Conclusions

Adaptive  mesh  refinement  schemes  are  useful  tools  to  efficiently  model  various  scales  of  shallow  water  flow.  A  new  adaptive  formulation  is  proposed,  which  combines  the  Haar  wavelets  with  the  FV  method  (HWFV).  The  appeal  of  the  formulation  can  be  easily  exploited  to  drive  spatial  resolution  adaptation  from  the  solution  itself  according  to  a  single  threshold  value  .  A  series  of  numerical  tests  have been performed, considering issues of well­balanced property, convergence of  scheme, sensitivity relating to different choice of the thresholds values and ability to  treat wet/dry fronts. 

Numerical evidence confirms that the proposed HWFV scheme can accurately solve  the shallow water equations with source term. Adaptive solutions are shown to be  mass  conservative.  Notably,  the  new  model  is  proven  to  be  able  to  self­decide  appropriate  resolution  levels  following  the  dynamics  of  the  flow,  including  shocks,  wet/dry fronts and the presence of non­flat topography. Future research will consist 

of integrating the friction source term in a well­balanced manner, exploring sensitivity  issues in relation of increasing the resolution levels with varying threshold values and  extending the approach to 2D.

Acknowledgments

The  first  author  acknowledges  the  support  of  the  Kurdistan  Regional  Government,  ministry of high education and scientific research. The research is further supported  by  the  UK  Engineering  and  Physical  Sciences  Research  Council  (grant  ID:  EP/K031023/1)  and  by  the  Pennine  Water  Group  platform  grant  (grant  ID:  EP/I029346/1).

References

Bouchut,  F.  2007.  Efficient  numerical  finite  volume  schemes  for  shallow  water  models. 

Edited Series on Advances in Nonlinear Science and Complexity, 2, 189­256.

Caviedes­Voullième, D., García­Navarro, P. & Murillo, J. 2012. Influence of mesh structure  on  2D  full  shallow  water  equations  and  SCS  Curve  Number  simulation  of  rainfall/runoff events. Journal of Hydrology, 448–449, 39­59.

Cockburn,  B.  &  Shu,  C.­W.  2001.  Runge–Kutta  discontinuous  Galerkin  methods  for  convection­dominated problems. Journal of scientific computing, 16, 173­261.

Fraccarollo,  L.,  Capart,  H.  &  Zech,  Y.  2003.  A  Godunov  method  for  the  computation  of  erosional  shallow  water  transients. International  journal  for  Numerical  Methods  in  fluids, 41, 951­976.

Garcia­Navarro,  P.  &  Vazquez­Cendon,  M.  E.  2000.  On  numerical  treatment  of  the  source  terms in the shallow water equations. Computers & Fluids, 29, 951­979.

Gargour,  C.,  Gabrea,  M.,  Ramachandran,  V.  &  Lina,  J.­M.  2009.  A  short  introduction  to  wavelets and their applications. IEEE circuits and systems magazine, 9, 57­68.

Gerhard, N. & Müller, S. 2013. Adaptive multiresolution discontinuous Galerkin schemes for  conservation laws: multi­dimensional case. Computational and Applied Mathematics,  1­29.

Goutal,  N.  &  Maurel,  F.  1997. Proceedings  of  the  2nd  workshop  on  dam­break  wave  simulation, Electricité de France. Direction des études et recherches.

Harten,  A.  1995.  Multiresolution  algorithms  for  the  numerical  solution  of  hyperbolic  conservation  laws. Communications  on  Pure  and  Applied  Mathematics,  48,  1305­ 1342.

Harten,  A.,  Lax,  P.  D.  &  Leer,  B.  V.  1983.  On  upstream  differencing  and  Godunov­type  schemes for hyperbolic conservation laws. SIAM review, 25, 35­61.

Hovhannisyan,  N.,  Müller,  S.  &  Schäfer,  R.  2014.  Adaptive  multiresolution  discontinuous  galerkin schemes for conservation laws. Mathematics of Computation, 83, 113­151. Keinert, F. 2003. Wavelets and multiwavelets, CRC Press.

