Chapter 7 : CONCLUSION AND RECOMMENDATIONS
7.4 LIMITATIONS AND FUTURE RESEARCH POSSIBILITIES
El m´etodo de ajuste para obtener α y Bi se puede aplicar para cada p´ıxel por separado y as´ı obtener el valor de estos par´ametros en cualquier punto de la muestra en el momento del ajuste (durante la quema). Un aspecto importante a tener en cuenta
Figura 10.2: Error cuadr´atico medio entre el perfil de temperatura experimental y el simulado en el intervalo de la quema entre 500 s y 600 s; para 300 valores equidistantes de α en el rango entre 9·10−7m2·s−1 y 1·10−9m2·s−1, y para valores de Bi entre 0.01
y 0.09 (con un paso de 0.01) y entre 0.1 y 2 (con un paso de 0.05). Visualizaci´on en 2 dimensiones del plano de α y Bi; el c´odigo de colores, en escala logar´ıtmica para una mejor visualizaci´on, representa el valor del RMSE.
Figura 10.3: Derecha: Perfiles experimentales de cara caliente y fr´ıa frente al perfil simulado para el par α y Bi que proporcion´o el m´ınimo error (α = 6,58·10−8m2·s−1
y Bi = 0,9). Derecha: Perfiles experimental y simulado de cara fr´ıa en el intervalo de ajuste (500 s y 600 s).
10.1. Procedimiento de ajuste
es relativo al tiempo de obtenci´on de los resultados. El barrido de α y Bi para un s´olo par de perfiles correspondientes a un p´ıxel en cara caliente y fr´ıa significa realizar el procedimiento cientos de veces, lo que aumenta mucho el tiempo de procesado cuanto m´as valores de cada par´ametro se quieran incluir. Adem´as, si se quiere obtener un ajuste para cada p´ıxel de la imagen de la probeta se debe realizar el ajuste decenas de miles de veces; por lo tanto, para realizar el ajuste de una imagen hay que optimizar al m´aximo el procedimiento. Para ello, inicialmente se plante´o el mismo enfoque que en el m´etodo flash adaptado (secci´on 7.5), es decir, utilizar un algoritmo de b´usqueda del mayor gradiente hacia la m´ınima diferencia entre las respuestas modelada y experimental. No obstante, a pesar de que el error tiende a un m´ınimo global un´ıvoco, como se observ´o en la Figura 10.2, este m´etodo proporcion´o resultados il´ogicos como la aparici´on de saltos bruscos del valor de α entre p´ıxeles correspondientes a regiones de la muestra adyacentes. La causa de estos resultados il´ogicos se expone a lo largo de esta secci´on.
Como alternativa para optimizar el procedimiento, el ajuste se ha restringido al valor de α, mientras que Bi se obtiene de forma directa y con un gasto computacional muy bajo a partir del cociente de las temperaturas de estacionario en cara de llama y trasera (ecuaci´on 9.12). Por lo tanto, previamente al inicio del ajuste, se dispone de la imagen de Bi para cada p´ıxel de la imagen y se introduce como par´ametro en el modelo, s´olo siendo necesario variar α en busca del mejor ajuste.
Para reducir a´un m´as el tiempo de c´omputo, se ha implementado una soluci´on basada en el procesado en paralelo. Con este m´etodo los c´alculos para cada p´ıxel son realizados de forma simult´anea en los diferentes n´ucleos de procesado de la CPU.
Para comprobar la fiabilidad de este m´etodo, se ha comparado con el resultado obtenido en el ajuste simult´aneo de α y Bi. Se utilizan los perfiles de la gr´afica izquierda en la Figura 10.1 (perfil de cara caliente como entrada al modelo y perfil de cara fr´ıa como referencia para el ajuste), realizando el barrido de 300 valores equidistantes de α en el intervalo entre 9·10−7m2·s−1 y 1·10−9m2·s−1, con el valor
de Bi fijo en 0.9, que fue el que proporcion´o el menor error cuadr´atico medio en el ajuste conjunto de α y Bi. En la Figura 10.4 se presenta el valor de error cuadr´atico medio entre el perfil de temperatura experimental y el simulado en el intervalo de la quema entre 500 s y 600 s. El resultado del ajuste con m´ınimo error global lo ha proporcionado el valor α = 6,58·10−8m2·s−1, que como era de esperar es el mismo
valor de α que el obtenido durante el ajuste conjunto de α y Bi.
En el caso anterior se ha elegido el valor exacto de Bi que proporcion´o el ajuste doble entre α y Bi. Pero el valor que se usar´ıa en la metodolog´ıa propuesta ser´ıa el que proporciona el cociente entre las temperaturas de cara caliente y fr´ıa (ecuaci´on 9.12), que es Bi = 0,88, 2 % menor que Bi = 0,9. El valor de α que se obtiene manteniendo
Figura 10.4: Error cuadr´atico medio entre el perfil de temperatura experimental y el simulado en el intervalo de la quema entre 500 s y 600 s; para 300 valores equidistantes de α en el rango entre 9·10−7m2·s−1 y 1·10−9m2·s−1, y para el valor de Bi fijo de 0.9,
que fue el que proporcion´o el menor RMSE en el ajuste conjunto de α y Bi.
