´as altos la diferencia de temperaturas entre las caras tambi´en aumenta. Esta relaci´on de Bi y la diferencia de temperatura entre caras se parametrizar´a a partir del estado estacionario en el apartado 9.2.1.
En funci´on de los valores de α y L, cada perfil T∗(t∗) proporciona un perfil de
T∗(t). En la Figura 9.3 se muestran algunos de estos perfiles para la cara trasera
frente a t para el caso Bi = 1, L = 2 mm, donde α se var´ıa para diferentes valores que son representativos de los encontrados en los materiales compuestos quemados y no quemados.
Se observa que la disminuci´on de α cuando Bi no cambia produce una dilataci´on temporal de los perfiles, como era de esperar ya que t = t∗L2
α , haciendo m´as duraderos los transitorios (calentamiento y enfriamiento). Sin embargo la temperatura alcanzada en el estado estacionario no cambia, siendo s´olo dependiente de Bi.
Figura 9.2: Resultado del modelo de respuesta a escal´on para la cara delantera y trasera frente a t∗ para varios casos en los que varia el valor del n´umero de Biot
9.2. Respuesta a excitaci´on escal´on
Figura 9.3: Resultado del modelo de respuesta a escal´on para la cara trasera frente a t, Bi se mantien fijo e igual a 1, y α se varia para varios valores que son representativos del rango de los materiales compuestos quemados y no quemados.
9.2.1 F´ısica del estado estacionario. Obtenci´on del n´umero de Biot
El caso de estado estacionario es especialmente sencillo e importante, pues a largo plazo se alcanza siempre que hay convecci´on y densidad de flujo constante. Adem´as, acabamos de ver que no est´a afectado por α, y s´ı lo est´a fuertemente por Bi, lo que lo hace especialmente sencillo. Vamos ahora a estudiar sus propiedades cuantitativamente.Por definici´on, en el caso estacionario T (z, t) = cte ∀ z. Esto se traduce en la introducci´on de la condici´on ∂T∂t = 0 en la ecuaci´on del calor 9.1, lo que implica que asumiendo la homogeneidad del material (medio efectivo), ∂2
T
∂z2 = 0 ∀ z. Por lo tanto,
T tiene una variaci´on lineal en el interior de la placa: T (z) = T (0) + Cz ⇒ ∂T∂z = dT
dz = C =
T (L) − T (0)
L (9.9)
Escribimos ahora las condiciones de contorno7.8 y 7.9 para este caso, suponiendo adem´as que la convecci´on es igual en las dos caras y el flujo de calor es constante (hT = hD = h, ϕ0(t) = ϕ0 = tmax1 ):
− κC = hT (L) (9.11) Despejamos de la segunda ecuaci´on:
T (L) − T (0) T (L) = hL κ ⇒ 1 − T (0) T (L) = −Bi y obtenemos el cociente de temperaturas:
T (0)
T (L) = 1 + Bi (estado estacionario) (9.12) Por otra parte, igualando 9.10 y 9.11 ( Q0
tmax − hT (0) = hT (L)) se obtiene que la
temperatura media de las dos caras es: T (L) + T (0)
2 =
Q0
2tmaxh (estado estacionario) (9.13) Resumiendo, en estado estacionario:
El cociente entre las temperaturas de cara delantera T (0) (caliente) y trasera T (L) (fr´ıa) es determinado por el n´umero de Biot: cuando ´este es muy peque˜no (convecci´on despreciable, o equivalentemente muy buena conducci´on) son muy parecidas; por otro lado, altos valores de Bi producen una mayor diferencia t´ermica a trav´es del espesor. La ecuaci´on 9.12 proporciona una forma muy simple de estimar el n´umero de Biot en cualquier situaci´on de un flujo constante suficientemente largo para alcanzar el estado estacionario. Junto con la informa- ci´on de los mapas de temperaturas en las caras de llama y trasera durante la quema, permitir´a calcular de manera sencilla Bi en el estado estacionario. La temperatura media es proporcional al flujo de calor (Q0/tmax) e inversamente proporcional al coeficiente de convecci´on (si no hubiera convecci´on (h = 0) obtendr´ıamos un valor infinito, pero entonces no habr´ıa estado estacionario). Es f´acil ver que la temperatura media normalizada es:
T∗ m ≡ Tm T∞ = 1 2t∗ maxBi (9.14) como se puede verificar en la Figura9.2.
9.3 Quema como experimento con excitaci´on escal´on
Al comienzo de este cap´ıtulo se ha planteado que un ensayo de fuego se puede modelar, en primera aproximaci´on, como un calentamiento escal´on, en el cual cada
9.4. Temperatura en la cara trasera como funci´on de la temperatura medida en la cara de