Kesserwani, G. 2013. Topography discretization techniques for Godunov­type shallow water  numerical models: a comparative study. Journal of Hydraulic Research, 51, 351­367. Kesserwani, G. & Liang, Q. 2012a. Dynamically adaptive grid based discontinuous Galerkin  shallow water model. Advances in Water Resources, 37, 23­39. Kesserwani, G. & Liang, Q. 2012b. Locally Limited and Fully Conserved RKDG2 Shallow  Water Solutions with Wetting and Drying. Journal of scientific computing, 50, 120­ 144. Kesserwani, G. & Liang, Q. 2015. RKDG2 shallow­water solver on non­uniform grids with  local  time  steps:  Application  to  1D  and  2D  hydrodynamics. Applied  Mathematical  Modelling, 39, 1317­1340.

Leveque, R. J. & George, D. L. 2004. High­resolution finite volume methods for the shallow  water  equations  with  bathymetry  and  dry  states. In:   Proceedings  of  Long­Wave  Workshop, Catalina, page to appear, 2004. Citeseer.

Liang,  Q.  &  Borthwick,  A.  G.  2009.  Adaptive  quadtree  simulation  of  shallow  flows  with  wet–dry fronts over complex topography. Computers & Fluids, 38, 221­234.

Liang,  Q.,  Du,  G.,  Hall,  J.  &  Borthwick,  A.  2008.  Flood  Inundation  Modeling  with  an  Adaptive  Quadtree  Grid  Shallow  Water  Equation  Solver.  Journal  of  Hydraulic  Engineering, 134, 1603­1610.

Liang, Q. & Marche, F. 2009. Numerical resolution of well­balanced shallow water equations  with complex source terms. Advances in Water Resources, 32, 873­884.

Mocz, P., Vogelsberger, M., Sijacki, D., Pakmor, R. & Hernquist, L. 2013. A discontinuous  Galerkin  method  for  solving  the  fluid  and  magnetohydrodynamic  equations  in  astrophysical  simulations.  Monthly  Notices  of  the  Royal  Astronomical  Society,  stt1890.

Müller, S. 2003. Adaptive multiscale schemes for conservation laws, Springer.

Müller,  S.  &  Stiriba,  Y.  2007.  Fully  Adaptive  Multiscale  Schemes  for  Conservation  Laws  Employing Locally Varying Time Stepping. Journal of scientific computing, 30, 493­ 531.

Nemec,  M.  &  Aftosmis,  M.  J.  2007.  Adjoint  error  estimation  and  adaptive  refinement  for  embedded­boundary Cartesian meshes. AIAA Paper, 4187, 2007.

Nikolos,  I.  &  Delis,  A.  2009.  An  unstructured  node­centered  finite  volume  scheme  for  shallow  water  flows  with  wet/dry  fronts  over  complex  topography.  Computer  Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198, 3723­3750.

Roe, P. L. 1981. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes. 

Journal of computational physics, 43, 357­372.

Skoula,  Z.,  Borthwick,  A.  &  Moutzouris,  C.  2006.  Godunov­type  solution  of  the  shallow  water  equations  on  adaptive  unstructured  triangular  grids. International  Journal  of  Computational Fluid Dynamics, 20, 621­636.

Thacker, W. C. 1981. Some exact solutions to the nonlinear shallow­water wave equations. 

Journal of Fluid Mechanics, 107, 499­508.

Toro, E. F. 2001. Shock­capturing methods for free­surface shallow flows, Wiley.

Toro,  E.  F.  &  Garcia­Navarro,  P.  2007.  Godunov­type  methods  for  free­surface  shallow  flows: A review. Journal of Hydraulic Research, 45, 736­751.

Vázquez­Cendón, M. A. E. 1999. Improved Treatment of Source Terms in Upwind Schemes  for  the  Shallow  Water  Equations  in  Channels  with  Irregular  Geometry. Journal  of  computational physics, 148, 497­526.