Bi = 0,88 es 6,04·10−8m2·s−1, un 8 % menor que α = 6,58·10−8m2·s−1 obtenido
en el ajuste doble. Este resultado sugiere que el valor de α obtenido por ajuste es significativamente sensible a las variaciones en Bi.
Para comprobar este extremo, se ha realizando el mismo barrido de 300 valores equidistantes de α en el intervalo de la quema entre 500 s y 600 s, y se ha utilizado Bi = 0,8, que supone una variaci´on de ≈ 10 % respecto a Bi = 0,9 que proporcion´o el m´ınimo RMSE en el ajuste conjunto de α y Bi. El resultado del ajuste con m´ınimo error global ha sido para el valor de α = 1,19·10−8m2·s−1 (ver Figura 10.5), un valor
que var´ıa m´as del 80 % respecto a α = 6,58·10−8m2·s−1 obtenido durante el ajuste
conjunto de α y Bi. Este resultado evidencia que con el m´etodo propuesto la variaci´on de Bi tiene un gran impacto en el valor de α obtenido del ajuste. Este resultado es coherente con el presentado en la Figura10.2, donde se observ´o una mayor sensibilidad del RMSE a variaciones en Bi, y fue la causa de los resultados il´ogicos recuperados por el algoritmo de b´usqueda del mayor gradiente hacia la m´ınima diferencia entre las respuestas modelada y experimental utilizado como primera opci´on. A continuaci´on se expone la causa de esta dependencia, y la soluci´on propuesta.
En la izquierda de la Figura 10.6 se muestra el ajuste entre los perfiles experimen- tales completos y el perfil simulado que se obtiene con el valor de α = 1,19·10−8m2·s−1
que proporcion´o el m´ınimo error cuando Bi = 0,8 (en rojo). En la derecha de la Figura 10.6 se presenta el zoom sobre el intervalo que se utiliz´o para el ajuste (entre 500 s y 600 s). Tambi´en, en la gr´afica a la derecha, se presenta el resultado de una simulaci´on con el valor de α = 6,58·10−8m2·s−1, que deber´ıa ser el valor obtenido
del ajuste, manteniendo Bi = 0,8 (l´ınea de trazos). La figura demuestra que el perfil simulado que proporcion´o el mejor ajuste cuando Bi = 0,8 se corresponde con un
10.1. Procedimiento de ajuste
Figura 10.5: Error cuadr´atico medio entre el perfil de temperatura experimental y el simulado en el intervalo de la quema entre 500 s y 600 s; para 300 valores equidistantes de α en el rango entre 9·10−7m2·s−1 y 1·10−9m2·s−1, y Bi = 0,8. De
este modo se estudia el efecto en el ajuste de la peque˜na variaci´on respecto a Bi = 0,9 que proporcion´o el m´ınimo RMSE en el ajuste conjunto de α, y Bi.
valor de difusividad muy baja, ya que la atenuaci´on de las fluctuaciones y el retraso de los perfiles experimental y simulado no coinciden en absoluto, siendo mucho m´as pronunciados estos dos efectos en la simulaci´on. En la gr´afica de la derecha se observa que un valor de Bi incorrecto genera que el perfil de la simulaci´on, a´un teniendo una forma correcta, se desplace en su valor medio. Por eso un valor de α muy bajo, que consigue atravesar algunos valores del perfil experimental, genera un RMSE menor, pese a tener una forma claramente err´onea.
Figura 10.6: Izquierda: ajuste entre los perfiles experimentales completos y el perfil simulado que se obtiene con el valor de α = 1,19·10−8m2·s−1 que proporcion´o el
m´ınimo error cuando Bi = 0,8. Derecha: zoom sobre el intervalo que se utiliz´o para el ajuste (entre 500 s y 600 s), junto al resultado de una simulaci´on con el valor de α que deber´ıa haberse obtenido del ajuste y Bi = 0,8. Esta Figura pretende explicar el motivo que del errores en el ajuste de α cuando Bi no es exacto.
perfil simulado, se obtendr´an valores de α m´as precisos. Por eso, se ha optado por realizar una normalizaci´on a la media de los perfiles experimental y simulado en el intervalo utilizado para el ajuste. El resultado de este ajuste con perfiles normalizados proporciona los siguientes valores de α:
Para Bi = 0,8, α = 6,5·10−8m2·s−1
Para Bi = 0,9, α = 6,4·10−8m2·s−1
Para Bi = 1, α = 6,2·10−8m2·s−1
Estas variaciones en el valor obtenido de α debidas a variaciones de Bi son ∼ 3 %, frente a > 80 % cuando se utilizaron perfiles sin normalizar. En la Figura 10.7 se muestra que el error ∼ 3 % es aceptable desde el punto de vista del an´alisis de la muestra y la precisi´on de los modelos.
Figura 10.7: Perfil experimental en el intervalo entre 500 s y 600 s frente a tres simu- laciones con las diferentes α que se obtuvieron con el ajuste con perfiles normalizados a la media. Se observa que la dispersi´on en α obtenida no es relevante desde el punto de vista del an´alisis de la muestra y de la precisi´on del modelo.